§7.3线性变换和矩阵.
7.3 线性变换的矩阵
第七章 线性变换 学习单元3： 线性变换的矩阵_________________________________________________________● 导学 学习目标：理解线性变换在一个基下的矩阵的概念；会计算线性变换在一个基下的矩阵；理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。
学习建议：线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系，类似于平面上点与坐标的对应关系，有了这种对应关系，可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。
建议大家多看书，认真理解概念与结论。
重点难点：重点：深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。
难点：理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。
_________________________________________________________● 学习内容 一、线性变换的确定设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 为V 的一个基，对任何11,n n V x x ξξεε∈=++L ，()A L V ∈，则11()()()n n A x A x A ξεε=++L 。
即只要知道了1(),()n A A εεL ，则()A ξ也就确定了。
命题1 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，,()A B L V ∈，则A = B 当且仅当()(),1,2,,i i A B i n εε==L 。
命题2 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基，1,,n ααL 为V 中一个向量组，则存在()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。
定理 设1,,n εεL 为V 的一个基，1,,n ααL 为V 中任意n 个向量，则存在唯一的()A L V ∈，使(),1,2,,i i A i n εα==L 。
例 设V 为P 上n 维线性空间，()A L V ∈，A 不可逆，证明存在V 的非零线性变换B ，使得BA = 0。
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
线性变换与基.
( i ) i , i 1, 2, , n
证： V ,设 x11 x2 2 xn n
定义 :V V , ＝x11 x22
xn
，nຫໍສະໝຸດ 易知 为V的一个变换，下证它是线性的.
n
n
任取 ， V , 设 = bii , cii
i 1
i 1
n
n
则 ＋＝ （bi＋c） i i , k (kbi )i
注： L(V ) Pnn ; dim L(V ) n2.
事实上，任意取定V的一组基 1, 2 , , n后， 对任意 L(V )，定义 ：
: L(V ) Pnn, ( ) A, 这里A为 在基 1, 2 , , n 下的矩阵. 则 就是L(V )到 Pnn的一个同构映射.
3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象
i 1
i 1
n
n
n
于是 ＋ （bi＋c） i i bii cii
i 1
i 1
i 1
n
n
k (kbi )i k bii k
i 1
i 1
为V的线性变换.
又 i 01 0 i1 i 0 i1 ( i ) i , i 1, 2, , n
于逆矩阵.
证：设 , 为两个线性变换，它们在基 1, 2 , , n
下的矩阵分别为A、B，即
1,2, ,n 1,2, 1,2, ,n 1,2,
,n A ,n B
①
1,2, ,n
1,2, ,n 1,2, ,n
1, 2 , , n A 1 2 n B
1,2, ,n A B
(1 ) 111 21 2
( 2
)
12 1
22 2
( n ) 1n1 2n 2
线性变换及其矩阵课件
（5）V 中线性变换的数乘运算满足： (kl)T k(lT ) ， (k l)T kT lT ，
k(T1 T2 ) •线k性T变1 换及k其T矩2 阵．
•5
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，T L(V ) ，
推论 在线性空间V 中，存在某个基使线性变换T 在该基
下的矩阵是对角阵的充要条件是矩阵 A 可对角化，其中 A 为T
在任一个基下的矩阵．
•线性变换及其矩阵
•12
例 4 设三维线性空间 R3 中的两个基1 (1,0,0) ， 2 (0,1,0) ， 3 (0,0,1) 与1 (1,1,1) ，2 (1,0,1) ，3 (0,1,1) ，
注意 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无
关向量组变成线性相关向量组．例如，零变换把任何线性无
关向量组都变成线性相关向量组．
•线性变换及其矩阵
•3
1.3.2 线性变换的运算
L(V ) 表示数域 P 上线性空间V 上的一切线性变换的集合．
