结构力学第07章 位移法-1补(形常数载常数)之欧阳家百创编
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结构力学-位移法
则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
结构力学 7.位移法
也称“先拆后搭”
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
结构力学第七章-位移法(一)
由 M B = 0 同理可得，
FQAB 6i 6i 12i F A B 2 FQAB l l l
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程：
一端固端一端铰支的等截面直杆：
B端角位移不独立。
C
B A
AB：一端固定一端定向滑动 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：两端固定 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D EI=c B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：两端固定
R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0
R11 Z1
R21
R31
R12
R22 Z2
R32
R13
R23
R1P R33
R2P
P2
R3P
D EI=c A
E
F
D EI=c
E
F
D EI=c
E
F
P1
D EI=c A
E
F
B
C
A
B
C
A
B
C
B
C
(a)基本结构只发生 Z1
(b)基本结构只发生 Z 2
EI 1
B’ O
B
A’
EI
EI
EI
A EI
EI 1
不考虑杆件伸缩变形，AB 不能转动，无结点角位移
结构力学 第七章 位移法
结构力学课件--7位移法1资料教程
梁 MBC4B2C41.741.1524.8941.746.9kNm
..............................................
柱 MBE443B3B31.153.45kNm
MCF412C2C2(4.89)9.8kNm
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45 B
Q
F BA
B
D
i1
q
i
i
A
C
其中
x 0 Q B A Q D C 0
QBAl32i
3ql 8
3i QDC l 2
6i l2
3ql 8
0
ql 3 16 i
QBA q
QDC
绘制弯矩图的方法：
（1）直接由外荷载及剪力计算；
（2）由转角位移方程计算。
课件
例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
MBAMBC 0
4iB 153iB 90
B
6 7i
16.72
11.57
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
A31iMAB61iMBA
7
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
..............................................
柱 MBE443B3B31.153.45kNm
MCF412C2C2(4.89)9.8kNm
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45 B
Q
F BA
B
D
i1
q
i
i
A
C
其中
x 0 Q B A Q D C 0
QBAl32i
3ql 8
3i QDC l 2
6i l2
3ql 8
0
ql 3 16 i
QBA q
QDC
绘制弯矩图的方法：
（1）直接由外荷载及剪力计算；
（2）由转角位移方程计算。
课件
例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
MBAMBC 0
4iB 153iB 90
B
6 7i
16.72
11.57
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
A31iMAB61iMBA
7
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
第七章 位移法(结构力学)
4m
用位移法计算并作图示结构M图，横梁 为无穷刚梁EI→∞，两柱刚度均为EI
7.5
典型方程法
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
位移法典型方程
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q C
F1
q C
A l
βA EI=常数
A θA
F1=0
A A
B
A A A A
F1 0 F1 0
B l
基本体系 转化为原结构的 条件：基本结构 在给定荷载以及 结点位移∆1作用 下，附加约束反 力应等于零。
M AB
A
EI
B
M AB 3i A
A
A
A
i
B
l EI i l
A
M AB
i
3i l
B
M AB
3i 3i A l
3). 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
EI
MBA
A
A
B
EI i l
M AB i A
M BA i A
4). 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
EI MBA A i l
MAB MAB
1) A
B
A
EI MBA A i l
B
M AB
6i 4i A l
M BA
6i 2i A l
单位杆端位移引起的杆端内力称为形常数. i=EI/l----线刚度
2.由荷载求固端弯矩（载常数教材表8-1）
荷载引起的杆端内力称为载常数.
