内切球外接球问题
高中数学难搞问题之外接球内切球问题(学生版)
外接球、内切球专题外接球几何体的外接球一、定义1. 球的定义: 空间中到定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹) 叫球面, 简称球.2. 外接球的定义: 若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.3. 内切球的定义: 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关性质1.性质:性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等;性质2:经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心,该平面截球所得圆是大圆;性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面 (类比:圆的垂径定理);性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心;性质5:在同一球中,过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交, 交点是球心 (类比:在同圆 中,两相交弦的中垂线交点是圆心 ).2.结论:由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其对角线的中点.结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心外心的连线的中点.结论4:正棱雉的外接球的球心在其高上, 具体位置可通过计算找到.结论5:若棱雉的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.正方体正方体的外接球、内切球和棱切球1.正方体的外接球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a ，则正方体外接球的半径为R =22a 2+a 2 2=32a .2.正方体的内切球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a ，则正方体内切球的半径为R =a 2.3.正方体的棱切球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a ，则正方体棱切球的半径为R =a 2 2+a 2 2=2a 2.正方体的每个面与其棱切球的交线轨迹为圆.正三棱锥正三棱锥的外接球结论：正三棱锥的外接球的球心在顶点与底面外接圆的圆心连线上,切球心到顶点与到底面的距离之比为3:1,即OP :OO 1=3:1.则若正三棱锥的边长为a ,则正三棱锥外接球的半径R =64a ,正三棱锥的高h =63a .【证明】：如图所示：将正三棱锥P -ABC 放进正方形中，由正三棱锥的边长为a 可得正方体的棱长为22a 故正三棱锥外接球的半径即为正方体外接球的半径∴R =32⋅22a =64a ,即OP =OC =64a 设底面ABC 外接圆的半径为r ，正三棱锥P -ABC 的高为h则a sin 60∘=2r ,即r =33a ,h =O 1P =PC 2-r 2=a 2-33a 2=63a ∴OO 1=OC 2-O 1C 2=R 2-r 2=612a 故OP OO 1=64a 612a =3正十四面体正十四面体的外接球定义：从正方体中切掉八个小的正三棱锥所得到的几何体称为正十四面体，如图所示，它有六个面为正方形，八个面为正三角形.正十四面体是阿基米德立体中的一种.结论①：正十四面体的外接球的球心就是正方体棱切球的球心.若正十四面体的边长为a ,则正方体的边长为2a ,正十四面体的高R =22⋅2a =a .结论②：若正十四面体的边长为a ,则正十四面体的体积V =532a 3.【证明】：由正十四面体的边长为a 可知：正方体的边长为2a 故切掉的一个小三棱锥的体积为V 0=13×12×22a 3=224a 3∴正十四面体的体积V =2a 3-8V 0=532a 3结论③：正十四面体的体积与正方体的体积之比为5∶6.【证明】：∵正十四面体的体积V =532a 3,正方体的体积为V 1=2a 3=22a 3∴正十四面体的体积与正方体的体积之比为V V 1=532a 322a 3=56.长方体长方体的外接球结论：长方体的外接球的球心是其对角线的交点,若长方体的长为a,宽为b，高为c，则长方体外接球的半径R=a2+b2+c22.【证明】：如图所示：AC=AB2+BC2=a2+b2∴2R=AC1=AC2+CC12=a2+b2+c2,即R=a2+b2+c22四种典型模型：外接球对棱相等模型结论：对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造长方体的方法解决.若三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z.,则几何体外接球的半径为R= x2+y2+z28.【证明】：如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，AC=BD=x,AB=CD=y, AD=BC=z.则b2+c2=z2 a2+c2=y2 a2+b2=x2三式相加可得a2+b2+c2=x2+y2+z22,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则a2+b2+c2=4R2，∴R=a2+b2+c22=x2+y2+z28.外接球墙角模型定义：墙角模型是指几何体中有三条棱两两互相垂直的模型，采用构造法长方体或正方体解决问题.1.如果两两互相垂直的三条棱相等，则构造正方体模型.若棱长为a ，则几何体的外接球半径为R =32a .2.如果两两互相垂直的三条棱不全相等，则构造长方体模型.若两两互相垂直的三条棱的棱长分别为a 、b 、c ,则几何体的外接球半径为：R =a 2+b 2+c 22柱体与锥体外接球①柱体的外接球：柱体的外接球的球心是上下底面圆心连线的中点,若柱体的底面半径为r,高为h，则柱体外接球的半径R=r2+h2 2.②锥体的外接球：锥体的外接球的球心在顶点与底面圆心的连线上,若锥体的底面半径为r,高为h，则锥体外接球的半径R=r2+h2 2.【证明】：如图所示：OA=OP=R,O1A=r,O1P=h则OO1=O1P-OP=h-R在△AOO1中：OA2=OO12+O1A2,即R2=h-R2+r2∴R=h2+r22h汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法解决找球心法:多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．则多面体外接球的半径为：R =r 2+h 24其中，h 为直棱柱的高，r 为底面外接圆的半径.以直棱柱为例，模型如下图：如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：确定球心O 的位置，O 1是ΔABC 的外心，则OO 1⊥平面ABC ；第二步：算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=12AA 1=12h (AA 1=h 也是圆柱的高)；第三步：勾股定理：OA 2=O 1A 2+O 1O 2⇒R 2=h 2 2+r 2⇒R =r 2+h 2 2，解出R .注意：底面外接圆的半径r 的求法1.正弦定理：a sinA =2R (通用)；2.直角三角形：半径等于斜边的一半；3.等边三角形：半径等于三分之二高；4.长（正）方形：半径等于对角线的一半.结论：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD 的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=h 2,则棱锥的外接球半径为：R =r 2+h 24．解题步骤：第一步：将ΔABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：O 1为ΔABC 的外心，所以OO 1⊥平面ABC ，算出小圆O 1的半径O 1D =r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a sin A =b sin B =c sin C =2r )，OO 1=12PA =12h ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12⇔R =r 2+OO 12=r 2+h 24外接球斗笠模型斗笠模型：棱锥、圆锥的顶点在底面的射影是底面外心的．