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，Ti L(V ) （ i 1,2 ），
T (1 ) 1 ，T (2 ) 2 ，,T ( n ) n
证明 先证存在性．
n
任取 V ，且 ki i ．定义V 的一个变换T ： i 1
n
T ( ) ki i i 1
容易证明T 是V 上的线性变换．
取 i (i 1,2,, n) 时，得 T (1 ) 1 ，T (2 ) 2 ，,T ( n ) n
（1）如果存在 S L(V ) ，使得
TS ST I ， 则称 S 为 T 的逆变换，记为T 1 ．特别地，若线性变换T 是可逆的， 则 T 1 也是线性变换．
线性变换与矩阵的关系
线性变换与矩阵的关系线性代数是数学中的一个分支学科，它是整个数学的一个基础。
线性代数的核心概念是线性变换和矩阵。
线性变换可以被视为线性代数中最基本的概念，矩阵则是线性变换最常用的工具。
本文将探讨线性变换与矩阵之间的关系。
一、线性变换的定义线性变换是一种把向量空间V中的每一个元素映射到向量空间W中的一种映射。
如果对于每个向量x和每个标量c，我们都有T(x + cy) = T(x) + cT(y)，则此映射为线性变换。
其中，T为线性变换的运算符，y是向量空间V中的元素。
线性变换的一个重要性质是它保持线性运算。
这意味着，对于向量空间V中的任何两个向量x和y，以及标量c，都有：T(x + y) = T(x) + T(y)T(cx) = cT(x)这些性质使得线性变换在数学中扮演着重要的角色。
二、矩阵的定义矩阵是一个有限的、有序的、由数构成的矩形表。
我们通常用大写字母表示矩阵，例如A。
矩阵可以用来表示线性变换，而线性变换可以用矩阵来描述。
我们可以将矩阵视为一种数字表示，它包含了一个线性变换所以可能的操作。
三、线性变换和矩阵的关系线性变换和矩阵是密不可分的。
每个线性变换都可以表示为一个矩阵，而每个矩阵也可以表示为一个线性变换。
矩阵的第i行和第j列上的元素用a(i,j)表示。
我们可以用以下公式将一个向量空间中的向量转换成矩阵的形式：⎡ a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)⎤⎢ a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)⎥A = ⎢ ... ... ... ... ... ⎥⎢ a(n,1) a(n,2) ... a(n,n)⎥⎣⎦对于一个给定的矩阵A，我们可以将它作为线性变换T的矩阵表示。
这个线性变换对一个向量进行变换的方式为 T(x) = Ax，其中x为向量，Ax表示矩阵A和向量x的乘积。
矩阵乘法的目的是用一个矩阵描述一种线性变换。
在矩阵乘法中，行列式中每个元素都表示了一种特定的线性变换。
高等代数课件 第七章
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或 上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样 一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算线性变换的矩阵表示——线性变换与矩阵的关系与计算在数学中，线性变换是一类重要的变换，具有广泛的应用背景。
线性变换可以通过矩阵来表示，这为我们在计算和理解线性变换提供了便利。
本文将介绍线性变换与矩阵的关系，以及如何进行线性变换的矩阵计算。
一、线性变换与矩阵的关系线性变换是指保持直线性质和原点不动的变换。
对于一个n维向量空间V中的向量x，若存在一个线性变换T，将向量x映射为向量y，即y=T(x)，则称T为从V到V的一个线性变换。
线性变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
设V是n维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}，在这组基下，对于向量x和y，若y=T(x)，则存在一个n×n的矩阵A，使得y=Ax。
这个矩阵A就是线性变换T对应的矩阵表示。
矩阵表示的好处在于，通过矩阵的乘法运算，我们可以将线性变换转化为矩阵的计算，从而简化问题的求解过程。
二、线性变换的矩阵表示对于线性变换T，我们希望找到它对应的矩阵表示A。
假设V是n 维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}。
根据线性变换的定义，对于向量vi，有T(vi)=wi，我们可以将T(vi)表示为基向量w1,w2,...,wn的线性组合。
设T(vi)=w1i+w2i+...+wni，其中wi是基向量wi的系数。
我们可以将系数wi构成一个列向量Wi，将基向量构成一个矩阵W。
则有W=[w1,w2,...,wn]，Wi=AW，其中A是线性变换T对应的矩阵表示。
求解矩阵A的方法有很多种，最常用的方法是利用线性变换T在基向量上的作用。
将基向量vi映射为向量wi，我们可以在基向量的基础上用线性组合的方式得到wi。
将所有的基向量和对应的映射向量展开，我们可以得到矩阵A的表达式。
三、线性变换的矩阵计算在得到线性变换的矩阵表示后，我们可以利用矩阵的乘法运算对线性变换进行计算。
设矩阵A对应线性变换T，向量x对应向量y，即y=Ax。
线性变换及其矩阵
第三讲 线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为y x T =)(称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。
