《概率论与数理统计》课程练习计算题 2

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概率论与数理统计习题二及答案

PY 1 PY 0 PY 1 5 2 0 e
1 e
0
2 5
1 4e 2 1 e 2

5 2 2 1 e 1 e

4
4
12. 设随机变量 X 服从 N (0,1) ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1） P( X 2.2) ; （2） P( X 1.76) ;（3） P( X 0.78) ;（4） P( X 1.55) ;（5） P( X 2.5) 。解：查正态分布表可得（1） P X 2.2 2.2 0.9861；
59 4 （3）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为 0； 6 6
p
i 1
5
i

20 1。 25
2. 一袋中有 5 个乒乓球，编号分别为 1，2，3，4，5.从中随机地取 3 个，以 X 表示取出的 3 个球中最大号码，写出 X 的分布律和分布函数。解：依题意 X 可能取到的值为 3，4，5，事件 X 3 表示随机取出的 3 个球的最大号码为 3，则另两个球的只能为 1 号，2 号，即 P X i 1,2, 表示第 i 次抽到的产品为正品，依题意， A1 , , An , 相互独立，且 P Ai
10 , i 1,2, 而 13
P X k P A1 Ak 1 Ak P A1 P Ak 1
即 X 服从参数 p
所求 X 的分布律为 X 概率
1
2
3
4
10 33 72 6 13 169 2197 2197 4. 设随机变量 X ~ B(6, p) ，已知 P( X 1) P( X 5) ，求 p 与 P( X 2) 的值。

《概率论与数理统计》课程练习计算题

（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。
解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。则，且，两两互不相容，
（1）由全概率公式得
（2）由贝叶斯公式得
=
12．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：
（2）取到的是黑球的概率。
解：设分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（ =1，2，3），则问题（1）化为求；问题（2）化为求。由题意两两互不相容，所以，
（1）。因此由条件概率公式得
（2）
9．已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：
4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：
（1）至少取到一个正品的概率；
（2）第二次取到次品的概率；
（3）恰有一次取到次品的概率。
解：设表示：“第次取出的是正品”（ =1，2），则
（1）至少取到一个正品的概率
（2）第二次取到次品的概率为
（3）恰有一次取到次品的概率为
三、解答题
1．设对于事件、有，，，求、至少出现一个的概率。
解：由于从而由性质4知，，又由概率定义知，所以，从而由概率的加法公式得
2．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？
解：设表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则。5件产品中恰有2件次品的取法共有种，即。于是所求概率为
/
3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：

概率论与数理统计学习自测练习题2

第二章
随机变量及其分布
自测练习题 A
1. 填空题（将正确答案填在题中横线上）：（1）设随机变量 X 的分布函数为
0, 0.2, 0.5, F ( x) = P{ X ≤ x} = 0.8, 0.9, 1,
则随机变量 X 的概率分布律为
x < −1, −1 ≤ x < 0, 0 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 4, 4 ≤ x < 5, 5 ≤ x.
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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为
12 x(1 − x) 2 , f ( x) = 0,
量上升到 90 万 kw，每天供电量不足的概率是多少？
0 < x < 1, 其他.
假设该地区每天的供电量仅有 80 万 kw，求该地区每天供电量不足的概率．又若每天的供电
4x2 − x 2 eα , f X ( x) = α 3 π 0,
2
x > 0, x ≤ 0.
其中 α > 0 为常数．求分子运动的动能 Y =
1 mX 2 （ m 为分子的质量）的概率密度函数． 2
2
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cx(1 − x), f ( x) = 0,
则常数 c = ．
0 ≤ x ≤ 1, 其他.
2. 一盒中装有 5 个白球，3 个红球，2 个黑球．现从中随机地任取 3 球，以 X 记取出的 3 个球中的黑球的个数，求 X 的概率分布律和分布函数． 3. 在电源电压不超过 200V，在 200~240V 和超过 240V 三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2．假设电源电压服从正态分布 N (200, 25 ) ，试求：（1）电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在 200~240V 的概率． 4. 设随机变量 X 的概率密度函数为

《概率论与数理统计》习题及答案第二章

《概率论与数理统计》习题及答案第二章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+，所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+，所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =，则345A B B B =++，所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

概率论与数理统计课程第二章练习题及解答

概率论与数理统计课程第二章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“×” ）1、连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 也一定是连续函数（×）2、随机变量X 是定义在样本空间S 上的实值单值函数（√）3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量（√）4、离散型随机变量X 的分布律就是X 的取值和X 取值的概率（√）5、随机变量X 的分布函数()F x 表示随机变量X 取值不超过x 的累积概率（√）6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的（×）7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类（×）8、若()()()()P ABC P A P B P C =成立，则,,A B C 相互独立（×）9、若,,A B C 相互独立，则必有()()()()P ABC P A P B P C = （√）二、单选题1、设123,,X X X 是随机变量，且22123~(0,1),~(0,2),~(5,3),X N X N X N{22)(1,2,3)i i P P X i =-≤≤=，则（ A ）A ．123P P P >> B. 213P P P >> C. 321P P P >> D. 132P P P >>2、设随机变量~(0,1)X N ，其分布函数为()x Φ，则随机变量min{,0}Y X =的分布函数()F y 为（ D ）A 、1,()(),0y F y y y >⎧=⎨Φ≤⎩ B 、1,()(),0y F y y y ≥⎧=⎨Φ<⎩C 、0,()(),y F y y y ≤⎧=⎨Φ>⎩ D 、0,()(),y F y y y <⎧=⎨Φ≥⎩ 3、设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ B ）A 、0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰B 、01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰C 、()()F a F a -=D 、()2()1F a F a -=-分析 ()()()()a a aF a x dx x tt dt x dx ϕϕϕ-+∞-∞+∞-==--=⎰⎰⎰令1()()()()()2()aa a aax dx x dx x dx x dx x dxFa a x dxϕϕϕϕϕϕ+∞-+∞-∞-∞-==+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（-）+21()()2a F a x dx ϕ-=-⎰，选B4、设1F x （）与2F x （）分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使12F x aF x bF x（）=（）-（）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A 、3255a b ==-，B 、2233a b ==，C 、1322a b =-=，D 、1322a b ==-，分析根据分布函数的性质lim 1x F x →+∞=（），即121lim x F x F aF bF a b →+∞=∞∞∞（）=（+）=（+）-（+）=-在给的四个选项中只有A 满足1a b =-，选A5、设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1f x （）和2f x （），分布函数分别为1F x（）和2F x （），则（ D ） A 、12f x f x （）+（）必为某一随机变量的概率密度 B 、12f x f x （）（）必为某一随机变量的概率密度C 、12F x F x（）+（）必为某一随机变量的分布密度 D 、12F x F x（）（）必为某一随机变量的分布密度分析首先可否定选项A 与C ，因为1212[]21f x f xdx f xdx f xdx +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=≠⎰⎰⎰（）+（）（）（）12F F ∞∞≠（+）+（+）=1+1=21对于选项B ，若112x f x -⎧⎨⎩，〈〈-1（）=0，其它，210x f x ⎧⎨⎩，〈〈1（）=0，其它，则对任何 1212(,),0,01x f x f x f xf x dx +∞-∞∈-∞+∞≡=≠⎰（）（）（）（），也应否定C 。

