线性变换及其矩阵

显然，线性映射就是保持线性运算的映射，线性变换 是线性空间到自身的线性映射．
例 1
平面直角坐标系绕坐标原点旋转 角的变换就
是欧氏空间 R 2 的一个线性变换．对任意 x ( x1 , x2 )T R 2 ， 则这个线性变换 T 是
cos T ( x) sin
1.3 线性变换及其矩阵
1.3.1 线性变换的概念
定义 设 V ，W 是数域 P 上的两个线性空间，T 是 V 到 W 的一个映射，如果满足： （1) 对于任意 , V ， T ( ) T ( ) T ( ) ， （2) 对于任意 V ， k P ， T (k ) kT ( ) ， 则称 T 是 V 到 W 的线性映射，或线性算子．当 V W 时，称 T 为 V 上的线性变换．
在线性空间 V 中，设线性变换 T 在基 1 , 2 ,, n 下 的 矩 阵 为 A ， 设 向 量 在 基 1 , 2 ,, n 下 的 坐 标 为 定理
x ( x1 , x2 ,, xn )T ， 则 T ( ) 在 该 基 1 , 2 ,, n 下 的 坐 标
可以证明： T1 T2 ， T1T2 ， kT1 都是线性变换，并且满足下面 运算规律（设 k , l P ， T , Ti V (i 1,2,3) ） ： （1） V 中线性变换的加法满足交换律与结合律，即 T1 T2 T2 T1 ， (T1 T2 ) T3 T1 (T2 T3 ) ． （2） V 中线性变换的乘法满足结合律，即 (T1T2 )T3 T1 (T2T3 ) ． （3） V 中线性变换的乘法对加法满足分配律，即 T1 (T2 T3 ) T1T2 T1 T3 ，
1.3.3 线性变换的矩阵
设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， 1 , 2 ,, n 是 V 的一个基，又 1 , 2 ,, n 是 V 中的任意 n 个向量，则 定理 存在唯一的一个线性变换 T ，使得 T (1 ) 1 ， T ( 2 ) 2 ， , T ( n ) n
定义 设 V 是数域 P 上的线性空间， T L(V ) ， （1）如果存在 S L(V ) ，使得
TS ST I ， 1 则称 S 为 T 的逆变换，记为 T ．特别地，若线性变换 T 是可逆的， 1 则 T 也是线性变换．
（2） n （ n 为正整数）个线性变换 T 的乘积
y ( y1 , y2 ,, yn )T 满足 y Ax ．
在 线 性 空 间 V 中 ， 设 基 1 , 2 ,, n 到 基 1 , 2 ,, n 的过渡矩阵为 C ，设 V 中线性变换 T 在这两个基 定理 下的矩阵分别为 A, B ，则 B C 1 AC ． 该定理说明，线性空间V中的线性变换T在两个不同基
注意 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无 关向量组变成线性相关向量组．例如，零变换把任何线性无 关向量组都变成线性相关向量组．
1.3.2 线性变换的运算
L(V ) 表示数域 P 上线性空间 V 上的一切线性变换的集合．
设 V 是数域 P 上的线性空间， Ti L(V ) （ i 1,2 ） ， （1）如果对每个 V ，恒有 T1 ( ) T2 ( ) ，则称 T1 与 T2 相等， 记为 T1 T2 （2）对每个 V ，满足 T ( ) T1 ( ) T2 ( ) 的变换 T 称为线性变换 T1 与 T2 的和，记为 T T1 T2 （3）对每个 V ，满足 T ( ) T1 (T2 ( )) 的变换 T 称为线性变换 T1 与 T2 的乘积，记为 T T1T2 （4）对每个 V ， k P 满足 T ( ) kT1 ( ) 的变换 T 称为数 k 与线性变换 T1 的数量乘积， 记为 T kT1 ．(1)T1 简记 为 T1 定义
例3
性质 1 T (0) 0 ， T ( ) T ( ) ， 即线性变换将零元素变为零元素，而负元素的像为像的负 元素． 性质 2 若 k11 k 2 2 k m m ，则
T ( ) k1T (1 ) k 2T ( 2 ) k mT ( m ) 即线性变换 T 保持向量的线性组合． 性质 3 若 1 , 2 ,, m 线性相关，则 T (1 ),T ( 2 ),, T ( m ) 也线性相关．
(T1 T2 )T3 T1T3 T2T3 ． （4）设 0 表示 V 中的零变换，则 T+0=T， T (T ) 0 ． （5） V 中线性变换的数乘运算满足： (kl)T k (lT ) ， (k l )T kT lT ，
k (T1 T2 ) kT1 kT2 ．
1 0 1 1 1 0 1 2 1
求 T 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵.
