线性变换的矩阵
第五节线性变换的矩阵表示式

= T[(1, ···, n)P] =T[(1, ···, n)]P
= (1, ···, n)AP = (1, ···, n)P-1AP ,
因为 1, ···, n 线性无关, 所以
B = P-1AP .
证毕
这个定理表明 B 与 A 相似, 且两个基之间的
过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵.
由关系式 (1) , 可见 与 T() 在基 1 , ···, n 下的坐标分别为
x1
x2
xn
,
x1
T
( )
A
x2
xn
,
即按坐标表示, 有
T() = A .
二、举例
例 12 在 P[ x]3 中, 取基
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 , ···, n , 如果这个基
在变换 T 下的象(用这个基线性表示)为
T (1) a111 a212 an1n ,
T
(2 )
a121 a222
an 2 n
,
T (n ) a1n1 a2n2 annn ,
a2n
ann
,
那么, A 就称为线性变换 T 在基 1 , 2 , ···,
n 下的矩阵.
显然, 矩阵 A 由基的像 T(1), T(2), ···, T(n)
唯一确定.
如果给出一个矩阵 A 作为线性变换 T 在基
1 , 2 , ···, n 下的矩阵, 也就是给出了这个基在
0 1
0 0 .
0 0 0
(2)
TTTiijj
7.3 线性变换的矩阵

第七章 线性变换 学习单元3: 线性变换的矩阵_________________________________________________________● 导学 学习目标:理解线性变换在一个基下的矩阵的概念;会计算线性变换在一个基下的矩阵;理解线性变换在不同基下的矩阵的相似关系;掌握矩阵等价与矩阵相似的区别与联系。
学习建议:线性变换在一个基下的矩阵建立了线性变换与矩阵的对应关系,类似于平面上点与坐标的对应关系,有了这种对应关系,可以让线性变换问题与矩阵问题互相转化。
建议大家多看书,认真理解概念与结论。
重点难点:重点:深刻理解线性变换在一个基下的矩阵。
难点:理解线性变换在两个不同基下的矩阵的相似关系。
_________________________________________________________● 学习内容 一、线性变换的确定设V 为P 上n 维线性空间,1,,n εεL 为V 的一个基,对任何11,n n V x x ξξεε∈=++L ,()A L V ∈,则11()()()n n A x A x A ξεε=++L 。
即只要知道了1(),()n A A εεL ,则()A ξ也就确定了。
命题1 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基,,()A B L V ∈,则A = B 当且仅当()(),1,2,,i i A B i n εε==L 。
命题2 设1,,n εεL 为线性空间V 的一个基,1,,n ααL 为V 中一个向量组,则存在()A L V ∈,使(),1,2,,i i A i n εα==L 。
定理 设1,,n εεL 为V 的一个基,1,,n ααL 为V 中任意n 个向量,则存在唯一的()A L V ∈,使(),1,2,,i i A i n εα==L 。
例 设V 为P 上n 维线性空间,()A L V ∈,A 不可逆,证明存在V 的非零线性变换B ,使得BA = 0。
线性变换的矩阵表示与相似矩阵

线性变换的矩阵表示与相似矩阵线性代数是数学中一个重要的分支,研究向量空间和线性变换的性质以及相应的代数结构。
在线性代数中,线性变换是其中一个重要的概念,它可以用矩阵表示,并且与相似矩阵有着密切的关系。
一、线性变换的矩阵表示线性变换是指保持向量空间中的线性结构不变的变换。
在二维或三维向量空间中,线性变换可以用一个矩阵来表示。
以二维向量空间为例,设有向量v=(v₁, v₂),线性变换v将其映射为向量v=(v₁, v₂),则可以使用矩阵v来表示v的线性变换,即:[v₁] [v₁₁, v₁₂] [v₁][v₂] = [v₂₁, v₂₂] × [v₂]其中,矩阵v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]表示线性变换v的矩阵表示。
这种矩阵表示的好处在于可以简化线性变换的计算,尤其是在高维向量空间中。
二、相似矩阵的定义相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
设有两个v×v矩阵v和v,如果存在一个可逆矩阵v使得v=v⁻¹vv成立,则称矩阵v和v相似,矩阵v称为相似变换矩阵。
三、线性变换的矩阵表示与相似矩阵的联系线性变换的矩阵表示与相似矩阵有着密切的联系。
以二维向量空间为例,设有一个线性变换v的矩阵表示为v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂],我们希望找到一个矩阵v使得v=v⁻¹vv中的矩阵v与v相似。
根据相似矩阵的定义,我们可以得到v=v⁻¹vv的形式。