《概率论与数理统计》习题二

北京交通大学远程教育课程作业年级：层次：专业名称：课程名称：作业序号：学号：姓名：作业说明：1、请下载后对照网络学习资源、光盘、学习导航内的导学、教材等资料学习；有问题在在线答疑处提问；2、请一定按个人工作室内的本学期教学安排时间段按时提交作业，晚交、不交会影响平时成绩；需要提交的作业内容请查看下载作业处的说明3、提交作业后，请及时查看我给你的评语及成绩，有疑义请在课程工作室内的在线答疑部分提问；需要重新上传时一定留言，我给你删除原作业后才能上传4、作业完成提交时请添加附件提交，并且将作业附件正确命名：学号课程名称作业次数《概率论与数理统计》习题二第三章多维随机变量及其分布一、选择题1、设二维随机变量（X，Y则P{XY=2}=（）A． B. C. D.2、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，则当时，（X，Y）关于X的边缘概率密度为f x(x)=（）A． B.2x C. D. 2y3、二维随机变量（X，Y）的联合密度函数是f(x,y)，分布函数为F(x,y)，关于X，Y的边缘分布函数分别是F X(x)，F Y(y),则，，分别为（）A．0，F X(x)，F(x,y) B. 1，F Y(y)，F(x,y)C. f(x,y), F(x,y) , F Y(y)D. 1, F X(x)，F(x,y)4、设随机变量X，Y，独立同分布且X的分布函数为F（x）,则Z=max{X,Y}的分布函数为（）A．F2(z) B. 1，F(x)F(y)C. 1-[1-F(z)]2D. [1-F（x）][1-F（y）]5、设X～N（-1，2），Y～N（1.3），且X与Y相互独立，则X+2Y～（）A．N（1，8） B.N（1，14） C.N（1，22） D. N（1，40）二、填空题1、设X和Y为两个随机变量，且P{X,Y}=，P{X}= P{Y}=,则P{max{X,Y}}=______2、设随机变量Xi～（i=1，2……），且满足P{X1X2=0}=1,则P{X1=X2}等于_______________3、设平面区域D由曲线y=及直线y=0,x=1,x=e2,所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为__________4、设随机变量X 与Y 相互独立，且服从区间[0,3]上的均匀分布，则P{max{X,Y }}=___________5、设随机变量（X ，Y ）～N （0，22；1，32；0），则P{}=_________三、解答题1. 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。

《概率论与数理统计》课后习题答案2

1．试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例．解用X 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X 的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，…，；用Y 表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y 的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2．试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例．解用X 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X 的全部可能取值为区间（0，+∞）3．设随机变量X 的分布函数()F x 为()F x = 2 1, >20, 2A x xx ⎧-⎪⎨⎪≤⎩ 确定常数A 的值，计算(04)P X ≤≤.解由(20)(2),F F +=可得10, =44AA -= (04)(04)(4)(0)0.75P X P X F F ≤≤=<≤=-=.4．试讨论：A 、B 取何值时函数()arctan3xF x A B =+ 是分布函数．解由分布函数的性质，有()()0,1F F -∞=+∞=，可得0,211,,21,2A B A B A B πππ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒==⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩于是()11arctan ,.23xF x x π=+-∞<<+∞1．设10个零件中有3个不合格．现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．解由题意知，X 的取值可以是0,1,2,3.而X 取各个值的概率为{}{}70,103771,10930P X P X ====⨯= {}{}32772,1098120321713.10987120P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯= 因此X 的概率分布为012 377711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．从分别标有号码1 ，2 ，… ，7的七张卡片中任意取两张，求余下的卡片中最大号码的概率分布．解设X 为余下的卡片的最大号码，则X 的可能取值为5、6、7，且1{5}21P X ==5{6}21P X ==15{7}21P X ==即所求分布为567 1515212121X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布．解设此人将门打开所需的试开次数为X ，则X 的取值为1,2,3,...,k n =，事件{}{}1X k k k ==-前次未打开，第次才打开，且{}11P X n ==， {}11121n P X n n n-==⋅=-，… …，{}()121112111,2,....,n n n k P X k n n n k n k k n n ---+==⋅⋅⋅⋅--+-+== 故所需试开次数的分布为12~111X n nn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... n .... 4．随机变量X 只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X 的概率分布．解设{}{}{}1,2,3P X a P X b P X c ======，则由题意有1a b c c b b a ++=⎧⎨-=-⎩解之得2313a c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设三个概率的公差为d ，则11,33a d c d =-=+，即X 的概率分布为 12 3111333X d d⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，103d << 5．设随机变量X 的全部可能取值为1 ，2 ，… ，n ，且()P X k = 与k 成正比，求X 的概率分布．解由题意，得{}() 1,2,,k P X k p ck k n ====其中c 是大于0的待定系数．由11nkk p==∑，有12....1nk k cp c c n c ==+++=∑ 即()112n n c +=，解之得 ()21c n n =+.把()21c n n =+代入k p ，可得到X 的概率分布为{}()2,1,2,...,.1kP X k k n n n ===+6．一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口．设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布．解设汽车未遇红灯通过的路口数为X ，则X 的可能值为0，1，2，3．以()1,2,3i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”，则123,,A A A 相互独立，且()()1,1,2,32i i P A P A i ===．对0,1,2,3k =，有{}()1102P X P A ==={}()()()1212211142P X P A A P A P A ===== {}()123311282P X P A A A ==== {}()123311382P X P A A A ==== 所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 311112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止．求掷骰子次数的概率分布．解设掷骰子次数为X ，则X 可能取值为1，2，3，4，且31{1}62P X === 141515{2}6666612P X ==⨯+⨯+=；115111117{3}6666666216P X ==⨯⨯+⨯+⨯=； 1111{4}666216P X ==⨯⨯=所以掷骰子次数X 的概率分布为123 415171212216216X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8．设X 的概率分布为试求（1）X 的分布函数并作出其图形；（2）计算{11}P X -≤≤ ，{0 1.5}P X ≤≤ ，{2}P X ≤ ．解（1）由公式 (){}()k kx xF X P X x p x ≤=≤=-∞<<+∞∑，得()0,00.2,010.5,120.6,231,3x x F X x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩（2） {}11(1)(10)0.500.5P X F F -≤≤=---=-= {}0 1.5(1.5)(00)0.500.5P X F F ≤≤=--=-={}2(2)0.6P X F ≤==9．设随机变量X 的分布函数为010.210()0.70212x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，试求（1）求X 的概率分布；（2）计算1322P X ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，{1}P X ≤- ，{03}P X ≤< ，{1|0}P X X ≤≥解 (1)对于离散型随机变量，有{}()()0P X k F k F k ==--，因此，随机变量X 的概率分布为10 2 0.20.50.3X -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 由分布函数计算概率，得13310.52222P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<≤=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭；{}()110.2P X F ≤-=-=；{}()0330(00)10.20.8P X F F ≤<=---=-=； {}{}{}{}{}1,0100010.50.625.00.8P X X P X X P X P X P X ≤≥≤≥=≥≤≤===≥10．已知随机变量X 服从0—1分布，并且{0}P X ≤=0.2，求X 的概率分布．解 X 只取0与1两个值，{0}P X =={0}P X ≤－{0}P X <＝0.2,{1}1{0}0.8P X P X ==-==11．已知{}P X n == nP ，n =1,2,3,⋯,求P 的值．解因为1{}1,n P X n ∞===∑ 有 11=,1n n pp p∞==-∑解此方程，得0.5p =. 12．商店里有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1）求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2）若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p ==, 设在同一时刻需用台秤的人数为X , 则()~5,0.25X B , 所以{}550.250.75(0,1,2,3,4,5)kk k P X k C k -===(2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为{}{}55553320.250.75k k k k k P X P X k C -==>===∑∑332445550.250.750.250.750.250.1035C C =++≈13．保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成．根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人．3种方案中得胜人数多的一方为胜利．问：对甲队来说，哪种方案有利？解设以上三种方案中第i 种方案甲队得胜人数为(1,2,3),i X i =则上述3种方案中，甲队胜利的概率为（1）{}331322(0.4)(0.6)0.352k k k k P X C -=≥=≈∑（2）{}552533(0.4)(0.6)0.317k k k k P X C -=≥=≈∑（3）{}773744(0.4)(0.6)0.290kk k k P X C -=≥=≈∑因此第一种方案对甲队最为有利．这和我们的直觉是一致的。

