数学建模-差分方程

N2(k+1)=N1(k) e 0.8 N3(k+1)=N2(k) e 0.8 N4(k+1)=N3(k) e 0.8
5
1.2210 N1 (k 1) N0 (k ) 11 1.2210 N0 (k )
11
N0 (k ) 1.10910 [0.5N3 (k ) N 4 (k )]e
dx ax bxy dt 假定食肉鱼的出生率与群体规模y(t)成正比，而 真正能活下来的小鱼只是那些找到食物部分（与 食用鱼相遇部分），所以它的有效出生率是与两 种鱼规模成正比。我们假定它的自然死亡率也与 群体规模y成正比，即 dy cy dxy dt 在人类没有捕捞的情况下，两种互相制约的鱼类的 群体规模增长规律性可用常微分方程组描述 （Volterra模型） 参考文献：电子科技大学数学系，《实用数值计算 方法》，高等教育出版社，2000年
1 龄鱼 1.2200
2 龄鱼 0.2970
3 龄鱼 0.1010
4 龄鱼 0.0329
推导在没有人类捕捞的条件下，各年龄组的鱼数量在 第一到第五年内的变化规律. 设各年龄组的鱼群数量分别为 Nj(t)，(j = 1，2，3，4)。 在没有人类捕捞的情况下，每个年龄组的鱼群在第k年 到每k+1年的一年时间内数量变化应服从如下规律
(1997年全国大学生数学建模竞赛题) 假设某类鱼群按生长的规律被分为四个年龄组，即 一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼、四龄鱼.规定每年的前八个 月为捕捞期，后四个月为产卵期.三龄鱼和四龄鱼在每 年 的 9—12 月 产 卵 并 孵 化 . 每 一 条 四 龄 鱼 平 均 产 卵 1.109×10 5，而每条三龄鱼平均产卵数为四龄鱼的一 半。孵化成活率为： 成活的小鱼数 1.221011 鱼卵数 1.221011 鱼卵数 由卵孵化成活的小鱼到了次年的一月成为一龄鱼.各年 龄组的鱼的死亡率均为 ，当年存活下来的一龄鱼到了 次年一月时，将成为二龄鱼。同理，存活下来的二龄 鱼和三龄鱼到了次年一月，分别变为三龄鱼和四龄鱼. 而四龄鱼到年底产卵之后便死亡.已知第一年年初时各 龄鱼的条数
…… K=0，1，2，3，
0.8
2 3
五、树群增长的数学模型
将某树群的树分为三类：幼树、成树和老树。树龄从 0—10年为幼树；树龄从10—40年为成树；树龄在40年 以上为老树。在没有采伐的条件下，假定在第一个单 位时间（2年）内，树群的生长满足下列条件
1)幼树中的1/5成长为成树，每一棵幼树平均繁殖1/2棵新树； 2)成树中的1/15成长为老树，每一棵成树平均繁殖一棵新树； 3)老树中的1/15要老死，每一棵老树平均繁殖1/5棵新树。
dx x bx (1 ) cx dt K
当x = K ( 1 – c / b)时，达到平衡。捕捞率（单位时间 内捕捞量与渔场中鱼量之比）可以人为地控制，以 保证在鱼量稳定的条件下获得最大捕捞量。这需要 求函数y = cx在条件 x bx (1 ) cx 0 K 下的极大值。结果为c = b/2，此时渔场中渔量稳定 值为最大鱼量的一半K / 2，最大捕捞量为bK/4。 参考文献： 费培之、程中瑗，《数学模型实用教程》，四川大 学出版社，1998
设x1(k)为在第k个单位k个单位时间内 老树的数量。于是可推出在没有砍伐条件下的树群数 量变化的差分方程组.
