考点17 正弦定理和余弦定理【2019年高考数学真题分类】
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题17正弦定理和余弦定理及解三角形(教学案)含解析
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合热点题型一 应用正弦、余弦定理解三角形例1、（2018年浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】 (1).(2). 3【变式探究】【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A 【解析】 所以，选A.【变式探究】 (1)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。
若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。
若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝________。
【答案】 （1）A （2）45【提分秘籍】解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
【举一反三】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】A【解析】∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理， 得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°。
高考数学 考点17 正弦定理和余弦定理
考点17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2012·湖南高考理科·Ｔ7）在△ABC 中，AB=2 AC=3 AB ·BC =1，则BC=（ ）【解题指南】利用向量的数量积计算公式，和余弦定理组成方程组解出BC 的值。
【解析】选A.由1?u u u r u u u r,AB BC()1212p -==-uuu ruuu r cos ,cos .BC B B BC由余弦定理即2222=+-?cos .AC AB BC AB BC B 2944=+-cos BC BC B 21542=+?uuu r ,BC BCBC 故选A.23=\=,BC BC2.（2012·湖南高考文科·Ｔ8）在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于（ ）A．B.C.D.【解题指南】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.根据余弦定理和直角三角形中的三角函数定义，列出方程组，解出答案。
【解析】选B.设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯，2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABCSAB BC B BC h ==，知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =.故选B. 3.（2012·广东高考文科·Ｔ6）在ABC 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，AC=（ ）A ．【解题指南】已知两角一边解三角形，显然适合采用正弦定理，但在由正弦值求角时，要注意解的个数的判断。
【解析】选B.在ABC 中,由正弦定理知sin ,sin sin sin AC BC BC BAC B A A=∴===4.（2012·湖北高考文科·Ｔ8）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为（ ） A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4【解题指南】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,解答本题的关键是把边a,c 均用b 表示出来,再利用余弦定理把已知化简求值.【解析】选 D.由题意知： a=b+1,c=b-1, ∴3b=20a cos A =20(b+1)2222b c a bc +-= 20(b+1)222(1)(1)2(1)b b b b b +----,整理得：2727400b b --=，解之得：b=5,可知：a=6,c=4.结合正弦定理可知答案.二、填空题5.（2012·湖北高考理科·Ｔ11）设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c.若（a+b-c ）（a+b+c ）=ab ，则角C=______________.【解题指南】本题考查余弦定理,把已知条件展开整理可得结果.【解析】 由（a+b-c ）（a+b+c ）=ab,可知222a b c ab +-=-.又2221cos 22a b c C ab +-==-,所以0120C =. 【答案】 0120.6.（2012·福建高考文科·Ｔ13）在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，AC=_______ 【解题指南】本题知两角一对边，选用正弦定理求另一对边．【解析】选由正弦定理，sin sin AC BC B A =，即sin 2sin 2BC AC B A =⨯=⨯=7.（2012·安徽高考理科·Ｔ15）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ；则下列命题正确的是_____（写出所有正确命题的编号）①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>【解题指南】对于①②用余弦定理判断； ③用反证法； ④⑤举反例.【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒<②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒<③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<.【答案】①②③8.（2012·陕西高考文科·Ｔ13）在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若2a =，B=6π，b=【解题指南】已知两边及其夹角，用余弦定理可求第三边. 【解析】由余弦定理得：2222cos 412226b a c ac B π=+-=+-⨯⨯16124=-=，∴2b =.【答案】2.9.（2012·北京高考理科·Ｔ11）在△ABC 中，若a=2，b+c=7,1cos 4B =-，则b=【解题指南】对角B 利用余弦定理列式求解. 【解析】7,7b c c b +=∴=-由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得4b =.【答案】4.10.（2012·北京高考文科·Ｔ11）在△ABC 中，若a=3，3A π∠=，则C ∠的大小为_________.【解题指南】利用正弦定理求出B ，再利用内角和定理求C.【解析】在ABC ∆中，由正弦定理得3sin3π=，1sin 2B =，,,6a b A B B π>∴>∴=，362C ππππ∴=--=.【答案】2π.三、解答题11.（2012·江苏高考·Ｔ15）（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．【解题指南】（1）注意向量积公式的应用，和正弦定理的利用（边角转化）（2）先利用cos C =求出tan 2C =再利用两角和的正切公式构造与tan A 有关的方程.【解析】（1）由3AB AC BA BC =得||||cos 3||||cos AB AC A BA BC B = 即为cos 3cos cb A ca B =cos 3cos b A a B =由正弦定理得sin cos 3sin cos B A A B =两边同除cos cos A B 得tan 3tan B A = 即tan 3tan B A =成立.（2）因cos C =所以C 为锐角，所以tan 2C =由（1）tan 3tan B A =，且A B C π++= 得tan[()]3tan A C A π-+=即tan tan tan()3tan 3tan 1tan tan A CA C A AA C +-+=⇒-=-即tan 23tan 2tan 1A AA +=-所以tan 1A =或1tan 3A =-。
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题17正弦定理和余弦定理及解三角形(题型专练)含解析
1.在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在△ABC中，若A=，B=，BC=3，则AC=()A. B. C.2 D.4【解析】选C.由正弦定理可得:=，即有AC===2.3.在△ABC中，若a2+b2<c2，则△A BC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解析】选C.由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2，因为a2+b2<c2，所以2abcosC<0，所以C为钝角，△ABC是钝角三角形.4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=()A. B. C. D.【解析】选C.将已知等式利用正弦定理化简得:=，即c2-b2=ac-a2，所以a2+c2-b2=ac，所以cosB==.因为B为三角形的内角，所以B=.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C=120°，c=a，则()A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定【解析】选A.由余弦定理得2a 2=a 2+b 2-2abcos120°，b 2+ab-a 2=0，即+-1=0，=<1，故b<a.6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC= ( ) A.B.-C.±D.【解析】选A.由C=2B 得sinC=sin2B=2sinBcosB ，由正弦定理及8b=5c 得cosB===，所以cosC=cos2B=2cos 2B-1=2×-1=.7.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B=A+，b=2a ，则角B= ( ) A.B.C.D.8.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3C.2 3D.2 【解析】因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，BC ＝ 3.【答案】B9.在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】因为cos 2B 2＝a ＋c2c，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝ac ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，所以c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形. 【答案】B10.设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( )A.2512πB.2524πC.3＋32πD.3＋34π【答案】D11.在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A.6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3B.6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3C.23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3D.23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3【解析】设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－A .于是△ABC 的周长为23⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3.【答案】C12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【答案】3 413.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BA C=，AB=3，AD=3，则BD的长为.【解析】因为sin∠BAC=，且AD⊥AC，所以sin=，所以cos∠BAD=，在△BAD中，由余弦定理得，BD===.【答案】[14.在△ABC中，C=90°，M是BC的中点.若sin∠BAM=，则sin∠BAC=.【解析】设AC=b，AB=c，BC=a，【答案】15.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=.【解析】由正弦定理可得=，所以sinB=，再由b<a，可得B为锐角，所以cosB==.【答案】16.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC，则B=.【解析】在△ABC中，因为sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC，所以利用正弦定理得:a2+c2-b2=ac，所以cosB==，所以B=.【答案】17.如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为.【答案】18.△ABC中，点D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.(1)求.(2)若∠BAC=60°，求B.【解析】(1)如图，由正弦定理得:==，因为AD平分∠BAC，BD=2DC，所以==.(2)因为C=180°-(∠BAC+B)，∠BAC=60°，所以sinC=sin(∠BAC+B)=cosB+sinB，由(1)知2sinB=sinC，所以tanB=，即B=30°.19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若·=2，且b=2，求a和c的值.20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sinA-sinB)+ysi nB=csinC 上.(1)求角C的值.(2)若2cos2-2sin2=，且A<B，求.【解析】(1)将(a，b)代入直线解析式得:a(sinA-sinB)+bsinB=csinC，由正弦定理==得:a(a-b)+b2=c2，即a2+b2-c2=ab，由余弦定理得cosC==，因为0<C<π，所以C=.(2)因为2cos2-2sin2=1+cosA-1+cosB=cosA+cos=cosA+sinA=sin=，因为A+B=，且A<B，所以0<A<，所以<A+<，即A+=，所以A=，B=，C=，则===.21.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.(1)求cos∠CAD的值.(2)若cos∠BAD=-，sin∠CBA=，求BC的长.sin∠BAD===.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×-×=.在△ABC中，由正弦定理得，=.故BC===3.22.在△ABC 中，a=3，b=2，B=2A.(1)求cosA 的值. (2)求c 的值.23.已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，函数f (x )＝3＋23sin x cos x ＋2cos 2x ，且f (A )＝5.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可得：f (A )＝3＋23sin A cos A ＋2cos 2A ＝5， ∴23sin A cos A ＝2(1－cos 2A )， ∴sin A (3cos A －sin A )＝0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，A ＝π3.(2)由余弦定理可得：4＝b 2＋c 2－2bc cos π3，4＝b 2＋c 2－bc ≥bc (当且仅当b ＝c ＝2时“＝”成立)， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，故△ABC 面积的最大值是 3.24.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.25.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .(1)证明 由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ， 则a c os C ＋c cos A ＝b . ∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)解 ∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝⎛⎭⎫1＋14，∴b ＝4. 26.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m(取3＝1.732).【答案】6 34027.如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449).解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里).在△ABC 中，∵AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得。
考点17 正弦定理和余弦定理 【2019年高考数学真题分类】