概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为（ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数（ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是（ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是（ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度；（B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度；（C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。

概率论与数理统计(二)(02197)

概率论与数理统计(二)（02197）1[计算题]设随机变量X的概率密度为2[计算题]设随机变量X服从[0,0.2]上的均匀分布，随机变量Y的概率密度为且X与Y相互独立，求(X,Y)的概率密度。

综合题]设（X,Y）的分布律为：且X与Y相互独立，求常数和的值。

[综合题]设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的分布律分别为求二维随机变量(X,Y)的分布律。

[应用题]五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量（以千克计）分别记为随机变量.已知，，，，，且它们相互独立，求这五家商店两周的总销量的均值和方差?解:设随机变量X指五家商店两周的总销量，则由已知可得（1）这五家商店两周的总销量的均值（2）这五家商店两周的总销量的方差[应用题]设电压（以计），将电压施加于一检波器，其输出电压为，求输出电压Y的均值？[计算题][计算题][综合题]设随机变量X的分布律为记综合题]设离散型随机变量X的分布律为[应用题]已知甲进行一次射击的命中率为，求：“甲进行三次独立的射击，至少一次命中”的概率？应用题]随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002试求总体均值的矩估计值?[计算题][计算题]12把钥匙中有4把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率。

综合题]设袋中有依次标着-1，0，1，2，3，4数字的6个球,现从中任取一球,记随机变量X为取得的球标有的数字,求:(1)X的分布律；(2)的概率分布。

[综合题]设二维随机变量(X,Y)的分布律为(1)求(X,Y)分别关于X,Y的边缘分布律；(2)试问X与Y是否相互独立，为什么？[应用题]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一个人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A表示“男人”，B表示“女人”，C表示“这人有色盲”，则由贝叶斯公式可得：应用题]某同学的钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是0.7,0.2,0.1，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8,0.2,0.2，试求他找到钥匙的概率？解：设：A1 =“钥匙掉在宿舍里”，A2=“钥匙掉在教室里”，A3=“钥匙掉在路上”，B=“钥匙被找到”，已知。

概率论与数理统计-练习题二

2.设连续型随机变量的概率密度函数为且，试确定，的值
并计算概率 .(10分)
3.设二维随机变量的概率密度为
，
（1）求常数；（2）求的边缘概率密度(3) 判断X与Y是否独立.。(15分)
4. 设随机变量的分布律为求（1） (2) 的分布律(3) (10分)
5.某地区18岁的女青年的血压服从分布,在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X，（10分）
5.设随机变量， ,其协方差，则相关系数
二、单选题（每题2分，共计10分）
1. 已知 ,且则的取值为（）
(A) (B) (C) (D)
2.设随机变量X的分布律为．则的值是（）．
( ) ( ) ( ) ( ) ．
3.设随机变量相互独立， , ，则（）．
； 1
4. 设总体X～N , 是来自总体X的样本，在下面μ的无偏估计中最有效的为( ).
求（
6.设总体的概率密度函数为
，是从取出的样本观测值，求总体参数的矩阵估计值和
最大似然估计值.（15分）
7假设某厂生产的一种钢索抗断强度 (单位： )服从正太分布，从中选取一个容量为9的样本，得，能否据此样本信息认为该批钢索的抗断强度为800(显著水平 )？( )（10分）
练习题二
一、填空题（每空2分，共计10分）
1.如果P(A)=0.4,P(B)=0.3, P(A∪B)=0.5,则P(AB)=
2.随机变量服从（-1，4）上的均匀分布，则方程有实根的概率为
3.一批零件的长度服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到均值为50，已知，
则的95%的置信区间是
4. 是总体的样本，分别是样本均值和样本方差，则服从的分布是