对于有砍伐的情形 ， 将上面的数学模型作修改。
六、动物饲养的数学模型
农场饲某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其 分为三个年龄组：第一组0~5岁；第二组6~10岁；第三 组11~15岁。从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年 龄组动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组动 物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年 龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 0.5和0.25。假设现有三个年龄段的动物各1000头， 1)建立动物各年龄段数量预测的数学模型； 2)计算5年后、10年后、15年后、20年后各年龄段动物 数量； 3)如果每五年平均向市场供应动物数c=[s1 s2 s3]T，在 20年后农场动物不至灭绝的前提下，c应取多少为好？
1.储蓄问题
银行帐户的钱数增长服从马尔萨斯法则。设b是 利率，令P(n)为第n年开始时帐单上的钱的总数， 则有 P(n + 1) = P(n) + bP(n)= (1 + b)P(n) (1)假设某公司有200万元存在银行，如果以年 计息b=0.04请分别计算一年后、两年后、……、 第六年后银行帐户上的存款数目；如果利息不 变，按月计息b应该为多少？ (2）依照下列利率：1%，2%，5%，7%，13% 按年计息使一笔存款达到本金的两倍分别计算 所用的时间是多久。
dN j rN j ( k t k 1) dt N (t ) t k N j (k ) j
( j=1,2,3,4)
这一初值问题的解为 N j (t ) N j (k )e0.8(t k ) k t k 1 根据鱼群变化规律，得 差分方程组如下：
问题1：根据常微分方程组右端常数分别讨 论：y的变化对x的影响，x的变化对y的影响。
dx d t x b xy d y y d xy dt
问题2：当x>0，y>0时Volterra模型在相平面 上的轨线满足一阶常微分方程
dy y(c dx) dx x(a by)
差分方程与微分方程
一、人口模型 二、鱼类生存竞争的数学模型 三、捕鱼模型 四、鱼的种群数量发展规律 五、树群增长的数学模型 六、动物饲养的数学模型 七、常微分方程初值问题的数值求解方法
1. 离散形式马尔萨斯（Malthus）模型（1798）
P(n)表示某人口群体在第n年的总数，设初始年为零， 记为P(0)，令增量ΔP(n)=P(n+1) - P(n).马尔萨斯认为， 人口的增长速度与人口的总数成正比，即 ΔP(n)=b P(n)
2.蚂蚁群体问题
蚂蚁群体的死亡率同当时的数目成 正比。如果不出生幼蚁，则在一周 末总数减少一半。然而，由于要产 幼蚁，出生率也同群体总数成正比 变化。并且两周内蚁群总数翻一番。 试确定每周该群体的出生率，将连 续解同用差分方程所得离散解作比 较。
本世纪二十年代，意大利生物学家（D’Ancona）在研 究互相依赖、互相制约的各种鱼类总数增长情况时， 发现在第一次世界大战期间食肉的鱼类占鱼类总数的 百分比急剧增加，他认为这是由于战争时期整个捕鱼 量大大减少的缘故。但是为什么捕鱼量的减少会对食 肉鱼有利呢？生物学家将此问题求教于一位意大利数 学家（Volterra）。 Volterra将鱼分成两类：食用鱼及食肉鱼，分别以x(t) y(t) 表示它们在时刻t时的总数。假定食用鱼有充分的食物， 而食肉鱼是以食用鱼为食物的。 如果不存在食肉鱼，食用鱼x(t)的增长应服从马尔萨斯 模型，但是有食肉鱼的存在，则被食肉鱼吃掉是食用 鱼死亡一个重要原因。两种鱼相遇（发生被吃现象） 机会与两个群体规模乘积成正比，所以在马尔萨斯模 型的基础上增加一项：- bxy，即
n1
2.verhulst模型（1840） 比利时人口学家verhulst将马尔萨斯模型修改为 P(n +1) = (1+ b) P(n) – c (P(n)) 2 他认为个体的存活机会依赖于自身应付同其它人竞争 冲突的能力。c是竞争冲突常数。 考虑这一模型的数值计算求解。取b = c = 0.1， P(0) = 0.8计算，可以得出人口总数随时间变化逐渐增 大并稳定在一个不变的水平上。如果取P(0)=1.5计算， 可以得出人口总数随时间变化逐渐减少并稳定在同一 水平上。 3.连续形式马尔萨斯模型 设某生物群体的总数N随时间t连续变化（这种假定对 诸如原子、细菌、记忆细胞等总数充分大的群体是合 理的），并设N(t)关于t可微，则马尔萨斯模型可以用 微分方程表示
其中，b表示出生率与死亡率之差。于是
得一阶差分方程
P(n 1) P(n) P(n) P(n) bP(n)
P(n+1) = (1+b)P(n) 反复递推,得
P(n 1) (1 b) P(n) (1 b)(1 b) P(n 1) (1 b) 2 P(n 1) (1 b) P(0) 当b>0时，随着n的增大，P(n)无限增大，就象马尔萨斯所说的， “人口按几何级数增大”。
dN bN dt 设在时刻t = 0有初值 N (0) = N 0 ，在以后的任何时刻 群体总数由微分方程解函数描述
N (t ) N0e
bt
4. Logistic模型 verhulst模型的连续形式是微分方程
dN bN cN 2 dt
或
dN N bN (1 ) dt k
在这一模型中,常数 k被称为环境容量. 参考文献：萧礼、张志军编译，《模型数学》—— 连续动力系统和离散动力系统，科学出版社，1998
问题3. 取参数a =1，b =0.01，c =0，d =0.02。 取初值为x(0)=20，y(0)=20。求该问题的数值 解并作图，结合图形分析两个生物种群数量变 化的规律。
渔业资源是一种再生资源。在渔场中捕鱼从 长远利益来看，既希望能使渔声中鱼量保持 稳定，同时又获得最大捕鱼量和最优的经济 效益。假设如下： (1)无捕捞时，鱼量变化符合Logistic模型； (2)有捕捞时，鱼量变化与捕捞量有关。 记时刻t渔场中的鱼量为x(t)。记渔场资源限制 的最大鱼时为K，鱼的自然净相对增长率为b， 单位时间的捕鱼量与渔场中的鱼量成正比， 比例常数c是捕捞率。在捕捞过程中，渔场中 鱼量满足常微分方程