线性变换和矩阵
矩阵论-线性变换和矩阵
,
2
,
下的坐标
3
;
(3)向量
及T(
)基1,
2
,
下的坐标
3
.
四、特征值与特征向量
定义 设T L(V,V),若存在0 F及V的非零向量 , 使得T =0 ,则称0为T的一个特征值,而为T的属 于特征值0的一个特征向量.
注：特征向量在线性变换作用下保持方位不变 (在同一直线上).
取定V的一组基e1, , en ,设T(e1, , en )=否存在依赖于V所在的数域F，
如矩阵
0 1
01的特征多项式为f ()
1
1 2 1.
注2 :当dim V=n很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机.
注3 : E(i ) {X F n | (iI-A) X 0} N (iI-A)(解空间).由 亏加秩定理有r(iI-A) dim N (iI-A) n, 所以E(i )的维数为 dim E(i ) n r(iI-A) 称为i的几何重数.
的行列式
-a11 a12 |I-A|= a21 -a22
a1n
-a2 n
-an1 -an2
-ann
的展开式是的一个n次多项式, 其根为A的特征值, 而相应
于(*)式的非零解向量 称为A的属于0的特征向量. 注:1)0是T的特征值 0是A的特征值. 2)是T的特征向量 是A的特征向量,这里，
=(e1, , en ).
2)f保持线性运算,即, F, x, y V ,有f(x y) =f(x） f ( y),
则称V与W同构，记为V W.
同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运 算规律，故可视为一个空间.
定理3 L(V,V) Fnn.
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支，其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换，这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上，我们可以将线性变换表示为一个函数T，它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质：- 加法性质：对于任意的向量x和y，有T(x + y) = T(x) + T(y)，即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质：对于任意的标量c和向量x，有T(cx) = cT(x)，即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A，然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn]，线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么，线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中，A·x表示矩阵A与向量x的乘积，它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列，再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说，它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说，线性变换可以实现以下几种几何操作：- 缩放：线性变换可以将向量的长度进行缩放，比如将向量拉长或压缩。
- 旋转：线性变换可以改变向量的方向，实现向量的旋转。
- 平移：线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用：- 简化计算：使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法，提高计算效率。
- 线性组合：矩阵乘法具有线性组合的性质，可以方便地进行多个线性变换的组合。
线性变换与矩阵的关系
线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学姓名：学号：线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。
设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。
即T(V)={ β=T(α)|α∈V},显然T(V) ⊂U注：变换的概念实际上是函数概念的推广。
定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);（2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。
那么，就称T为从V n到U m的线性变换。
说明：○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。
○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元α在变换下的象。
○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空V n中的线性变换。
下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。
二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则(1)T(0)=0,T(-α)=-T(α);(2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tαm;(3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。
