研究生组合数学复习要点..
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7
2、n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有
多少种不同的方案.若围成一圆桌坐下，又有多少种 不同的方案？
解 （1）男士有n ! 种排法, 女士也有n ! 种排 法, 男女相间又分男在前或女在前两种,所以共有 2 ( n !) 种.
2
(2) 先安排男士，有( n 1)! 种, 然后在这n位 男士所形成的n个间隔中安排n位女士,有n ! 种, 所 以共有( n 1)!( n !)种.
10
若题目改成：用m( m 2)种颜色去涂1 n( n 2) 棋盘, 每个方格涂一种颜色，使得相邻方格颜色 相异，首末两格也异色的涂色方案有多少 ?
解 用 hn 表示所求方法数.易知 h2 m(m 1). 用m种颜色去涂 1 n (n m ) 棋盘,每格涂一种颜色, 使得相邻格子异色的涂色方法数有 m(m 1)n1 种, 其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn1 种, 所以
hn m(m 1)n1 hn1 (n 2)
从而
11
hn m ( m 1)n 1 hn 1 m ( m 1)n 1 m ( m 1)n 2 ( 1)2 hn 2
m( m 1)n1 m( m 1)n 2
m(m 1)n1 m(m 1)n2
2
三、递推关系
1. 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2. 用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的
特解(前两种类型)
3.列递推关系解应用题
4. 一般递推关系的线性化
5. Fibonacci数列及其模型 6. 第二类Stirling数的组合意义 7. Catalan数列及其解法
3
四、容斥原理
解 (1) 先任意选定一个女人入座，有 种方法； (2) 再安排其他女人入座，使得任何两个女人 之间至少有k个空座位：
n m
用a1 , a2 , ai与ai 1 ( i 1, 2,
, an 表示n个女人的一种坐法，并设 , n 1)之间有xi 个空座位，an与a1
13
之间有xn 个空座位，则
3.Burnside引理计数公式
4. Pó lya定理计数公式
5.Pó lya定理的应用
6
练习题
1、一位学者要在一周内安排50个小时的工作时
间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排
方案？
解 问题相当于不定方程 x1 x2 x7 50 xi 5, i 1, 2, , 7 x1 x2 x7 15 即 xi 0, i 1, 2, , 7 解得 C (7 15 1,15) C (21, 6)
( 1)n 3 m( m 1)2 ( 1)n 2 h2
(1)n3 (m 1) (1)n2 ]
(1)n3 m(m 1)2 (1)n2 m(m 1)
m(m 1)[(m 1)n2 (m 1)n3
(m 1)n1 (1)n 2 m(m 1) (m 1) 1
组合数学复习要点
一、排列组合
1. 排列和组合的基本性质
2. 排列组合的计数公式，多重集的排列数和组合
数的求法 3. 应用
1
二、母函数
1. 母函数与数列的关系 2. 母函数与排列数、组合数的关系
3. 用普通型母函数解决多重集的组合问题
4. 用指数型母函数解决多重集的排列问题 5. 用母函数解递推关系式 6. 不定方程的整数解的个数与多重集的组合数之 关系
9
4、 用m( m 2)种颜色去涂1 n( n 2)棋盘, 每 个方格涂一种颜色, 使得相邻方格颜色相异的涂 色方案有多少 ?
解 第一个方格可涂m种颜色之一，有m种 涂色方法；为使相邻方格颜色相异，只须使其 余n 1个方格的颜色异于它左边相邻的那个方 格的颜色, 于是其余的每个方格都有m 1种涂 法.故所求的涂色方案有m( m 1) n1 种.
(m 1)[(m 1)n1 (1)n2 ] (m 1)n (1)n (m 1)
另一解法参见教材P87例3.5.7
12
5、安排n( n 2)女人和m个男人围圆桌而坐 ( n m个座位已编号), 使得任何两个女人之间至少 有k ( m nk )个男人，求不同的安排座位方法数.
种.
14
(3) 最后安排m个男人入座，有m!种方法.
由乘法原理，所求的安排座位方法数为
n m nk 1 ( n m) m !( n 1)! n1
15
6、某学者每周工作6天,共42小时,每天工作 的小时数是整数,且每天工作时间不少于6小时也 不多于8小时,如果编排一周的工作时间表,问有多 少种不同的方案？
x1 x2 xn m xi k ( i 1, 2, , n)
此不定方程的解的个数为
n ( m nk ) 1 n m nk 1 m nk n1
于是完成此步骤的方法有
n m nk 1 ( n 1)! n1
8
Βιβλιοθήκη Baidu
3、n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子， n - 1 n r，要求无一空盒，试证其方案数为 . r - 1
证 先将每个盒子放一个球，问题变为将剩余 的n r个相同的球放到r个不同的盒子里，其放球 方案数为 (n r) + r -1 n 1 n 1 . nr n r r 1
1. 容斥原理的基本形式(容斥原理、逐步淘汰原理)
2. 容斥原理的应用(比如解决多重集排列组合问题) 3. 有限制条件的排列(比如错排问题、相邻禁位排 列问题、保位问题)
4
五、抽屉原理
1. 抽屉原理的几种基本形式 2. 抽屉原理的简单应用
5
六、波利亚(Pó lya)定理
1.置换在研究等价类计数中的作用 2.将置换表为轮换之积
2、n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有
多少种不同的方案.若围成一圆桌坐下，又有多少种 不同的方案？
解 （1）男士有n ! 种排法, 女士也有n ! 种排 法, 男女相间又分男在前或女在前两种,所以共有 2 ( n !) 种.
