第二章2[1].2.2 线性规划问题解的基本理论
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第二章 线性规划基本内容
x1 0, x2 0, x3符号无限制
，x3 x4 x5 ， 解： 令 z z ，x1 x1 其中 x4 , x5 0 ，
则标准化后有
2 x2 3 x4 3 x5 max z x1 x2 s.t. x1 x4 x5 2 x2 x1 x4 x5 x2 3 x4 3 x5 3 x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0 x1
40 3x1 10x 2 300 (0,30) A x1 , x 2 0 4 x1 5 x 2 200
B(20,24)
3 x1 10 x 2 300
C(1000/29,360/29) 0 D E (40,0) (50,0) 100 x1
在 B 点获得最大值，z=4280
x2
凸集
定义 2.2.1： 设 S R n 是 n 维欧氏空间的点集， 若对任意 x S , y S 的 和 任 意 [0,1] 都 有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定义 2.2.2：设 S 为凸集 x S ，如果对任意 y, z S 和 0 1 ，都 有 x y (1 ) z ,则称 x 为 S 的顶点。 定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集的交还是凸集
（1）若 x k 0 ，令 x k x k
（2）若 中
xk
为符号无限制变量，则 。
xk xk xk
，其
, xk 0 xk
例1
max z 70x1 120x 2 s.t. 9 x1 4 x 2 360 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
第2章 线性规划图解法
-8
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
线性规划原理与解法
c1 b1 a1,m 1 xm 1 a1,m 2 xm 2 ... a1n xn
z c1b1 c2b ... cmbm
cm1 ci ai,m1
i 1
m
cm 1 c1a1, m 1 c2 a2, m 1 ... cm am , m 1 xm 1 c c a i i ,m 2 m 2
i 1
对增广矩阵 作初等行变换 将基变为单位阵
1 0 0
x2 0 ... 0 a1, m 1 ... a1n b : 1 1 ... 0 a2, m 1 ... a2 n b xm 2 ...... x : m 1 bm 0 ... 1 am, m 1 ... amn : x n
第一节 线性规划求解原理
5）若约束条件为“≥”，“≤”和“=”的混合性， 则综合应用以上方法，确定初始基。
max z 3 x1 4 x2 例： x1 2 x2 ≤8 4 x ≤16 1 s.t. 4 x2 ≤12 x1 , x2≥0 max z 3x1 4 x2 0 x3 0 x4 0 x5 =8 x1 2 x2 x3 4 x x4 =16 1 s.t. x5 12 4 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥0
xi bi
j m 1
a x (i 1, 2,..., m)
ij j
n
x1 b1 a1,m1 xm1 a1,m2 xm2 ... a1n xn x2 b2 a2,m1 xm1 a2,m2 xm2 ... a2 n xn ...... xm bm am,m1 xm1 am,m 2 xm 2 ... amn xn
第二章 线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义
第二章 线性规划教学重点：线性规划可行区域的几何结构，基本可行解及可行区域的基本定理，单纯形方法，两阶段法，对偶和对偶理论，灵敏度分析。
教学难点：线性规划可行区域的几何结构，基本可行解及可行区域的基本定理，单纯形方法，两阶段法，对偶性，灵敏度分析。
教学课时：24学时主要教学环节的组织：首先通过各种形式的例子归纳出线性数学规划的一般形式，然后在详细讲解主要内容的基础上，尽可能以图形和例题的形式给以形象的说明，使学生对知识点有更直观、具体的认识。
再通过大量习题巩固知识，也可以应用软件包解决一些实际问题。
第一节 线性规划问题教学重点：线性规划问题的实例，线性规划的一般形式、规范形式和标准形式教学难点：线性规划一般形式转换成标准形式。
教学课时：2学时主要教学环节的组织：首先通过几个实例总结出线性规划问题的一般形式，再介绍如何将一般形式转换成标准形式。
1、线性规划问题举例 生产计划问题某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如下表所示，试制订总利润最大的生产计划可控因素(所求变量)：设每天生产3种产品的数量分别为321,,x x x . 目标：使得每天的生产利润最大，就是使得利润函数：321453x x x ++ 达到最大. 受制条件：每天原料的需求量不超过可用量：原料1P ：15003221≤+x x原料2P ：8004232≤+x x原料3P ：2000523321≤++x x x蕴含约束：产量为非负数0,,321≥x x x模型321453max x x x ++15003221≤+x xs.t. 8004232≤+x x2000523321≤++x x x0,,321≥x x x运输问题一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库2,1;=i A i 发送到零售点4,3,2,1;=j B j ，仓库 i A 能供应的产品数量为2,1;=i a i ，零售点 j B 所需的产品的数量为4,3,2,1;=j b j 。