(4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。
记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。
线性变换与矩阵的关系
线性变换与矩阵的关系线性代数是数学中的一个分支学科，它是整个数学的一个基础。
线性代数的核心概念是线性变换和矩阵。
线性变换可以被视为线性代数中最基本的概念，矩阵则是线性变换最常用的工具。
本文将探讨线性变换与矩阵之间的关系。
一、线性变换的定义线性变换是一种把向量空间V中的每一个元素映射到向量空间W中的一种映射。
如果对于每个向量x和每个标量c，我们都有T(x + cy) = T(x) + cT(y)，则此映射为线性变换。
其中，T为线性变换的运算符，y是向量空间V中的元素。
线性变换的一个重要性质是它保持线性运算。
这意味着，对于向量空间V中的任何两个向量x和y，以及标量c，都有：T(x + y) = T(x) + T(y)T(cx) = cT(x)这些性质使得线性变换在数学中扮演着重要的角色。
二、矩阵的定义矩阵是一个有限的、有序的、由数构成的矩形表。
我们通常用大写字母表示矩阵，例如A。
矩阵可以用来表示线性变换，而线性变换可以用矩阵来描述。
我们可以将矩阵视为一种数字表示，它包含了一个线性变换所以可能的操作。
三、线性变换和矩阵的关系线性变换和矩阵是密不可分的。
每个线性变换都可以表示为一个矩阵，而每个矩阵也可以表示为一个线性变换。
矩阵的第i行和第j列上的元素用a(i,j)表示。
我们可以用以下公式将一个向量空间中的向量转换成矩阵的形式：⎡ a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)⎤⎢ a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)⎥A = ⎢ ... ... ... ... ... ⎥⎢ a(n,1) a(n,2) ... a(n,n)⎥⎣⎦对于一个给定的矩阵A，我们可以将它作为线性变换T的矩阵表示。
这个线性变换对一个向量进行变换的方式为 T(x) = Ax，其中x为向量，Ax表示矩阵A和向量x的乘积。
矩阵乘法的目的是用一个矩阵描述一种线性变换。
在矩阵乘法中，行列式中每个元素都表示了一种特定的线性变换。
线性变换及其矩阵
部
资
例：零变换对应于零矩阵，数乘变换对应于数量矩阵。
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个 线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一 个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。 ” 理解这句话的关键， 在于把 “线性变换” 与 “线性变换的一个描述” 区别开。 一个是那个对象， 一个是对那个对象的表述。 就好像我们熟悉的面向对象编程中， 一个对象可以有多个引用， 每个引用可以叫不同的名字， 但都是指的同一个对象。 如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。 比如有一个人，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置， 那么就可以给这个人拍一张照片。这个照片可以看成是这个人的一个描述，但只 是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这个人拍照，能得到一张不同的照 片，也是这个人的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一个人的 描述，但是又都不是这个人本身。 同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵
i =0 m
内
Hom(V)。
外 传
料
(ai ∈ K ) ， 则
f (T ) = ∑ aiT i
i =0
m
也为 V 上的线性变换，称为多项式变换。
上面讨论了线性变换的定义与运算， 那么我们如何将抽象的线性变换形象化 的进行表示呢。下面我们探讨线性变换与矩阵的关系。 3. 线性变换的矩阵表示 根据线性变换的定义，要想确定一个线性变换，似乎需要把线性空间中所有
其中 A 为线性变换 T 在基 x1 , x2 ,..., xn 下的表达矩阵。 关于映射 σ ，我们有如下引理：
请 勿
= [T1 ( x1 , x2 ,
, xn )]B = ( x1 , x2 ,
数学矩阵与线性变换的关系与应用
数学矩阵与线性变换的关系与应用引言矩阵是数学中一种重要的工具，广泛应用于各个领域。
在线性代数中，矩阵与线性变换之间有着密切的关系。
本文将探讨矩阵与线性变换的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个m行n列的矩形数组，其中每个元素都是一个数。
例如，一个2行3列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23]其中a11、a12、a13、a21、a22、a23分别表示矩阵A的元素。
二、线性变换的基本概念线性变换是指保持向量加法和数乘运算的运算规则不变的变换。
线性变换可以将一个向量映射到另一个向量，同时保持向量间的线性关系。
线性变换可以表示为一个矩阵乘以一个向量的形式。
例如，一个二维空间中的线性变换可以表示为：[x'] [a b] [x][y'] = [c d] * [y]其中[x, y]表示原始向量，[x', y']表示变换后的向量，[a, b, c, d]表示线性变换的矩阵。
三、矩阵与线性变换的关系矩阵与线性变换之间存在着紧密的关系。
事实上，每个线性变换都可以用一个矩阵来表示，而每个矩阵也可以表示一个线性变换。
对于一个线性变换，我们可以将其表示为一个矩阵乘以一个向量的形式。
这个矩阵被称为线性变换的矩阵表示。
线性变换的矩阵表示可以通过将线性变换作用于单位向量的结果来得到。