多面体外接球公式为：R =h 2+r 22h其中h 为几何体的高，r 为几何体的底面半径或底面外接圆的半径.【证明】：∵P 的射影是△ABC 的外心∴三棱锥P -ABC 的三条棱相等 取△ABC 的外心O 1,球心O 的位置，则P ,O ,O 1三点共线； 由勾股定理可得：OA 2=O 1A 2+O 1O 2,即R 2=h -R 2+r 2解得：R =h 2+r 22h台体外接球台体的外接球结论：台体的外接球的球心在上下底面外接圆圆心的连线上,若台体下底面的外接圆半径为r 1,上底面的外接圆半径为r 2,高为h ，则台体外接球的半径为：R =r 12-r 22+h 22h2+r 22【证明】：如图所示：设球心到下底面的距离为h 1，到上底面的距离为h 2,则R 2=h 22+r 22⋯①R 2=h 12+r 12⋯②②-①得：h 22+r 22-h 12-r 12=0,即h 22+r 22-h -h 2 2-r 12=0整理得：r 22-h 2-r 12+2h ⋅h 2=0∴h 2=r 12-r 22+h 22h故R 2=h 22+r 22=r 12-r 22+h 22h2+r 22,即R =r 12-r 22+h 22h2+r 22切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面,即α⏊β.类型Ⅰ：△ABC与△BCD都是直角三角形,则三棱锥A-BCD的外接球球心在斜边BC的中点O.类型Ⅱ：△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，则三棱锥A-BCD的外接球球心为△ABC外接圆的圆心O.类型Ⅲ：△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ：侧面△ABC是一般三角形，设为α平面，底面是一般三角形或四边形，设为β平面，如图，解决方法是过α，β的外心O2,O1作所在平面的垂线，垂线必交于一点O，O即为外接球的球心.则几何体的外接球半径为R=r21+r22-l24其中r1、r2为平面α，β的外接圆的半径，l为两个面的交线BC的长.【证明】：过O1，O2作AB的垂线，则OO1⎳O2E,OO2⎳O1E∵α⏊β∴四边形OO2EO1为矩形∴R2=OB2=OO22+O2B2=O1E2+O2B2=O1B2-BE2+O2B2=r21+r22-l24即R=r21+r22-l2 4折叠模型：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.结论：如图所示：△ABD 和△CBD 是两个全等的三角形（或者等腰三角形），把△ABD 沿BD 折叠起来，使点A 折叠到点A ,E 为BD 的中点，设折叠的二面角 ∠A EC =α,CE =A E =h ，△ABD 和△BCD 的外接圆的半径为r ,H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心，过H 1作平面BCD 的垂线，过H 2作平面A BD 的垂线，这两条垂线相交于球心O ,则R =r 2+(h -r )2tan 2α2【证明】：在△BCD 中：CH 1=r ,CE =h ,EH 1=CE -CH 1=h -r ,在△COH 1中：OH 1=EH 1⋅tan α2=(h -r )tanα2由勾股定理可得：R 2=OC 2=OH 21+CH 21=(h -r )2tan 2α2+r 2.∴R =r 2+(h -r )2tan 2α2结论：鳄鱼模型即普通三棱锥模型（两个面不垂直），用找球心法可以解决.如果m 为平面ACD 外接圆圆心O 2到交线CD 的距离，n 为平面BCD 外接圆圆心O 1到交线CD 的距离，θ为二面角A -CD -B 的平面角，l 为交线CD 的长,R 为外接球半径,则R =m 2+n 2-2mn cos θsin 2θ+l 24【证明】：如图所示：∵OO 1⏊O 1E ,OO 2⏊O 2E∴O ,O 1,E ,O 2四点共圆在△O 1O 2E 中，由余弦定理可得：O 1O 22=m 2+n 2-2m ⋅n ⋅cosθ在△OO 1O 2中，由正弦定理可得：O 1O2sinθ=2r 0=OE （r 0为△OO 1O 2外接圆半径）∴R 2=OC 2=OE 2+CE 2=O 1O 2sinθ 2+l 2 2=m 2+n 2-2mn ⋅cos θsin 2θ+l 24内切球内切球结论以三棱锥P-ABC为例，如下图所示：求其内切球的半径r．方法：等体积法，三棱锥P-ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：V P-ABC=V O-ABC+V O-PAB+V O-PAC+V O-PBC⇒V P-ABC=13S△ABC·r+13S△PAB·r+13S△PAC·r+13S△PBC·r=13(S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC)·r；第三步：解出内切球半径r=3V P-ABCS O-ABC+S O-PAB+S O-PAC+S O-PBC=3VS表．内切球半径公式：r=3VS表，其中S表为几何体的表面积，V表示几何体的体积.题型一：墙角模型1.长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=3,AA1=1，则球面面积为()A.83πB.43πC.4πD.8π2.已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为()A.πB.3πC.6πD.9π3.已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=3，BC=2，CD=5，则球O的表面积为( )A.12πB.7πC.9πD.8π4.若三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为( ).A.3B.6C.36D.95.已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于( ).A.4πB.3πC.2πD.π6.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为().A.7πB.14πC.72πD.714π37.三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为()A.272πB.2732π C.273πD.27π8.已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于.9.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=23，AC= AD=4，CD=22，则球O的表面积为.10.已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为12π，则这个正方体的体积为.11.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为325，AA1=25，则当长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积最小时，该长方体外接球的体积为.变式演练1.在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.6πB.12πC.32πD.36π2.(多选题)一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是()A.22πB.32πC.πD.52π3.在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB=BC=36CD，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为.4.长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.5.已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为.6.