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(2) 先安排男士，有( n 1)! 种, 然后在这n位 男士所形成的n个间隔中安排n位女士,有n ! 种, 所 以共有( n 1)!( n !)种.
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若题目改成：用m( m 2)种颜色去涂1 n( n 2) 棋盘, 每个方格涂一种颜色，使得相邻方格颜色 相异，首末两格也异色的涂色方案有多少 ?
解 用 hn 表示所求方法数.易知 h2 m(m 1). 用m种颜色去涂 1 n (n m ) 棋盘,每格涂一种颜色, 使得相邻格子异色的涂色方法数有 m(m 1)n1 种, 其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn1 种, 所以
hn m(m 1)n1 hn1 (n 2)
从而
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hn m ( m 1)n 1 hn 1 m ( m 1)n 1 m ( m 1)n 2 ( 1)2 hn 2
m( m 1)n1 m( m 1)n 2
m(m 1)n1 m(m 1)n2
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三、递推关系
1. 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2. 用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的
特解(前两种类型)
3.列递推关系解应用题
4. 一般递推关系的线性化
5. Fibonacci数列及其模型 6. 第二类Stirling数的组合意义 7. Catalan数列及其解法
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四、容斥原理
解 (1) 先任意选定一个女人入座，有 种方法； (2) 再安排其他女人入座，使得任何两个女人 之间至少有k个空座位：
n m
用a1 , a2 , ai与ai 1 ( i 1, 2,
, an 表示n个女人的一种坐法，并设 , n 1)之间有xi 个空座位，an与a1
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之间有xn 个空座位，则
3.Burnside引理计数公式
4. Pó lya定理计数公式
5.Pó lya定理的应用
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练习题
1、一位学者要在一周内安排50个小时的工作时
间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排
方案？
解 问题相当于不定方程 x1 x2 x7 50 xi 5, i 1, 2, , 7 x1 x2 x7 15 即 xi 0, i 1, 2, , 7 解得 C (7 15 1,15) C (21, 6)
( 1)n 3 m( m 1)2 ( 1)n 2 h2
(1)n3 (m 1) (1)n2 ]
(1)n3 m(m 1)2 (1)n2 m(m 1)
m(m 1)[(m 1)n2 (m 1)n3
(m 1)n1 (1)n 2 m(m 1) (m 1) 1
组合数学复习要点
一、排列组合
1. 排列和组合的基本性质
2. 排列组合的计数公式，多重集的排列数和组合
数的求法 3. 应用
1
二、母函数
1. 母函数与数列的关系 2. 母函数与排列数、组合数的关系
3. 用普通型母函数解决多重集的组合问题
4. 用指数型母函数解决多重集的排列问题 5. 用母函数解递推关系式 6. 不定方程的整数解的个数与多重集的组合数之 关系
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4、 用m( m 2)种颜色去涂1 n( n 2)棋盘, 每 个方格涂一种颜色, 使得相邻方格颜色相异的涂 色方案有多少 ?
解 第一个方格可涂m种颜色之一，有m种 涂色方法；为使相邻方格颜色相异，只须使其 余n 1个方格的颜色异于它左边相邻的那个方 格的颜色, 于是其余的每个方格都有m 1种涂 法.故所求的涂色方案有m( m 1) n1 种.
(m 1)[(m 1)n1 (1)n2 ] (m 1)n (1)n (m 1)
另一解法参见教材P87例3.5.7
12
5、安排n( n 2)女人和m个男人围圆桌而坐 ( n m个座位已编号), 使得任何两个女人之间至少 有k ( m nk )个男人，求不同的安排座位方法数.
种.
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(3) 最后安排m个男人入座，有m!种方法.
由乘法原理，所求的安排座位方法数为
n m nk 1 ( n m) m !( n 1)! n1
15
6、某学者每周工作6天,共42小时,每天工作 的小时数是整数,且每天工作时间不少于6小时也 不多于8小时,如果编排一周的工作时间表,问有多 少种不同的方案？
x1 x2 xn m xi k ( i 1, 2, , n)
此不定方程的解的个数为
n ( m nk ) 1 n m nk 1 m nk n1
于是完成此步骤的方法有
n m nk 1 ( n 1)! n1
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3、n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子， n - 1 n r，要求无一空盒，试证其方案数为 . r - 1
证 先将每个盒子放一个球，问题变为将剩余 的n r个相同的球放到r个不同的盒子里，其放球 方案数为 (n r) + r -1 n 1 n 1 . nr n r r 1
1. 容斥原理的基本形式(容斥原理、逐步淘汰原理)
2. 容斥原理的应用(比如解决多重集排列组合问题) 3. 有限制条件的排列(比如错排问题、相邻禁位排 列问题、保位问题)
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五、抽屉原理
1. 抽屉原理的几种基本形式 2. 抽屉原理的简单应用
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六、波利亚(Pó lya)定理
1.置换在研究等价类计数中的作用 2.将置换表为轮换之积