例如，对于一个二维空间中的线性变换，我们可以将其矩阵表示表示为：[x'] [a b] [1][y'] = [c d] * [0]其中[1, 0]表示单位向量。
通过对单位向量进行线性变换，我们可以得到线性变换的矩阵表示。
四、矩阵与线性变换的性质矩阵与线性变换之间还有一些重要的性质。
首先，矩阵乘法满足结合律和分配律。
这意味着对于两个矩阵A和B，以及一个向量x，我们有：(A * B) * x = A * (B * x)其次，矩阵乘法还满足乘法单位元的存在性。
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算线性变换的矩阵表示——线性变换与矩阵的关系与计算在数学中，线性变换是一类重要的变换，具有广泛的应用背景。
线性变换可以通过矩阵来表示，这为我们在计算和理解线性变换提供了便利。
本文将介绍线性变换与矩阵的关系，以及如何进行线性变换的矩阵计算。
一、线性变换与矩阵的关系线性变换是指保持直线性质和原点不动的变换。
对于一个n维向量空间V中的向量x，若存在一个线性变换T，将向量x映射为向量y，即y=T(x)，则称T为从V到V的一个线性变换。
线性变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
设V是n维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}，在这组基下，对于向量x和y，若y=T(x)，则存在一个n×n的矩阵A，使得y=Ax。
这个矩阵A就是线性变换T对应的矩阵表示。
矩阵表示的好处在于，通过矩阵的乘法运算，我们可以将线性变换转化为矩阵的计算，从而简化问题的求解过程。
二、线性变换的矩阵表示对于线性变换T，我们希望找到它对应的矩阵表示A。
假设V是n 维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}。
根据线性变换的定义，对于向量vi，有T(vi)=wi，我们可以将T(vi)表示为基向量w1,w2,...,wn的线性组合。
设T(vi)=w1i+w2i+...+wni，其中wi是基向量wi的系数。
我们可以将系数wi构成一个列向量Wi，将基向量构成一个矩阵W。
则有W=[w1,w2,...,wn]，Wi=AW，其中A是线性变换T对应的矩阵表示。
求解矩阵A的方法有很多种，最常用的方法是利用线性变换T在基向量上的作用。
将基向量vi映射为向量wi，我们可以在基向量的基础上用线性组合的方式得到wi。
将所有的基向量和对应的映射向量展开，我们可以得到矩阵A的表达式。
三、线性变换的矩阵计算在得到线性变换的矩阵表示后，我们可以利用矩阵的乘法运算对线性变换进行计算。
设矩阵A对应线性变换T，向量x对应向量y，即y=Ax。
线性变换及其矩阵
第三讲 线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为y x T =)(称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。
若变化T 还满足)()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈∀,,称T 为线性变换。
[例1] 二维实向量空间122i R R ξξξ⎧⎫⎡⎤=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，将其绕原点反时针方向旋转θ角的操作即⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121cos sin sin cos ξξθθθθηη就是一个线性变换。
[例2] 次数不超过n 的全体实多项式nP 构成实数域上的一个1n +维的线性空间，其基可选为{}21,,,,n x xx ，微分算子dD dx=是n P 上的一个线性变换。
[例3] 取定矩阵nn K C B A ⨯∈,,，定义nn K ⨯的变换C XB AX X T ++=)( n n K X ⨯∈,是否是线性变换 2. 性质（1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素（3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。
但（4） 如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算（1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ∀∈=（2） 零变换0T ：0,0x V T x∀∈=（3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ∀∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T（4） 线性变换的和1T +2T ：x V ∀∈，1212()TT x T x Tx +=+（5） 线性变换的数乘kT ：x V ∀∈，()()kT xk Tx =负变换：()()T xTx -=-（6） 线性变换的乘积12TT ：x V ∀∈，1212()()TT x T T x =（7） 逆变换：x V ∀∈，若存在线性变换S 使得eT TS ST ==，则称S 为T 的逆变换 （8） 线性变换的多项式：n n T T T T =个，并规定0e T T = 0()Nnn n f T a T==∑→()Nn n n f T x a T x ==∑需要说明的是：1）线性变换的乘积也是线性变换；2）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；满足结合律；3）不是所有的变换都具有逆变换，线性变换可逆的充要条件是线性变换是一一对应的 4）若线性变换T 可逆，则其逆变换唯一且1-T 也是线性变换；5）线性空间V 上的线性变换的全体对于定义的加法与数乘运算构成数域K 上的线性空间二、线性变换的矩阵表示线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。
