数列求和常见的7种方法

数列求与得基本方法与技巧

一、总论:数列求与7种方法:

利用等差、等比数列求与公式

错位相减法求与

反序相加法求与

分组相加法求与

裂项消去法求与

分段求与法(合并法求与)

利用数列通项法求与

二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法,

三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。

数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础、在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需

要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、

一、利用常用求与公式求与

利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法、

1、等差数列求与公式:

2、等比数列求与公式:

3、4、

5、

[例1]已知,求得前n项与、

解:由

由等比数列求与公式得(利用常用公式)

＝＝＝1－

[例2]设S n＝1+2+3+…+n,n∈N*,求得最大值、

解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式)

∴＝

＝＝

∴当,即n＝8时,

二、错位相减法求与

这种方法就是在推导等比数列得前n项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列{a n·b n}得前

n项与,其中{ a n }、{ b n }分别就是等差数列与等比数列、

[例3] 求与:………………………①

解:由题可知,{}得通项就是等差数列{2n－1}得通项与等比数列{}得通项之积

设………………………、②(设制错位)

①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- (错位相减)

再利用等比数列得求与公式得:

∴

[例4] 求数列前n 项得与、

解:由题可知,{}得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列{}得通项之积

设…………………………………①

………………………………② (设制错位)

①－②得 (错位相减)

∴

三、反序相加法求与

这就是推导等差数列得前n 项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个、

[例5] 求证:

证明: 设…………………………、、 ①

把①式右边倒转过来得

(反序)

又由可得

…………、、……、、 ②

①+②得 (反序相加)

∴

[例6] 求得值

解:设…………、 ①

将①式右边反序得

…………、、② (反序)

又因为

①+②得 (反序相加)

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89

∴ S ＝44、5

题1 已知函数

(1)证明:;

(2)求得值、

解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边

(2)利用第(1)小题已经证明得结论可知,

两式相加得:

所以、

练习、求值:

四、分组法求与

有一类数列,既不就是等差数列,也不就是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见得数列,然后分别求与,再将其合并即可、

[例7] 求数列得前n 项与:,…

解:设

将其每一项拆开再重新组合得

(分组)

当a ＝1时,＝ (分组求与)

当时,＝

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}得前n 项与、

解:设

∴ ＝

将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝ (分组)

＝

＝ (分组求与)

＝

五、裂项法求与

这就是分解与组合思想在数列求与中得具体应用、 裂项法得实质就是将数列中得每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求与得目得、 通项分解(裂项)如:

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6) n

n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 (7)

(8)

[例9] 求数列得前n 项与、

解:设 (裂项)

则 (裂项求与)

＝

＝

[例10] 在数列{a n }中,,又,求数列{b n }得前n 项得与、

解: ∵

∴ (裂项)

∴ 数列{b n }得前n 项与

(裂项求与)

＝ ＝

[例11] 求证:

解:设

∵ (裂项)

∴ (裂项求与)

＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1 -+-+-+- ＝＝＝

∴ 原等式成立

答案:

六、分段求与法(合并法求与)

针对一些特殊得数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊得性质,因此,在求数列得与时,可将这些项放在一起先求与,然后再求S n 、

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°得值、

解:设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ (找特殊性质项)

∴S n ＝ (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+···

+(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求与)

＝ 0

[例13] 数列{a n }:,求S 2002、

解:设S 2002＝

由可得

……

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ (找特殊性质项)

∴ S 2002＝ (合并求与)

＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a

2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+

＝

＝

＝5

[例14] 在各项均为正数得等比数列中,若得值、

解:设

由等比数列得性质 (找特殊性质项)

与对数得运算性质 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= (合并求与)

＝

＝

＝10

七、利用数列得通项求与

先根据数列得结构及特征进行分析,找出数列得通项及其特征,然后再利用数列得通项揭示得规律来求