高等数学1答案

作业一点评

一、填空题

1.设11(,)(,)23x f x y xy f y =+=，则53

，(,1)f x y +=2()x y +

2.00y x →→=12

3.设(,)ln(),(1,0)2y y f x y x f x =+

=则12 4.设,y z z x ∂==∂则x

1y yx -，z y ∂=∂ln y x x 5.设22ln(1),z x y =+-则dz=

22222211x y dx dy x y x y -+-+- 6.设,1,2,0.1,0.2,z xy x y x y z ===∆=∆=∆=则0.42，dz =0.4

二、求下列各函数的定义域

1.z = 解：此函数的定义域为22222401011x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠⎩

解上列不等式可得此函数的定义域为{}222(,)|01,4x y x y y x <+<≤

2.z = 解：此函数的定义域为||10y x ≤⎧⎨>⎩

所以此函数的定义域为{}(,)|0,11x y x y >-≤≤

三、求下列各函数的偏导数

1.arcsin(z =

解：22z y x x ∂'===∂ 1z x y x ∂==∂-

2.ln tan x z y

=

解：2221111csc 1tan sec z x x x x y y y

y y y ∂===∂+ 22221()csc 1tan z x x x x y y y y

y

∂=-=-∂+ 四、求下列函数的全微分

1.ln(32)z x y =-

解：因为

332z x x y ∂=∂-，232z y x y ∂-=∂-， 所以1(32)32dz dx dy x y =

--

2.x y z x y

+=- 解：因为

2212()()z x y y x x y x y x y ∂+-=-=∂---

2212()()

z x y x y x y x y x y ∂+=+=∂--- 则2

22()ydx xdy dz x y -+=

- 第二次作业

1.设()z xy xF u =+，而y u x

=，其中()F u 为可导函数，验证：z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂ 证明: ()()()()''2z y y y F u xF u y F u F u x x x

∂=+-=+-∂ ()()''1z x xF u x F u y x

∂=+=+∂ ()()()''()z z y x y xy xF u x F u xy yF u xy xy xF u z xy x y x

∂∂+=+-++=++=+∂∂ 2.求下列函数的22222,,z z z x x y y

∂∂∂∂∂∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）。 （1）22()z f x y =+ 解：()

22'2y x xf x z +=∂∂ ()22'2y x yf y z +=∂∂ ()()

22''222'22'42y x f x y x f x z +++=∂∂ ()

22''24y x xyf y x z +=∂∂∂ ()()

22''222'2242y x f y y x f y z +++=∂∂ （2）(,)x z f xy y

= 解： 2'1'1f y yf x z +=∂∂ 2'21'f y

x xf y z -=∂∂

22''212''11''222''12''12''11''2212111f y f f y f y yf y f y yf y x z ++=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∂∂∂22''212''2'212''211''1'211f y x xf y f y f y x xf y f y x z 22''311''2'21'1f y x xyf f y f -+-=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂22''212''22'312''211''222f y x xf y x f y x f y x xf x y z 22''42

12''22

11''22'322f y

x f y x f x f y x +-+= 3.设方程(,,)0F x y z =确定一个单值且有连续偏导数的函数(,),0,,y x x

y y y y x z F F F y y x F z F =≠∂∂=-=-∂∂且证明：

证明： 依题意，得：()(),,,0F x y x z z ≡

两边同时求关于x 的偏导数

()()',,,0x F x y x z z ⎡⎤≡⎣⎦

由此有 0x y

y F F x ∂+=∂ 若0y F ≠,解得 x y

F y x F ∂=-∂ 同理可得

z y F y z F ∂=-∂ 4.设(,)0xz F yz e =确定z 为,x y 的隐函数，求dz 。

解：z z dz dx dy x y

∂∂=+∂∂ 又因为

x z F z x F ∂=-∂ 且 12xz x z z F yF e F x z x x ∂∂⎛⎫=+⋅+ ⎪∂∂⎝⎭ 12xz y z z F F z y xe F y y ⎛⎫∂∂=⋅++ ⎪∂∂⎝

⎭

12xz z F yF xe F =+

所以 ()2122xz xz xze F z x yF xe F ∂=-∂+ ()

1122xz zF z y yF xe F ∂=-∂+ 所以 ()()

21121222xz xz xz xze F zF dz dx dy yF xe F yF xe F =--++ 5.求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值

解：

42x f x =- 42y f y =--

令 0x f = , 0y f = 得 02x = 02y =-

又因为 2xx f =- 0xy f = 2yy f =-

所以 240xy xx yy f f f -=-<

所以 ()00,x y 是极大值。且 ()2,2f -=8

6.求函数22u x y z =-+在条件2221x y z ++=下的极值点。

解：令F=x-2y+2z+p ()1222-++z y x

所以： 1+2px=0 x = -1/3

-2+2py=0 得： y = 2/3

2+2pz=0 z = -2/3

01222=-++z y x p = 3/2

x = 1/3

y = -2/3 所以极值点为（-1/3，2/3，-2/3），（1/3，-2/3，2/3） 或 z = 2/3

P = -3/2