在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，三内角B，A，C成等差数列，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为.7.如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=-13，D是棱BC的中点，以AD为折痕把△ACD折叠，使点C到达点C 的位置，则当三棱锥C -ABD体积最大时，其外接球的表面积为.8.在三棱锥P-ABC中，点A在平面PBC中的投影是△PBC的垂心，若△ABC是等腰直角三角形且AB=AC=1，PC=3，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为9.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两互相垂直且AC=13,AB=5，此三棱锥的外接球的表面积为14π，则BC=．10.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°，AB=23，∠ACB=60°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为．题型二：对棱相等模型1.在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是( )A.6πB.6πC.3632π D.3 2π2.四面体P-ABC的一组对棱分别相等，且长度依次为25，13，5，则该四面体的外接球的表面积为( )A.294πB.28πC.29296π D.29π3.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=11，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.26πB.12πC.8πD.24π4.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=3，PB=AC=2，PC=AB=5，则三棱锥P-ABC外接球的体积为( )A.2πB.3πC.6πD.6π5.正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．6.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．7.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的体积为．8.已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2，则AC=．9.在四面体ABCD中，AD=AC=BC=BD，AB=CD=42，球O是四面体ABCD的外接球，过点A作球O的截面，若最大的截面面积为9π，则四面体ABCD的体积是．变式演练1.表面积为83的正四面体的外接球的表面积为( )A.43πB.12πC.8πD.46π2.正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A.12πB.32πC.8πD.24π3.蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足AB=CD=5，BD=AC=6，AD=BC=7，则该鞠的表面积为( )A.55πB.60πC.63πD.68π4.已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．5.已知四面体ABCD满足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．6.三棱锥中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．则三棱锥的外接球的表面积为______.7.已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC= AD=BC=BD=5，则a=________.8.在三棱锥P-ABC中，若PA=PB=BC=AC=5，PC=AB=42，则其的外接球的表面积为 ．9.已知在四面体ABCD中，AB=CD=22,AD=AC=BC=BD=5，则四面体ABCD的外接球表面积为 ．10.若四面体ABCD中，AB=CD=BC=AD=5，AC=BD=2，则四面体的外接球的表面积为．11.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=5，PB=AC=17，PC=AB=10，则该三棱锥外接球的表面积为；外接球体积为．12.在四面体ABCD中，AC=BD=2，AD=BC=5，AB=CD=7，则其外接球的表面积为.题型三：斗笠模型1.已知在高为2的正四棱锥P-ABCD中，AB=2，则正四棱锥P-ABCD外接球的体积为()A.4πB.9π2C.27π4D.8π32.正三棱锥P-ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P-ABC外接球的体积为()A.32π3B.6πC.6πD.82π33.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=5，AB=AC=BC=3，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是()A.9πB.152πC.4πD.254π4.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB= BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36π D.32π5.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，AB =AC =1，BC =3，则该三棱锥外接球的体积为( )A.4π3 B.823π C.43π D.323π6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π47.正三棱锥P -ABC 底面边长为2，M 为AB 的中点，且PM ⊥PC ，则三棱锥P -ABC 外接球的体积为()A.32π3B.6πC.6πD.82π38.已知一个圆锥的底面面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于.9.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为________．10.如图所示，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，cos ∠PEF =22，若A ，B ，C ，D ，P 在同一球面上，则此球的体积为．11.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =26,AC =AB =4，且AC ⊥AB ，则该三棱锥外接球的表面积为．变式演练1.某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为()A.243256B.128243C.128729D.2567292.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为3π，则球O 的表面积等于()A.81π8B.81π2C.121π8D.121π23.已知一个圆锥的底面圆面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于()A.12πB.16πC.36πD.48π4.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为2π3，面积为3π，则球O 的表面积等于()A.81π8B.81π2C.121π8D.121π25.已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是()A.43πB.833π C.4π D.4π36.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为()A.3πB.4πC.9πD.12π7.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为( )A.