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第2章 线性规划
第二章线性规划教学目的：了解线性规划的基本概念，理解线性规划最优化原理、单纯形法原理，掌握单纯形法及其矩阵描述、人工变量法、，能够对简单的问题建模。
教学重点：线性规划的含义、性质；线性规划问题的求解方法——图解法、单纯形法。
线性规划模型的建立非标准型线性规划问题转化为标准线性规划问题；线性规划问题的图解法；解的存在情况判断；大M法；两阶段法；单纯形法的矩阵表示；教学难点：单纯形法的求解思想、矩阵表示、对偶理论、对偶单纯形法以及灵敏度分析。
学时： 8学时2.1 线性规划(Linear Programming,LP)问题及其数学模型（1学时）我们应用数学规划模型求解实际问题中，将实际问题抽象成数学模型，然后再对其求解。
2.1.1线性规划问题提出我们用一个简单例子来说明如何建立数学规划问题的数学模型。
例2.1 某家具厂生产桌子和椅子两种家具，有关资料见表2－1。
解：用数学语言来描述生产计划安排问题，这个过程称为建立其数学模型，简称建模。
设：①桌子、椅子生产的数量分别为x1，x2，称为决策变量。
因为产量一般是一个非负数，所以有x1，x2≥0，称非负约束。
②限制条件为木工和油漆工的加工时间约束了产品的生产量x1，x2。
约束如下：4x1＋3x2≤1202x1＋x2≤50③生产桌子、椅子x 1，x 2所得总收入为Z ，显然Z ＝50x 1＋30x 2。
我们希望总收入值能达到最大，这个关系用公式表达为max Z ＝50x 1＋30x 2 把上述所有数学公式归纳如下12121212max .0z 50x 30x 4x 3x 120s t 2x x 50x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，这就是一个最大化的线性规划模型。
例 2.2（运输工具的配载问题）有一辆运输卡车，载重2.5t ，容积183m ，用来装载如下的两种货物：箱装件125kg/个、0.43m /个；包装件20kg/个、1.53m /个。
问：如何装配，卡车所装物件个数最多？解 根据题意，设箱装件1x 个，包装件2x 个，那么需要满足条件：体积约束 120.4 1.518x x +≤重量约束 12125202500x x +≤非负约束12,0x x ≥目标要求 max z=12x x +我们对上面的式子稍作整理，便得到下面的形式：max z=12x x +1212120.4 1.518125202500,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 上述两例中所提出的问题，最终都归结为在变量满足线性约束条件的前提下，求使线性目标函数最大或最小的问题，这种问题称为线性规划问题。
第2章—线性规划
§5 利用EXCEL求解线性规划模型（练习2）
数学模型
目标函数 ：
max z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 s.t. x1 + 2x2 + x4 + x6 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 + x6 + 3x7 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x8 ≥ 100 x1 x8 ≥ 0
资源 设
产 品 备
Ⅰ 1 4 0
Ⅱ 2 0 4
拥有量 8台时 16 kg 12 kg
原材料 A 原材料 B
§1 线性规划问题—例1
如何用数学关系式描述这问题，必须考虑： 设 x1 , x2 分别表示计划生产产品Ⅰ、Ⅱ的数量，称它为 分别表示计划生产产品Ⅰ 决策变量；(确定决策变量阶段) 决策变量；(确定决策变量阶段) 生产 x1 , x2 数量的多少受资源拥有量的限制，这是约 束条件 x1 + 2 x2 ≤ 8; 4 x1 ≤ 16; 4 x2 ≤ 12；x1 , x2 ≥ 0 ； (确定 约束条件阶段) 约束条件阶段) 如何安排生产，使利润最大，这是目标 。(确定目 标函数阶段) 标函数阶段)
工厂1 工厂1： 工厂2 工厂2： 工厂3 工厂3：
x1 ≤ 4; 2 x2 ≤ 12； 3 x1 + 2 x2 ≤ 18
§1 线性规划问题—例3
可得上述问题的数学模型为：
max z = 3 x1 + 5 x2 x1 ≤ 4; 2 x ≤ 12； 2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 18; x1 , x2 ≥ 0
第二章 线性规划的基本概念与基本定理
x1 x2 x3 5
例3.求x1----x5 满足
Байду номын сангаас
x1 x2 x4 2 6 x1 2 x2 x5 21 xi 0, i 1 ~ 5
使min f= 2 x1 x2
•解：A=
