力学专题 液面升降问题
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(a)(b)
图17-5
A.当A的密度小于水的密度时，容器中水面上升
B.当A的密度大于水的密度时，容器中水面下降
C.当A的密度等于水的密度时，容器中水面下降
D.当A的密度大于水的密度时，将A拿下后悬挂在木块下面，如图17-5(b)所示，容器中水面不变
【思路点拨】
解法一：A在木块上面，A和木块漂浮，则
＝＋
所以，冰在盐水中熔化后液面上升了。
【答案】(1)冰在水中熔化后液面不变。(2)冰在盐水中熔化后液面上升。
【变式练习】冰放在密度小于冰的液体中，静止后处于什么状态，熔化后，液面又如何变化?
【例2】如图17-2所示，底面积为的圆柱形容器内盛有适量的水，另一底面积为的圆柱体A有部分体积浸在水中，当圆柱体A相对于容器下降高度为h时(水没有溢出，圆柱体A也未全部没入水中)，求：容器中液体高度的变化量？
甲乙
图17-8
A.放入的物块密度为
F＝＋＋
物体A从木块上拿下放入水中后
A选项：若＜，则A和木块均漂浮在水面
水受到容器底的支持力
＝＋＋
因为=F，水对容器底的压力不变，容器底受到水的压强ｐ不变，深度ｈ不变，即容器中水面高度不变。
B选项：若＞，A放入水中后，A沉底，物体A受到容器底的支持力，木块仍漂浮
水受到容器底的支持力
＝＋＋
因为<F，水对容器底的压力变小，容器底受到水的压强ｐ变小，深度ｈ变小，即容器中水面降低。
＝＝①
A选项：A从木块上拿下后，若＜，则A和木块均漂浮在水面，A和木块共同排开水的体积为
＋＝＋＝②
比较②和①，＝
所以A选项中，容器中水面不变。
C选项：当＝时，将A从木块上拿下放入水中，A悬浮在水中，容器中水面也不变
B选项：当＞时，A放入水中，A沉底，木块和A共同排开水的体积为：
＋＝＋＝＋③
比较③和①，
则在冰没有熔化时，=
在冰熔化一半时，
===+
在冰完全熔化后，
==
=Sh=-
=Sh′=-
所以Sh=2Sh′，h′=h。
2.如图17-7所示，水平桌面上放有一圆柱形容器，容器内有一个装有铝块的平底塑料盒漂浮在水面上，塑料盒底始终与容器底平行，且塑料盒的底面积等于圆柱形容器底面积的一半，将铝块取出后，塑料盒盒底距离容器底的高度变化量为Δh，容器中水面高度变化量为Δh′，推导Δh与Δh′之间的数量关系。
图17-2
【思路点拨】解法一：画出情境图，如图17-3所示，找出体积之间的关系
图17-3
即：①
Δh②
②-①可得
Δh
因为
所以Δh
h
Δh=。
解法二：如图17-4，圆柱体下降h后，体积为的水被挤走，
图17-4
水被挤到原水面上圆柱体周围的区域，体积为Δh
所以h
解得Δh=。
【答案】
【例3】如图17-5(a)所示，在一个较大的容器中盛有水，水中放有一个木块，木块上面放有物体A，此时来自百度文库块漂浮；如果将A从木块上拿下，并放入水中，当木块和A都静止时(水未溢出)，下面说法正确的是( )
【答案】BD
2.解题方法
(1)画出情境图，找出体积之间的关系。
(2)作出受力分析图，列出力的平衡式。
(3)结合已知条件利用公式列出方程或方程组，求解。
专题巩固
1.在柱状容器里注入适量的浓盐水，在盐水中放入一块冰，冰与盐水的质量相等，并始终漂浮在盐水面上。当一半冰熔化之后，发现容器里的水面上升的高度为h，当剩余的冰全部熔化之后，水面将又会上升( )
因为＞，
所以
水面下降。
D选项中：A放在木块上和悬挂在木块下面，两次比较，A和木块均漂浮，＝＋不变，不变，前后两次水面无变化。
解法二：分析容器底受到的压力的变化，就是分析容器上方物体所受支持力的变化。把物体A、木块和水看成“整体”，作出受力分析图，列出力的平衡式。
物体A放在木块上，漂浮在水面上时，水受到容器底的支持力
图17-6
A.hB.hC.hD.h
【答案】C
【解析】漂浮的物体质量是m，烧杯里的液体的质量是M，烧杯底面积为S，液体的密度是，则可以得出，图中液面下烧杯内的体积V=Sh=
推导过程如下：由ρ=得，烧杯内液体的体积=
由阿基米德原理，＝G，G=mg得
==
=+=。