对于二维向量空间来说,v为一个2×2的可逆矩阵,假设v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂],则v可表示为:[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]若要使得v=v⁻¹vv成立,只需令v⁻¹=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]即可。
则v的形式为:[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]通过矩阵相乘的运算可以得到:[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] × [v₂₁, v₂₂]由此可以得到v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]与v=[v₁₁, v₁₂;v₂₁, v₂₂]相似的条件为:[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] = [v₂₁, v₂₂]也就是说,要使得两个矩阵相似,只需保证其对应位置上的元素相等即可。
线性变换的矩阵表示

n
T ( ) T ( x i i ) x i T ( i )
n
n
i 1
x1 x (T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n )) 2 xn
i 1
i 1
x1 x ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn 即 x1 x1 x x T [( 1 , 2 , , n ) 2 ] ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn xn 上式唯一地确定了一个变换T, 并且, 所确定的变 换T是以A为矩阵的线性变换. 反之, 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定. 结论: 在Vn中取定一个基后, 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
0 1 0 0 0 0 2 0 . A 0 0 0 n 1 0 0 0 0 例3: 在R3中, T表示将向量投影到xoy平面的线性 变换, 即 T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为i , j , . k , 求T的矩阵 (2) 取基为 i , j , i j k , 求T的矩阵. 1 0 0 i 0 , j 1 , k 0 . 其中 0 0 1 1 0 0 解(1): Ti i 即 T ( i , j , k ) ( i , j , k ) 0 1 0 . j, Tj 0 0 0 T k 0
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明: 同一个线性变换在不同的基下 的矩阵不同. 那么, 这些矩阵之间有什么关系呢?
线性变换的矩阵表示

线性变换的矩阵表示线性变换是数学中的重要概念,它在许多领域都有广泛应用。
线性变换可以通过矩阵表示,这种表示形式方便计算和讨论线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的矩阵表示以及相关概念和性质。
1. 线性变换的定义线性变换是指满足以下两个条件的映射:(1) 对于任意向量u和v以及实数a和b,线性变换T满足T(a*u +b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
(2) 线性变换T对于向量的加法和数乘运算封闭,即T(u + v) = T(u) + T(v),T(k*u) = k*T(u)(k为实数)。
2. 矩阵表示的意义线性变换的矩阵表示可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算,从而方便计算和分析线性变换的性质。
对于任意线性变换T,可以找到一个矩阵A,使得对于任意向量u,有T(u) = A*u。
矩阵A被称为线性变换T的矩阵表示。
3. 线性变换的矩阵表示方法线性变换的矩阵表示可以通过以下步骤得到:(1) 选择标准基下的基向量,分别记作e1, e2, ..., en。
(2) 对于每个基向量ei,计算线性变换T(ei)的坐标表示,得到矩阵A的第i列。
(3) 将所有计算得到的列向量排列起来,得到矩阵A。
4. 矩阵表示的性质线性变换的矩阵表示具有以下性质:(1) 线性变换的合成对应于矩阵的乘法。
对于线性变换T1和T2,它们的矩阵表示分别为A和B,则它们的合成线性变换对应的矩阵表示为A*B。
(2) 线性变换的逆对应于矩阵的逆。
若线性变换T存在逆变换,它们的矩阵表示分别为A和A^-1,则逆变换对应的矩阵表示为A^-1。
(3) 线性变换的像空间和核空间可以通过矩阵表示进行刻画。
像空间对应于矩阵的列空间,而核空间对应于矩阵的零空间。
5. 矩阵表示的例子考虑一个二维平面上的旋转变换,将向量绕原点逆时针旋转θ度。
选择标准基下的基向量为e1 = (1, 0)和e2 = (0, 1)。