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考点17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则b c=( )A.6B.5C.4D.3【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.【解题指南】利用余弦定理推论得出a ,b ,c 的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【解析】选A .由已知及正弦定理可得a 2-b 2=4c 2,由余弦定理推论可得-14=cos A =b 2+c 2-a 22bc ,所以c 2-4c 22bc =-14,所以3c 2b =14,所以b c =32×4=6,故选A .二、填空题2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为 . 【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用. 【解析】因为cos B =a 2+c 2-b 22ac , 又因为b =6,a =2c ,B =π3,可得c 2=12, 解得c =2√3,a =4√3,则△ABC 的面积S =12×4√3×2√3×√32=6√3.答案:6√33.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知b sin A +a cos B =0,则B = . 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用.【解析】已知b sin A +a cos B =0,由正弦定理可得sin B sin A +sin A cos B =0,即sin B =-cos B , 又因为sin 2B +cos 2B =1,解得sin B =√22,cos B =-√22,故B =3π4.答案:3π44.(2019·浙江高考·T14)在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上,若∠BDC =45°,则BD = ,cos ∠ABD = .【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 【解析】在△ABD 中,由正弦定理有:AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAC,而AB =4,∠ADB =3π4,AC =√AB 2+BC 2=5,sin∠BAC=BCAC =35,cos∠BAC=ABAC=45,所以BD=12√25.cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cosπ4cos∠BAC+sinπ4sin∠BAC=7√210.答案:12√257√2 10三、解答题5.(2019·全国卷Ⅰ理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin B sin C.(1)求A.(2)若√2a+b=2c,求sin C.【命题意图】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.【解题指南】(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:b2+c2-a2=bc,从而可求出cos A,根据A∈(0,π)可求得结果;(2)利用正弦定理可得√2sin A+sin B=2sin C,利用sin B=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sin C和cos C的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc =1 2 .因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)方法一:由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C,即√62+√32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=√6+√24.方法二:因为√2a+b=2c,由正弦定理得:√2sin A+sin B=2sin C,又sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,A=π3,所以√2×√32+√32cos C+12sin C=2sin C,整理可得:3sin C-√6=√3cos C,即3sin C-√3cos C=2√3sin(C-π6)=√6,所以sin(C-π6)=√22,所以C=5π12或11π12,因为A=π3且A+C<π,所以C=5π12,所以sin C =sin 5π12=sin (π6+π4)=sin π6cos π4+ cos π6sin π4=√6+√24.6.(2019·全国卷Ⅲ理科·T18同2019·全国卷Ⅲ文科·T18)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A+C2=b sin A. (1)求B.(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.【命题意图】本题考查三角恒等变换、正弦定理、面积公式,意在考查考生综合应用三角知识运算求解能力. 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sin A+C2=sin B sin A. 因为sin A ≠0,所以sinA+C2=sin B. 由A +B +C =180°,可得sin A+C 2=cos B2, 故cos B 2=2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0,故sin B 2=12,因此B =60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a.由正弦定理得a =csinA sinC =sin (120°-C )sinC =√32tanC +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°,由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故12<a <2,从而√38<S △ABC <√32.因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,√32).7.(2019·北京高考理科·T15)在△ABC 中,a =3,b -c =2,cos B =-12. (1)求b ,c 的值.(2)求sin (B -C )的值.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养. 【解析】(1)由已知及余弦定理,cos B =c 2+a 2-b 22ca =9+(c+b )(c -b )6c =9-2(c+b )6c =-12,即9-2b +c =0,又b -c =2,所以b =7,c =5. (2)由(1)及余弦定理,cos C =a 2+b 2-c 22ab =32+72-522×3×7=1114,又sin 2C +cos 2C =1,0<C <π, 所以sin C =5√314,同理sin B =√32,所以sin (B -C )=sin B cos C -sin C cos B =√32×1114-5√314×(-12)=4√37. 【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:sin(A +B )=sin(π-C )=sin C ,sin(A +B )=sin A cos B +sin B cos A , cos(A +B )=cos(π-C )=-cos C ,cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B.8.(2019·北京高考文科·T15)在△ABC 中,a =3,b -c =2,cos B =-12. (1)求b ,c 的值.(2)求sin (B +C )的值.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养. 【解析】(1)由已知及余弦定理, cos B =c 2+a 2-b 22ca =9+(c+b )(c -b )6c =9-2(c+b )6c =-12,即9-2b +c =0,又b -c =2,所以b =7,c =5. (2)由(1)及余弦定理, cos C =a 2+b 2-c 22ab =32+72-522×3×7=1114, 又sin 2C +cos 2C =1,0<C <π, 所以sin C =5√314,同理sin B =√32,所以sin (B +C )=sin B cos C +sin C cos B =√32×1114+5√314×(-12)=3√314. 【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:sin(A +B )=sin(π-C )=sin C , sin(A +B )=sin A cos B +sin B cos A , cos(A +B )=cos(π-C )=-cos C ,cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B.9.(2019·天津高考理科·T15同2019·天津高考文科·T16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b +c =2a ,3c sinB =4a sin C.(1)求cos B 的值.(2)求sin (2B +π6)的值.【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理b sinB =csinC,得b sin C =c sin B ,又由3c sin B =4a sin C ,得3b sin C =4a sin C ,因为sin C ≠0,所以3b =4a.又因为b +c =2a ,得到b =43a ,c =23a.由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a=-14. (2)由(1)可得sin B =√1-cos 2B =√154,sin 2B =2sin B cos B =-√158,cos 2B =cos 2B -sin 2B =-78,故sin (2B +π6)=sin 2B cos π6+cos 2B sin π6=-√158×√32-78×12=-3√5+716. 10.(2019·江苏高考·T15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c. (1)若a =3c ,b =√2,cos B =23,求c 的值. (2)若sinA a =cosB2b,求sin (B +π2)的值.【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.【解题指南】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程,解方程可得边长c的值.(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B的值,然后由诱导公式可得sin(B+π2)的值.【解析】(1)因为a=3c,b=√2,cos B=23,由cos B=a2+c2-b22ac ,得23=(3c)2+c2-(√2)22×3c×c,即c2=13.所以c=√33.(2)因为sinAa =cosB2b,由正弦定理asinA =bsinB,得cosB2b=sinBb,所以cos B=2sin B.从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=45.因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=2√55.因此sin(B+π2)=cos B=2√55.。
2019年高考试题：正余弦定理解三角形
2019年高考试题训练一：2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
设C B A C B sin sin sin )sin (sin 22-=-。
（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若c b a 22=+，求C sin 。
本题解析：（Ⅰ）本题目是边角转化和余弦定理四项式综合的经典题型。
半角转化：方程中每一项都有内角的正弦，每一项中正弦次数相加相等，可以把每一项中的正弦全部转化为对边，保持次数不变。
CC B B C B A C B 2222sin sin sin 2sin sin sin sin )sin (sin +-⇒-=-CB AC B C B A sin sin sin sin sin sin sin sin 2222=-+⇒-=bc a c b =-+⇒222。
根据余弦定理得到：32122cos 222π=⇒==-+=A bc bc bc a c b A 。
（Ⅱ）本题目是边角转化和一个角的正弦等于另外两个角和的正弦综合的经典题型。
边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把每一项中的边全部转化为对角的正弦，保持次数不变。
C B A c b a sin 2sin sin 222=+⇒=+。
C C A C C A C A B sin 21cos 23cos sin cos sin )sin(sin +=+=+=C C C C C sin 23cos 2326sin 2sin 21cos 23232=+⇒=++⨯⇒6sin 3cos 3sin 3cos 36-=⇒=+⇒C C C C 2sin 3cos -=⇒C C 2cos sin 3=-⇒C C 2)6sin(22)cos 6sin sin 6(cos 2=-⇒=-⇒πππC C C 4622)6sin(πππ=-⇒=-⇒C C 或125436πππ=⇒=-C C 或1211π=C 。
2019高中数学高考真题分类：考点17-正弦定理和余弦定理
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考点17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2018·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=13,则sinB=( ) A.15 B.59【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。
【解析】选B 。
由正弦定理得355,,sin 1sin sin sin 93所以所以===a b B A BB 。
2.（2018·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ4）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A.2B.1C.21 【解题指南】利用正弦定理和三角形的面积公式可得 【解析】选B.因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sinsin64b c ππ=，解得c =形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯.因为711sinsin())123422πππ=+==+，所以11sin ()12222bc A =+=，选B. 3.（2018·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ）A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得251cos 2=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,562sin =A .由正弦定理C c A a sin sin =得，Csin 65627=. 35612sin =C ，3519cos =C .又)(C A B +-=π，所以C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=，17565035612513519562sin =⨯+⨯=B .由正弦定理B b A a sin sin =得, 1756505627b =，解得5=b . 方法二:由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，51cos =A ，则495112362=⨯-+b b ，解得5=b 4.（2018·陕西高考文科·Ｔ9）【备注：（2018·陕西高考理科·Ｔ7）与之题干相同】设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向. 【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin 2A,所以sin(B+C)=sin 2A, sinA=sin 2A, sinA=1,所以三角形ABC 是直角三角形.5.（2018·安徽高考文科·Ｔ9）【备注：（2018·安徽高考理科·Ｔ12）与之题干相同】 设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,则3sinA=5sinB,则角C= ( ) A.π3 B. 2π3C. 3π4D. 5π6 【解题指南】 根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。
2019高考数学考点突破——三角函数与解三角形：正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理【考点梳理】1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)； (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)． 【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3 (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________.[答案] (1) B (2) π6[解析] (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4. 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得2sin 3π4＝2sin C ， 则sin C ＝12，得C ＝π6.(2)由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理得，c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc 得，a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32， ∴A ＝π6. 【类题通法】在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 【对点训练】1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[答案] 2113[解析] 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3 [答案] D[解析] 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.考点二、判断三角形的形状【例2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 [答案] D[解析] 因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 【类题通法】1．判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能． 【对点训练】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .考点三、与三角形面积有关的问题【例3】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解析] (1)由已知及正弦定理得 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知得12ab sin C ＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.【类题通法】三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【对点训练】已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解析](1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.。
(北京专用)2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文
答案 或2
33
解析 ∵在△ABC中,cos A= 13 ,
14
∴sin A= 1= cos, 2 A 3 3
14
∵7a=3b,
∴sin B= bsi=n A ×7 3 =3 ,3
a 3 14 2
∵B∈(0,π),
∴B= 或2 .