设浓盐水的体积为，冰未熔化时排开盐水的体积与盐水的体积之和为，冰块全部熔化成水后的体积为，冰块和盐水的质量均为M
＝
＝
＝①
冰熔化成水后，质量不变：＝
求得：＝＝②
比较①和②，＝
也就是冰熔化后体积变小了，恰好占据了原来冰熔化前在水中的体积。
所以，冰在水中熔化后液面不变
(2)冰在盐水中：冰熔化前处于漂浮，如图(b)，则
＝
＝
＝③
冰熔化成水后，质量不变，推导与问题(1)相同。
＝④
比较③和④，因为＜
所以＞
也就是冰熔化后占据的体积要大于原来冰熔化前在盐水中的体积。
C选项：若，A放入水中后，A悬浮，木块仍漂浮
水受到容器底的支持力
＝＋＋
因为=F，水对容器底的压力不变，容器底受到水的压强ｐ不变，深度h不变，即容器中水面高度不变。
D选项：A放在木块上和悬挂在木块下面，两次比较，A和木块均漂浮
水受到容器底的支持力
＝＋＋
因为=F，水对容器底的压力不变，容器底受到水的压强ｐ不变，深度h不变，即容器中水面高度不变。
图17-7
【答案】Δh=Δh′
3.如图17-8甲所示，装有部分水的试管竖直漂浮在容器内的水面上，试管内水面与容器底部的距离为h，试管壁粗细均匀、厚度不计。现将一物块完全浸没在该试管内的水中，发现试管内水面与容器底部的距离恰好仍为h，如图乙所示，若试管横截面积与容器横截面积之比为1∶5，则下列说法正确的是( )
(a)(b)
图17-1
【思路点拨】容器中的液面高度变化是由于容器中物体排开液体的体积与液体体积之和发生变化引起的。根据，因容器内原来的水的体积不变，关键是比较两个体积，一个是冰熔化前，排开水的体积，一个是冰熔化成水后，水的体积。求出这两个体积，再进行比较，就可得出结论。
【解】(1)如图(a)所示，冰在水中，熔化前处于漂浮状态。
液面升降问题
考查要点
液面升降问题是中考压轴题的考查热点，近三年(2014-2016年)的中考压轴题都是考查这方面的问题，以液体的压强和浮力为载体，考查学生对液体压强、浮力知识的综合运用能力。解题思路
利用量筒的原理
1.基本思路：
【例1】如图17-1所示，容器内分别装有水和盐水，在液面上浮着一块冰，问：(1)冰在水中熔化后，水面如何变化?(2)冰在盐水中熔化后，液面如何变化?
图17-5
A.当A的密度小于水的密度时，容器中水面上升
B.当A的密度大于水的密度时，容器中水面下降
C.当A的密度等于水的密度时，容器中水面下降
D.当A的密度大于水的密度时，将A拿下后悬挂在木块下面，如图17-5(b)所示，容器中水面不变
【思路点拨】
解法一：A在木块上面，A和木块漂浮，则
＝＋
所以，冰在盐水中熔化后液面上升了。
【答案】(1)冰在水中熔化后液面不变。(2)冰在盐水中熔化后液面上升。
【变式练习】冰放在密度小于冰的液体中，静止后处于什么状态，熔化后，液面又如何变化?
【例2】如图17-2所示，底面积为的圆柱形容器内盛有适量的水，另一底面积为的圆柱体A有部分体积浸在水中，当圆柱体A相对于容器下降高度为h时(水没有溢出，圆柱体A也未全部没入水中)，求：容器中液体高度的变化量？
甲乙
图17-8
A.放入的物块密度为
F＝＋＋
物体A从木块上拿下放入水中后
A选项：若＜，则A和木块均漂浮在水面
水受到容器底的支持力
＝＋＋
因为=F，水对容器底的压力不变，容器底受到水的压强ｐ不变，深度ｈ不变，即容器中水面高度不变。
B选项：若＞，A放入水中后，A沉底，物体A受到容器底的支持力，木块仍漂浮
水受到容器底的支持力
＝＋＋
因为<F，水对容器底的压力变小，容器底受到水的压强ｐ变小，深度ｈ变小，即容器中水面降低。
＝＝①
A选项：A从木块上拿下后，若＜，则A和木块均漂浮在水面，A和木块共同排开水的体积为
＋＝＋＝②
比较②和①，＝
所以A选项中，容器中水面不变。
C选项：当＝时，将A从木块上拿下放入水中，A悬浮在水中，容器中水面也不变
B选项：当＞时，A放入水中，A沉底，木块和A共同排开水的体积为：
＋＝＋＝＋③
比较③和①，
则在冰没有熔化时，=
在冰熔化一半时，
===+
在冰完全熔化后，
==
=Sh=-
=Sh′=-
所以Sh=2Sh′，h′=h。