矩阵与线性变换
矩阵与线性变换在线性代数中，矩阵与线性变换是密切相关的概念。
矩阵是一种有序矩形数表，而线性变换是一种保持向量加法和数乘的运算的函数。
本文将就矩阵与线性变换的概念、性质以及二者之间的关系进行探讨。
一、矩阵的定义和性质矩阵是数学中一种重要的代数结构，对于描述线性变换起到关键作用。
它是按照矩形的形式排列的一组数。
在定义方面，一个矩阵可以表示为m行n列的一个矩形数表，记作A=[a_{ij}]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n。
其中，a_{ij}表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的性质有以下几点：1. 矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
对于一个m行n列的矩阵，可以记作A_{m×n}。
2. 矩阵A中的元素可以是实数或者复数。
根据元素的性质，可以将矩阵分为实矩阵和复矩阵。
3. 矩阵的转置是指行和列进行对换，记作A^T。
矩阵的转置可以通过矩阵的行与列进行对换得到。
4. 矩阵的加法和数乘是指对矩阵中的每个元素进行相应的操作得到一个新的矩阵。
二、线性变换的定义和性质线性变换是线性代数中一个重要的概念，用于描述一个向量空间内的向量的变换规则。
其基本思想是保持向量加法和数乘的运算。
在线性代数中，一个线性变换可以定义为一个函数T，将向量空间V的向量映射到另一个向量空间W的向量。
线性变换的性质有以下几点：1. 线性变换必须满足保持向量加法的运算规则，即对于向量v和u，T(v+u) = T(v) + T(u)。
2. 线性变换必须满足保持数乘的运算规则，即对于向量v和标量c，T(cv) = cT(v)。
3. 对于线性变换T，它的核是指所有使得T(v) = 0的向量v的集合。
核是向量空间的一个子空间。
4. 对于线性变换T，它的值域是指所有T(v)的向量v的集合。
值域是向量空间的一个子空间。
三、矩阵与线性变换的关系矩阵与线性变换之间存在着密切的联系。
具体而言，对于一个 m 行n 列的矩阵 A，可以定义一个线性变换 T_A，该线性变换将一个 n 维向量空间 V 的向量映射到一个 m 维向量空间 W 的向量。
矩阵与线性变换的性质与求解方法
矩阵与线性变换的性质与求解方法线性变换是线性代数中的重要概念，而矩阵则是线性变换的一个重要工具。
矩阵与线性变换之间有着密切的联系，矩阵可以描述线性变换的性质和求解方法。
本文将主要探讨矩阵与线性变换的性质以及求解方法。
1. 线性变换的定义与性质在开始讨论矩阵与线性变换的关系之前，我们先了解一下线性变换的定义和性质。
线性变换是指在向量空间中，保持加法和数乘运算的函数。
具体而言，对于向量空间V中的两个向量u和v 以及一个标量c，线性变换T应满足以下两个性质：（1）T(u + v) = T(u) + T(v) （加法性质）（2）T(cu) = cT(u) （数乘性质）2. 矩阵与线性变换的关系矩阵可以用来表示线性变换，这一点是线性代数的一项重要概念。
假设我们有一个线性变换T，将向量空间V中的向量映射到向量空间W中的向量，可以用以下形式表示：T(x) = Ax其中，x是向量空间V中的一个向量，A是一个矩阵，T(x)是线性变换T作用在向量x上的结果。
3. 线性变换的矩阵表示当线性变换T被表示为矩阵A时，我们可以通过矩阵与向量的乘法来计算线性变换作用于向量上的结果。
具体而言，对于线性变换T(x) = Ax，将向量x表示为列向量[x1, x2, ..., xn]，矩阵A为一个m×n的矩阵，则可以用以下形式计算线性变换的结果：T(x) = Ax = [a1_1 x1 + a1_2 x2 + ... + a1_n xn, a2_1 x1 + a2_2 x2 + ... + a2_n xn, ..., am_1 x1 + am_2 x2 + ... + am_n xn]4. 线性变换的求解方法在实际问题中，我们需要求解线性变换作用于给定向量上的结果。
有两种常见的求解方法：矩阵乘法和矩阵求逆。
（1）矩阵乘法：如果我们已知线性变换T的矩阵表示A和向量x，我们可以通过矩阵乘法来计算线性变换的结果T(x)。
将向量x表示为列向量[x1, x2, ..., xn]，矩阵A为一个m×n的矩阵，则可以用以下形式计算线性变换的结果：T(x) = Ax（2）矩阵求逆：如果我们已知线性变换T的矩阵表示A和线性变换的结果T(x)，我们可以通过求解方程组Ax = T(x)来求解向量x。
线性变换与矩阵的相似性
线性变换与矩阵的相似性在数学中，线性变换和矩阵是两个非常重要的概念。
线性变换是指一个向量空间内的元素进行的一种操作，而矩阵则是线性变换在选择基准下的具体表示。
本文将讨论线性变换和矩阵之间的相似性。
一、线性变换简介线性变换可以将一个向量空间的元素映射为同一向量空间中的另一个元素，保持向量空间的线性结构。
具体而言，设V和W是两个向量空间，如果对于任意的向量x，y∈V和标量a，b∈F（其中F是一个指定的域），满足以下两个条件：1. T(x+y) = T(x) + T(y) （线性性）2. T(ax) = aT(x) （齐次性）则称T:V→W为一个线性变换。
二、矩阵简介矩阵是线性变换在选定的基下的具体表达。
设V和W是两个有限维向量空间，分别选定它们的基v1, v2, ..., vn和w1, w2, ..., wm。
对于线性变换T:V→W，我们可以将T在这两个基下的表达表示为一个矩阵。
具体而言，设x∈V是一个向量，T(x)∈W是T对应的向量，若T(x)在基w1, w2, ..., wm下的坐标是(y1, y2, ..., ym)，则称(y1, y2, ..., ym)为x在基v1, v2, ..., vn下的坐标。
我们可以将所有x在这两个基下的坐标组成一个矩阵，这就是线性变换T在选定基下的矩阵表示。