33
故答案为 或2 .
33
.
9
5.(2018北京海淀高三期末)在△ABC中,a=1,b= 7,且△ABC的面积为
在△ABD中,AD= ,7AB=2x,∠B= ,
3
∴由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B, 即7=4x2+9x2-2x·3x,解得x=1(舍负), ∴CD=1.
规律总结 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是 两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中 含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的 正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑 两个定理都有可能用到. (2)解题时注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.
sin D
(2)求CD的长.
解析 (1)∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC, 又∵BC=2CD,∴AC=2CD,
∴在△ACD中,由正弦定理可得 =CD , AC
sin CAD sin D
∴ sin=CA=D C. D 1
sin D AC 2
(2)设CD=x(x>0),则BC=2x, ∴BD=3x.
4
C3 .
1D.
4
6
答案 B 在△ABC中,∵sin(A+B)= 1 ,∴sin C=1 .
正弦定理和余弦定理2019高考数学考点精讲共147页文档
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3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
正弦定理和余弦定理2019高考数学考点精 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 讲
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
高中数学 必考点：正弦定理和余弦定理必考点梳理
∠ACB＝α， ∠ADB＝β，
CD＝a ∠ACB＝α，
AC＝b， BC＝a ∠ACB＝α， ∠ABC＝β， CB＝a
∠ADC＝α， ∠BDC＝β， ∠BCD＝δ， ∠ACD＝γ，
CD＝a
解两个直角三角形 AB ＝ atan αtan β tan β－tan α
用余弦定理 AB＝ a2＋b2－2abcos α
＝________.
方法一：由 2bcos B＝acos C＋ccos A 及正弦定理，
得 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．
又 A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.
又 sin B≠0，∴cos B＝1.∴B＝π.
（二）方位角和方向角
2
(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为α(如图②)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°等．
必考点 1： 利用正弦定理解三角形
利用正弦定理可解决两类问题
基本类型
一般解法
已知两角及其中一角的对边，如 A，B，a
①由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ②根据正弦定理，得 a ＝ b 及 a ＝
sin A sin B sin A c ，求出边 b，c. sin C ①根据正弦定理，经讨论求 B；
已知两边及其中一边所对的角，如 a，b，A
②求出 B 后，由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ③再根据正弦定理 a ＝ c ，求出边 c.
sin A sin C
例题 1： (2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A＝π，B＝π，a＝1， 64
高考数学中的余弦定理与正弦定理
高考数学中的余弦定理与正弦定理在高中数学中，三角形的性质是必学的，三角形中的余弦定理和正弦定理在高考中也一定会出现。
这两个定理是三角形最重要的定理之一，掌握它们对于解决复杂三角形问题是必不可少的。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的概念与应用，以及在高考数学中的应用实例。
一、余弦定理的定义余弦定理是解决三角形中一个角的正余弦值与另外两边长度之间关系的重要定理。
余弦定理表述为：在任意三角形ABC中，有以下公式成立：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$其中，$a,b,c$ 为三角形ABC的三条边， $C$ 为对应于边$c$ 的角。
这个公式可以表示三角形两边长度和角度的关系，是解决复杂三角形问题的基础。
二、余弦定理的应用余弦定理的应用非常广泛，以下是三角形中常见的几种问题类型：1. 已知两条边和夹角，求第三边的长度根据余弦定理公式，只需要已知两条边和夹角的情况下，即可求解第三边的长度。
例如，已知两条边长分别为5和8，夹角为60度，求第三边长度。
按公式计算可得：$c^2=5^2+8^2-2\times 5 \times 8 \times \cos 60°=89$所以，第三条边的长度为 $\sqrt{89}$。
2. 已知三条边的长度，判断三角形的形状根据余弦定理，如果一个三角形的每条边长都已知，可以计算出三个角的余弦值，判断该三角形的形状。
例如，如果一个三角形三边长度分别为 3、4、5，则可以得出它为直角三角形。
三、正弦定理的定义正弦定理是与余弦定理类似的三角形定理，用来描述角度和它所对应的边的关系。
在任意三角形中，有以下公式成立：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$其中，$a,b,c$ 表示三角形的三条边，$A,B,C$ 表示相应的角。
这个公式用来表示一个三角形中角度和边长的关系。
四、正弦定理的应用正弦定理同样有着广泛的应用，以下是几种常见问题类型：1. 已知两角和一边，求三角形另一边长度根据正弦定理，我们可以解决这个问题。
高考数学正弦定理和余弦定理必考点梳理
必考点：正弦定理和余弦定理必考点梳理（精编Wor d）一、正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则二、三角形中常用的面积公式1.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc s in A ＝12ac s inB ＝12ab s in C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．2.在△ABC 中常用结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)s in (A ＋B )＝s inC ；c os(A ＋B )＝－c os C ；t an (A ＋B )＝－t anC ；s in A ＋B 2＝c os C 2；c os A ＋B 2＝s in C2. (5)t an A ＋t an B ＋t an C ＝t an A ·t an B ·t an C . (6)∠A >∠B ⇔a >b ⇔s in A >s in B ⇔c os A <c os B . (7)合比定理：a sin A ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R .(8)在锐角三角形中①A ＋B ＞π2；②若A ＝π3，则π6＜B ，C ＜π2三、实际测量中的常见问题求AB 图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝a t anα底部不可达∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解两个直角三角形AB＝a tan αtan βtan β－tan α求水平距离山两侧∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定理AB＝a2＋b2－2ab cos α河两岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝a sin αsin(α＋β)河对岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝a sin αsin(α＋γ)在△BDC中，BC＝a sin βsin(β＋δ)；在△ABC中，应用余弦定理求AB（一）仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．（二）方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．利用正弦定理可解决两类问题例题1： (2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b ＝( )A ．2B ．1C ．3D ． 2 【解析】由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2212＝ 2.选D变式1： (2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a s in B ＝3b ，则角A ＝________.【解析】∵2a s in B ＝3b ，∴2s in A s in B ＝3s in B ，得s in A ＝32，∴A ＝π3或A ＝2π3， ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3.利用余弦定理可解决两类问题例题2： (2019·山东济南期中)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则c os C ＝( ) A ．24 B ．－24 C ．34 D ．－34【解析】由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ， ∴c os C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a ＝－24.选B变式2： (2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bc os B ＝ac os C ＋cc os A ，则B ＝________.方法一：由2bc os B ＝ac os C ＋cc os A 及正弦定理， 得2s in Bc os B ＝s in Ac os C ＋s in Cc os A . ∴2s in Bc os B ＝s in (A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2s in Bc os B ＝s in (π－B )＝s in B . 又s in B ≠0，∴c os B ＝12.∴B ＝π3.方法二：∵在△ABC 中，ac os C ＋cc os A ＝b ， ∴条件等式变为2bc os B ＝b ，∴c os B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.判定三角形形状的2种常用途径例题3： 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc os C ＋cc os B ＝a s in A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】由正弦定理得s in Bc os C ＋s in Cc os B ＝s in 2A ，∴s in (B ＋C )＝s in 2A ，即s in (π－A )＝s in 2A ，s in A ＝s in 2A ． ∵A ∈(0，π)，∴s in A >0，∴s in A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．变式3： 本题中，若将条件变为2s in Ac os B ＝s in C ，判断△ABC 的形状． 【解析】∵2s in Ac os B ＝s in C ＝s in (A ＋B )， ∴2s in Ac os B ＝s in Ac os B ＋c os A s in B ， ∴s in (A －B )＝0.又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．变式4： 本题中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2c os A s in B ＝s in C ，判断△ABC 的形状． 【解析】∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴c os C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 又0<C <π，∴C ＝π3，又由2c os A s in B ＝s in C 得s in (B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形．例题4： (2017·全国卷Ⅲ)△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，s in A ＋3c os A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【解析】 (1)由已知可得t an A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4cc os2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2s in ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.变式5： (2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b s in C ＋c s in B ＝4a s in B s in C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________. 【解析】∵b s in C ＋c s in B ＝4a s in B s in C ，∴由正弦定理得s in B s in C ＋s in C s in B ＝4s in A s in B s in C .又s in B s in C >0，∴s in A ＝12.由余弦定理得c os A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc >0，∴c os A ＝32，bc ＝4cos A ＝833，∴S △ABC ＝12bc s in A ＝12×833×12＝233必考点5： 解几何计算问题例题5： 如图，在△ABC 中，B ＝π3，BC ＝2，点D 在边AB 上，AD ＝DC ，DE ⊥AC ，E 为垂足．(1)若△BCD 的面积为33，求AB 的长； (2)若DE ＝62，求角A 的大小． 【解析】 (1)∵△BCD 的面积为33，B ＝π3，BC ＝2， ∴12×2×BD ×s in π3＝33，∴BD ＝23. 在△BCD 中，由余弦定理可得CD ＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝4＋49－2×2×23×12＝273. ∴AB ＝AD ＋BD ＝CD ＋BD ＝273＋23＝27＋23. (2)∵DE ＝62，∴CD ＝AD ＝DE sin A ＝62sin A. 在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝CDsin B.∵∠BDC ＝2∠A ，∴2sin 2A ＝62sin A sinπ3，∴c os A ＝22.∴A ＝π4.变式6： (2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，c os B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．【解析】(1)在△ABC 中，因为c os B ＝－17，所以s in B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得s in A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为s in C ＝s in (A ＋B )＝s in Ac os B ＋c os A s in B ＝3314，所以AC 边上的高为a s in C ＝7×3314＝332.必考点6： 考点6三角函数求值问题例题6： (2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b s in A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和s in (2A －B )的值．【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b s in A ＝a s in B .