若变化T 还满足)()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈∀,,称T 为线性变换。
[例1] 二维实向量空间122i R R ξξξ⎧⎫⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，将其绕原点反时针方向旋转θ角的操作即⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121cos sin sin cos ξξθθθθηη就是一个线性变换。
[例2] 次数不超过n 的全体实多项式nP 构成实数域上的一个1n +维的线性空间，其基可选为{}21,,,,n x xx ，微分算子dD dx=是n P 上的一个线性变换。
[例3] 取定矩阵nn K C B A ⨯∈,,，定义nn K ⨯的变换C XB AX X T ++=)( n n K X ⨯∈,是否是线性变换 2. 性质（1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素（3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。
但（4） 如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算（1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ∀∈=（2） 零变换0T ：0,0x V T x∀∈=（3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ∀∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T（4） 线性变换的和1T +2T ：x V ∀∈，1212()TT x T x Tx +=+（5） 线性变换的数乘kT ：x V ∀∈，()()kT xk Tx =负变换：()()T xTx -=-（6） 线性变换的乘积12TT ：x V ∀∈，1212()()TT x T T x =（7） 逆变换：x V ∀∈，若存在线性变换S 使得eT TS ST ==，则称S 为T 的逆变换 （8） 线性变换的多项式：n n T T T T =个，并规定0e T T = 0()Nnn n f T a T==∑→()Nn n n f T x a T x ==∑需要说明的是：1）线性变换的乘积也是线性变换；2）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；满足结合律；3）不是所有的变换都具有逆变换，线性变换可逆的充要条件是线性变换是一一对应的 4）若线性变换T 可逆，则其逆变换唯一且1-T 也是线性变换；5）线性空间V 上的线性变换的全体对于定义的加法与数乘运算构成数域K 上的线性空间二、线性变换的矩阵表示线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。
线性代数之——线性变换及对应矩阵
线性代数之——线性变换及对应矩阵1. 线性变换的概念当⼀个矩阵A乘以⼀个向量v时，它将v变换到另⼀个向量A v。
进来的是v，出去的是T(v)=A v。
⼀个变换T就像⼀个函数⼀样，进来⼀个数字x，得到f(x)。
但更⾼的⽬标是⼀次考虑所有的v，我们是将整个空间V进⾏变换当我们⽤A乘以每⼀个向量v时。
⼀个变换T，为空间V中的每⼀个向量v分配⼀个输出T(v)。
这个变换是线性的，如果它满⾜：(a)T(v+w)=T(v)+T(w)(b)T(c v)=cT(v) 对任意c成⽴我们可以将这两个条件结合成⼀个，T(c v+d w)=cT(v)+dT(w)矩阵相乘满⾜线性变化，因为A(c v+d w)=cA v+dA w始终成⽴。
线性变换满⾜线到线，三⾓形到三⾓形，看下图。
在⼀条线上的三个点经过变换后仍然在⼀条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输⼊是⼀个三⾓形变换后输出还是⼀个三⾓形。
这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。
变换有⾃⼰的语⾔，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。
但是这些思想可以被保留，⽐如列空间包含所有的线性组合Av，零空间包含所有使得Av=0 的输⼊。
将它们转化为值域（range）和核（kernel）：T的值域 = 所有输出T(v) 的集合，对应于列空间。
T的核 = 所有使得T(v)=0 的输⼊的集合，对应于零空间。
投影任意⼀个三维向量到xy平⾯，那么我们有T(x,y,z)=(x,y,0)。
值域就是这个平⾯，包含了所有的T(v)；核是z轴，它们被投影到了零点。
这是⼀个线性的变换。
投影任意⼀个三维向量到z=1 平⾯，那么我们有T(x,y,z)=(x,y,1)。
这不是⼀个线性的变换，为什么呢？它根本不能将零向量投影到零点，⽽这是线性变换必须满⾜的条件。
假设A是⼀个可逆的矩阵，那么核是零向量，值域W和输⼊空间V相同。
有另⼀个线性变化是乘以矩阵A−1，它将每⼀个T(v)都带回到v ，有，T−1(T(v))=v⟺A−1Av=v我们遇到了⼀个不可避免的问题，所有的线性变换都可以由⼀个矩阵产⽣吗？答案是肯定的，所有的变换⽐如旋转、投影……背后都藏着对应的⼀个矩阵。