概率论与数理统计第二章习题及答案

概率论与数理统计习题第二章随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出X 随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P XP C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表X ： 3， 4，5 P ：106,103,101习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p -1)10(<<p .（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=qk －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

概率论与数理统计阶段练习2_参考答案

《概率论与数理统计》阶段练习2参考答案1、一报童卖报, 每份元,其成本为元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.2、设随机变量X 的概率分布为:0,,2,1,0,!}{>===λλ k k a K X P k.试确定常数a .解依据概率分布的性质：,1}{0}{⎪⎩⎪⎨⎧==≥=∑k k X P k X P欲使上述函数为概率分布应有,0≥a ,1!0==∑∞=k kae K a λλ 从中解得.λ-=e a 注: 这里用到了常见的幂级数展开式.!0∑∞==k kK e λλ3、X 具有离散均匀分布, 即,,,2,1,/1)(n i n x X P i ===求X 的分布函数.解将X 所取的n 个值按从小到大的顺序排列为)()2()1(n x x x ≤≤≤则)1(x x <时，,0}{)(=≤=x X P x F)2()1(x x x <≤时，,/1}{)(n x X P x F =≤=)3()2(x x x <≤时，,/2}{)(n x X P x F =≤=……)1()(+<≤k k x x x 时，,/}{)(n k x X P x F =≤=)(n x x ≥时，1}{)(=≤=x X P x F故 )(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=≥<),,max(,1),,2,1(),,min(,/),,min(,0111n j n n x x x x k n j x x x x n k x x x 当个不大于中恰好有且当当 4、设随机变量X 的概率分布为 4/12/14/1421i p X -, 求X 的的分布函数，并求{},2/1≤X P {},2/52/3≤<X P {}.32≤≤X P 5、设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它,011,12)(2x x x f π 求其分布函数)(x F .解 ⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )(}{)( 当,1-<x ;0)(=x F当,11≤≤-x ⎰⎰--∞--+⋅=x dt t dt x F 121120)(π21arcsin 112++-=x x xππ 当,1>x ,1)(=x F 故 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-++--<=.1,111,21arcsin 111,0)(2x x x x x x x F ππ 6、设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f }.2/71{)3();()2(;)1(≤<X P x F X k 求的分布函数求确定常数解 (1) 由⎰+∞∞-=,1)(dx x f 得,1224330=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎰⎰dx x kxdx 解得,6/1=k 于是X 的概率密度为.,043,2230,6)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它x x x x x f(2) X 的分布函数为)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<≤<=⎰⎰⎰4,143,22630,60,03030x x dt t dt t x dt t x x x .4,143,4/2330,12/0,022⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=x x x x x x x (3) ⎰=≤<2/71)(}2/71{dx x f X P ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2/73312261dx x xdx 2/73231242121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x ,4841= 或)1()2/7(}2/71{F F X P -=≤<.48/41=7、设某项竞赛成绩N X ~（65, 100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应定为多少解设获奖分数线为,0x 则求使1.0}{0=≥x X P 成立的.0x)(1}{1}{000x F x X P x X P -=<-=≥,1.0106510=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=x 即,9.010650=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φx 查表得,29.110650=-x 解得,9.770=x 故分数线可定为78分. 8、在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，和. 假设电源电压X 服从正态分布N (220，252)，试求：(1) 该电子元件损坏的概率α;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率β.解引入事件=1A {电压不超过 200 伏},=2A {电压不超过 200~240 伏},=3A {电压超过240伏}; =B {电子元件损坏}.由条件知),25,220(~2N X 因此⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=2522020025220}200{)(1X P X P A P ;212.0)8.0(1)8.0(=Φ-=-Φ= }240200{)(2≤≤=X P A P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=8.0252208.0X P .576.01)8.0(2=-Φ= }240{1}240{)(3≤-=>=X P X P A P .212.0)8.0(1=Φ-=(1) 由题设条件,,1.0)|(1=A B P ,001.0)|(2=A B P 2.0)|(3=A B P于是由全概率公式, 有.0642.0)|()()(31===∑=i i i A B P A P B P α (2) 由贝叶斯公式, 有 .009.0)()|()()|(222≈==B P A B P A P B A P β 9、已知某台机器生产的螺栓长度X (单位:厘米)服从参数,05.10=μ06.0=σ的正态分布. 规定螺栓长度在12.005.10±内为合格品, 试求螺栓为合格品的概率.解根据假设),06.0,05.10(~2N X记,12.005.10-=a ,12.005.10+=b 则}{b X a ≤≤表示螺栓为合格品. 于是}{b X a P ≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σμσμa b )2()2(-Φ-Φ= )]2(1[)2(Φ--Φ=1)2(2-Φ=19772.02-⨯=.9544.0=即螺栓为合格品的概率等于.10.已知)5.0,8(~2N X ，求(1) );7(),9(F F(2) }105.7{≤≤X P ; (3) };1|8{|≤-X P (4) }.5.0|9{|<-X P11.某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布),(2σμN , 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为%, 为使其寿命在x -μ和x +μ之间的概率不小于, x 至少为多少12、设)1,0(~N X , 求2X Y =的密度函数.解记Y 的分布函数为),(x F Y 则}.{}{)(2x X P x Y P x F Y ≤=≤=显然, 当0<x 时，;0}{)(2=≤=x X P x F Y当0≥x 时, }{)(2x X P x F Y ≤=.1)(2}{-Φ=<<-=x x X x P从而2X Y =的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-Φ=0,00,1)(2)(x x x x F Y 于是其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥='=0,00),(1)()(x x x x x F x f Y Y ϕ.0,00,212/⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-x x e x x π注: 以上述函数为密度函数的随机变量称为服从)1(2χ分布, 它是一类更广泛的分布)(2n χ在1=n 时的特例. 关于)(2n χ分布的细节将在第五章中给出.13、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 求}2,min{X Y =的分布函数.解根据已知结果, X 的分布函数⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x X λ Y 的分布函数}}2,{min{}{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=}}2,{min{1y X P >-=}.2,{1y y X P >>-= 当2<y 时，),(}{}{1)(y F y X P y X P y F X Y =≤=>-=当2≥y 时，.1)(=y F Y代入X 的分布函数中可得.2,120,10,0)(⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=-y y e y y F y Y λ注：在本例中, 虽然X 是连续型随机变量, 但Y 不是连续型随机变量, 也不是离散型随机变量, Y 的分布在2=y 处间断.14、设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布, 求X Y ln 2-=的概率密度.解在区间 (0,1) 上, 函数,0ln <x 故,0ln 2>-=x y 02<-='xy 于是y 在区间),0(+∞上单调下降, 有反函数2/)(y e y h x -==从而 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=---其它,010,)()()(2/2/2/y y y X Y e dy e d e f y f 已知X 在在(0,1)上服从均匀分布,⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X代入)(y f Y 的表达式中, 得⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,21)(2/y e y f y X即Y 服从参数为1/2的指数分布.15. 设X 的分布列为10/310/110/110/15/12/52101i p X - 试求: (1) 2X 的分布律; (2) 2X 的分布律.16. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0,0,/2)(2其它ππx x x f 求X Y sin =的概率密度.。