1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 6 2 0 0 1
x1 x2 1 x1 x2 1 x1 0, x2 0
x1 x2 1 x1 x2 l
0 解：问题的可行域是上图 x1 x2 l1 所示的 无界 凸多边形区 域，在此无界可行域上， 目标函数值无上界，所以这个线性规划问题有无界解。
x1
例2. max f= x1 x2 s.t
它有正分量个数等于m(m=2)的可行解:x1=3,x2=1,x3=0,x4=0 但它不是基本可行解。 证：（反证法）假设可行解x=(3,1,0,0)T是上面约束的基本 可行解。因为基本可行解中非基变量取0值，基变量取非 负值。 在这个可行解中x1,x2非零正值，因此x1,x2不可能是非基变 量，只能是基变量。 按定义，基变量对应的系数矩阵中的列向量p1,p2应构成一 个基矩阵B.但这里p1,p2 是线性相关的（p1=p2), 这与B是基 矩阵矛盾。故知x=(2,1,0,0)T不是基可行解。
是一组基。而
•
1 1 p1 1, p2 1 不在这个基中，所以x , x 为非基变量。 1 2 0 2
B •定义8 ：设Ax=b, x 0一个基 p j 1... p j m 量构成的m维列向量记为 B ( x j1 ... x jm )T x
注：定义９与定义１２的等价性可由定义７推出。
例3.求x1----x5 满足
Байду номын сангаас
x1 x2 x4 2 6 x1 2 x2 x5 21 xi 0, i 1 ~ 5
使min f= 2 x1 x2
•解：A=
1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 6 2 0 0 1
x1 x2 1 x1 x2 1 x1 0, x2 0
x1 x2 1 x1 x2 l
0 解：问题的可行域是上图 x1 x2 l1 所示的 无界 凸多边形区 域，在此无界可行域上， 目标函数值无上界，所以这个线性规划问题有无界解。
x1
例2. max f= x1 x2 s.t
它有正分量个数等于m(m=2)的可行解:x1=3,x2=1,x3=0,x4=0 但它不是基本可行解。 证：（反证法）假设可行解x=(3,1,0,0)T是上面约束的基本 可行解。因为基本可行解中非基变量取0值，基变量取非 负值。 在这个可行解中x1,x2非零正值，因此x1,x2不可能是非基变 量，只能是基变量。 按定义，基变量对应的系数矩阵中的列向量p1,p2应构成一 个基矩阵B.但这里p1,p2 是线性相关的（p1=p2), 这与B是基 矩阵矛盾。故知x=(2,1,0,0)T不是基可行解。
是一组基。而
•
1 1 p1 1, p2 1 不在这个基中，所以x , x 为非基变量。 1 2 0 2
B •定义8 ：设Ax=b, x 0一个基 p j 1... p j m 量构成的m维列向量记为 B ( x j1 ... x jm )T x
注：定义９与定义１２的等价性可由定义７推出。
第二章单纯形法
6 s.t.
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.
1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t
x
B
B
1 Nx
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2
x3 x4 x5
10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1
2, 1
x2
6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.
1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t
x
B
B
1 Nx
最优化理论和方法-第二章 线性规划基本理论和算法
其中 向量表示：
给定，变量是
定义标准形 有必要吗?
其中
给定，变量是
标准形的特征：极小化、等式约束、变量非负
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
例4. 化成标准形
等 价 于
最优化问题的等价表述指 两个问题的最优值相等、差一个常数、或者互为相反数， 由其中一个问题的最优解可以得到另一个的最优解。
cT
( x* )T
( 1, 1)
( 0, 0)
( 0, 1) (x1, 0), x1 ≥ 0 ( 1, 0) (0, x2), x2∈[0,1] (-1, -1) 没有 有限 解
解的几何特征
惟一的顶点 一条边 一条边 无(下)界
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
只要有 m 个单位列 e1 , e2 , … , em 即可，次序可以打乱！
◎ 规范形的系数的一种解释
yj B1aj aj y1ja1 y2 ja2 ymjam
规范形第 j 列的系数是用当前基表示 aj 时的系数！
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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线性规划问题解的几种情况
提示: 学习单纯形法之前,请务必学习并理解书上 p.19, 例2.2.1.