2.如图17-7所示，水平桌面上放有一圆柱形容器，容器内有一个装有铝块的平底塑料盒漂浮在水面上，塑料盒底始终与容器底平行，且塑料盒的底面积等于圆柱形容器底面积的一半，将铝块取出后，塑料盒盒底距离容器底的高度变化量为Δh，容器中水面高度变化量为Δh′，推导Δh与Δh′之间的数量关系。
图17-2
【思路点拨】解法一：画出情境图，如图17-3所示，找出体积之间的关系
图17-3
即：①
Δh②
②-①可得
Δh
因为
所以Δh
h
Δh=。
解法二：如图17-4，圆柱体下降h后，体积为的水被挤走，
图17-4
水被挤到原水面上圆柱体周围的区域，体积为Δh
所以h
解得Δh=。
【答案】
【例3】如图17-5(a)所示，在一个较大的容器中盛有水，水中放有一个木块，木块上面放有物体A，此时来自百度文库块漂浮；如果将A从木块上拿下，并放入水中，当木块和A都静止时(水未溢出)，下面说法正确的是( )
【答案】BD
2.解题方法
(1)画出情境图，找出体积之间的关系。
(2)作出受力分析图，列出力的平衡式。
(3)结合已知条件利用公式列出方程或方程组，求解。
专题巩固
1.在柱状容器里注入适量的浓盐水，在盐水中放入一块冰，冰与盐水的质量相等，并始终漂浮在盐水面上。当一半冰熔化之后，发现容器里的水面上升的高度为h，当剩余的冰全部熔化之后，水面将又会上升( )
因为＞，
所以
水面下降。
D选项中：A放在木块上和悬挂在木块下面，两次比较，A和木块均漂浮，＝＋不变，不变，前后两次水面无变化。
解法二：分析容器底受到的压力的变化，就是分析容器上方物体所受支持力的变化。把物体A、木块和水看成“整体”，作出受力分析图，列出力的平衡式。
物体A放在木块上，漂浮在水面上时，水受到容器底的支持力
图17-6
A.hB.hC.hD.h
【答案】C
【解析】漂浮的物体质量是m，烧杯里的液体的质量是M，烧杯底面积为S，液体的密度是，则可以得出，图中液面下烧杯内的体积V=Sh=
推导过程如下：由ρ=得，烧杯内液体的体积=
由阿基米德原理，＝G，G=mg得
==
=+=。
设浓盐水的体积为，冰未熔化时排开盐水的体积与盐水的体积之和为，冰块全部熔化成水后的体积为，冰块和盐水的质量均为M
＝
＝
＝①
冰熔化成水后，质量不变：＝
求得：＝＝②
比较①和②，＝
也就是冰熔化后体积变小了，恰好占据了原来冰熔化前在水中的体积。
所以，冰在水中熔化后液面不变
(2)冰在盐水中：冰熔化前处于漂浮，如图(b)，则
＝
＝
＝③
冰熔化成水后，质量不变，推导与问题(1)相同。
＝④
比较③和④，因为＜
所以＞
也就是冰熔化后占据的体积要大于原来冰熔化前在盐水中的体积。
C选项：若，A放入水中后，A悬浮，木块仍漂浮
水受到容器底的支持力
＝＋＋
因为=F，水对容器底的压力不变，容器底受到水的压强ｐ不变，深度h不变，即容器中水面高度不变。
D选项：A放在木块上和悬挂在木块下面，两次比较，A和木块均漂浮
水受到容器底的支持力
＝＋＋
因为=F，水对容器底的压力不变，容器底受到水的压强ｐ不变，深度h不变，即容器中水面高度不变。
图17-7
【答案】Δh=Δh′
3.如图17-8甲所示，装有部分水的试管竖直漂浮在容器内的水面上，试管内水面与容器底部的距离为h，试管壁粗细均匀、厚度不计。现将一物块完全浸没在该试管内的水中，发现试管内水面与容器底部的距离恰好仍为h，如图乙所示，若试管横截面积与容器横截面积之比为1∶5，则下列说法正确的是( )
(a)(b)
图17-1
【思路点拨】容器中的液面高度变化是由于容器中物体排开液体的体积与液体体积之和发生变化引起的。根据，因容器内原来的水的体积不变，关键是比较两个体积，一个是冰熔化前，排开水的体积，一个是冰熔化成水后，水的体积。求出这两个体积，再进行比较，就可得出结论。
【解】(1)如图(a)所示，冰在水中，熔化前处于漂浮状态。
液面升降问题
考查要点
液面升降问题是中考压轴题的考查热点，近三年(2014-2016年)的中考压轴题都是考查这方面的问题，以液体的压强和浮力为载体，考查学生对液体压强、浮力知识的综合运用能力。解题思路
利用量筒的原理
1.基本思路：
【例1】如图17-1所示，容器内分别装有水和盐水，在液面上浮着一块冰，问：(1)冰在水中熔化后，水面如何变化?(2)冰在盐水中熔化后，液面如何变化?