πB.π3C.4π D.4π38.在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =6，AC =AB =2，且AC ⊥AB ，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π B.8π C.16π D.9π9.已知体积为3的正三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，若满足OA +OB +OC =0 ，则此三棱锥外接球的半径是( )A.2 B.2 C.32 D.3410.已知正四棱锥P -ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A.124π3 B.625π81 C.500π81D.256π911.已知在高为2的正四棱锥P -ABCD 中，AB =2，则正四棱锥P -ABCD 外接球的体积为()A.4πB.9π2C.27π4D.8π312.设圆锥的顶点为A ，BC 为圆锥底面圆O 的直径，点P 为圆O 上的一点(异于B 、C )，若BC =43，三棱锥A -PBC 的外接球表面积为64π，则圆锥的体积为.13.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若ΔSAB的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是．14.在六棱锥P-ABCDEF中，底面是边长为2的正六边形，PA=2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于．题型四：汉堡模型1.已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为()A.17B.77C.37D.2172.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=8，AC=6，则球O的表面积为()A.10πB.25πC.50πD.100π3.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，ΔAPC的面积为3，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为()A.323π3 B.43π3 C.86π D.326π4.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，AB=AD=1，BC= CD=2，若球O的表面积为9π，则四棱锥P-ABCD的体积为()A.4B.43C.25D.2535.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=2，CD=2，AC=AD=5，则球O的表面积为()A.6πB.2πC.3πD.6π6.已知边长为3的正△ABC的顶点和点D都在球O的球面上.若AD=6，且AD⊥平面ABC，则球O的表面积为()A.323πB.48πC.24πD.12π7.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为()A.482B.242C.962D.1228.(多选题)在四面体ABCD中，AB⊥AC，AC⊥CD，直线AB，CD所成的角为60°，AB=CD =43，AC=4，则四面体ABCD的外接球表面积为()A.16053π B.52π C.80π D.208π9.已知四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是高为12的等腰梯形，AD⎳BC，AD=PA=1，BC=2，则球О的表面积为()A.10πB.4πC.5πD.6π10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.32π11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=23，∠BAC=2π3，则球O的体积为( )A.32π3B.3πC.4π3D.8π12.在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD,AB⊥BC,AD⊥CD，且∠BAD=120°,PA=设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是4010π3，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是______．变式演练1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为( )．A.3172 B.210 C.132D.3102.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A.πa2B.73πa2C.113πa2D.37πa23.直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于( )．A.10πB.20πC.30πD.40π4.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A.4πB.16π3C.32π3D.16π5.若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A.(125-12)πB.123πC.(123+3)πD.16π6.一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )A.28π3B.22π3 C.43π3 D.7π7.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=8，AC=6，则球O的表面积为()A.10πB.25πC.50πD.100π8.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，AB=AD=1，BC=CD =2，若球O的表面积为9π，则四棱锥P-ABCD的体积为()A.4B.43C.25D.2539.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°,若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍10.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，AA1=2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3B.4030π27 C.32030π27 D.20π11.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，ΔAPC的面积为3，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为()A.323π3 B.43π3 C.86π D.326π12.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=6，则该直三棱柱外接球的表面积为( )A.72πB.114πC.136πD.144π13.设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，且底面△ABC的面积为23，则此直三棱柱外接球的表面积是( )A.16πB.4010π3 C.40π D.64π14.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的表面积为( )A.36πB.144πC.169πD.256π题型五：垂面模型1.已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13813πB.13πC.136πD.13136π2.三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π3.在三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.643πB.2563πC.4363πD.2048327π4.