高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记
第七章 线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记： 以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ， 因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定， 从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ， 从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)， 同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质： 设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。
线性变换和矩阵
求：（1） 在标准基下的矩阵；
（2） 在基 {1,2 ,3} 下的矩阵。
二、矩阵的相似
1、定义：设 A 、B 是数域 F 上的两个 n 阶矩阵，若存在 F 上n 阶可逆矩阵
T ，使得 B T 1AT 成立，则称B 与
A 相似，记作：A ~ B 。
2、性质
（1）自反性：每一个 n 阶矩阵 A 均
与它本身相似。 A I 1 AI
x1
将（3）代 (入 (（1),4(）2 ),，,得(n )：) xxn2
（4）
x1
( )
(1, 2 ,
,
n
)
A
x2 xn
上式表明， () 关于基 {1,2, ,n}的坐标所 成的列是
x1
A
x2 xn
。
比较（1）式，得：
定理7.3.1：令V 是数域 F上一个n 维的向量空间， 是 V 的一个线性变
结论：n 维向量空间的一个线性变换
关于两个基的矩阵是相似的。
B T 1 AT
推广：（1）T 1( A1 A2 Ar )T T 1 A1T T 1 A2T T 1 ArT （2）T 1 ArT (T 1 AT )r 三、矩阵 A 在给定基下的线性变换
引理7.3.2：设V 是数域 F 上一个 n
（2）对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A 。
A ~ B B T 1 AT A TBT 1 (T 1 )1 BT 1
（3）传递性：若 A ~ B 且 B ~ C ，则 A~C 。
， A ~ B B ~ C B T 1 AT ,C U 1BU
C U 1 (T 1 AT )U (TU )1 A(TU )
关于V 的两个基 和 的 {1,2 , ,n} {1, 2 , , n} 矩阵分别为 A 和 B ，而基 {1,2, ,n} 到 {1, 2 , , n} 的过渡矩阵为 T ，则有
线性变换和矩阵PPT课件
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7.3.2 坐标变换
设V 是数域F上一个n 维向量空间, {1, 2 ,, n}
是V 的一个基, ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2,, x而n ),
σ(ξ)的坐标是
( y1, y2,,问yn:).
( y1, y2,和, yn )
(x1, x2,, xn ), 之间有什么关系呢?
2. 对称性：如果 A ~ B ，那么 B ~ A ；
因为由 B T 1AT 得 A TBT 1 (T 1)1 BT 1.
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3. 传递性：如果 A ~ B 且 B ~ C 那么 A ~ C
事实上，由 B T 1AT和C U 1BU 得
C (U 1T 1) A(TU ) (TU )1 A(TU ).
这样一来从lv到mf必然存在着一个对应关系映射丌妨记为是数域f上一个n维向量空间的一个基关于这个基的坐标是最后等式表明的坐标所组成综合上面所述我们得到坐标变换公式
7.3.1 线性变换的矩阵
现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V 的一个线性变换，取定V的一个基 {1,2 , ,n}, 令
(1) a111 a212 an1n (2 ) a121 a222 an2n
单位向量 1, 2 作为V2 的基.令σ是将 V2的每一向
量旋转角θ的一个旋转. σ是 的一V2 个线性变换.我
们有
1 1 cos 2 sin ,
2 1 sin 2 cos.
所以σ关于基 1,2的矩阵是
cos sin
sin cos
设 V2，它关于基 1,2 的坐标是 x1, x2 ,而
………………………………………
(n ) a1n1 a2n2 annn
7.3线性变换的矩阵(第二讲)
0 1 6
5 91
,
C
另外 (1,2 ,3 ) (1, 2 , 3 )X =(1, 2 , 3 )AX
C=AX
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A CX-1=
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3,1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵.