概率论与数理统计练习题2

概率论与数理统计练习题21⼀、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A 和B 满⾜1)(=A B P ，则A 和B 的关系是__B A ? _____________。

2、设随机变量)(~λπX ，且{}{},21===X P X P 则{}==k X P ____)... ,1,0( !22=-k k e k _________。

3、设X服从参数为1的指数分布，则=)(2X E ____2_______。

4、设),1,0(~),2,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独⽴，则~Y X Z -=___)3,0(N________。

5、),16,1(~),5,1(~N Y N X 且X 与Y 相互独⽴，令12--=Y X Z ，则=YZ ρ__32-__。

⼆、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄⾖随机地放⼊4个杯⼦，则杯⼦中盛黄⾖最多为⼀粒的概率为（ B ）A 、323B 、83C 、161D 、812、随机变量X 和Y 的,0=XY ρ则下列结论不正确的是（ B ） A 、)()()(Y D X D Y X D +=- B 、a X +与b Y -必相互独⽴ C 、X 与Y 可能服从⼆维均匀分布 D 、)()()(Y E X E XY E =3、样本n X X X ,,,21 来⾃总体X ，,)(,)(2σµ==X D X E 则有（ B ）A 、2i X )1(n i ≤≤都是µ的⽆偏估计 B 、X 是µ的⽆偏估计 C 、)1(2的⽆偏估计4、设n X X X ,,,21 来⾃正态总体),(2σµN 的样本，其中µ已知，2σ未知，则下列不是统计量的是（C ） A 、ini X ≤≤1minB 、µ-XC 、∑=ni iX 1σD 、1X X n -5、在假设检验中，检验⽔平α的意义是（ A ） A 、原假设0H 成⽴，经检验被拒绝的概率 B 、原假设0H 不成⽴，经检验被拒绝的概率 C 、原假设0H 成⽴，经检验不能拒绝的概率D 、原假设0H 不成⽴，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X 的分布函数，（2）)(X D 。

概率论与数理统计练习题

,,n X 是来自正态总体小概率事件在一次试验中绝对不会发生；是正态随机变量的分布函数，则一定有已知随机变量~X U 已知二维随机变量(,X 是来自总体,,n X 是来自于总体知参数，12,,,n x x x 为样本值，求（设纸张重量(以g 记)服从正态分布2的置信水平为已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布炉铁水，算得平均含碳量仍为4.55？)0.8B =、3、4、5，从中同时取掷一枚质地均匀的骰子，已知出现的是偶数点，则出现)i X x c ==，则c = 的分布函数为2,0,x x F ≥其它，则概率 ;⎪⎩⎪⎨⎧<0081x,n X 是来自总体的一组,n x 是样本的一组观测值，求（的最大似然估计值。

随机取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差。

设炮口速度服从正态分布这种炮口速度的方差σ一种燃料的辛烷等级服从正态分布。

现抽取997.7。

若标准差不变，是否可以认为新油的辛烷平均等级？（显著水平21,,n X X +是取自总体~(1n t n n +)B=}0==；= X是正态总体,,n服从自由度为若一件事的成功率是是标准正态的分布函数，则有若随机变量X与Y相互独立，则随机变量若随机变量X和Y服从正态分布且相互独立X是正态总体,n）求参数θ的矩估计量某工厂生产一批零件，其长度服从正态分布，求总体均值μ的置信水平为某一地区生产的苹果长期以来服从标准差为)B=}1==；= ,,nX是正态总体与B对立,则事件是标准正态的分布函数，则有已知随机变量~X U若随机变量X和Y服从正态分布,X是来自总体,,nX是来自于总体2,,nx x为样本值，求（某机械零件的长度服从正态分布2.4，2.6，2.5某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差从它的生产情况来看，问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著变化．。

概率论与数理统计习题二答案

概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。

习题是学习这门学科的重要方式之一，通过解答习题可以巩固理论知识，提高问题解决能力。

本文将针对概率论与数理统计习题二给出详细的答案解析。

1. 设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.4。

求P(A并B)和P(A或B)。

解析：由于事件A和事件B是相互独立的，所以P(A并B) = P(A) * P(B) = 0.3 * 0.4 = 0.12。

而P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A并B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58。

2. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取5个产品进行检验，求恰好有3个次品的概率。

解析：设事件A为恰好有3个次品，事件B为抽取的5个产品中有3个次品。

根据二项分布的概率公式，P(B) = C(5, 3) * (0.1)^3 * (0.9)^2 = 10 * 0.001 * 0.81 = 0.0081。

因此，恰好有3个次品的概率为0.0081。

3. 一批产品的质量服从正态分布，已知平均值为μ，标准差为σ。

从中随机抽取一个样本，样本容量为n。

求样本均值的期望值和方差。

解析：样本均值的期望值为总体均值μ，样本均值的方差为总体方差除以样本容量n。

因此，样本均值的期望值为μ，方差为σ^2/n。

4. 设X和Y是两个随机变量，它们的协方差为Cov(X, Y) = 5，方差分别为Var(X) = 9，Var(Y) = 16。

求随机变量Z = 2X + 3Y的方差。

解析：根据随机变量的性质，Var(Z) = Var(2X + 3Y) = 4Var(X) + 9Var(Y) +12Cov(X, Y) = 4 * 9 + 9 * 16 + 12 * 5 = 36 + 144 + 60 = 240。