在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120˚，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π5.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAB，若AB=BC=1，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.24πB.8πC.6πD.8π36.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P-ABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，AD=4，二面角P-BC-A为60°，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )A.16πB.20πC.643πD.32π7.三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.18πB.21π2C.21πD.42π8.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.32π9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为________．10.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED=3，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为92π，则阳马P-ABCD的外接球的表面积为________．11.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA⊥平面ABCD，PA=4，AB=3，AD=1，则该“阳马”外接球的表面积为．12.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=4．若三棱锥P-ABC外接球的半径为22，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为．13.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，cos∠ACB=13，若三棱锥P-ABC外接球的表面积为52π，则三棱锥P-ABC体积的最大值为．变式演练1.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC =2，∠BAC=60°，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.64π2.在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π3B.82π3 C.8πD.12π3.如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.7πB.5πC.3πD.π4.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA=26，则△OAB的面积为( )．A.3B.22C.33D.635.在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，底面ΔABC是边长为3的正三角形，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.19πB.28πC.43πD.76π6.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，ΔABC是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3B.4πC.8πD.20π7.三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为( )A.253πB.252πC.833πD.832π8.在三棱锥S-ABC中，侧棱SC⊥平面ABC，SA⊥BC，SC=1，AC=2，BC=3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.14πB.12πC.10πD.8π9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°,AB=AC=23,PA=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π10.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，AC=1，BC=2，PA=2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.9πB.36πC.92πD.94π11.三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________．12.已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=4，BC=6，AC=213，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为．13.已知四面体P-ABC中，PA=PB=4，PC=2，AC=25，PB⊥平面PAC，则四面体P-ABC外接球的表面积为．14.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为．15.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB=1，AD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为π4．记点M的轨迹长度为α，则tanα= ；当三棱锥P-ABM的体积最小时，三棱锥P-ABM的外接球的表面积为．题型六：切瓜模型1.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π2.已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.10π3B.5πC.6πD.20π33.已知三棱锥A-BCD中，CD=22，BC=AC=BD=AD=2，则此几何体外接球的表面积为。
空间球体的外接球和内切球问题
空间球体的外接球和内切球问题在几何学中，空间球体是一个三维的球形体，有许多有趣的性质和问题。
其中，外接球和内切球问题是一种经典的几何学问题。
外接球问题给定一个空间球体，外接球问题是要找到能够刚好包围该球体的最小球体，即外接球。
这个问题可以通过寻找球心和半径来解决。
外接球必须满足以下三个条件：1. 外接球的球心与原球体的球心在同一直线上；2. 外接球的球心到原球体表面的任意一点的距离等于外接球的半径；3. 外接球的半径最小。
解决外接球问题的关键是找到外接球的球心和半径的数学表达式。
该问题的解决方案可以通过推导和几何推理来得到。
内切球问题内切球问题是要找到能够刚好被该空间球体包围的最大球体，即内切球。
与外接球问题类似，解决内切球问题也需要找到内切球的球心和半径的数学表达式。
内切球必须满足以下三个条件：1. 内切球的球心与原球体的球心在同一直线上；2. 内切球的球心到原球体表面的任意一点的距离等于内切球的半径；3. 内切球的半径最大。
解决内切球问题的方法和外接球问题类似，需要进行几何推导和推理。
应用和意义外接球和内切球问题在许多领域有着广泛的应用。
在工程学和建筑学中，解决外接球和内切球问题可以帮助设计具有最佳空间利用和结构稳定性的建筑物和零件。
在计算机图形学和计算几何学中，外接球和内切球问题是渲染和碰撞检测等算法的基础。
此外，外接球和内切球问题还与球体的包络问题和球体堆积问题等相关。
总结外接球和内切球问题是空间球体的经典几何学问题。
通过寻找最小外接球和最大内切球的球心和半径，可以解决这两个问题。
外接球和内切球问题在工程学、建筑学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
专题——几何体的外接球和内切球问题
B．112π
C.1 000π 9
D.5 000 10π 81
※内切球问题 1．正棱锥的内切球.
