2021年三角形“四心”定义与性质之欧阳学文创编

三角形“四心”定义与性质

欧阳光明（2021.03.07）

所谓三角形的“四心”是指三角形的重

心、垂心、外心及内心。当三角形是正三

角形时，四心重合为一点，统称为三角形

的中心。

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：

1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形

的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠2

1,21,21。

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质： 性 质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．

3.CE CD BD BF AF AE ===,,；

=++CD BF AE 三角形的周长的一半。 4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2

190 。

三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的

垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：

1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3

,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；

（2）)(3

1

PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===3

1。

五、三角形“四心”的向量形式：

结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，

则点O 为ABC ∆的垂心。

结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足2

22222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。

结论3：若点G 满足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ∆的重心。 结论4：若点G 为ABC ∆所在的平面内一点，满足)(3

1++=， 则点G 为ABC ∆的重心。

结论5：若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且满足=⋅+⋅+⋅c b a （其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心。 结论6：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足

⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。 结论7：设()+∞∈,0λ，则向量||||(

AC AB +=λ，则动点P 的轨迹过

ABC ∆的内心。