又由b s in A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a s in B ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即s in B ＝c os ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以t an B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2acc os B ＝7，故b ＝7. 由b s in A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得s in A ＝37 . 因为a <c ，所以c os A ＝27.因此s in 2A ＝2s in Ac os A ＝437，c os 2A ＝2c os 2A －1＝17.所以s in (2A －B )＝s in 2Ac os B －c os 2A s in B ＝437×12－17×32＝3314.必考点7： 考点7解三角形综合问题例题7： (2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求c os ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .【解析】 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以s in ∠ADB ＝25由题设知，∠ADB <90°，所以c os ∠ADB ＝1－225＝235 (2)由题设及(1)知，c os ∠BDC ＝s in ∠ADB ＝25在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·c os ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25所以BC ＝5变式7： (2019·广东惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )c os A ＝ac os C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝13，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．【解析】(1)△ABC 中，由条件及正弦定理得(2s in B －s in C )c os A ＝s in Ac os C ，∴2s in Bc os A ＝s in Cc os A ＋s in Ac os C ＝s in B ．∵s in B ≠0，∴2c os A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵a ＝13，b ＋c ＝5，a 2＝b 2＋c 2－2bcc os A ＝(b ＋c )2－2bc －2bcc os π3＝52－3bc ＝13，∴bc ＝25－133＝4，∴S △ABC ＝12bc s in A ＝12×4×s in π3＝ 3.必考点8： 高度问题（已知仰角或俯角）例题8： (2019·山东青岛月考)如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.【解析】由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD ＝3a ，所以在Rt △ADB 中，AB ＝12AD ＝32a .变式8： (2019·河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m .【解析】在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°， 由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC32，解得AC ＝600 6.在△ACD 中，∵t an ∠DAC ＝DC AC ＝33，∴DC ＝6006×33＝600 2.求解高度问题的3个注意点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．必考点9： 高度问题（已知方位角或方向角）例题9： 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山高度CD ＝______m .【解析】由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m . 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·t an 30°＝3002×33＝1006(m ) 必考点10： 距离问题例题10： (2019·山东临沂联考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m .(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：s in 67°≈0.92，c os 67°≈0.39，s in 37°≈0.60，c os 37°≈0.80，3≈1.73)【解析】如图，过点A 作AD 垂直于CB 的延长线，垂足为D ，则在Rt △ABD 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46，AB ＝46sin 67°. 在△ABC 中，根据正弦定理得BC ＝AB sin 37°sin 30°＝46×sin 37°sin 67°sin 30°≈60变式9： 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离，即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCc os ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600c os 60°＝280 000，∴AB ＝2007(m )，即A ，B 两点间的距离为2007 m .求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答．必考点11： 角度问题例题11： 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile 的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile 的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则c os θ的值为________.【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·c os 120°＝2 800，得BC ＝207由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，即s in ∠ACB ＝AB BC ·s in ∠BAC ＝217 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则c os ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30° 得c os θ＝c os(∠ACB ＋30°)＝c os ∠ACBc os 30°－s in ∠ACB s in 30°＝2114变式10： (2019·山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km /h ；水的流向是正东，流速是20 km /h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km /h .【解析】如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800c os 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COy ＝30°＋30°＝60°. ]解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．变式11： (2019·河南安阳调研)如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2 n mile 的C 处的我方缉私船奉命以10 3 n mile /h 的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile /h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．【解析】设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝ 103t n mile ，BD ＝10t n mile ，△ABC 中，由余弦定理，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·c os A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)×2×c os120°＝6，解得BC ＝ 6. 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴s in ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2×sin120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，∴s in ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6，t＝610小时≈15分钟∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．。
2019年高考数学解密题(含解析)之 正、余弦定理及解三角形
正、余弦定理及解三角形考点1 利用正、余弦定理解三角形题组一 利用正、余弦定理解三角形调研1 在ABC △中，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，则A =A B CD 【答案】C 【解析】∵2sin sin cos sin cos C B a B B b A -=，∴由正弦定理可得2cos cos c b a Bb b A-=，即()c o s 2c os a b B c bb A =-. ∴由余弦定理可得()222222222a c b b c a ab c b b ac bc +-+-⋅=-⋅⋅，整理可得222bc b c a =+-.∴2221cos 22b c a A bc +-==，∵()0,πA ∈，∴故选C.【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.由已知及正弦定理可得()cos 2cos ab B c b b A =-，结合余弦定理可得222bc b c a =+-，由余弦定理解得cos A ，结合A 的范围，即可求得A 的值.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住30︒，45︒，60︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.调研2 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos A a B =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ．【答案】（1）π6B =；（2）3,a c ==【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=sin sin cos B A A B =． 又因为在ABC △中sin 0A ≠．cos B B =． 法一：因为0πB <<， 所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin tan cos B B B ==所以π6B =．cos 0B B -=即π2sin 06B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()ππ6B k k -=∈Z ， 因为0πB <<， 所以π6B =．（2）由正弦定理sin sin a cA C=，及sin C A =，所以c =，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22π92cos 6a c ac =+-，即229a c +-=，②把①代入②得3,a c ==【名师点睛】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B 的大小；（2）利用正弦定理、余弦定理，转化求解即可．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值；二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.☆技巧点拨☆利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．题组二 与三角形面积有关的问题调研3 在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC △的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC △的面积为__________． 【答案】32【解析】由题意得22sin c R C ==，即s i n 2c C =，∴1sin 2ABC S ab C ==△1113622442c ab abc ⨯==⨯=， 故答案为32.【名师点睛】由正弦定理可把其中一边化为角，从而由6abc =及由公式1sin 2S ab C =求得面积.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为4abcS R=22sin sin sin R A B C =.调研4 如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ．(1)求AD 的长； (2)求ABC △的面积． 【答案】(1)5；(2)7534.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC BD ＝32， 从而sin ∠CBD ＝12.所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin ∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.题组三 三角形形状的判断调研5 在ABC △中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若22tan :tan :,A B a b =则ABC △的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．不能确定【答案】C【解析】由题意结合正弦定理有：22sin cos sin cos sin sin A B A A B B ⨯=，即：cos sin cos sin B AA B=， 据此可得：sin cos sin cos A A B B =，则sin2sin2A B =， 故22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=， 据此可得：ABC △的形状为等腰三角形或直角三角形. 本题选择C 选项.【名师点睛】由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质整理计算即可确定三角形的形状.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．调研6 ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos sin a C C b c +=+. (1)求A ;(2)若2,a ABC =△试判断此三角形的形状. 【答案】(1)60°；(2)等边三角形.【解析】(1)由正弦定理及cos sin a C C b c +=+得,sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++sin cos sin sin A C A C C ⇒-=, ∵sin 0C >,()1cos 1sin 302A A A -=⇒-︒=, ∵0180A <<︒︒,∴3030150A ︒-︒<-<︒, ∴303060A A -=︒⇒=︒︒.(2)1sin 42S bc A bc ===,由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-=()23b c bc+-()241242b c b c b c ⇒=+-⇒+=⇒==,∵60A =︒,∴60B C ==︒, 故ABC △是等边三角形.☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点2 解三角形的实际应用题组 解三角形的实际应用调研1 如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C D 、两观测点，且在C D 、两点测得塔顶的仰角分别为4530、．