第一步：先现出内切球的截面图， E, H 分别是两个三角形的外心； 第二步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： OE PO ，解出 r
DH PD
2．任意多面体的内切球：等体积法，
例 3 非直二面角类型
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
专题——几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径： 3 a 6
外接圆半径： 3 a 3
面体的外接球的球心。 由定义，给出以下简单多面体外接球的球心的结论。
结论 1：正方体或长方体的外接球的球心就是其体对角线的中点，即其外接球的半径 R 满足：
2R2 a2 b2 c2 ，即 R a2 b2 c2
2 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，即正棱柱的外接球的半径 R 为： R h 2 r 2 （其中 h 为正棱柱的侧棱长， r 是底面多边形的外接圆的半径）
（1）已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 的大
小为120 的四面体，则该四面体的外接球的表面积为
。
第一步：先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出 r 3V S表
例 1、正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
球。
3．球的截面：
用一平面 去截一个球 O ，设 OO 是平面 的垂线段，O 为垂 足，且 OO d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以
内切球和外接球常见解法
内切球和外接球常见解法内切球和外接球是在几何学中常用的概念，它们分别指的是一个几何体内切或外接于另一个几何体的球。
在实际问题中，内切球和外接球常常用于优化问题和几何问题的求解，其解法也有多种。
以下将介绍一些常见的解法。
1. 解法一：利用勾股定理求解。
内切球和外接球都可以利用勾股定理求解。
以内切球为例，我们可以考虑任意三角形ABC，设其内切球的半径为r，以I为内切圆心，则：AB + AC = 2r；AC + BC = 2r；AB + BC = 2r。
整理可得：r = [ABC] / (s + a + b + c)，其中s为半周长，a、b、c为三角形ABC的三边长，[ABC]为三角形ABC的面积。
而外接球的半径r'则可用公式r'=[ABC] / (4S)，其中S为三角形ABC的外接圆半径。
欧拉定理是内切球和外接球求解的另一个重要工具。
欧拉定理有两种形式，分别为：对于任意四面体，其四个顶点、三条棱的中点和六面体质心共九个点在同一球面上。
对于任意三角形ABC，其外接圆心、垂足交点、垂心、重心四点在同一圆上，且圆心为外接球心。
利用欧拉定理可以求得内切球半径：点O为六面体质心，点I为内切圆心，则IO等于内切球半径r。
点O为三角形外心，点H为垂心，点G为重心，则OG等于外接球半径r'。
对于一些优化问题，内切球和外接球也可以通过线性规划求解。
例如，对于一个凸多面体，求其内切球或外接球的半径最大值，可以将问题转化为线性规划问题，即：max rs.t. A_i * x <= b_i, i=1,2,...,mx_i >= 0, i=1,2,...,n其中，A_i是多面体的几何信息，b_i是多面体中某一点到各个面的距离，x是优化变量，r就是所需要求的内切球或外接球半径。
可以使用线性规划求解器求解其最优解。
立体几何中球的内切和外接问题完美版
性质
内切球的球心位于旋转体 的轴线上，且球的半径等 于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内 切球常用于研究旋转体的 体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋 转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体 外侧，且球的半径等于旋 转体轴线到旋转体外侧的 垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外 接球常用于研究旋转体的 空间位置和关系。
立体几何中球的内 切和外接问题完美 版
目 录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面 体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的 每个面为$S_i$，内切球的半径
03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切 。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切 定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与 多面体的每个顶点都相切 ，且外接球的直径等于多 面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、 物理和工程领域中，外接 球的概念被广泛应用于研 究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。
1. 求立方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。
2. 求正方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。
3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。
4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。
5. 求球的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。
6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。
7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。
8. 求四面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。
9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。
10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。
以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。
希望能对你有所帮助。
（完整版）高考数学中的内切球和外接球问题.
（完整版）高考数学中的内切球和外接球问题.高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 .解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有==h x x 24368936==213x h ∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积ππ942==r S .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
球的内切、外接问题
P
球的表面积．
解1：作出截面图如图示. 由图可知，
3
AD
a,
2
2
3
AO AD
a.
3
3
a
6
2
2
∴PO PA AO
a.
3
6
∴OO PO PO
a R.
3
P
a
R
R
A
A
R O•
O•
•
O′
解得R
时，球内切于圆锥，如图所示，
O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，
设球O的半径为R，底面圆E的半径为r，
因为圆锥侧面积为2π，
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
例8 正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，若该正