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正； • 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； • 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
结构力学-7 位移法1
第一种梁（两端固定）：
MAFB,
MBFA,
FF QBA
第二种梁（另一端铰支）：
MF AB
MAFB12MBFA
13
第二、三种梁的固端弯矩与第一种梁固端内力的关系
第一种梁（两端固定）：
MAFB,
MBFA,
FF QBA
第三种梁（另一端滑动）：
MF AB
MAFB
2l FQFBA
MF BA
MBFA2l FQFBA
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
由杆端位移求杆端力，变换上 面的式子可得转角位移方程：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
q
EI l q
EI l
mABq82l
Q BA
mBA
Q BA
mBA
ql 2 8
Q AB
5 8
ql
Q BA
3 ql 8
Q AB
3 8
ql
Q BA
5 ql 8
»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角
位移方程）：
MAB
4iA
14
Q A BQ B A 6 li A 6 li B 1 l2 i 2 6 (2 )
方法二：用力法求解单跨超静定梁
Δ
11X112X21CA 21X122X22CB
θA
X1
θB
X2
结构力学龙驭球第7章 位移法讲解
⑵ 位移法的基本方程 是用位移表示的平衡方程（B 结点的竖向投影平衡 方程式）。
⑶ 建立基本方程的过程分两步： 第一步，把结构拆散成杆件，进行杆件分析，得到杆件的刚度方程。 第二步，再把杆件集合成结构，进行整体分析，得出基本方程。
⑷ 杆件分析是结构分析的基础，杆件刚度方程是位移法基本方程的基础。
2、位移法计算刚架的基本思路
?
?? ?
?
?
??
?
(1)
MAB
由平衡条件求杆端剪力FQAB 和FQBA ：
EI
?
? M B ? 0, FQAB l ? M AB ? M BA ? 0
FF QAB
?A
?B
MBA
l
FF QBA
M M
AB BA
? ?
4i? A 2i? A
? ?
2i? B 4i? B
? ?
6i 6i
? l ? l
?
?? ?
?
?
? ??
(1)
FQAB
?
?
M AB
?
l
M BA
?
?
6i l
?A
?
6i l
?
B
?
12i l2
?
刚度矩阵中的系数称为刚度系数，刚 度系数是只与杆件尺寸和材料性质有 关的常数，又称为形常数。
6i 6i 12i
FQAB ? FQBA ? ? l ? A ? l ?B ? l2 ? (2)
弯曲杆件刚度矩阵
增加荷载共同作用，叠加可得：
M AB
?
3i? A
?
3i l
?
?
M
F AB
FQAB
结构力学第7章
EI l
称杆件的线刚度。
M
F AB
,M
为由荷载和温度变化引起的 杆端弯矩，称为固端弯矩。
同理，另两类杆的转角位移方程为
A端固定B端铰支
M
AB
3 i
A
3i l
AB M
F AB
A端固定B端定向
M M
AB
i A M
F AB F BA
BA
i A M
§7-3
无侧移刚架的计算
附加 刚臂
P A
C
θA
A
θA
C
附加刚臂限制结点
位移，荷载作用下
B 附加刚臂上产生附 加力矩
施加力偶使结点产生的 B角位移，以实现结点位 移状态的一致性。
P
θA
A
θA
C
实现位移状态可 分两步完成： 1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力；
B
分析：
2）在附加约束上施加外力， 使结构发生与原结构一致的结 点位移。
BA
1
同理可得
B
1 6i
M
AB
1 3i
M
BA
MAB
A
A
1 3i
1
M
AB
1 6i
1
M
BA
E I l
B
B
M
6i
AB
M
3i
BA
MBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A B
l
MAB
A
B
以上两过程的叠加
MBA
A
1 3i
结构力学-第7章-位移法习题答案
EA=∞ E
EA=∞ F
EI
2EI EI
A
B
C
6m
6m
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种 M 图如下
7- 34
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11
4 243
EI , R1p
Fp
4 243
EIZ1
Fp
0
Z1
243 4EI
（4）画 M 图
(d)
E
F
EA
EA
A
B
FP aa
C EI1=∞
2a
D
FP a
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种 M 图如下
2a
7- 35
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11
2 5
EA / a, R1p
6 5
Fp
2 5