三、线性变换与矩阵之间存在着一种特殊的关系，即相似性。
对于同一个线性变换T，在不同的基下，其对应的矩阵表示可能是不同的。
然而，这些矩阵之间存在一种特殊的关系，即相似矩阵。
定义：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，其中A和B是n×n矩阵，那么我们称A与B相似。
换句话说，一对相似的矩阵表示的是同一个线性变换在不同基下的具体表达。
相似矩阵之间具有如下性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量。
设A和B是相似矩阵，且v是A的一个特征向量，那么有Av = λv, 其中λ是A的一个特征值。
此时，对于B，也有B(Pv) = P(Av) = λ(Pv)，即Pv是B的特征向量，λ是B的特征值。
矩阵与线性变换
矩阵与线性变换矩阵是线性代数中一个重要的概念，而线性变换则是与矩阵紧密相关的一个概念。
本文将介绍矩阵和线性变换的基本概念及其相关性质。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由各种数按照一定的排列方式组成的矩形阵列。
通常用大写字母表示矩阵，如A、B等。
一个m×n的矩阵表示有m行n列的矩阵，其中每个元素可以是实数或者复数。
矩阵加法：对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的和A + B也是一个同样维数的矩阵，其中每个元素等于对应位置的两个矩阵元素的和。
矩阵乘法：矩阵乘法是按照一定的规则，将一个m×n的矩阵A乘以一个n×p的矩阵B得到一个m×p的矩阵C。
矩阵乘法具有结合律但不满足交换律。
单位矩阵：单位矩阵是一个特殊的方阵，它的主对角线上的元素全为1，其余元素全为0。
用I表示，即I = [1 0 0 ... 0; 0 1 0 ... 0; ...; 0 0 0 ...1]。
二、线性变换的定义与性质线性变换是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数。
线性变换可以用矩阵来表示，而变换前后的向量可以用矩阵乘法的形式表示。
线性变换的定义：对于向量空间V和W，若存在一个映射T：V → W，满足以下两个条件，即可称T为线性变换：1. 对于任意的向量u、v∈V和标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。
2. T(0) = 0，即线性变换将零向量映射为零向量。
线性变换与矩阵的关系：我们可以通过一个m×n的矩阵A来表示一个线性变换T：R^n → R^m。
对于向量x∈R^n，线性变换T的值可以通过矩阵乘法的形式表示，即T(x) = Ax。
线性变换的性质：1. 线性变换保持向量空间的线性运算，即对于任意的向量u、v∈V和标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。
2. 线性变换将零向量映射为零向量，即T(0) = 0。
线性变换和矩阵
§3 线性变换和矩阵一、线性变换在某组基下对应的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21ΛV 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21Λ线性表出，即有关系式n n x x x εεεξ+++=Λ2211 (1)其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标. 由于线性变换保持线性关系不变， 因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：A ξ=A （n n x x x εεε+++Λ2211）=1x A(1ε)+2x A(2ε)+…+n x A (n ε) (2)上式表明，如果知道了基n εεε,,,21Λ的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就 知道了，或者说1. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与ℬ在这组基上的作用 相同，即A i ε=B i ε， ,,,2,1n i Λ=那么A= B.结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出， 基向量的像却完全可以是任意的，也就是2. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21Λ一定有一个 线性变换 A , 使A i ε=i α .,,2,1n i Λ=定理1 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21Λ是V 中任意n 个向量. 存在唯一的线性变换A 使A i ε=i α .,,2,1n i Λ=定义2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 用矩阵表示就是A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…， A(n ε)）=A n ),,,(21εεεΛ (5) 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵.例1 设m εεε,,,21Λ是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为 V 的一组基n εεε,,,21Λ.