标准基1=(1,0,0),2 =(0,1,0),3=(0,0,1)
（2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
相关量多，先画图表示
基1, 2， 3 过渡矩阵X 1 基1,2，3
§7.3 线性变换的矩阵
一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 三、相似矩阵
线性变换除了用花体拉丁字母A 等表示，
还常用字母“，”表示.
同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
1, 2 , , n
(Ⅰ)
1,2 , ,n
(Ⅱ)
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡
kA ( ) k
A (k ) kA ( )
非线性变换
A (1, 2, 3) =（1,5，9）
不 A (（ 2 1,2,3）) A（( 2,4,6）) （1,10，36）
等 2A（( 1,2,3）) （2,10,18）
非线性变换
多项式平移变换
A (1, 2, 3) =（1,5，9） 不 A (（ 2 1,2,3）) A（( 2,4,6）) （1,10，36）
等 2A（( 1,2,3）) （2,10,18） 非线性变换
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，可以用来描述向量空间中的变换关系。
而矩阵表示则是将线性变换表示为矩阵的形式，便于计算和分析。
线性变换
线性变换是指保持向量空间中向量加法和数乘的运算规则不变的变换。
具体地，对于向量空间V中的两个向量u和v，以及标量c，线性变换T满足以下条件：
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(cu) = cT(u)
这意味着线性变换保持向量加法和数乘的运算结果不变。
矩阵表示
线性变换可以通过矩阵表示来进行计算和分析。
对于向量空间V中的一个线性变换T，选择向量空间V的一组基{e1, e2, ..., en}，对于每个向量ei，线性变换T(ei)可以表示为一个线性组合：
T(ei) = a1i * e1 + a2i * e2 + ... + ani * en
其中aij为标量。
将向量空间V的基按列组成一个矩阵A：
A = [e1, e2, ..., en]
那么对于向量空间V中的任意向量x，线性变换T(x)可以表示为：
T(x) = A * x
其中x为列向量。
通过选择合适的基和矩阵A，可以将线性变换T表示为矩阵的形式，通过矩阵乘法进行计算和分析。
总结
线性变换是保持向量空间中向量加法和数乘的运算规则不变的变换，矩阵表示则是将线性变换表示为矩阵形式。
通过选择合适的基和矩阵，线性变换可以方便地用矩阵乘法进行计算和分析。
对于线性代数的学习和应用，理解线性变换和矩阵表示是非常重要的基础知识。
7.3线性变换的矩阵(第一讲)
证：设 , 为两个线性变换，它们在基 1, 2 , , n
下的矩阵分别为A、B，即
1,2, ,n 1,2, ,n A
1,2, ,n 1,2, ,n B
①
1,2, ,n
1,2, ,n 1,2, ,n
上述过程写出
1,2, ,n
1, 2 , , n
a11 a12
=
1，
，
2
， n
a21 a22
an1 an2
注： ① A的第i列是 ( i ) 在基 1, 2 , , n下的坐标，
它是唯一的. 故 在取定一组基下的矩阵是唯一的.
验证 i = i 是否成立即可.
课本282页结论2
2．设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基，对V中
任意n个向量 1,2 , ,n , 都存在线性变换 使
( i ) i , i 1, 2, , n
V
V
基
1 2
1 2
n
n
分析： V
＝x1 1 x2 2 xn n
由已知，即得 ＝ ，
.
V
?
结论1表明，一个线性变换完全被它在一组基 上的作用所决定.
解答： 取标准基1=(1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
§7.3 线性变换的矩阵
一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 三、相似矩阵
线性变换除了用花体拉丁字母A 等表示，
还常用字母“，”表示.