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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2.2 单纯形法
• 适用形式：标准形(基本可行解等价于极点) • 理论基础：线性规划的基本定理！ • 基本思想：从约束集的某个极点/BFS开始，依次
第二章线性规划的基本性质
(LP)
， c (c1 , c 2 , , c n ) T R n ，
x ( x1 , x 2 , , x n ) T R n 是(LP)的决策变量。在(LP)中，不妨设 A 的秩 r(A)=m，并且 A 不含零向量列。
并称为是 x j 所对应的系数列向量， 则 a j 0( j 1, , n) 。 记向量 a j ( j 1, , n) 是矩阵 A 的第 j 个列向量， 集合 S { x R | Ax b, x 0} 为(LP)的可行域，约束 Ax b 称为(LP)的主约束， x 0 是非负约束。
m
Ax b ，所得解就是关于 B 的基本解。若此解满足非负条件，那么就是基本可行解。 xN 0
4
定义 2.2.3 设(2.2.2)是 S 关于 B 的基本可行解。若 B 1 b 0 ，则称(2.2.2)是非退化的基本可行解，B 为非退化的可行基，否则称(2.2.2)为退化的基本可行解，B 为退化的可行基。若 S 的所有基本可行解都 是非退化的，则称(LP)是非退化的。 例 2.2.1 考虑例 1.2.1，即
（1.1.1）
2．画出目标函数梯度即方向 c= (c1 , c 2 ) T ，经过 S 中某点的目标函数等值线（与 c 垂直） 。 3．沿 c 的反方向移动目标函数等值线直到再移动则等值线与 S 不再相交为止，或得知可无限移动。 4．求得最优解或得知不存在最优解。 下面通过一个具体例子说明如何用图解法求解问题(1.1.1)。 例1.1.1 用图解法求解线性规划问题
1
l
T
j
（2）(LP)存在最优解时，最优解可在某个极点达到。 根据定理 2.1.1 知和注 1.2.1 得知如下结论。 推论 2.1.1 若某一线性规划问题的可行域非空有界，则该问题一定存在最优解；若某一线性规划问 题存在最优解，最优解一定可在某个极点达到。
第2章 线性规划
管 理 运 筹 学
24
§2.2
图 解 法
4.无界解 可行域无界，目标函数等值线平移的方 向恰恰为无界方向，此时，称此LP问题为无 界解。 举例：例5． 用图解法求解下列线性规划问题
Max z = x1 + x2
x1 - x2 ≤ 1 s.t. -3x1 + 2x2 ≤ 6 x 1 , x2 ≥ 0
根据提出问题定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组决策 变量的实际值就表示一个具体方案。 本例中，设工厂在计划期内应安排生产产品ⅠX1件, 产品ⅡX2件。
2.根据所提问题列出目标函数
本例中，目标函数为： Max z = 50 x1 + 100 x2
注：目标函数有两种基本形式：最大化目标或最小化目标。
图2-2
管
理
运
筹
学
21
§2.2
图 解 法
平移目标函数等值线，与约束直线x1 + x2 = 300重合，因此，可行域的BC边上所有的 点都是此LP的最优点。此时，称此LP问题有 无穷多最优解。
管
理
运
筹
学
22
§2.2
图 解 法
3.无可行解 LP问题的可行域不存在（可行域为Ф ）， 此时，称此LP问题无可行解。 举例：例4． 用图解法求解下列线性规划问题
管
理
运
筹
学
8
§2.1
线性规划数学模型的建立
2.特点 双线性： （1）目标函数是关于决策变量的线性函 数； （2）所有约束条件是关于决策变量的线 性函数或线性不等式。
管
理
运
筹
学
9
§2.2 图 解 法
对于只有两个决策变量的线性规划问题， 可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问 题的有关概念，并求解。
24
§2.2
图 解 法
4.无界解 可行域无界，目标函数等值线平移的方 向恰恰为无界方向，此时，称此LP问题为无 界解。 举例：例5． 用图解法求解下列线性规划问题
Max z = x1 + x2
x1 - x2 ≤ 1 s.t. -3x1 + 2x2 ≤ 6 x 1 , x2 ≥ 0
根据提出问题定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组决策 变量的实际值就表示一个具体方案。 本例中，设工厂在计划期内应安排生产产品ⅠX1件, 产品ⅡX2件。