四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2 6，求这个球
P
的表面积. 36π
PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
2 6
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
•
O′
R
R
A
O
O•
•
O′
O′
•
O
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值
d= |h －R |
P
3. R 2 r 2 (h R ) 2
4
9
O
1
， 解得r= 3
轴截面法
球的内切与外接问题
02 球的外接问题
球的外接几何体
球的外接三角形
一个球的外接三角形是指 一个内接于球的三角形， 其三条边的中点都在球的 球面上。
球的外接多边形
一个球的外接多边形是指 一个内接于球的n边形，其 所有顶点都在球的球面上。
球的外接圆柱
一个球的外接圆柱是指一 个内接于球的圆柱，其底 面圆心与球心重合。
球的外接线与半径
球的内切与外接问
目录
• 球的内切问题 • 球的外接问题 • 球的内切与外接问题的应用 • 球的内切与外接问题的数学原理 • 球的内切与外接问题的实际案例
01 球的内切问题
球的内切几何体
01
02
03
球的内切正方体
球心与正方体的一个顶点 重合，正方体的对角线等 于球的直径。
球的内切长方体
长方体的一个角顶点位于 球心，长方体的体对角线 等于球的直径。
球的外接圆
一个球的外接圆是指一个内接于 球的圆，其圆心位于球的球面上 。
球的半径
球的半径是指从球心到球面的距 离。
球的外接多面体
球的外接正多面体
一个球的外接正多面体是指一个内接 于球的n面体，其所有面都是等边三 角形或等边四边形。
球的外接非正多面体
一个球的外接非正多面体是指一个内 接于球的n面体，其面可以是等边三角 形、等边四边形或等腰三角形等。
根据球的外接定理，推导出多面体的所有顶点都在球面上， 以及多面体的所有边都与球的半径相等的条件。
05 球的内切与外接问题的实 际案例
建筑设计中的球内切与外接问题
建筑设计中的球内切问题
在建筑设计领域，球内切问题通常涉及到如何将一个球体完美地放入一个给定的空间内，使得球体与 空间边界相切。例如，在建造穹顶或大型球形结构时，需要精确计算球体的大小和位置，以确保其与 周围结构相切。
高中数学中的内切球和外接球问题
高中数学中立体几何的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368936 ⎪⎩⎪⎨⎧==213x h∴正六棱柱的底面圆的半径21=r，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
空间几何体的外接球内切球问题
Ｐ ＤS ＣAＯ空间几何体的外接球、内切球问题外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。
1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。
练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为 （ ）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法 练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA．3B．13π C．23π D．3二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。
空间正方体的外接球和内切球问题
空间正方体的外接球和内切球问题外接球
外接球是一个与正方体相切于所有顶点的球体。
换句话说，外接球的球心与正方体的顶点相重合，并且球体的半径刚好与正方体的边长相等。
由于正方体的六个顶点之间的距离是相等的，所以外接球也是一个等边球体。
外接球的性质有以下几点：
1. 外接球的球心与正方体的中心重合。
2. 外接球的半径等于正方体的边长。
内切球
内切球是一个与正方体的六个面相切的球体。
换句话说，内切球的球心位于正方体的中心，并且球体的半径刚好与正方体的边长的一半相等。
内切球的性质有以下几点：
1. 内切球的球心与正方体的中心重合。
2. 内切球的半径等于正方体的边长的一半。
外接球和内切球的关系如下：
1. 外接球的半径等于内切球半径的两倍。
2. 外接球的球心和内切球的球心重合。
外接球和内切球的问题在几何学和工程学中具有一定的应用价值。
通过研究它们的性质和特点，可以帮助我们更好地理解立体几何和球体的关系。
本文只是简单介绍了空间正方体的外接球和内切球问题，希望能对您有所帮助。
如需深入了解此问题，还需进一步研究和探索。
球的内切和外接问题
目录
• 球的内切问题 • 球的外接问题 • 球的切接问题在几何图形中的应用 • 球的切接问题的求解方法
01
球的内切问题
球与多面体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个多面体时，多面体的每个面都会与球面相切，形成一系列的圆。
详细描述
球与多面体的内切是指球心位于多面体的内部，并且球面与多面体的每个面都相切。这种情况下，多面体的每个 面都会与球面形成相切的圆。这种内切关系在几何学中具有重要意义，是研究球与多面体关系的基础。
详细描述
在几何作图题中，经常需要利用球的切接性质来进行几何作图，例如作一个圆或一个圆 锥的内切于另一个圆或圆锥。通过球的切接性质，可以确定相关的点和线的位置，进而
完成几何作图。
04
球的切接问题的求解方 法
利用球心距和半径关系求解
1 2
球心距
球心到球面任一点的距离等于球的半径。
求解方法
利用球心距和半径的关系，通过代数运算求出相 关量。
斜放的圆锥体的外接球
对于斜放的圆锥体，其外接球的球心位于通过顶点和底面圆 心的直线上，但不一定在轴线上。
03
球的切接问题在几何图 形中的应用
在几何证明题中的应用
总结词
利用球的切接性质，经常需要利用球的切接性 质来证明一些几何图形的性质和关系，例如 证明两个圆或两个圆锥相切于同一个点，或 者证明一个圆或一个圆锥内切于另一个圆或 圆锥等。通过球的切接性质，可以推导出相 关的角度、距离等关系，进而证明题目的结 论。
在几何计算题中的应用
总结词
利用球的切接性质，计算几何图形的相关量 。
详细描述
在几何计算题中，经常需要利用球的切接性 质来计算一些几何图形的相关量，例如计算 两个圆或两个圆锥相切时的半径、高、角度 等。通过球的切接性质，可以建立相关的数
空间圆锥体的外接球和内切球问题
空间圆锥体的外接球和内切球问题
介绍
空间圆锥体是一个三维几何体，由一个圆锥和一个直径位于圆锥顶点的球构成。
在研究空间圆锥体时，外接球和内切球问题是经常涉及的一个重要问题。
外接球
外接球是指完全包围空间圆锥体的最小球。
它的圆心位于圆锥体的顶点，并且恰好接触圆锥体的底面。
外接球的半径可以通过以下公式计算：
R = √(h^2 + r^2)
其中，R代表外接球的半径，h代表圆锥体的高度，r代表圆锥体底面的半径。
内切球
内切球是指位于空间圆锥体内部，并且与圆锥体的底面和侧面相切的最大球。
内切球的半径可以通过以下公式计算：
r' = √(h^2 + r'^2)
其中，r'代表内切球的半径，h代表圆锥体的高度，r'代表内切球底面的半径。
应用
外接球和内切球的性质在几何学和工程学中有广泛应用。
它们可以用于计算空间圆锥体的几何特征，如体积、表面积等。
此外，外接球和内切球还可以用于优化设计和模拟分析等领域。
结论
空间圆锥体的外接球和内切球问题是一个重要的几何学问题。
通过计算它们的半径，可以获得圆锥体的几何特征，并在实际应用中发挥重要作用。
立体几何中球的内切和外接问题
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
VABCD
1 3
3 2 4
2
6 1
O
D
1 3
r
S
全
3
22
3 r
B
O1
E
r 6 2 S球 8 5 2 6
切(如图).求:
(1)这个正三棱锥的表面积; (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.
考点-
解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为1 × 3×2 6 = 2,则正棱锥
32
侧面的斜高为 12 + ( 2)2 = 3.
∴S 侧=3×12×2 6 × 3=9 2.