指定线性变换A 如下⎩⎨⎧+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A ii i ΛΛεεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明A 2=A投影A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是]练习：7, 8, 9⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00111O O 这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射. 换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个 线性变换按公式（5）对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理2 说明数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换组成的集合)(V L 对于线性变换的 加法与数量乘法构成P 上一个线性空间，与数域P 上n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构.定理3 设线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21Λ下的 坐标是),,,(21n x x x Λ,则A ξ在基n εεε,,,21Λ下的坐标),,,(21n y y y Λ可以按公式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y M M 2121 计算.二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变， 同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚 线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理4设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,,,21Λ, (6) n ηηη,,,21Λ (7) 下的矩阵分别为A 和B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=.定理4 告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系.定义3 设A ,B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ， 使得AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~.相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1. 反身性：A A ~2. 对称性：如果B A ~，那么A B ~.3. 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似， 那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似对于运算有下面的性质.如果X A X B 111-=,X A X B 212-=，那么X A A X B B )(21121+=+-,X A A X B B )(21121-=由此可知，如果AX X B 1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么X A f X B f )()(1-=利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.例2 设V 是数域P 上一个二维线性空间，21,εε是一组基，线性变换A 在21,εε下的 矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0112计算A 在V 的另一组基21,ηη下的矩阵，这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2111),(),(2121εεηη练习： 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18。
线性变换和矩阵的相似性
线性变换和矩阵的相似性线性变换和矩阵的相似性是线性代数中一个重要的概念。
在研究线性变换和矩阵时，相似性的概念可以帮助我们更好地理解它们之间的关系。
本文将从线性变换的定义开始讨论，然后介绍矩阵的相似性以及它们之间的关系。
一、线性变换的定义和性质在线性代数中，线性变换是指保持向量加法和数乘运算的函数。
具体来说，对于一个向量空间V上的线性变换T，满足以下条件：1. 对于任意的两个向量u和v，T(u+v) = T(u) + T(v)；2. 对于任意的标量k和向量u，T(ku) = kT(u)。
线性变换可以用一个矩阵来表示，这个矩阵称为线性变换的矩阵表示。
对于一个n维向量空间V上的线性变换T，我们可以找到一个n×n 的矩阵A，使得对于任意的向量u，有T(u) = Au。
线性变换的矩阵表示有许多性质，比如矩阵乘法对应了线性变换的复合，单位矩阵对应了恒等变换等等。
二、矩阵的相似性矩阵的相似性是指对于两个矩阵A和B，存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B。
换句话说，两个相似的矩阵具有相同的特征多项式和特征值。
矩阵的相似性具有以下性质：1. 相似性是一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。
2. 如果两个矩阵相似，它们必定具有相同的秩和迹。
3. 相似矩阵具有相似的对角化形式。
也就是说，如果A和B相似，那么它们都可以对角化，并且它们的对角线上的元素相等。
三、线性变换的矩阵表示和矩阵的相似性有密切的关系。
对于一个n维向量空间V上的线性变换T以及它的矩阵表示A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP是对角矩阵D，则称T和线性变换D相似。
