立体几何及面积体积

1．直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧 面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展 开图是一些全等的等腰梯形． 2．斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并 与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积．
3．如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面 积是S直棱柱侧＝ch. 4．应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本 身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的 直角梯形等特征图形在公式推导中的作用．
注：表面积＝侧面积＋底面积．
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
r ' O’
l
2r '
2 r
r
O
圆台的侧面展开图是扇环
S ( r r r l rl )
2 '
'2
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？Leabharlann 扇环r1r2
l
S圆台侧 ＝S扇环＝（r1 r2 )l
S ( r r 2 r ' l rl )
'2
r' x r xl
r ' O’
l
x
2r '
2 r
rx r ' x r ' l
r
O
S侧 r(l x) r ' x (rl rx r ' x)
Ｖ锥体＝
推论：如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ， 那么它的体积是： 1 Ｖ圆锥＝ 3 πｒ２ｈ
h h
1 Ｓｈ 3
S
S
S
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/
s/ s
h
s
推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是 ｈ，那么它的体积是：
规律方法总结
5．如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面 积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相 加． 6．求球的体积和表面积的关键是求出球的半径．反 之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径 的大小． 7．计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些 基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题．
③圆台可以由直角梯形绕 直角腰 所在直线或等腰梯形绕上、下底中点
连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.
④球可以由半圆或圆绕 直径 所在直线旋转得到.
答案
知识拓展
(1)常见旋转体的三视图 ①球的三视图都是半径相等的圆. ②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. ③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. ④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.
V圆柱= r2h
问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积
3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积
（底面积S，高h）
V三棱锥 1 sh 3
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四 面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到 面的距离
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
A
B
A B
C
D
B
C C
D
分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.
矩 形
等腰三角形
等腰梯形
知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积
(1)柱体的侧面积
①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周 长为c，则
S直棱柱侧＝ ch .（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l， 那么 S圆柱侧＝ 2πrl.（类比矩形的面积）
8．计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找 出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋 转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．
探究提高 求锥体的体积，要选择适当的底面和 高，然后应用公式 V 1进行计算即可 .常用方 Sh 3 法：割补法和等积变换法.
（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几
棱柱、棱锥、棱台的侧面积
• 侧面积所指的对象分别如下： • 棱柱----直棱柱。 • 棱锥----正棱锥。 • 棱台----正棱台
斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高
A1 C1 B1
P
A1 A
C1 B1 D1 C O B D
C A
C
B O A D
B
2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴 A
知识点二．柱、锥、台、球的体积
(1)长方体的体积 V长方体＝abc＝ Sh . (其中a、b、c为长、宽、高，S为 底面积，h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体＝Sh. 其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底面半 径)．
1∕3πr2h
1∕3πh(r2＋rr′＋r′2)
4∕3πR3
规律方法总结
名称 几何体
表面积 S表面积＝S侧＋2S底 S表面积＝S侧＋S底 S表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝ 4πR2
体积 V＝ Sh
柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球
答案
表面积、全面积和侧面积
• 表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做 它的表面积。（每个面的面积相加 ）
• 全面积 全面积是立体几何里的概念，相对于 截面积（“截面积”即切面的面积）来说的，就 是表面积总和 • 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去 底面）
与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补
成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, 由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体 补成锥体研究体积. （3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算， 应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角 形、直角梯形求有关的几何元素.
(2)S＝S 侧＋S 底， S 侧＝3×2×2 2＝12 2， 1 S 底＝2× 3×2×2＝2 3， ∴S＝S 侧＋S 底＝12 2＋2 3.
【点评】 求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图 形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的 图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求．
1 Ｖ圆台＝ 3 πh
(r r 1r 2 r 2 )
2 1
2
五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
V Sh
S S
S 0 1 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3
S为底面面积，h 为柱体高
S为底面面积， S分别为上、下底面 面积，h 为台体高 h为锥体高
r O
l
O
圆柱的侧面展开图是矩形
2 r
S表面积 S侧 2S底
S 2 r 2 rl 2 r (r l )
2
(2)锥体的侧面积
①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c， 斜高为h′，则 S正棱锥侧＝
1∕2ch′
.（类比三角形的面积）
②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，
立体几何
1
知识梳理
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体
①棱柱的侧棱都 平行且相等，上、下底面是 全等 的多边形.
②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.
③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是 相似多边形.
答案
(2)旋转体 ①圆柱可以由 矩形 绕其一边所在直线旋转得到. ②圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 所在直线旋转得到.
例3：圆台的上、下底面半径分别为2 和4，高为 2 3 ，求其侧面展开图扇环 所对的圆心角 答：1800 分析：抓住相似三角形中的相似比是解 题的关键 小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好 相应的计算公式，注意逆向用公式；
2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆 锥中解决圆台问题，注意相似比.
例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的 正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 ______;
那么
S圆锥侧＝
πrl
.（类比三角形的面积）
2 r
l
r O
圆锥的侧面展开图是扇形
S r rl r (r l )
2
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面 周长分别为c′、c，斜高为h′，则正n棱台的侧
h′ 面积公式：S正棱台侧＝ 1∕2(c＋c′).
②圆台：如果圆台的上、下底面半径分 别为r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝ πl(r′＋r) ．
失误与防范
1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一
答：60 例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中 截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台， 求棱台的侧面积
答： 9 7
例3 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ． 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成． S 解：先求 ABC的面积，过点S作 SD BC，
(r ' l rl )
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
l
r
O
r ' O’
l
l
r
O
r
'2
O
O
S r 2 rl r (r l )
S ( r r 2 r ' l rl )
S 2 r 2 2 rl 2 r (r l )
A B D C
3 a 因为BC=a，SD SB sin 60 2