则这个球的表面积是（ ）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
4
举一反三-突破提升
2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
A. 20 B. 25 C. 100 D. 200
4
举一反三-突破提升
已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所 示,
则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
，五个顶点都在同一个球面上，
P
设外接球半径为 R，在△OO1A 中有
D
解得 . ∴ .
O1
O C
A B
6
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，
SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习高考数学：内切球和外接球问题多面体的顶点都在同一球面上时，称该多面体为球的内接多面体，该球为多面体的外接球。
多面体外接球问题是立体几何的重点，也是高考的热点，考查学生的空间想象能力和化归能力。
解决该问题需要运用多面体和球的知识，并特别注意多面体的几何元素与球的半径之间的关系。
多面体外接球半径的求法在解题中往往起到至关重要的作用。
一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1：若正方体的棱长为3且顶点都在同一球面上，求该球的表面积。
解析：要求球的表面积，只需知道球的半径。
由于正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。
故表面积为27π。
例2：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为多少？解析：要求球的体积，还需先求出球的半径。
由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线长为3√3.因此，该球的半径为3，故该球的体积为36π。
2、求长方体的外接球的有关问题例1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则该球的表面积为多少？解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为√14，故球的表面积为14π。
例2：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则该球的表面积为多少？解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2、2、4.故该球的表面积为24π。
3、求多面体的外接球的有关问题例：一个底面为正六边形的六棱柱，侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，则该球的体积为多少？解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h。
由底面周长可得x=3/6=1/2，由体积可得h=4/3.因此，正六棱柱的底面圆的半径为√3/2，外接球的半径为√13/2.故该球的体积为(52/3)π。
球的内切和外接问题
正方体外接球的直径2R 3 2 a, R 6 a
2
4
S表
3 2
a 2
A B
O D
C
求正多面体外接球旳半径
求正方体外接球旳半径
球旳内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面旳距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点旳距离均相等。 2、正多面体旳内切球和外接球旳球心重叠。 3、正棱锥旳内切球和外接球球心都在高线上，但不 重叠。
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A )
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3 C. 1:3 4:3 9 D. 1: 8: 27
图3
图4
图5
甲球为内切球直径=正方体棱长
设为1
S甲 4 R12 =
D
C
A
B
中截面
O
.
D1
C1
A1
B1
球内切于正方体旳棱
正方形旳对角线等于球旳直径= 2a
S乙 4 R22 =2
连 AO 延长交 PD 于 G
6a 3
P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
A
a 2
•O G
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E 3a
6
S表
3 2
a2
求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积
解法2：
正方体的棱长为 2 a, 2
球与多面体旳内切、外接
球旳半径r和正方体 旳棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体旳体积与表面积
①
V球
立体几何中的外接球与内切球问题
立体几何中的外接球与内切球问题在我们的数学学习中，立体几何是非常重要的一部分。
在立体几何学习中，我们不仅需要掌握各种图形的形状和性质，也需要深入了解这些图形中的各种关系。
其中外接球和内切球是两个非常重要的概念，在立体几何中被广泛使用。
一、外接球外接球是指和一个多面体的所有顶点都相切的球。
在三维空间中，一个正四面体的外接球，就是四面体的四个顶点构成的球。
同理，其他多面体都有一组外接球。
外接球的性质可以帮助我们计算多面体的各种数据。
对于正四面体而言，我们可以得知，外接球的半径和棱长之间的关系为：外接球的半径等于正四面体棱长的一半。
这个特点可以应用于其他多面体中，为我们计算多面体提供更多帮助。
二、内切球内切球是指可以被一个多面体的所有面都切到的球。
在三维空间中，一个正四面体的内切球，就是以正四面体的每个面为切面所构成的球。
同理，其他多面体都有一组内切球。
内切球的性质可以帮助我们更好地了解多面体的各种性质。
对于正四面体而言，我们可以得知，内切球的半径和棱长之间的关系为：内切球的半径等于正四面体棱长的三分之一。
通过内切球的特点，我们可以更好地了解多面体的横截面形状，深入了解多面体的性质。
三、外接球与内切球的应用外接球和内切球在数学学科中非常重要。
在生活中，我们可以看到不少与这两个概念有关的例子。
例如，在搭建玩具拼图时，我们可以注意到玩具拼图中各个构件的外接球和内切球的关系。
同样的，建筑设计和工程规划中也常常涉及到多面体的外接球和内切球问题。
此外，街头艺术品和雕塑等艺术作品中也常常出现多面体和其相应的外接球或内切球。
总之，立体几何中的外接球和内切球是我们不能忽视的重要概念。
它们不仅仅是数学学科中的知识点，也与我们日常生活中的许多方面有着密不可分的关系。
因此，我们应该更加深入了解这两个概念，并将其应用在我们的学习和生活中，从而更好地了解和利用立体几何的基础知识。
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外接球与内切球问题
一、外接球问题
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点与重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．
（一）由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
（二）构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点
处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体与正方体．
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
（三）由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
二、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球与外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球与外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比与勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。