在水平面上测得120BCD ∠=，C D 、两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是A ．B ．480mC ．D ．600m【答案】D【解析】设铁塔AB 的高度是h ,因为C D 、两点测得塔顶的仰角分别为4530、，所以,BC h BD ==,因为C D 、两地相距600m ，所以2222π36002600cos 3h h h =+-⨯⨯⨯,解得600h =（舍负）, 故选D.【名师点睛】先根据直角三角形用高表示BC ,BD ,再根据余弦定理解方程得高.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.☆技巧点拨☆高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．调研2 如图，,,A B C 三个警亭有直道相通，已知A 在B 的正北方向6千米处，C 在B 的正东方向.（1）警员甲从C 出发，沿CA 行至点P 处，此时45CBP ∠=︒，求PB 的距离； （2）警员甲从C 出发沿CA 前往A ，警员乙从A 出发沿AB 前往B ，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A 时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）（2【解析】（1）在ABC △中，6AB =，60A ∠=︒，75APB ∠=︒， 由正弦定理，sin sin AB BPAPB A=∠，即6132=362462BP ===，故PB的距离是（2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()f t ，要保持通话则需要()9f t ≤．1︒当01t ≤≤时，()f t =6169=≤， 即271670t t -+≤t ≤≤ 又[]0,1t ∈，1t ≤≤小时． 2︒当14t <≤时，()f t =9=，即2630t t -+≤，解得33t ≤≤+ 又(]1,4t ∈，所以14t <≤，时长为3小时．综上，3（小时）． 小时． 【名师点睛】本题考查解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决问题的能力，属于中档题.（1）在ABC △中，6AB =，60A ∠=︒，75APB ∠=︒，然后由正弦定理可得BP ； （2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()f t ，要保持通话则需要()9f t ≤，然后分1︒当01t ≤≤时，2︒当14t <≤时，分别求得对应的时长再求和即得到结论.☆技巧点拨☆解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步．考点3 解三角形与其他知识的交汇问题题组一 解三角形与三角恒等变换相结合调研1 在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为21,,sin sin sin ,24B C a b c B C -+=，且2b c +=，则实数a 的取值范围是____________.【答案】)2.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.调研2 在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,已知7,2c ABC =△的面积为,2又tan tan A B +)tan tan 1.A B =- (1)求角C 的大小; (2)求a b +的值. 【答案】(1)π3；(2)11.2【解析】(1)因为)tan tan tan tan 1,A B A B +=-所以()tan A B +=tan tan 1tan tan A BA B+=-又因为,,A B C 为ABC △的内角, 所以2π,3A B += 所以π.3C =(2)由1sin 2ABC S ab C ==△及π,3C =得6,ab =又()2222221cos 222a b c ab a b c C ab ab +--+-===,7,2c =所以11.2a b +=题组二 解三角形与平面向量相结合调研3 在ABC △中，90C ∠=，2CM MB =．若1sin 5BAM ∠=，则tan BAC ∠=_________．【解析】根据题意，设,3AC m BC n ==，则2,CM n BM n ==，根据1s i n 5BAM ∠=，得cos BAM ∠=，由勾股定理可得AM AB ==22222=，化简整理得422412360m m n n -+=，即()22260m n-=，解得m =，所以3tann BAC m ∠===2. 【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.调研4 如图,在ABC △中,已知点D 在边BC 上,且0AD AC ⋅=,sin 3BAC ∠=,AB =BD =．(1)求AD 的长; (2)求cos C ．【答案】(1)3；(2)3. 【解析】(1)因为0,AD AC ⋅=所以,AD AC ⊥所以πsin sin cos ,2BAC BAD BAD ⎛⎫∠=+∠=∠⎪⎝⎭即cos BAD ∠=． 在ABD △中,由余弦定理,可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠， 即28150,AD AD -+=解得5,AD =或3AD =． 因为,AB AD >所以3AD =． (2)在ABD △中,由正弦定理,可知,sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又由cos ,3BAD ∠=可知1sin ,3BAD ∠=所以sin sin 3AB BAD ADB BD ∠∠==． 因为π,2ADB DAC C C ∠=∠+=+所以cos C =.1．（安徽省合肥市2018届高三调研性检测数学试题）在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，60,4,C a b c =︒==b = A ．1 B ．2C ．3D 2．（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学试题）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若b =1，c 1sin cos sin cos 2a B C c B A +=，则a =A ．1B ．1C ．1或2D 3．（贵州省黔东南州2018届高三下学期第二次模拟考试数学试题）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4c =，则ABC△面积的最大值为A ．B ．C ．D4．（【衡水金卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试高三模拟研卷卷四数学试题）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=，c =ABC △的面积为2，则ABC △的周长为A ．1+B ．2+C ．4+D ．5+5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第三次月考数学试题）ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足4a =，sin cos a B A =，则ABC △面积的最大值是 A． B．C．D ．46．（湖南省湘潭市2018届高三下学期第四次模拟考试数学试题）在ABC △中，36AB AC ==，tan A =D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且3DE =，记ADE △，四边形BCED 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的最大值为 A ．14 B ．38C ．13D ．5127．（河南省2018届高三最后一次模拟考试数学试题）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin a A b B ++sin sin ,A c C =2,a=b =，则s i n B =__________．8．（福建省龙岩市 2018届高三下学期教学质量检查(4月)数学试题）在锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，,A C ∠∠的对边长分别是,a c ，则ca的取值范围为_______.9．（安徽省合肥市2018届高三三模数学试题）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC △的面积等于3，则b =___________.10．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）五）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为___________米.11．（四川省棠湖中学2019届高三上学期开学考试数学试题）如图，ABC △是等边三角形，D 是BC 边上的动点（含端点），记,BAD ADC αβ∠=∠=. （1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD △的面积.12．（山东省实验中学（中心校区）2019届高三11月模拟考试数学试题）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin a C B =．（1）若b ＝C ＝120°，求△ABC 的面积S ；（2）若b ：c ＝2：3.13．（青海省西宁四中2018-2019学年高三（上）第二次模拟数学试题）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且222.b c a S +-= （1）求A ；（2）若a =4cos 5B =，求c ．14．（山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知四边形OACB 中，a 、b 、c 分别为ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长，且满足()()cos 2cos cos b c A a B C +=--．（1）证明：2b c a +=；（2）若b c =，设()0πA O B θθ∠=<<，24OA OB ==，求四边形OACB 面积的最大值．15．（湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考数学）已知向量()cos ,sin x x =m ，()cos x x =n ，x ∈R ，设函数()12f x =⋅+m n .（1）求函数()f x 的解析式及单调递增区间；（2）设a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，若()2f A =，b c +=ABC △的面积为12，求a 的值.1．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB = A． BCD．2．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC△的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π63．（2016新课标全国Ⅲ理科）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ABC．- D．-4．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A .（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.5．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．6．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .正、余弦定理及解三角形考点1 利用正、余弦定理解三角形题组一 利用正、余弦定理解三角形调研1 在ABC △中，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，则A =A B CD 【答案】C【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.由已知及正弦定理可得()cos 2cos ab B c b b A =-，结合余弦定理可得222bc b c a =+-，由余弦定理解得cos A ，结合A 的范围，即可求得A 的值.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住30︒，45︒，60︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.调研2 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos A a B =．（1）求角B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ．【答案】（1）π6B =；（2）3,a c ==【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=sin sin cos B A A B =． 又因为在ABC △中sin 0A ≠．cos B B =． 法一：因为0πB <<， 所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin tan cos B B B == 所以π6B =．cos 0B B -=即π2sin 06B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()ππ6B k k -=∈Z ， 因为0πB <<， 所以π6B =．（2）由正弦定理sin sin a cA C=，及sin C A =，所以c =，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22π92cos 6a c ac =+-，即229a c +-=，②把①代入②得3,a c ==【名师点睛】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B 的大小；（2）利用正弦定理、余弦定理，转化求解即可．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值；二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.☆技巧点拨☆利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．题组二 与三角形面积有关的问题调研3 在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC △的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC △的面积为__________． 【答案】32【解析】由题意得22sin c R C ==，即s i n 2c C =，∴1sin 2ABC S ab C ==△1113622442c ab abc ⨯==⨯=， 故答案为32.【名师点睛】由正弦定理可把其中一边化为角，从而由6abc =及由公式1sin 2S ab C =求得面积.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为4abcS R=22sin sin sin R A B C =.调研4 如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ．(1)求AD 的长； (2)求ABC △的面积． 【答案】(1)5；(2)7534.【解析】(1)在ABC △中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，所以BD ＝2x . 在BCD △中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x.在ACD △中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，所以cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD＝222525x x +-⨯⨯.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ＝－52x ，解得x ＝5.所以AD 的长为5.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC BD ＝32， 从而sin ∠CBD ＝12.所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin ∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.