数列求和的常用方法(三课时)

数列求和的常用方法（三课时）

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

3、 )1(211

+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112

++==∑=n n n k S n

k n

5、 2

1

3)]1(21[+==∑=n n k S n

k n

例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．

（1）求数列{}n a 的等差数列．

（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，

求数列{}n b 的前n 项和T ． 解：（1）由已知得12313

27:(3)(4)3.2

a a a a a a ++=⎧⎪

⎨+++=⎪⎩，

解得22a =．

设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132

2a a q q

==，．

又37S =，可知2

227q q ++=，即22520q q -+=，

解得121

22

q q ==，．由题意得12q q >∴=，．

11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．

（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，

由（1）得3312n n a +=

3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n n b b +-= {}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++

1()2

(3ln 23ln 2)

23(1)ln 2.

2

n n b b n n n +=

+=

+= 故3(1)

ln 22

n n n T +=

．

练习：设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *

,求1)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21

++=n n S n （利用常用公式）

∴ 1)32()(++=n n

S n S n f ＝64

342++n n n

＝n n 64341++＝50

)8(1

2+-n

n 50

1≤

∴ 当 8

8

-n ，即n ＝8时，501)(max =n f

二、错位相减法

设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减

法。

例2（07高考天津理21）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；

（Ⅰ）解：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，

可得11

1221n n

n n n n

a a λλλλ+++⎛⎫

⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 所以2n

n n a λλ⎧⎫⎪⎪

⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

为等差数列，其公差为1，首项为0，故

21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．

（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+- ， ①

345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ② 当1λ≠时，①式减去②式，

得21231

1(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ

+++--=+++--=

--- ， 211212

22

(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=

---． 这时数列{}n a 的前n 项和2121

2

(1)22(1)

n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=

．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)

222

n n n n S +-=

+-． 例3（07高考全国Ⅱ文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，

3521a b +=，5313a b +=

（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和n S ．