对于基向量e1,旋转变换后的坐标表示为cosθ*e1 - sinθ*e2。
线性变换的矩阵

线性变换的矩阵
1. 什么是线性变换
线性变换是指,将一个空间(原空间)中的数据点通过一种特定
的方式变换到另一个空间(目标空间)中的过程。
例如,一个空间中
的三维坐标点可以通过适当的变换被转换为另一个空间的二维坐标点。
线性变换可以使用数学方法描述,其中一种常用的方法是使用矩阵表示。
2. 线性变换的矩阵
矩阵是一种结构,用来表示线性变换。
其中,每一行和每一列分
别代表着原空间中的特征向量,矩阵中的元素则描述了这些特征向量
之间的线性关系。
当选定某种变换时,使用这些元素数值就可以确定
变换矩阵。
线性变换的矩阵融合了一种空间变换的信息,并且这种变换在该
空间的动态可以被精细控制,因此,线性变换的矩阵也被用于数值分
析中各种过程的模拟。
线性变换的矩阵除了可以应用在数学领域之外,还被用于统计学、机器学习、计算机图形学等很多领域中。
例如,线性变换的矩阵可以
被应用在图像处理中,将原始图像像素值转换到另一种像素值序列,
从而获得清晰的图像。
3. 总结
综上所述,线性变换的矩阵是一种结构,它不仅用于描述空间变换的信息,还被用于数值分析、统计学、机器学习、计算机图形学等诸多领域中。
它可以帮助我们进行准确、高效的运算,可以获得更好的处理结果。
线性变换的矩阵表示式

0 1 0 0 0 2 A 0 0 0 0 0 0
0 0
n 1
0
例3 在 R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线性
变换,即
(1)取基为Ti(,xji,
k,
yj zk) xi 求T的矩阵;
yj ,
(2)取基为
i ,
j,
i
j
k,
求T的矩阵.
解 即
Ti i ,
(1)
TTkj
j, 0,
1
T (i , j , k ) (i , j , k ) 0
0 1
0 0.
0 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
T i ,
(2)
T T
j ,
i j
,
即
1 0 1
T ( , , ) ( , , ) 0 1 1.
0 0 0
此例表明:同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵.
i 1
i 1
x1
(T ( 1),T (
2),
,T (
n))
x2
xn
x1
( 1 , 2 , , n)A x2 ,
xn
即
T ( 1 , 2 ,
,
n)
x1 x2
( 1 , 2 ,
,
n) A
x1 x2 .
x
n
xn
上式唯一地确定了一个变换T ,并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换.
x
n
xn
可知 : 在基 1 , 2 , , n下,
的坐标为
x1
x2 ;
xn
T ( )的坐标为
x1
T ( ) A x2 .
线性变换的矩阵表示

线性变换的矩阵表⽰千⾥之⾏始于⾜下,重视基础才是本质。
在矩阵论中提到的线性变换是⼀个相对抽象的概念,先给出相关定义定义:设V 是数域K 上的线性空间,T 是V 到⾃⾝的⼀个映射,使对任意向量x ∈V ,V 中都有唯⼀的向量y 与之对应,则称T 是V 的⼀个变换或者算⼦,记Tx =y ,称y 为x 在T 下的象,⽽x 是y 的原象(象源)这个T 类似于数学分析中的函数y =f (x ),不过那⾥是数量函数,这⾥是向量函数。
如果变换T 满⾜⼀定的线性变换要求T (kx +ly )=kT (x )+lk (y ),则T 为V 的⼀个线性变换。
概念类⽐到数量函数,线性变换T 的也是很好理解的。
但是在具体计算过程中,我们怎么把抽象的概念具体化?这就涉及到线性变换的矩阵表⽰。
从定义⼊⼿的话,如果需要确定线性变换T ,则需要找到V 中所有向量在T 下的象。
事实上不需要这么⿇烦的。
V 中所有向量都可以由V 的基向量组(x 1,x 2,……,x n )线性表⽰,加上T 是V 的线性变换,则V 中所有象都可以由基象组(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)线性表⽰。
设T 是线性空间V n 的线性变换,x ∈V n ,且x 1,x 2,……,x n 是V n 的⼀个基,则x =a 1x 1+a 2x 2+……+a n x n Tx =a 1(Tx 1)+a 2(Tx 2)+……+a n T (x n )令Tx 1=a 11x 1+a 21x 2+……+a n 1x n Tx 2=a 12x 1+a 22x 2+……+a n 2x n ……Tx n =a 1n x 1+a 2n x 2+……+a nn x n 在处理具体问题时,采⽤矩阵乘法的形式表⽰上述公式组:T (x 1,x 2,……,x n )=(Tx 1,Tx 2,……,Tx n )=(x 1,x 2,……,x n )A 这个A 称为线性变换T 在V n 的基x 1,x 2,……,x n 下的矩阵,简称A 为T 的矩阵。
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这是因为当B=T1-1AT1,且 C= T2-1BT2时,有 C= T2-1 (T1-1AT1)T2=(T1T2)-1A(T1T2).