换句话说，T和D具有相同的特征多项式和特征值。
线性变换和矩阵的相似性在很多应用中具有重要的意义。
比如，在求解线性微分方程和矩阵对角化等问题中，相似矩阵的性质可以帮助我们简化计算过程，提高求解效率。
同时，相似性也为我们的理论研究提供了一个统一的观点，使得我们能够更好地理解线性变换和矩阵之间的关系。
线性变换和矩阵
求：（1） 在标准基下的矩阵；
（2） 在基 {1,2 ,3} 下的矩阵。
二、矩阵的相似
1、定义：设 A 、B 是数域 F 上的两个 n 阶矩阵，若存在 F 上n 阶可逆矩阵
T ，使得 B T 1AT 成立，则称B 与
A 相似，记作：A ~ B 。
2、性质
（1）自反性：每一个 n 阶矩阵 A 均
与它本身相似。 A I 1 AI
x1
将（3）代 (入 (（1),4(）2 ),，,得(n )：) xxn2
（4）
x1
( )
(1, 2 ,
,
n
)
A
x2 xn
上式表明， () 关于基 {1,2, ,n}的坐标所 成的列是
x1
A
x2 xn
。
比较（1）式，得：
定理7.3.1：令V 是数域 F上一个n 维的向量空间， 是 V 的一个线性变
结论：n 维向量空间的一个线性变换
关于两个基的矩阵是相似的。
B T 1 AT
推广：（1）T 1( A1 A2 Ar )T T 1 A1T T 1 A2T T 1 ArT （2）T 1 ArT (T 1 AT )r 三、矩阵 A 在给定基下的线性变换
引理7.3.2：设V 是数域 F 上一个 n
（2）对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A 。
A ~ B B T 1 AT A TBT 1 (T 1 )1 BT 1
（3）传递性：若 A ~ B 且 B ~ C ，则 A~C 。
， A ~ B B ~ C B T 1 AT ,C U 1BU
C U 1 (T 1 AT )U (TU )1 A(TU )
关于V 的两个基 和 的 {1,2 , ,n} {1, 2 , , n} 矩阵分别为 A 和 B ，而基 {1,2, ,n} 到 {1, 2 , , n} 的过渡矩阵为 T ，则有
第二章矩阵与线性变换
例 2.1.6 n 阶矩阵空间 Mn(F ) 是纯量矩阵子空间 {A ∈ Mn|A = λI, λ ∈ F } 与迹 0 子空 间 {A ∈ Mn|trA = 0} 的直和.
定理 2.1.3 (直和的判定) 设 U 与 W 是线性空间 V 的两个子空间, 则下列命题等价: (1) U + W 是直和 (即 U ∩ W = 0); (2) 对任意 α ∈ U + W , 分解式 α = u + w, 其中 u ∈ U, w ∈ W 是唯一的, 即若还 有 α=u +w, 则 u=u, w=w; (3) 零向量的分解式唯一; 即若 0 = u + w, u ∈ U, w ∈ W , 则 u = w = 0; (4) dim (U + W ) = dim U + dim W .
即 Span S 由 S 中元素的所有可能的 (有限) 线性组合构成. 特别地, 两个子空间 U 与 W 的 和 U + W = Span U ∪ W .
例 2.1.2 设 V = Mn(R) 是 n 阶实矩阵构成的线性空间. 令 D = {全体对角矩阵}, U = {全体上三角矩阵}, W = {全体下三角矩阵}. 则 D, U 与 W 均是 V 的子空间, 且 U + W = V ; U ∩ W = D; 但 U ∪ W 不是子空间 (加法不封闭). 其中 D 的维数等于 n; U 与 W 的维数均等 于 n(n + 1)/2; U + W = V 的维数等于 n2. 即
(T1) (可加性) σ(x + y) = σ(x) + σ(y); (T2) (齐次性) σ(ax) = aσ(x), a ∈ F . 我们将在本章中证明, 如果映射 τ : F n → F m 满足上述两条性质, 则必然存在矩阵 Am×n 使得 σ(x) = Ax, ∀x ∈ F n. 于是, 求向量 b ∈ F m 在 σ 下的原像等价于解线性方程组 Ax = b. 因此, 矩阵 A 和满足条件 (T1) 与 (T2) 的映射 (此即本章的核心: 线性变换或线性映射) 具有 非常深刻的天然联系, 本章的目的即是研究二者之间的联系.
第二讲 线性变换及其矩阵
3
第二讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
1. 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间，T 是 V 到自身的一个映射，若 V , 均存在唯一 的 V 与之对应，则称 T 为 V 的一个变换（或算子），记为T ( ) . 称 为 在变换 T 下的象， 为 的原象。 若变换 T 还满足, V , k,l K,有T (k l ) kT () lT ( ).则称 T 为线性变换。
T 1,2,
,n (T (1),T (2),
,T (n)) 1,2,
a11 a12
,n
a21 a22
an1 an2
1,2, ,n 下的矩阵。
1
a1n
a2n
1,
2
,
ann
称 A (aij )nn 为 T 在基 ,n A
R(T ) T ( ) | V n 为 T 的值域； N(T ) | V n,T () 称为T 的核。
易证 R(T ) 和 N (T ) 均为V n 的子空间，分别称为 T 的像空间和核（零）空间，称 dim R(T ) 、 dim N (T ) 为T 的秩和零度。 2、定理 设 T 为V n 上的线性变换， 1,2, ,n 为V n 的一组基，则
（1） R(T ) SpanT (1),T (2), T(n)；（2） dim R(T ) dim N(T ) n ；
特别地，若 A 是线性变换 T 的矩阵，则 dim R(T ) = dim R( A) ，dim N(T ) = dim N ( A) .