解 （1）由于 T ( x1 , x2 , x3 ) (2x1 x2 , x2 x3 , x1 ) ，所以，
T ( 1 ) (2,0,1) 2 1 3 ， T ( 2 ) (1,1,0) 1 2 ，
（2）设 f ( x), g ( x) P[ x] ，如果 h( x) f ( x) g ( x) ， t ( x) f ( x) g ( x) ， 则
h(T ) f (T ) g (T ) ， t (T ) f (T ) g (T ) ．
注 1 线性变换的乘法一般是不可交换的，即 TS ST ， 因此一般地有 (TS ) n T n S n ．
称 A 为线性变换 T 在基 1 , 2 ,, n 下的矩阵．
定理 则
设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， 1 , 2 ,, n 为
V 中一个基，线性变换 T1 , T2 在基 1 , 2 ,, n 下的矩阵为 A, B ，
（1） T1 T2 在基 1 , 2 ,, n 下的矩阵为 A B ； （2） T1T2 在基 1 , 2 ,, n 下的矩阵为 AB ； （3）对于 k P ， kT1 在基 1 , 2 ,, n 下的矩阵为 kA ； （4）若 T1 可逆，则 T11 在基 1 , 2 ,, n 下的矩阵为 A 1 ．
T ( i ) (i 1,2,, n) 可以由这个基线性表示为
T ( 1 ) a11 1 a 21 2 a n1 n T ( ) a a a 2 12 1 22 2 n2 n T ( n ) a1n 1 a 2 n 2 a nn n
下的矩阵是相似的．反过来也可以证明，两个相似矩阵总 可以看成某一线性变换在两个不同基下的矩阵．
推论 在线性空间 V 中，存在某个基使线性变换 T 在该基
下的矩阵是对角阵的充要条件是矩阵 A 可对角化，其中 A 为 T 在任一个基下的矩阵．
设三维线性空间 R 3 中的两个基 1 (1,0,0) ， 2 (0,1,0) ， 3 (0,0,1) 与 1 (1,1,1) ， 2 (1,0,1) ， 3 (0,1,1) ， （1）已知 T ( x1 , x2 , x3 ) (2x1 x2 , x2 x3 , x1 ) ，求线性变换 T 在 例4 基 1 , 2 , 3 下的矩阵； （2）已知线性变换 T 在基 1 , 2 ,3 下的矩阵为
例 2
sin x． cos
定义在区间 [ a, b] 上的所有连续实函数的集合
C[a, b] 是实数域上的一个线性空间，在 C[a, b] 上定义变换
T：
x
T ( f ( x)) f (t )dt ， f ( x) C[a, b] ，
a
则 T 是 C[a, b] 上的一个线性变换．
在线性空间 P[ x]n 中，微商运算 D 定义为 D( f ( x)) f ( x) ， 则 D 是一个线性变换．
定义 设 T 是数域 P 上的线性空间 V 的一个线性变 换， （1）如果对任意 V ，恒有 T ( ) 0 ，则称 T 为零 变换，记为 0； （2）如果对任意 V ，恒有 T ( ) ，则称 T 为恒 等变换，记为 I ； （3）如果对任意 V ， k P ，恒有 T ( ) k ，则 称 T 为数乘变换.
i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
即对任意 V ，都有 T ( ) S ( ) ，所以 T S
该定理的唯一性说明， 一个线性变换完全被它在一个基 上的作用（基的像）所决定．
定义 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， T 是 V 上的一个线 性 变 换 ， 取 V 中 的 一 个 基 1 , 2 ,, n ， 且 基 向 量 的 像
写成矩阵形式为
其中
T (1 , 2 ,, n ) (T (1 ),T ( 2 ),, T ( n )) (1 , 2 ,, n ) A a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n A a n1 a n 2 a nn
再证唯一性．
若除了满足条件的线性变换 T 外，还有线性变换 S 也满 足条件，即 S (1 ) 1 ， S ( 2 ) 2 ， , S ( n ) n
现任取 V ，且 k i i ( i ) k i i 与 S ( ) k i S ( i ) k i i ，
则称
f (T ) amT m am1T m1 a0 I 为线性变换 T 的多项式．可以证明 f (T ) 也是 V 的一个线性变换．
这些运算具有下列性质： （1） T m n T mT n ， (T m ) n T mn ， （ m, n 为非负整数） ． 当 T 可逆时， m, n 可为负整数．
T n TT T 0 称为 T 的 n 次幂．特别地，当 n 0 时，令 T I ．当 T 可逆时， n 1 n 定义 T 的负 n （ n 为正整数）次幂为 T (T ) （3）设 P[ x] 为数域 P 上多项式全体构成的线性空间，且