课本281页结论1
1．设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基， , 为
向量空间中的线性变换和矩阵变换
向量空间中的线性变换和矩阵变换在线性代数中，向量空间是一个重要的概念，它是一组元素的集合，这些元素可以相加和相乘，满足一些特定的规则。
线性变换和矩阵变换则是向量空间中的基本操作，它们有着重要的应用，例如在机器学习和物理学等领域中。
一、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量的变换。
严格地说，线性变换应该满足以下两个性质：1. 对于任意向量a和b，有T(a+b) = T(a) + T(b)；2. 对于任意向量a和标量k，有T(ka) = kT(a)。
这两个性质分别对应向量的加法和乘法。
线性变换不仅用于向量空间中，还可以应用于其他数学领域，例如微积分和拓扑学等。
线性变换有很多重要的性质，例如：1. 线性变换可以用矩阵表示；2. 线性变换保持向量空间的结构不变；3. 线性变换可以有逆变换，逆变换也是线性变换。
这些性质使得线性变换成为了一个非常常见的数学工具。
二、矩阵变换的定义和性质矩阵变换是指将一个向量空间中的向量用矩阵相乘的方式进行变换。
矩阵变换的定义可以表示为：T(x) = Ax其中T表示矩阵变换，A表示一个矩阵，x表示一个向量。
矩阵变换中的矩阵A具有很多特殊的性质，例如：1. 矩阵A可以表示线性变换；2. 矩阵A的行列式为0时，矩阵A不可逆，否则可逆；3. 矩阵A的秩表示变换后空间的维度；4. 矩阵A的特征值和特征向量可以用于描述变换的性质。
矩阵变换可以方便地进行计算，并且可以应用于很多实际问题中。
三、线性变换与矩阵变换的关系线性变换和矩阵变换有着密切的关系。
事实上，线性变换可以用矩阵表示，也可以通过矩阵变换来实现。
具体来说，任何一个线性变换T都可以表示成矩阵变换的形式：T(x) = Ax其中x表示一个向量，A表示一个矩阵。
如果我们在一个标准基下进行求解，那么矩阵A的每一列就是变换后的基向量的坐标。
同时，任何一个矩阵变换也可以表示成线性变换的形式。
对于任意矩阵A，可以定义一个线性变换T，使得：T(x) = Ax这里的x同样表示一个向量。
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支，其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换，这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上，我们可以将线性变换表示为一个函数T，它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质：- 加法性质：对于任意的向量x和y，有T(x + y) = T(x) + T(y)，即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质：对于任意的标量c和向量x，有T(cx) = cT(x)，即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A，然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn]，线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么，线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中，A·x表示矩阵A与向量x的乘积，它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列，再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说，它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说，线性变换可以实现以下几种几何操作：- 缩放：线性变换可以将向量的长度进行缩放，比如将向量拉长或压缩。
- 旋转：线性变换可以改变向量的方向，实现向量的旋转。
- 平移：线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用：- 简化计算：使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法，提高计算效率。
- 线性组合：矩阵乘法具有线性组合的性质，可以方便地进行多个线性变换的组合。
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1．在向量空间
3
F
3中,设1, 1, 1, 1,
是F3的两个基, F
3),
1) 3到
基§7.3 线性变换和矩
阵
1, 0, 1,
1
,
1,
1, 1
2, 1, 1 3 的过渡矩阵；
1,2,3
2) 在基1, 2, 3下的矩阵；
3)求基1, 2, 3下的矩阵；
4)设
(2,1,3) ,分别求在基
1, 2,
3与1
设三维向量空间V 的线性变换在基1, 2 , 3 下的矩阵是
a11a12a13
A a21a22a23
a31a32a33
1)求在基3, 2, 1下的矩阵；
2)求在基1,k 2 , 3下的矩阵, 其中0k F；2
2．
12 12
3 下的坐标．3) 在基3下的矩阵．
3．在向量空间M 2 (F) 中,定义线性变换
(x)=
a b a b
(X)= a c b d X c a d b
在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.
4.在F 2 2中，求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为
1020
0102 A
3040 0304 的线性变换 .
5. 在n维向量空间V中，
L(V)，存在向量V ，使得
n1
0，但
n
0 .证
明：V中存在一个基，使得在这个基下的矩阵是
0E n1
00
6. 设A s B，C s D,证明
A0B0
s
0C0C
7. 设A可逆，证明：AB^BA.
8. 在向量空间F3 3中，设
ab c c a b b c a
A b c a ，
B a b c，
C c a b
ca b b c a a b c
证明：A，B， C 彼此此相似.
9.设V 是数域 F 上n 维向量空间，证明：V 的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换.
10.设V是数域F上n维向量空间，问V中是否有线性变换，，使其中I 是恒等变换，为什么？对无限维空间结论又如何？
I.。