5. 设X服从参数为λ的指数分布，即X ~ Exp(λ)。

《概率论与数理统计》习题二答案解析

《概率论与数理统计》习题及答案习题二1•一袋中有5只乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律•【解】X =3,4,5 3P(X =4) 3 =0.3 C 5C 2P(X =5)3=0.6C52•设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数，求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图；（3）1 3 3P{X }, P{1 ：： X }, P{1 乞 X }, P{1 ：： X :: 2}.2 2 2【解】X =0,1,2. C 13 P(X =2)13C15P(X =3) C ；= 0.1P(X =0) C 13C152235P(X =1)C ；C 23C 512 35丄 3534 34 门 0 2' 2' ' '35 3533 12P(1 _ X ) = P(X =1)P(1 ：： X 厂2 2 3534 1P(1 ：：： X ：：2) = F(2) _ F(1)_ P(X =2) =1 0.35 35 3•射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为 0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3次射击中至少击中 2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.P(X = 0) = (0.2)3 = 0.0081 2P(X =1)70.8(0.2) =0.096 P(X 二 2) =C 3(O.8)2O.2 = 0.384P(X =3) =(0.8)3 =0.512故X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.0080.0960.3840.512分布函数” 0,X <00.008, 0 兰 xc1F(X )» 0.104, 1^x<20.488, 2 兰x<31,x^3P(X — 2) = P(X =2) P(X =3^ 0.8964.( 1)设随机变量X 的分布律为P{X=k}= a -,k!其中k=0, 1, 2,…，入〉0为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X 的分布律为P{ X=k}= a/N ,k=1, 2,…,N ,试确定常数a.0,x ::: 0 22 0 _ x ：： 13534 1 _x ：： 2351, x_2F(x)= (2)当 x<0 时,F (x ) =P (X w x ) =0当 0 w x<1 时, F (x ) 当 1 w x<2 时, F (x ) 22 =P (X w x ) =P(X=0)=- 35 34 =P (X w x ) =P(X=0)+P(X=1)=-35当x >2时，F 故X 的分布函数(x ) =P (X w x ) =1 1 1 22P(X =)★(；) ,2 2 353 3P(1 ：：： X ) = F(：)-【解】(1)由分布律的性质知二：• k1 P(X 二k) =a aLe'k z0 k^o k!故 a = e_,(2)由分布律的性质知N Na1 =為P(X =k) akw k a N即 a = 1.5•甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，贝U X~b (3, 0.6) Y~b(3,0.7)(1) P(X 二Y)二P(X =0,Y =0) P(X =1,Y =1) P(X =2,Y =2)P(X =3,Y =3)3 3 1 2 1 2-(0.4) (0.3) C30.6(0.4) C30.7(0.3) +2 2 2 23 3C3(0.6) 0.4C3(0.7) 0.3 (0.6) (0.7)=0.32076(2) P(X Y) = P(X =1,Y =0) P(X =2,Y =0) P(X =3,Y =0)P(X =2,Y =1) P(X =3,Y =1) P(X =3,Y =2)1 2 3 2 2 3-C30.6(0.4) (0.3) C3(0.6) 0.4(0.3)3 3 2 2 1 2(0.6) (0.3) C3(0.6) 0.4C30.7(0.3)(0.6)3C；0.7(0.3)2(0.6)3C：(0.7)20.3=0.2436•设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的•试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道，则有P(X ■ N) <0.01200即送 C k 00(O.O2)k (O.98)200上 £0.01k =N 1利用泊松近似-np = 200 0.02 = 4.血 e 44kP(X_N)0.01宀k!查表得N > 9.故机场至少应配备 9条跑道.7. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少(利用泊松定理)？【解】设X 表示出事故的次数，则 X~b (1000, 0.0001)P(X _2) =1 -P(X =0) -P(X =1)0.1 0.1=1 —e - 0.1 e8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足P{X=1}= P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则14 2 2 3C 5p(1 - p) 9p (1 - p)9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号 (1)进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X 表示5次独立试验中 A 发生的次数，则 X~6 ( 5, 0.3)5P(X 工3)=送 c 5(0.3)k (0.7)5^ =0.16308k=3⑵ 令Y 表示7次独立试验中 A 发生的次数，则 Y 〜b ( 7，0.3)故所以P(X =4)=C ：(1)4拿10 2437 ■—k k 7 —kP(Y^3)=送C k(0.3)k(0.7)7=0.35293 k=310•某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2) t 的泊松分63 1 13.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X 表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率. 【解】X =1,2,,k,|||1 k —1 p (x =k )y4P(X =2) P(X =4)P(X =2k)谱64 W …布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计)(1) (2) 【解】(1) 求某一天中午12时至下午求某一天中午12时至下午3P(X =0)3时没收到呼救的概率； 5时至少收到1次呼救的概率.5(2) P(X _1) =1 — P(X =0) =1 -k k2 _k11.设 P{X=k}= C 2P (1 - p) ,k=0,1,2mm4_mP{ Y=m}= C 4 p (1 - p)m=0,1,2,3,45分别为随机变量 X , Y 的概率分布，如果已知 P{X > 1}=，试求P{ Y > 1}.954I 解】因为P(X 牛，故P(X (9)P(X ::: 1) = P(X =0) =(1 - P)2故得24(仆)飞1 「3从而P(Y _1) =1 _P(Y =0) =1_(1_ p)465 0.80247810.001,试求在这 2000册书中 12•某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为恰有5册错误的概率. 【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算，■ - np 二 2000 0.001 二 2P(X =5)「255!-0.001811 514•有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险•在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金•求： (1) 保险公司亏本的概率； (2)保险公司获利分别不少于 10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日，保险公司总收入为 2500 X 12=30000元. 设1年中死亡人数为 X ,则X~b(2500,0.002)，则所求概率为P(2000X • 30000) =P(X 15) P(X <14)由于n 很大，p 很小，入=np=5,故用泊松近似，有：4 e'5kP(X 15) = 10.000069k 竺k !⑵P(保险公司获利不少于 10000)= P(30000 -2000X _ 10000) =P(X < 10)20000) = P(30000 -2000X 一20000) = P(X 乞5)5 _5 k_ e 5 0.615961 k =0 k!即保险公司获利不少于 20000元的概率约为62% 15.已知随机变量 X 的密度函数为f(x)=Ae ,「8 <x<+ ,求：(1) A 值；(2) P{0<X<1}; (3) F(x).【解】(1)由 f (x)dx =1得1=Ae ^dx =2 Ae "dx =2A--：： 01 故 A . 2⑵ p(0 ：X ：：1)匚 0「dxs (1-e')⑶当x<0时,x1 1F (x )=［石 e x dx 匚 e x10k =0k!0.986305即保险公司获利不少于 10000元的概率在 98%以卜.P (保险公司获利不少于中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X 的分布函数【解】由题意知X~ U ［0,a ］，密度函数为故当x<0时F (x ) =0 当 0< x w a 时 F(x)=当 x >0 时，F(x)= f^e X dx + 2 -：：22 [-e~dx o 2F(x) =1 x 0 -e , x ：：：0 1」e 」x_0 2 16•设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 100, X —100,x x ：：100. 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；在这段时间内有一只电子管损坏的概率； F （ x ）. X 的密度函数为f(x)= 0,求: (1)(2) (3) 【解】 (1) 150 100 1 P(X < 150) r dx . ' )応 x 2 3 3 2 3 8 P 1 <P(X 150)]3 珂2)3 二石 3 2/⑵卩2 二 c ；3（2）2 ⑶当 x<100 时 F (x ) =0 x 当 x > 100 时 F(x) f (t)dtJ JO O 100 x 」(t )d t100f (t )dtx豁1t 2100x i 0,x _100x ：：17•在区间］0, a ］上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在］1f (X )二 a' 0,0乞x 乞a其他xx；f （t ）dt 「0x1 xf(眄0了蔦当 x>a 时，F (x ) =1即分布函数x F(x)二l a 1,18.