题组三 三角形形状的判断调研5 在ABC △中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若22tan :tan :,A B a b =则ABC △的形状为 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．不能确定【答案】C【名师点睛】由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质整理计算即可确定三角形的形状.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．调研6 ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos sin a C C b c +=+. (1)求A ;(2)若2,a ABC =△试判断此三角形的形状.【答案】(1)60°；(2)等边三角形.【解析】(1)由正弦定理及cos sin a C C b c +=+得,sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++sin cos sin sin A C A C C ⇒-=, ∵sin 0C >,()1cos 1sin 302A A A -=⇒-︒=, ∵0180A <<︒︒,∴3030150A ︒-︒<-<︒, ∴303060A A -=︒⇒=︒︒.(2)1sin 42S bc A bc ===, 由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-=()23b c bc+-()241242b c b c b c ⇒=+-⇒+=⇒==,∵60A =︒,∴60B C ==︒, 故ABC △是等边三角形.☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点2 解三角形的实际应用题组 解三角形的实际应用调研1 如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C D 、两观测点，且在C D 、两点测得塔顶的仰角分别为4530、．在水平面上测得120BCD ∠=，C D 、两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是A ．B ．480mC ．D ．600m【答案】D【解析】设铁塔AB 的高度是h ,因为C D 、两点测得塔顶的仰角分别为4530、，所以,BC h BD ==,因为C D 、两地相距600m ，所以2222π36002600cos 3h h h =+-⨯⨯⨯,解得600h =（舍负）, 故选D.【名师点睛】先根据直角三角形用高表示BC ,BD ,再根据余弦定理解方程得高.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.☆技巧点拨☆高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．调研2 如图，,,A B C 三个警亭有直道相通，已知A 在B 的正北方向6千米处，C 在B 的正东方向.（1）警员甲从C 出发，沿CA 行至点P 处，此时45CBP ∠=︒，求PB 的距离；（2）警员甲从C 出发沿CA 前往A ，警员乙从A 出发沿AB 前往B ，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A 时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）（2【解析】（1）在ABC △中，6AB =，60A ∠=︒，75APB ∠=︒， 由正弦定理，sin sin AB BPAPB A=∠，即6132=362462BP ===，故PB的距离是（2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()f t ，要保持通话则需要()9f t ≤．1︒当01t ≤≤时，()f t =6169=≤， 即271670tt -+≤t ≤≤ 又[]0,1t ∈，1t ≤≤小时．2︒当14t <≤时，()f t =9=，即2630t t -+≤，解得33t ≤≤+ 又(]1,4t ∈，所以14t <≤，时长为3小时．综上，3＋17＝207（小时）．小时． 【名师点睛】本题考查解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决问题的能力，属于中档题.（1）在ABC △中，6AB =，60A ∠=︒，75APB ∠=︒，然后由正弦定理可得BP ； （2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()f t ，要保持通话则需要()9f t ≤，然后分1︒当01t ≤≤时，2︒当14t <≤时，分别求得对应的时长再求和即得到结论.☆技巧点拨☆解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步．考点3 解三角形与其他知识的交汇问题题组一 解三角形与三角恒等变换相结合调研1 在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为21,,sin sin sin ,24B C a b c B C -+=，且2b c +=，则实数a 的取值范围是____________.【答案】)2.【解析】由()21c o s 1s i n s i ns i n s in s i n224B C B CB C B C ---+=+=，得()2cos 4sin sin 1B C B C --=，所以()()12cos 1,cos cos 2B C A B C +==-+=-，则由余弦定理()2222221c o s 222bcb c ab c a A b cb c +--+-===-，得22412b c bc a +⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭，解得a ≥又2a b c <+=， 所以a 的范围是)2.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.调研2 在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,已知7,2c ABC =△又tan tan A B +)tan tan 1.A B =- (1)求角C 的大小; (2)求a b +的值. 【答案】(1)π3；(2)11.2【解析】(1)因为)tan tan tan tan 1,A B A B +=-所以()tan A B +=tan tan 1tan tan A BA B+=-又因为,,A B C 为ABC △的内角, 所以2π,3A B += 所以π.3C =(2)由1sin 2ABC S ab C ==△及π,3C =得6,ab = 又()2222221cos 222a b c aba b cC abab+--+-===,7,2c =所以11.2a b +=题组二 解三角形与平面向量相结合调研3 在ABC △中，90C ∠=，2CM MB =．若1sin 5BAM ∠=，则tan BAC ∠=_________．【解析】根据题意，设,3AC m BC n ==，则2,CM n BM n ==，根据1s i n 5BAM ∠=，得cos BAM ∠=，由勾股定理可得22,A M nm n =22222=，化简整理得422412360m m n n -+=，即()22260m n -=，解得m =，所以3tan2n BAC m ∠===. 【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.调研4 如图,在ABC △中,已知点D 在边BC 上,且0AD AC ⋅=,sin BAC ∠=AB =BD =(1)求AD 的长; (2)求cos C ．【答案】(1)3；. 【解析】(1)因为0,AD AC ⋅=所以,AD AC ⊥所以πsin sin cos ,2BAC BAD BAD ⎛⎫∠=+∠=∠⎪⎝⎭即cos BAD ∠=． 在ABD △中,由余弦定理,可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠， 即28150,AD AD -+=解得5,AD =或3AD =． 因为,AB AD >所以3AD =． (2)在ABD △中,由正弦定理,可知,sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又由cos BAD ∠=可知1sin ,3BAD ∠=所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==． 因为π,2ADB DAC C C ∠=∠+=+所以cos C =.1．（安徽省合肥市2018届高三调研性检测数学试题）在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，60,4,C a b c =︒==b = A ．1B ．2C ．3 D【答案】A【解析】由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，代入已知值有22131624cos60,b b b b =+-⨯⨯⨯解得1b =.故选A.2．（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学试题）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若b =1，c，且1sin cos sin cos 2a B C c B A +=，则a = A ．1B ．1C ．1或2D【答案】C又b =1，所以sin 2B =，又c >b ，所以2a =，△ABC 为等腰三角形，所以1a =. 故选C.【名师点睛】解三角形常利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．3．（贵州省黔东南州2018届高三下学期第二次模拟考试数学试题）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()3a b c a b cab +-++=，且4c =，则ABC△面积的最大值为 A． B ．C ．D 【答案】B【解析】由已知有222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，由于()0,πC ∈，sin 2C =， 又22162a b ab ab ab ab=+-≥-=，则16ab ≤，4a b ==时等号成立. 故选B.4．（【衡水金卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试高三模拟研卷卷四数学试题）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=，c =ABC △，则ABC △的周长为A ．1+B ．2+C ．4+D ．5+【答案】D 【解析】在ABC△中，c o s c o s a B b A c C+=，则s i n c o s s i n A B B A CC+=， 即()sin 2sin cos A B C C +=，sin 0C ≠，1cos 2C ∴=，π3C =， 由余弦定理可得：222a b c ab +-=，即()2237a b ab c +-==，又1sin 242S ab C ab ===，6ab ∴=，()27325a b ab ∴+=+=，5a b +=，△ABC 的周长为5a b c ++=本题选择D 选项.【名师点睛】由题意利用正弦定理边化角求得π3C =，然后结合余弦定理和面积公式可得5a b +=，则ABC △的周长为5+.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第三次月考数学试题）ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足4a =，sin cos a B A =，则ABC △面积的最大值是 A． B．C．D ．4【答案】A【名师点睛】本题主要考查了正、余弦定理和三角形的面积公式，及基本不等式的应用，其中解答中利用正弦、余弦定理解决三角形的边角关系，再合理运用基本不等式求最值是解本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.利用正弦定理，求得π3A =，再利用余弦定理和基本不等式，求解bc 的最大值，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案.6．（湖南省湘潭市2018届高三下学期第四次模拟考试数学试题）在ABC △中，36AB AC ==，tan A =D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且3DE =，记ADE △，四边形BCED 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的最大值为 A ．14 B ．38C ．13D ．512【答案】C【解析】设AD x =，(06,02)AE y x y =<≤<≤， 因为t a 3A =，所以120A =︒，所以222222c o s 12023D E x y xyx y x y x y=+-︒=++≥+=，又3DE =，所以3xy ≤，当且仅当x y ==所以121sin12011121112121226sin120sin120131223xy S xy S xy xy xy ︒===≤=-⨯⨯⨯︒-︒--.故选C ．【名师点睛】设AD x =，(06,02)AE y x y =<≤<≤，又t a n A =所以120A =︒，利用余弦定理和基本不等式求得3xy ≤，再利用三角形的面积公式，即可求解结果．在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．7．（河南省2018届高三最后一次模拟考试数学试题）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin a A b B ++sin sin ,A c C =2,a =b =，则s i n B =__________．【解析】因为sin sin sin a A b B ++sin A c C =，所以222a b c +=.由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-= =0πC <<，所以3π4C =.所以2222c o sc a b a b =+-(2222C =+-2202⎛⨯⨯-= ⎝⎭，所以c =.由正弦定理得sin sin c b C B =sin 2B=，解得sin 5B =. 【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合正弦定理角化边可得3π4C =，结合余弦定理求得c 的长度，最后利用正弦定理即可求得最终结果.8．（福建省龙岩市 2018届高三下学期教学质量检查(4月)数学试题）在锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，,A C ∠∠的对边长分别是,a c ，则c a的取值范围为_______.。
2019高考数学复习：正弦定理和余弦定理