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3.相似类的实际意义 由于上述性质,我们可以把集合M n (F)中
定理6.3.4 线性空间V的线性变换σ在V的两个基
{α1,α2,…,αn} {β1,β2,…,βn}
(6) (7)
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下的矩阵分别是A和B,从(6)到(7)的过渡矩 阵是T,那么B=T-1AT.
证 因为 (σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))
=(α1,α2,…,αn)A, (σ(β1),σ(β2),…,σ(βn))
Φ(σ+τ)=Φ(σ)+Φ(τ); 2)对任意的σ∈L(V), k∈F,有Φ(kσ)=kΦ(σ); 3)对任意的σ,τ∈L(V),,有
Φ(στ)=Φ(σ)Φ(τ);
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4) 若σ∈L(V),σ可逆,则 Φ(σ)=A是可逆矩阵,且Φ(σ-1)=A-1.
反之,若A可逆,则σ也可逆. 证 令Φ(σ)=A=(aij)n n,Φ(τ)=B=(bij)nn ,即 (σ(α1), σ(α2), …, σ(αn))=( α1, α2, …, αn)A, (τ(α1), τ(α2)), …, σ(αn))=( α1, α2, …, αn)B.
在L(V)与Mn(F)之间建立了一个映射Φ,它把 每个σ∈L(V)映成σ在该基下的矩阵A∈Mn(F). Φ:σ aA 1. Φ的性质
定理6.3.1的2)说明Φ是双射.
这个映射的重要性还在于它能保持加法、数乘
和乘法运算.
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定理6.3.2 L(V)到Mn(F)的上述映射Φ具有 以下性质: 1)对任意的σ,τ∈L(V),有
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如果τ∈L(V),且τ(αi)= βi, i=1,2, …,n, ξ=x1α1+ x2α2+…+ xnαn∈V, 则τ(ξ)=x1τ(α1)+ x2τ(α2)+ …+ xnτ(αn)
= x1β1+ x2β2+…+ xnβn=σ(ξ). 所以,σ=τ.
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2. 线性变换矩阵的定义
n
n
=σ(
bijai ) = bij (i )
i 1
i 1
j=1,2, …,n.
由此可得
(στ(α1), στ(α2), …, στ(αn)) =( σ(α1), σ(α2), …, σ(αn))B =( α1, α2, …, αn)(AB), 即Φ(στ)=AB=Φ(σ) Φ(τ).
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我们把(1)写成矩阵等式的形式
(σ(α1), σ(α2), …, σ(αn))
=(α1, α2, …, αn) A
(2)
其中
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
an1
an2
L
a1n
a2n
L
ann
矩阵A称为线性变换σ在基 {α1,α2,…,αn}下的矩阵.
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设η=y1α1+ y2α2+…+ ynαn∈V , ξ+η=(x1+y1) α1+(x2+y2) α2+…+(xn+yn) αn.
于是σ(ξ+η) = (x1+y1) β1+(x2+y2) β2+…+(xn+yn) βn =(x1β1+ x2β2+…+ xnβn)+(y1β1+ y2β2+…+ ynβn) = σ(ξ)+ σ(η), σ(kξ)=k x1β1+k x2β2+…+k xnβn=kσ(ξ). 所以,σ是V的满足定理所要求的条件和的线性 变换.
6.3 线性变换的矩阵 授课题目: 6.1 线性变换的矩阵 授课时数:4学时 教学目标:掌握线性变换的矩阵的定义与性质 教学重点:线性变换矩阵的定义 教学难点:线性变换矩阵的性质
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一. 线性变换的矩阵表示 1. 线性变换对基的作用的重要性 定理6.3.1 设V是数域F上的一个 n 维线性空间, {α1,α2,…,αn }是V的一个基. 1) V的任一线性变换σ,由它在基 {α1,α2,…,αn }上的作用惟一确定,即如果 σ(αi )=τ (αi ) (τ∈L ( V ) , i= 1, 2, …, n), 则σ= τ;
在基{E11, E12, E21, E22}下的矩阵.
