4.2线性变换的矩阵

矩阵A称为线性变换 下的矩阵. 矩阵 称为线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵 称为
注： ① A的第 列是 σ (ε i ) 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标， 的第i列是 下的坐标， 的第
它是唯一的. 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 它是唯一的. 故 σ 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
高 等 代 数
命题4.2.1设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基， ,τ 是线性空间V的一组基 σ 的一组基， 命题
的线性变换， 为V的线性变换，若 σ (ε i ) = τ (ε i ), i = 1, 2,L , n . 的线性变换 则 σ =τ. 证：对 ∀ξ ∈ V , ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n
σ (ε 1 ) = α11ε 1 + α 21ε 2 + L + α n1ε n σ (ε 2 ) = α12ε 1 + α 22ε 2 + L + α n 2ε n LLLLLLLLLLLLL σ (ε ) = α ε + α ε + L + α ε n nn n 1n 1 2n 2
从而， (ξ ) = x1σ (ε 1 ) + x2σ (ε 2 ) + L + xnσ (ε n ). 从而， σ
σ 由此知， 完全确定. 由此知， (ξ ) 由 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 完全确定
所以要求V中任一向量在 下的象，只需求出V的 所以要求 中任一向量在 σ 下的象，只需求出 的 下的象即可. 一组基在 σ 下的象即可
i =1 i =1 n n
高 等 代 数
则
β ＋γ ＝∑ bi＋c）ε i , （ i
i =1 n
n
k β = ∑ (kbi )ε i
i =1 n n
n
（ 于是 σ ( β ＋γ ) = ∑ bi＋c）α i = ∑ biα i + ∑ ciα i i
i =1 i =1 i =1
= σ ( β ) + σ (γ )
∴
( kσ ) ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ( kσ ) ( ε 1 ) ,L , ( kσ ) ( ε n ) )
= kσ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = k ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A
kσ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的矩阵为 kA.
③ Q
= σ ( ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) B ) = σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) B
下的矩阵为AB. ∴ στ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的矩阵为
= ( kσ ( ε 1 ) ,L , kσ ( ε n ) ) = k ( σ ( ε 1 ) ,L ,σ ( ε n ) ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) ( kA )
一、线性变换在基下的矩阵 二、相似矩阵
高 等 代 数
一、 线性变换在基下的矩阵 是线性空间V的一组基 的一组基， 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基，σ 为V 的线性变换. 的线性变换 则对任意 ξ ∈ V 存在唯一的一组数
x1 , x2 ,L , xn ∈ P , 使 ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n
高 等 代 数
定理4.2. 设线性变换 σ 在基ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵为A, 定理4.2.3 下的矩阵为 4.2.
ξ ∈ V 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标为 ( x1 , x2 ,L , xn ),
σ (ξ )在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标为 ( y1 , y2 ,L , yn ),
P n×n 中 在这组基下， 的每一个线性变换都与 基，在这组基下，V的每一个线性变换都与
的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应， ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵. 于逆矩阵
高 等 代 数
定理4.2.4 设线性空间V的线性变换 σ 在两组基 定理 设线性空间 的线性变换
ε 1 , 2 ,L , ε n ε η1 ,η2 ,L ,ηn
(Ⅰ) Ⅰ (Ⅱ) Ⅱ
下的矩阵分别为A、B， 下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 Ⅰ Ⅱ 矩阵矩阵是X， 矩阵矩阵是 ，则
高 等 代 数
为两个线性变换， 证：设 σ ,τ 为两个线性变换，它们在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵分别为A、 ， 下的矩阵分别为 、B，即
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A τ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) B
用矩阵表示即为
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = (σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A
高 等 代 数
ห้องสมุดไป่ตู้ 其中
α11 α 21 A= L α n1
L L L α n 2 L α nn
α12 L α1n α 22 L α 2 n ,
∴ σ + τ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵为A＋B. 下的矩阵为 ＋
高 等 代 数
② Q (στ ) ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = σ (τ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) )
= ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) ( AB )
高 等 代 数
命题4.2.2 是线性空间V的一组基 的一组基， 命题4.2.2 设ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基，对V中 中 任意n个向量 任意 个向量 α1 ,α 2 ,L ,α n , 都存在线性变换 σ 使
σ (ε i ) = α i ,
i = 1,2,L , n
则有
y1 x1 y2 x2 M ＝ A M . y x n n
高 等 代 数
证：由已知有
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A,
x1 x2 ξ＝( ε 1 , 2 ,L , ε n ) , ε M x n y1 y2 σ (ξ ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) . ε M y n
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例1. 设线性空间 P 的线性变换 σ 为
3
σ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x1 + x2 )
求 σ 在标准基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵. 下的矩阵 解： Q σ (ε 1 ) = σ (1,0,0) = (1,0,1)
σ (ε 2 ) = σ (0,1,0) = (0,1,1)
σ ( k β ) = ∑ (kbi )α i = k ∑ biα i = kσ ( β )
i =1 i =1
n
n
∴ σ 为V的线性变换 的线性变换. 的线性变换
又 ε i = 0ε 1 + L + 0ε i −1 + ε i + 0ε i +1 + L + 0ε n
∴ σ (ε i ) = α i ,
σ (ε 3 ) = σ (0,0,1) = (0,0,0)
1 0 0 ∴ σ (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 0 1 0 1 1 0
高 等 代 数
线性变换运算与矩阵运算 定理4.2. 定理4.2.2 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n为数域 上线性空间 的一组 4.2.2 为数域P上线性空间 上线性空间V的一组
i = 1,2,L , n
高 等 代 数
定义4.2.1 定义4.2.1
设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 为数域P上线性空间 的一组基， 为数域 上线性空间V的一组基， 上线性空间 的一组基 σ 的线性变换. 为V的线性变换 基向量的象可以被基线性表出 设 的线性变换 基向量的象可以被基线性表出,设
证：∀ξ ∈ V , 设ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n 定义 σ : V → V , σ ( ξ )＝x1α1 + x2α 2 + L + xnα n， 的一个变换， 易知 σ 为V的一个变换，下证它是线性的 的一个变换 下证它是线性的. 任取 β，γ ∈ V , 设 β = ∑ biε i , γ = ∑ ciε i
ε 于是， 于是，σ (η1 ,η 2 ,L ,η n ) = σ ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) X
= ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) AX = (η1 ,η2 ,L ,η n ) X - 1 AX . ε