2.根据所提问题列出目标函数
本例中，目标函数为： Max z = 50 x1 + 100 x2
注：目标函数有两种基本形式：最大化目标或最小化目标。
图2-2
管
理
运
筹
学
21
§2.2
图 解 法
平移目标函数等值线，与约束直线x1 + x2 = 300重合，因此，可行域的BC边上所有的 点都是此LP的最优点。此时，称此LP问题有 无穷多最优解。
管
理
运
筹
学
22
§2.2
图 解 法
3.无可行解 LP问题的可行域不存在（可行域为Ф ）， 此时，称此LP问题无可行解。 举例：例4． 用图解法求解下列线性规划问题
管
理
运
筹
学
8
§2.1
线性规划数学模型的建立
2.特点 双线性： （1）目标函数是关于决策变量的线性函 数； （2）所有约束条件是关于决策变量的线 性函数或线性不等式。
管
理
运
筹
学
9
§2.2 图 解 法
对于只有两个决策变量的线性规划问题， 可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问 题的有关概念，并求解。
线性规划问题解的基本理论PPT课件
可行解与基本解的区别？
第2页/共10页
基本解 设AX=b是含n个决策变量、
m个约束条件的LP的约束方程组，若B 是LP问题的一个基，若令不与B的列相 应的n-m个分量（非基变量）都等于零， 所得方程组的解X=[0,0, …,0,xn-m+1,xnm+2,…,xn]T称为方程组AX=b关于基B的 一个基本解，简称为LP的基本解。
第6页/共10页
定理3-3 若可行域非空有界，则线性规划问 题的目标函数一定可以在可行域的顶点上达 到最优值。
定理3-4 若目标函数在k个点处达到最优值 （k≥2）,则在这些顶点的凸组合上也达到 最优值。
第7页/共10页
上述4个定理的一些有意义的启示：
☺ LP的可行域一定是凸集，但是凸集不
一定成为LP的可行域，而非凸集一定 不会是LP的可行域。
☺线性规划的基本可行解和可行域的顶
点是一一对应的
第8页/共10页
☺ 在可行域中寻找LP的最优解可以转
化为只在可行域的顶点中找，从而把一 个无限的问题转化为一个有限的问题。
☺ 若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就
感谢您的观看！
第10页/共10页
最优解 基本最优解
第5页/共10页
2、线性规划问题解的性质定理：
定理3-1 线性规划问题的可行解集
（即可行域）
D
X
n j 1
Pj x j
b, x j
0
是凸集。
定理3-2 线性规划几何理论基本定理
若
D
X
n
Pj x j
j 1
b, x j
0，
则X是D的一个顶点的充分必要条件是X为线性
规 划的基本可行解。
第2页/共10页
基本解 设AX=b是含n个决策变量、
m个约束条件的LP的约束方程组，若B 是LP问题的一个基，若令不与B的列相 应的n-m个分量（非基变量）都等于零， 所得方程组的解X=[0,0, …,0,xn-m+1,xnm+2,…,xn]T称为方程组AX=b关于基B的 一个基本解，简称为LP的基本解。
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定理3-3 若可行域非空有界，则线性规划问 题的目标函数一定可以在可行域的顶点上达 到最优值。
定理3-4 若目标函数在k个点处达到最优值 （k≥2）,则在这些顶点的凸组合上也达到 最优值。
第7页/共10页
上述4个定理的一些有意义的启示：
☺ LP的可行域一定是凸集，但是凸集不
一定成为LP的可行域，而非凸集一定 不会是LP的可行域。
☺线性规划的基本可行解和可行域的顶
点是一一对应的
第8页/共10页
☺ 在可行域中寻找LP的最优解可以转
化为只在可行域的顶点中找，从而把一 个无限的问题转化为一个有限的问题。
☺ 若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就
感谢您的观看！
第10页/共10页
最优解 基本最优解
第5页/共10页
2、线性规划问题解的性质定理：
定理3-1 线性规划问题的可行解集
（即可行域）
D
X
n j 1
Pj x j
b, x j
0
是凸集。
定理3-2 线性规划几何理论基本定理
若
D
X
n
Pj x j
j 1
b, x j
0，
则X是D的一个顶点的充分必要条件是X为线性
规 划的基本可行解。
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二、 线性规划问题 解的概念和性质
一、LP问题的各种解