解 因为 σ(E11)=a E11+0 E12+c E21+0 E22,
σ(E12)=0 E11+a E12+0 E21+c E22,
σ(E21)=b E11+0 E12+d E21+0 E22,
σ(E22)=0 E11+b E12+0 E21+d E22,
=(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))
=(α1,α2,…,αn)A
x1
x2
M
xn
x1
x2
M
xn
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另方面,由假设知 σ(ξ)=(α1,α2,…,αn)
y1
y2
M
yn
比较(4)与(5)两式,有
σ(ε2) = -ε1+0ε2 + 4ε3, σ(ε3) = 0ε1-5ε2 + 5ε3,
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有 (σ(ε1),σ(ε2),σ(ε3))
=(ε1,ε2,ε3)
2 1 0
1 3
0 4
5 5
即σ在基{ε1,ε2,ε3 }下的矩阵是
2 1 0
A
证 由假设
(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)) =(α1,α2,…,αn)A
ξ=x1α1+ x2α2+…+ xnαn
=(α1,α2,…,αn)
x1
x2
M
xn
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σ是V的线性变换,所以 σ(ξ)=x1σ(α1)+x2σ(α2)+…+xnσ(αn)
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定理6.3.2说明,双射Φ除了是F上的两个 线性空间L(V)和Mn(F)之间的一个同构映射外, 还保持乘法运算和可逆性.这样,我们在L(V) 与Mn(F)之间建立了十分密切的联系. 2. 线性变换矩阵的一个应用 利用线性变换的矩阵可以直接计算向量的象.
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定理6.3.3 设V是数域F上的一个n维线性空间,
1 3
0 4
5 5
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一般地,Fn的一个线性变换σ在标准基 {ε1,ε2,…,εn}下的矩阵 A 就是把 σ(εi)的分量作列排成的 n 阶方阵. 例4 单位变换ι在任何基下的矩阵都是单位 矩阵I.数乘变换kι在任何基下的矩阵都是 数量矩阵kI.
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二. L(V)与Mn(F)之间的密切关系 在V中取定一个基后,通过(2)式,我们
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2)(kσ)(αi)=ka1iα1+ka2iα2+…+kan iαn, i=1,2, …,n. 由此可得 ((kσ)( α1), (kσ)( α2), …, (kσ)( αn)) = ( α1, α2, …, αn)(kA), 即 Φ(kσ)=kA=kΦ(σ).
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3)στ(αj)=σ(τ(αj))
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2.相似矩阵及其性质 定义2 设A,B是数域F上的两个n阶方阵.如果 存在F上的一个n阶可逆矩阵T,使B=T-1AT,则 称B与A相似或A相似于B,记为A~B.
根据这个定义,定理6.3.4说的是,n维线性 空间V的同一线性变换在两个基下的矩阵是相 似的.
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矩阵的相似关系具有如下性质: 1)自反性.A~A.因为A=I-1AI; 2)对称性.如果A~B,那么B~A,这是因为当
定义1 设{α1,α2,…,αn}是数域F上 的n维线性空间V的一个基,σ∈L(V). 基向量的象可由基线性表示:
(1 ) a111 a212 L an1n
(
2
) L
a121 a222 L
LLLLLLL
an 2 n
(n ) a1n1 a2n2 L annn
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2 1 0 0
A
0
2
2
0
0 0 2 3
0
0
0
2
采用矩阵形式的写法为
(σ(1), σ(x), σ(x2), σ(x3))=(1, x, x2, x3)A
例2 求M2(F)的线性变换σ:
σ(X) =
a
c
b
d
X
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3. 几个例子 例1 求F3[x]的线性变换σ: σ(f(x))=2 f(x)- f′(x)在基{1,x,x2,x3}下的矩阵. 解 因为
σ(1) = 2 = 2 + 0x + 0x2 + 0x3, σ(x) = 2 x-1 = -1 + 2 x + 0 x2 + 0 x3 σ(x2) = 2 x2 -2 x=0 -2 x + 2 x2 + 0 x3 σ(x3) = 2 x3 -3 x2 = 0 + 0 x -3 x2 + 2 x3, 所以σ在基{ 1 , x , x2 , x3 }下的矩阵是