第6节 正弦定理和余弦定理最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知 识 梳 理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：[常用结论与微点提醒] 1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.3.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝()A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×23，解得b＝3⎝⎛⎭⎪⎫b＝－13舍去.答案 D3.(一题多解)(2018·郑州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝22，且C＝π4，则△ABC的面积为()A.3＋1B.3－1C.4D.2解析法一由余弦定理可得(22)2＝22＋a2－2×2×a cos π4，即a2－22a－4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°5.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________.解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3(2)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( )A.1个B.2个C.0个D.无法确定(3)(2018·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________. 解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4. 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得2sin 3π4＝2sin C ， 则sin C ＝12，得C ＝π6.(2)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个.(3)由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理得，c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc 得，a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32，∴A ＝π6.答案 (1)B (2)B (3)π6规律方法 1.判断三角形解的个数的两种方法(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】 (2017·河北名校联盟质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A的大小；(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.解(1)2a cos C－c＝2b，由正弦定理得2sin A cos C－sin C＝2sin B，2sin A cos C －sin C＝2sin(A＋C)＝2sin A cos C＋2cos A sin C，∴－sin C＝2cos A sin C，sin C≠0，∴cos A＝－1 2，又A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)在△ABD中，由正弦定理得，ABsin∠ADB＝BDsin A，∴sin∠ADB＝AB sin ABD＝22.又∠ADB∈(0，π)，A＝2π3，∴∠ADB＝π4，∴∠ABC＝π6，∠ACB＝π6，AC＝AB＝2，由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a＝ 6.考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－a cos B ＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析∵c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.答案 D考点三和三角形面积有关的问题【例3】(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3.即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.规律方法 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练3】 (2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a . 解 因为AB→·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6， 又因为S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6， 因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4. 又因为b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29，所以a ＝29.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·沈阳质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2B.1C. 3D. 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b sin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( ) A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，由a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝2π3，∴B ＝π6. 答案 D3.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B. 3C.2 3D.2解析 因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，BC ＝ 3. 答案 B4.(2017·石家庄检测)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 解析 因为cos 2B 2＝a ＋c2c ，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝ac ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形. 答案 B5.(2018·安徽江南十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( )A.2512πB.2524πC.3＋32πD.3＋34π解析 ∵A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，∴A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12， 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ＝2R ，b ＝2R sin B ＝3R ，则sin C ＝ sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S 1＝12ab sin C ＝12×2×3×2＋64R 2＝3＋34R 2， S 2＝πR 2，∴S 1S 2＝3＋34π.答案 D 二、填空题6.(2017·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________.解析 因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.答案 327.(2018·合肥质检改编)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________.解析 b cos A ＋a cos B ＝2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6， 所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π. 答案 9π8.(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， 将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc . ∵c ≠0，∴等式两边除以c 2，得2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋bc ，解得b c ＝1.答案 1 三、解答题9.(2018·安徽江南十校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，函数f (x )＝3＋23sin x cos x ＋2cos 2x ，且f (A )＝5. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可得：f (A )＝3＋23sin A cos A ＋2cos 2A ＝5， ∴23sin A cos A ＝2(1－cos 2A )， ∴sin A (3cos A －sin A )＝0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，A ＝π3.(2)由余弦定理可得：4＝b 2＋c 2－2bc cos π3，4＝b 2＋c 2－bc ≥bc (当且仅当b ＝c ＝2时“＝”成立)，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，故△ABC 面积的最大值是 3.10.(2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC . (1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.解 (1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理， 得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝2×327＝217. (2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC， ∴CD ＝7×27732＝433. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·长沙模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B.6sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3D.23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A . 于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3. 答案 C12.(2018·广东省际名校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________. 解析 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sin C ＝32， 由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.所以S △ABC ＝34.答案 3413.(2018·西安质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ；(2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .(1)证明 由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则a cos C ＋c cos A ＝b .∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)解 ∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14，∴b ＝4.。
正弦定理和余弦定理2019高考数学专项复习精讲105页PPT
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
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11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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正弦定理和余弦定理2019高考数学考 点精讲
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、பைடு நூலகம்云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
2019年高考数学(理)考点一遍过 考点17 正、余弦定理及解三角形含解析
考点17 正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设ABC△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）12S ah= (h为BC边上的高)；（2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c=++(r为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A=b sin C=c sin B，h B=c sin A=a sin C，h C=a sin B=b sin A．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤考向一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等．（2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=.典例1 在ABC △中，内角所对的边分别为，若，，则ca的值为A ．1 BC D【答案】D典例2 已知ABC △的内角的对边分别为,且.(1)求； (2)若,线段的垂直平分线交于点,求的长.【解析】(1)因为,所以.由余弦定理得，又，所以. （2）由（1）知,根据余弦定理可得，所以.由正弦定理得sin 2B =，解得.从而cos B =. 设的中垂线交于点,因为在Rt BDE △中,，所以cos BE BD B ===， 因为为线段的中垂线，所以.1．在ABC △中，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin cos sin cos C B a BB b A -=，则A =A BC D 2．在ABC △中，边上一点满足，.（1）若，求边的长；（2）若，求.考向二 三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例 3 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足3cos cos sin sin cos 2A C A CB ++=，且,,a b c 成等比数列.（1）求角B 的大小； （2）若2,2tan tan tan a c ba A C B+==,试判断三角形的形状.（2）由2tan tan tan a c bA C B+=,利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,所以ABC △是等边三角形.3．在ABC △中，，，分别为角，，所对的边，若，则ABC △A ．一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是斜三角形D ．一定是直角三角形考向三 与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4 在ABC △中，角的对边分别为，且．（1）求角； （2）若，求ABC △面积的最大值．【解析】（1）由已知和正弦定理得，，，解得．（2）由余弦定理得：，即，整理得：．∵（当且仅当取等号），∴，即，，故ABC △面积的最大值为．【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 典例5 在ABC △中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求ABC △周长的取值范围.【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，，所以＝cos ∠DAC ＝1×2×cos∠DAC ＝3,所以cos ∠DAC ＝.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-⋅⋅＝12＋1－2×2×1×＝7，所以CD ＝.（2）在ABC △中，由正弦定理得4sin sin sin sin 3AB BC AC C A B ====，，ππ0,sin 33A A ⎤⎛⎫<<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.，故ABC △周长的取值范围为.4．在ABC △中，内角所对的边分别是，已知. （1）求； （2）当时，求的取值范围．5．在ABC △中，内角，，所对的边分别为，，，且ABC △的面积.（1）求；（2）若、、成等差数列，ABC △的面积为，求.考向四 三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π4B =，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，DC =A 的大小； （2）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 【解析】（1）在BCD △中，π4B =，1BC =，DC =由正弦定理得sin sin BC CDBDC B =∠，解得1sin BDC ∠==，所以π3BDC ∠=或2π3. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π3BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3A =. （2）由题意可得1π1sin 246BCD S BC BD =⋅⋅⋅=△，解得3BD =， 由余弦定理得222π2cos4CD BC BD BC BD =+-⋅⋅=2512199+-⨯=，解得CD =，则AB AD BD CD BD =+=+=.所以AB 的长为3.6．如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )a b C C =+.（1）求角B 的大小；（2D 为ABC △外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABCD 面积的最大值. 