矩阵与线性变换的性质与应用
矩阵与线性变换的性质与应用矩阵与线性变换是线性代数中的重要概念，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵与线性变换的基本性质，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的基本性质1. 矩阵的定义矩阵是一个由一定数量的数按照长方阵列排列而成的矩形数表。
一般表示为m×n(m行n列)。
矩阵中的元素可以是实数、复数或者其他代数元素。
2. 矩阵的运算矩阵与矩阵之间有加法和乘法运算。
对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法定义为A + B = C，其中C的每个元素等于A和B对应位置上元素的和。
矩阵的乘法定义为A × B = D，其中D的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置后的矩阵记作A^T。
对于方阵A，如果存在一个矩阵B使得A × B = B × A = I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
逆矩阵可以用来解线性方程组，求解矩阵的逆矩阵需要满足一定的条件。
二、线性变换的基本性质1. 线性变换的定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的映射。
对于向量空间V中的两个向量u和v，以及标量c，线性变换T必须满足两个性质：T(u + v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。
2. 线性变换的表示与矩阵每个线性变换都可以由一个矩阵表示。
对于向量空间V中的一组基底B = {b1, b2, ..., bn}，线性变换T定义为T(v) = Av，其中A 是一个由线性变换将基底B中的向量映射到对应的新坐标系中的向量所得到的矩阵。
3. 线性变换的性质线性变换具有以下性质：- 保持原点不变：T(0) = 0- 保持直线性质：对于直线上的点，线性变换后仍然在直线上- 保持比例关系：对于两个向量u和v，如果它们的比例关系为u = cv，那么它们的线性变换后的比例关系为T(u) = cT(v)三、矩阵与线性变换的应用1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，可以用来判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的逆矩阵。
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§3 线性变换和矩阵
一、线性变换关于基的矩阵
设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.
空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式
n n x x x εεεξ+++= 2211 (1)
其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：
A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211）
=1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2)
上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说
1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换Å与ℬ在这组基上的作用相同，即
A i ε=
B i ε， ,,,2,1n i =
那么A = B .
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换Å使
A i ε=i α .,,2,1n i =
定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换Å使
A i ε=i α .,,2,1n i =
定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧+++=+++=+++=.
,
,
22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是
A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A Å(2ε)，…， A (n ε)）
=A n ),,,(21εεε (5) 其中
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n
n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵.
例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下
⎩⎨
⎧+====.
,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε
如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明
A 2=A
投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛00
111
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有
定理2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理2 说明数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换组成的集合)(V L 对于线性变换的加法与数量乘法构成P 上一个线性空间，与数域P 上n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构.
定理3 设线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是A ，向量ξ在基n
εεε,,,21 下的坐标是),,,(21n x x x ,则A ξ在基n εεε,,,21 下的坐标),,,(21n y y y 可以按公式
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
n n x x x A y y y 2121
计算.
二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.
定理4设线性空间V 中线性变换A 在两组基
n εεε,,,21 , (6) n ηηη,,,21 (7) 下的矩阵分别为A 和B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX
X
B 1
-=.
定理4 告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系. 定义3 设A ，B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得AX
X
B 1
-=，就说A 相似于B ，记作B A ~.
相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质： 1. 反身性：A A ~
2. 对称性：如果B A ~，那么A B ~.
3. 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.
定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
矩阵的相似对于运算有下面的性质. 如果X
A X
B 11
1-=,X
A X
B 21
2-=，那么
X A A X B B )(211
21+=+-,
X
A A X
B B )(211
21-=
由此可知，如果AX
X
B 1
-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么
X
A f X
B f )()(1
-=
利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.
例 2 设V 是数域P 上一个二维线性空间，21,εε是一组基，线性变换A 在
21,εε下的矩阵是
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0112
计算A 在V 的另一组基21,ηη下的矩阵，这里
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=21
11
),(),(2121εεηη。