设随机变量X 在［2 , 5］上服从均匀分布•现对值大于3的概率. 【解】X~U ［2,5］，即Pf(x) = 3’【0,故所求概率为119•设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(-).某顾客在窗口55次，以Y 表示一个月内他未等 P{Y > 1}.> _xf(x)二孑5【0,该顾客未等到服务而离开的概率为Y~b(5,e 冷，即其分布律为P(Y =k) =c 5(e')k (1—e')5=k =0,1,2,3,4,5P(Y 一1)=1 -P(Y = 0) =1 -(1-e‘)5 =0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N (40, 102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从N (50, 42).(1)若动身时离火车开车只有 1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2) 又若离火车开车时间只有 45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路，X~N (40, 102),则「0, x ：： 0P(X 3)=Qdx =3 3X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测其他p=c 3(2)21 c 3(2)3 3 3 3 20 27等待服务，若超过10分钟他就离开•他一个月要到银行到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求1【解】依题意知X ~ E(”)，即其密度函数为x'5dx = -2ef x —4060—40 )斗 P(X ：：：60) = P(2) =0.97727V 1010 丿若走第二条路，X~N ( 50, 42),则X 「50 60「50 P(X ::: 60) = P(2.5) = 0.9938++V 441故走第二条路乘上火车的把握大些•(2)若 X~N (40, 102),则P(X ：：：45)=P X -4° ：： 45一4° =：：，(0.5)=0.6915I 10 10 丿若 X~N (50 , 42),则:::45 -5° = ：：」(_1.25)4=1 -门(1.25) =0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21•设 X~N (3，22),(1) 求 P{2<X<5}, P{4<X <10} , P{ | X |> 2}, P{X >3}; (2)确定 c 使 P{X > c}= P{X < c}.【解】(1) P(2：：：X E5)=P 口」3 空口V 2 2 2 丿()2 () 2= 0.8413 -1 0.6915 =0.5328 P(—4 ：：X —10) =P i.X 色一!^3V 222 丿 =O.9996P(| X | 2) = P(X 2) P(X ：： -2)f X -3 2_3］丄 f X -3 _2_3； =P --------- > ------ (+P ---------- < ---------I 2 2丿 12 2丿 “—①i —丄①i —5匚①I 丄r —①i-l 2丿I 2丿12丿 12丿-0.6915 1 -0.9938 =0.6977P(X ：：45) = P X -50—4X —3 3-3P(X 3) = P() J —：：」(0) =0.5⑵c=322. 由某机器生产的螺栓长度(cm ) X~N (10.05,0.062),规定长度在10.05土 0.12内为合格品求一螺栓为不合格品的概率.=1一门(2)亠处(一2)=2[1-：：」(2)]二 0.045623. 一工厂生产的电子管寿命 X (小时)服从正态分布 N (160, (I),若要求P{120 v X < 200 =>0.8，允许i 最大不超过多少？(1) 求常数A , B ;(2) 求 P{X W 2} , P{X > 3}; (3)求分布密度f (x ).匹 F(x)=1 「A = 1【解】(1)由 … 得伽+F (x)巳监F(x)旧一1(2) P(X _2) = F(2) =1 -e ，'P(X 3) =1 _F(3) =1 _(1_eA )25.设随机变量X 的概率密度为・x,f (x )=」2 - x,0,求X 的分布函数F (x ),并画出f (x )及F (x )f (x^ F (x)0,x 一0 x ：： 0 【解】P(|X -10.05| 0.12) =PX —10.05 0.060.12>0.06』【解】P(120：："200)=P 1^1坐3 乞叱型故24.设随机变量X 分布函数为40-31.251.29F (x )A Be*,0,x 一0,x 0.0 空 x ：： 1,仁 x :: 2,【解】当x<0时F （x ） =0xtdt当 1W x<2 时 F(x)二 f (t)dt1-0tdt (2-t)dt1 2x22 2 2x2x -1x 当 x >2 时 F (x) f (t)dt = 126•设随机变量X 的密度函数为(1) f(x)=ae_ |x|,入 >0；f(x)二 2c 'X2e当 x W 0 时 F (x) = J 』(x)dx =访e% = 2,当 0W x<1 时 F(x)=xJ (t)仁x.f(t)dtF(x)二x 22x 2x -1,21,x ：： 0x _2⑵f(x)= 试确定常数【解】（1）由bx, 12，x 0,0 ■ x ：： 1, 1 < x < 2,其他•a,b ,并求其分布函数 F （ x ）."f (x)dx =1知 1J JO O2ax 2 3即密度函数为当 x>0 时 F (x) =(x)dx =J ：eMdx 壮专e —x dx故其分布函数x _01 f (x)2, |x 0,当 x < 0 时 F (x ) =0当 0<x<1 时 F(x) f (x)dx f(x)dx 亠 I f (x)dx当 1 w x<2 时 F(x)二 J-f (x)d ^j-Qdx当 x > 2 时 F (x ) =1 故其分布函数为广0, 2xJF(x)二 23_12 x1，27•求标准正态分布的上:-分位点,(1) ： =0.01，求 z ； (2) ： =0.003，求 z-., z-./2. 【解】(1) P(X Z.H0.01即：G( z ：.)=0.09故z —2.33x=0xdxx 21 八-3 - 2F(x)1丄」 2(2)由 1 = f°°f(x)dx = f1bxdx — dxx得即X 的密度函数为b=1x, 0 ： x :: 1其他xdx1严x-0 0 ■ x ■■■ 1 1 < x ：：即心(zj =0.012a(2)由 P(X .乙)=0.003得 1 (zj =0.003即：•：」(乙)=0.997 查表得乙.=2.75由 P(X z ./2) =0.0015 得1-：」(Z-./2)=0.0015即 ■->( Z") =0.9985查表得z ：./2 =2.96求Y=X 的分布律.【解】Y 可取的值为0, 1, 4, 9P(Y =0) =P(X =0)」5P(Y =1) = P(X =「1) P(X =1)=1 -~6 15301 p (Y =4) =P(X - -2): 5 11 P(Y =9) = P(X =3)=3029•设 P{X=k}=( 1)： k=1,2,…，令Y 「1,当X 取偶数时 1-1,当X 取奇数时.求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】P(Y =1) =P(X =2) P(X =4) "I P(X =2k)川=G )2 G )4 川(1)2k 川2 2 2 1 1 1 =()/(1 厂4 4 3P(Y =—1) = 1 — P(Y =1) = 2 30•设 X~N (0, 1).(1) 求Y=e X 的概率密度； (2) 求Y=2X 2+1的概率密度； (3)求Y= | X |的概率密度•【解】(1)当 y w 0 时，F Y (y)二 P(Y 曲)=0x当 y>0 时，F Y (y) =P(Y 空 y) =P(e < y^P(X < ln y)In y二：i- fX (x)dx(2) P(Y =2X 2 1 _1) = 1当 y w 1 时 F Y (y) =P (丫乞 y) =02当 y>1 时 F Y (y) =P (丫乞 y) =P(2X 1 乞 y)(y J)/2「一 R f X (x)dx故 f 丫(y)=f F 丫(y)三民:f x (厅]+f x 「F]]⑶ P(Y-0)=1当 y w 0 时 F Y (y)二 P (Y — y) =0dF y (y)11 1 j n 2y /2 JEW ，y 0= PX 2 哼二P< X <4y 4)/4e , y 1当 y>0 时 F Y (y) = P(| X 国 y)二 P( —y 乞 X 乞 y)y二 y f x (x)dx故 f Y (y)：F Y (y )二 f x (y) f x (-y)dy31. 设随机变量X~U (0,1),试求：(1) Y=e x 的分布函数及密度函数； (2)Z= -21 nX 的分布函数及密度函数【解】(1) P(0 ：：X ：：：1) =1故 p( 1 ::： Y 二 e ::： e) 1 当 y _1 时 F Y (y) =P(Y 乞 y) =0当 1<y<e 时 FY (y) =P(e X 乞 y) =P(X On y)In y「0 dx=lnyX当 y 》e 时 F Y (y)二 P(e < y) = 1 即分布函数J, y^e故Y 的密度函数为口 f Y (y)二 y,0,(2) 由 P ( 0<X<1) =1 知P(Z 0) =1当 z w 0 时，F z (z) =P(Z Ez) =0当 z>0 时，F Z (z)二 P(Z 乞 z)二 P(—2ln X ^z)=P(ln X _ -自二 P(X _e 亠2)y 0,F /(y)=七n y,y 乞1 1 ：：1 ：：y e故Z的密度函数为32. 设随机变量X的密度函数为2xf(x)= n io,0 ：：xn其他.试求Y=sinX的密度函数.【解】P（0 Y：：：1） =1当y w o 时，F Y（y）二P（Y ^y） =0当0<y<1 时，F Y（y）二P（Y 空y）二P（sin x 乞y）二P(0 ：： X M arcsin y) P( n- arcsin y 玄X ::narcsiny 2x n2x2dx 2dx0 n -arcsin y 彳=4( arcsiny)2 1- arcsin®2n n2 .arcs in yn当y》1 时，F Y（y）=1故Y的密度函数为33. 设随机变量X的分布函数如下:z/2即分布函数I z/2 dx = 1 - eu a -----z<0-z/21-ez 0zMX』2，X 』2，18试填上(1),(2),(3)项.F(x) = 1 x‘(2)X-(3) •19【解】由lim F(x) =1知②填1。