1. 可行解 ：满足约束条件和非负条 件的决策变量的一组取值。
2. 可行解集：所有可行解的集合。
3. 可行域：LP问题可行解集构成n维 空间的区域，可以表示为：
D { X | AX b, X 0}
4.最优解:使目标函数达到最优值的可行解。
5.最优值：最优解对应目标函数的取值。 6.求解LP问题:求出问题的最优解和最优值。 7.基本解:令非基变量等于0，从AX＝b中解出 的基变量所得的解称为LP关于基B的基本解。
可行解与基本解的区别？
基本解 设AX=b是含n个决策变量、m个
约束条件的LP的约束方程组，若B是LP问 题的一个基，若令不与B的列相应的n-m 个分量（非基变量）都等于零，所得方程 组的解X=[0,0, …,0,xn-m+1,xn-m+2,…,xn]T称为 方程组AX=b关于基B的一个基本解，简称 为LP的基本解。
一定成为LP的可行域，而非凸集一定 不会是LP的可行域。
线性规划的基本可行解和可行域的顶
点是一一对应的
在可行域中寻找LP的最优解可以转
化为只在可行域的顶点中找，从而把一
个无限的问题转化为一个有限的问题。
若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就一定有无穷多分必要条件是X为线 性规 划的基本可行解。
定理1-3 若可行域非空有界，则线性规划问 题的目标函数一定可以在可行域的顶点上 达到最优值。
定理1-4 若目标函数在k个点处达到最优值 （k≥2）,则在这些顶点的凸组合上也达到 最优值。
上述4个定理的一些有意义的启示：
LP的可行域一定是凸集，但是凸集不
最优解
基本最优解
2、线性规划问题解的性质定理：
定理1-1 线性规划问题的可行解集 n （即可行域） D X Pj x j b, x j 0 是凸集。
j 1
定理1-2 线性规划几何理论基本定理 若
D X 0 Pj x j b, x j ， j 1
8.基本可行解（对应的基为可行基）：满 足非负条件的基本解。
9.退化的基本可行解 非零分量个数小于m（至少有一个基变 量取值为0）。 10.最优基 该基对应的基本可行解为LP的最优解。
结论
m 基本解的个数≤Cn
基本可行解的非零分量均为正分量 个数不超过m
11.基本最优解（对应的基为最优基）： 使目标函数达到最优值的基本可行解。
一、LP问题的各种解
1. 可行解 ：满足约束条件和非负条 件的决策变量的一组取值。
2. 可行解集：所有可行解的集合。
3. 可行域：LP问题可行解集构成n维 空间的区域，可以表示为：
D { X | AX b, X 0}
4.最优解:使目标函数达到最优值的可行解。
5.最优值：最优解对应目标函数的取值。 6.求解LP问题:求出问题的最优解和最优值。 7.基本解:令非基变量等于0，从AX＝b中解出 的基变量所得的解称为LP关于基B的基本解。
可行解与基本解的区别？
基本解 设AX=b是含n个决策变量、m个
约束条件的LP的约束方程组，若B是LP问 题的一个基，若令不与B的列相应的n-m 个分量（非基变量）都等于零，所得方程 组的解X=[0,0, …,0,xn-m+1,xn-m+2,…,xn]T称为 方程组AX=b关于基B的一个基本解，简称 为LP的基本解。
一定成为LP的可行域，而非凸集一定 不会是LP的可行域。
线性规划的基本可行解和可行域的顶
点是一一对应的
在可行域中寻找LP的最优解可以转
化为只在可行域的顶点中找，从而把一
个无限的问题转化为一个有限的问题。
若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就一定有无穷多分必要条件是X为线 性规 划的基本可行解。
定理1-3 若可行域非空有界，则线性规划问 题的目标函数一定可以在可行域的顶点上 达到最优值。
定理1-4 若目标函数在k个点处达到最优值 （k≥2）,则在这些顶点的凸组合上也达到 最优值。
上述4个定理的一些有意义的启示：
LP的可行域一定是凸集，但是凸集不
最优解
基本最优解
2、线性规划问题解的性质定理：
定理1-1 线性规划问题的可行解集 n （即可行域） D X Pj x j b, x j 0 是凸集。
j 1
定理1-2 线性规划几何理论基本定理 若
D X 0 Pj x j b, x j ， j 1
8.基本可行解（对应的基为可行基）：满 足非负条件的基本解。
9.退化的基本可行解 非零分量个数小于m（至少有一个基变 量取值为0）。 10.最优基 该基对应的基本可行解为LP的最优解。
结论
m 基本解的个数≤Cn
基本可行解的非零分量均为正分量 个数不超过m
11.基本最优解（对应的基为最优基）： 使目标函数达到最优值的基本可行解。