考向五 解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角为60︒，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？（2）在BCD △中，由余弦定理得6CD =，在BCD △中，由正弦定理得所以山顶位于D 处南偏东45︒方向.7．某新建的信号发射塔的高度为AB ，且设计要求为：29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得60BDC ∠=︒， 75BCD ∠=︒， 40CD =米，并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且1CE =米，则发射塔高AB =A ．()1米B ．()1米C ．()1米D ．()1米考向六 三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8 在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =uu u r uu u rABC △的面积．【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=，πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-，所以π06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3BD BC =uu u r uu u r ，得||3BC x =uu u r ，由（1）知πA C ==，所以||3BA x =uu r 在ABD △2π1x =，所以3AB BC ==，典例9 ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， 所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.8．已知函数（）的图象上相邻的最高点间的距离是.（1）求函数的解析式；（2）在锐角ABC △中，内角满足，求的取值范围.1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若a ，b ＝3，B ＝60°，则A = A ．45°B ．45°或135C ．135°D ．60°或120°2．在△ABC 中，若tan A ·tan B ＜1，则该三角形一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上都有可能3．在ABC △中，，，则角的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．ABC △中，2AB =，BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于A B ．34C ．2D ．35．已知ABC △的面积为，，则的最小值为A ．B ．C ．D ．6．设ABC △的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2B ．4C ．D ．17．已知ABC △的内角的对边分别为，若，，则A ．2B ．C ．D ．8．若ABC △的三个内角所对的边分别是，，且，则A ．10B ．8C ．7D ．49．已知ABC △的面积为，三个内角，，的对边分别为，，，若，，则A ．2B ．4C ．D ．10．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大值为 .11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.12．在ABC △中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求； （2）求的值．13．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．14．如图所示，在ABC △中, 点D 为BC 边上一点，且1BD =,E 为AC 的中点,7B =2π3ADB ∠=.（1）求AD 的长； （2）求ADE △的面积.15．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．16．已知函数（1）当时，求的值域；（2）在ABC △中，若求ABC △的面积.1．（2017山东理科）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B =D ．2B A =2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．3．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π64．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．5．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .6．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.7．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．8．（2018北京理科）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．9．（2017天津理科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin(2)4A +的值．1．【答案】C△中，，∴，2．【解析】（1）∵，∴在Rt ABD△中，，在ABC由余弦定理可得，，所以.△中，由正弦定理可得，（2）在ACD∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，化简得，即，∵，∴.3．【答案】D【解析】已知，利用正弦定理化简得：，整理得：，，，即.△为直角三角形.故选D．则ABC4．【解析】（1）由正弦定理可得：，又，所以，则，因为，所以， 因为，所以.5．【解析】（1）∵，∴，即，∵，∴.（2）∵、、成等差数列，∴， 两边同时平方得：， 又由（1）可知：， ∴，∴，，由余弦定理得，，得，∴.6．【解析】（1）在ABC △中，由(sin cos )a b C C =+，得s i n s i n (s i n c o A B C C =+，即sin()sin (sin cos )B C B C C +=+，cos sin sin sin B C B C ∴=，又sin 0C >，∴cos sin B B =，即tan 1B =，∵(0,π)B ∈，∴（2）在BCD △中，2BD =，1DC =，22212212cos 54cos BC D D ∴=+-⨯⨯⨯=-.，∴ABC △为等腰直角三角形，7．【答案】A【解析】过点E 作EFAB ⊥，垂足为F ，则,1EF BC BF CE ===米，30AEF ∠=︒， 在BDC △中，由正弦定理得.在Rt AEF △中，. 所以1AB AF BF =+=+米，符合设计要求.故选A ． 8．【解析】（1）.因为函数图象上相邻的最高点间的距离是，所以，由，，得，所以.（2）由得，即，则，又，所以.因为ABC △是锐角三角形，所以， 则，所以，故.1．【答案】A【解析】∵a ，b ＝3，B ＝60°，∴由正弦定理可得3sin sin 60A =︒，∴sin A ＝2=32.又a <b ，∴A ＝45°． 2．【答案】B【解析】由已知条件，得sin sin cos()cos 1,0,0,cos cos cos cos cos cos A B A B CA B A B A B+⋅<><即即 说明cos A ，cos B ，cos C 中有且只有一个为负．因此△ABC 一定是钝角三角形． 3．【答案】A【解析】因为sin sin AB BC C A=，所以，所以，又，则必为锐角，故.5．【答案】A【解析】由题意知ABC △的面积为，且，所以，即，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值为，故选A ．6．【答案】D 【解析】因为，所以，即，所以，所以，因为，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 2a R A =⨯==，故选D ． 7．【答案】D 【解析】∵是三角形的内角，∴，∴，由得561sin 56653sin 395a Bb A⨯===，故选D ．8．【答案】B 【解析】由题意知,即，即，由正弦定理和余弦定理得：，即，即，则，故选B ．9．【答案】A【解析】ABC △的面积为.则由，可得.化简得，即，所以，解得或（舍去）.所以.所以.故选A ．10．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 24S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤∴ADC △的面积的最大值为12．【解析】（1）在ABC △中，由余弦定理得，解得．（2）在ABC △中，由得，∴，在ABC △中，由正弦定理得sin 310B =， ∴， 又，故，∴，∴．13．【解析】（1）∵∥m n ，∴sin cos b A B =，由正弦定理，得sin sin cos B A A B =，∵sin 0A >，∴sin B B =，即tan B = ∵0πB <<，∴（212ac =，解得4ac =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得221422a c ac =+-⨯2()3a c ac =+-2()12a c =+-，故4a c +=．（2）由（1）知2AD =，依题意得23AC AE ==.在ACD △中，由余弦定理得222AC AD DC =+-2cos AD DC ADC ⋅∠,即2π9422cos 3DC DC =+-⨯⨯,即2250DC DC --=,解得1DC =（负值舍去）.1332+（2）因为π3B =， 所以2π3A C +=. 22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-131cos 2cos 2212cos 22222A A A A A=--+=+-π1)3A =-.因为2π03A <<，ππ2π33A -<-<，所以πsin(2)13A <-≤， 所以()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛-+ ⎝． 16．【解析】（1）当，即时，取得最大值3； 当，即时，取得最小值，故的值域为.（2）设ABC △中所对的边分别为.即得又，即即易得1．【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.2．【答案】A 【解析】因为所以，选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4．【答案】,24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥， △ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1115cos ,sin 14DBC DBC ∠=-∠=-=，∴1sin 2△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠= ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．5．【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=.在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=.所以5BC =.6．【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 7．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin 2BB =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =．又=2ABC S △，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+= 所以2b =．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．8．【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()2727-+14． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337=，∴AC ．9．【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==．所以，b sin A（2）由（1）及a c <，得cos A =， 所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．。
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考点17 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-1
4,则b
b
= ()
A.6
B.5
C.4
D.3
【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.
【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果.
【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-1
4=cos A=b2+b2-b2
2bb
,所以b2-4b2
2bb
=-1
4
,所以3b
2b
=1
4
,所以
b b =3
2
×4=6,故选A.
二、填空题
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π
3
,则△ABC的面积为.
【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用.
【解析】因为cos B=b2+b2-b2
2bb
,
又因为b=6,a=2c,B=π
3
,可得c2=12,
1
解得c=2√3,a=4√3,
则△ABC的面积S=1
2×4√3×2√3×√3
2
=6√3.
答案:6√3
3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用.
【解析】已知b sin A+a cos B=0,由正弦定理可得sin B sin A+sin A cos B=0,即sin B=-cos B,
又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=√2
2,cos B=-√2
2
,故B=3π
4
.
答案:3π
4
4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=
.
【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.
【解析】在△ABD中,由正弦定理有:bb
sin∠bbb =bb sin∠bbb
,
而AB=4,∠ADB=3π
4
,AC=√bb2+bb2=5,
sin∠BAC=bb
bb =3
5
,cos∠BAC=bb
bb
=4
5
,所以BD=12√2
5
.
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)
=cosπ
4cos∠BAC+sinπ
4
sin∠BAC=7√2
10
.
2
答案:12√2
57√2 10
三、解答题
5.(2019·全国卷Ⅰ理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin B sin C.
(1)求A.
(2)若√2a+b=2c,求sin C.
【命题意图】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.
【解题指南】(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:b2+c2-a2=bc,从而可求出cos A,根据A∈(0,π)可求得结果;(2)利用正弦定理可得√2sin A+sin B=2sin C,利用sin B=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sin C和cos C的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果.
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos A=b2+b2-b2
2bb =1 2 .
因为0°<A<180°,所以A=60°.
(2)方法一:由(1)知B=120°-C,
由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C,
即√6
2+√3
2
cos C+1
2
sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√2
2
.
3。