(完整word版)概率论与数理统计练习题练习题及参考答案

《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则∑==ni iXnX 11服从)1,0(N 分布；2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；3．（√）设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ；9．（√）设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X ++=μ是μ的无偏估计量；10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。

二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则=EXDXp -1: 3．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,,,0,1)(其他b x a a b x f 是均匀分布的密度函数；4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为则=a )()(Y D X D +； 6．设随机变量X 的概率分布为则12+X 的概率分布为222)(21σμπσ--x e7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,)(==Y E a X E ，则=)(XY E )()(y f x f Y X ⋅8．设1θ 与2θ 是未知参数θ的两个 0.99 估计，且对任意的θ满足)()(21θθ D D <，则称1θ 比2θ有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2σμN 抽得的简单随机样本，已知202σσ=，现检验假设0μμ=：H ，则当222121)()(n n Y D X D σσ+=+时，0)(σμ-X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平α（10<<α），则犯第一类错误的概率是 α.三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。

【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案

概率论与数理统计计算题（含答案）计算题1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。

现作不放回抽样，接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。

1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。

3.设随机变量X 的分布函数为1(1), 0() 0, 0x x e x F x x -⎧-+>=⎨≤⎩，试求：（1）密度函数()f x ；（2）(1)P X ≥，(2)P X < 。

4.二维随机变量(,)X Y 只能取下列数组中的值：1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3--，且取这些组值的概率分别为1115,,,312612。

求这二维随机变量分布律，并写出关于X 和关于Y 的边缘分布律。

5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有人精通英语。

6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。

在使用者中，假定有90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。

如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？7.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x Ae x R -=∈，试求：（1）常数A ；（2）(01)P X << 。

8. 设二维随机变量(X ，Y)的分布律为求：(1)(X ，Y)关于X 的边缘分布律；(2)X+Y 的分布律．9．已知A B ⊂，()0.36P A =，()0.79P B =，求()P A ,()P A B -,()P B A -。