EA a
Z1
6 5
Fp
0
Z1
3a EA
（4）求最终弯矩图
7- 41
(d)
l
E q
GB
D
ql F
EI=常数
A
C
l 2
l
l
l
解：（1）确定基本未知量 两个位移未知量，各种 M 图如下
7- 42
（2）位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1 p 0 r21Z1 r22Z2 R2 p 0
（3）确定系数并解方程
r11
四川大学结构力学第7章
概括起来，只有位移和相应位移方向上的内力 均未知时，该位移作为位移法的基本未知量。
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
07★结构力学A上★第七章★位移法
31
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
例：作图示刚架弯矩图。忽略横梁的 轴向变形。 解:（1）基本未知量：各柱顶水平 位移相等，只有一个独立线位移Δ。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力为：
EI1 i1 h1 EI 2 i2 h2 EI 3 i3 h3
32
M BA 3i1 M DC 3i2 M FE 3i3
FP i1 i2 i3 3 2 2 2 h1 h2 h3 FP 3 i h2
列出水平投影方程：
X 0
33
（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：
i1 2 h1 FP i 2 h i3 2 h3 FP i 2 h i2 2 h2 i 2 h
转角位移方程。因此，不能利用刚性杆两端的刚结点力矩平
衡条件。应建立弹性杆端的剪力平衡方程。 刚性杆虽然没有变形，但是可存在内力。
30
2. 基本方程的建立
B= 0.737/ i (1) 基本未知量 B = 7.58/i
(2) 杆端弯矩
1 AB：M AB 2i B 6i 3 42 4 12 1 M BA 4iB 6i 3 42 4 12
M E 0, FQBE
M F 0, FQCF
1 (M EB M BE ) 4
1 M FC M CF 6
1 1 (M EB M BE ) M FC M CF 0 4 6
（4）解方程组
1.125 B 0.5C 0.728 0
得 B= 0.94 C= -4.94 = -1.94
10 B 2C 1.125 1.7 0 2 B 9C 0.5 41.7 0 1.125 B 0.5C 0.728 0
结构力学电子教案第七章静定结构位移计算ppt课件
第七章 静定结构位移计算
作虚拟状态的 M 1 、 N 1 图。
1
N1
N1 图
第20页
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
第21页
计算D点竖向位移。图乘时可将CD 段的 M P 图分解成一 个梯形和一个二次标准抛物线。AC段的 M P 图同样分解成
两部分。BC 杆为轴力杆，由此可得
1
NP
N1
结构力学电子教案
4EI 2
33 2
33
(2 4 4)(8 4)]
3
2
1088 () 3EI
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
例3 试求图示结构D点的竖向位移 Dy 。
第18页
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
解 此结构为一组合，作实际状态的 M P、NP 图。
第19页
NP NP 图
结构力学电子教案
根据上面的推证过程，可知在使用图乘法时应注意下列各
点：
（1）必须符合上述三个条件；
（2）纵距 y
（3） 与y
c c
只能取自直线图形； 若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负
号位移计算中常见的几种图形的面积和形心的位置
1lh
2
结构力学电子教案
h
2
第七章 静定结构位移计算
第5页
2lh
顶点
3
在抛物线图形中，注意顶
72
2 16 4
8
20
2 16 4 8
MP图
第16页
y5 y4 y3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
第17页
Cy
yc
结构力学第7章 位移法(27-30)
第 7 章 位移法
Displacement Method
第 7 章 位移法
教学内容 7-1 等截面杆件的形常数和载常数 7-2 位移法的基本概念
7-3 无侧移刚架的计算
7-4 有侧移刚架的计算
7-5 对称结构的计算
7-1 等截面杆件的形常数和载常数
知识点：
等截面梁的形常数 等截面梁的载常数
（1）结构的独立结点位移
（2）结构拆成杆件，做杆件分析—荷载、变形
（3）平衡方程，求解
（4）回代，求杆端弯矩
小结
7-1 等截面杆件的形常数和载常数
知识点： 等截面梁的形常数
等截面梁的载常数 重点： 记忆等截面梁的形常数和载常数。
7-2 位移法的基本概念
知识点： 整体分析、杆件分析
力法解常见超静定结构
m AB 15kN m
mBC ql 2 9kN m 8
(3) 列杆端转角位移方程
MAB
EI
P
B MBA
MBC B
q
EI
设i
EI 6
M AB 2i B 15
M BC 3i B 9
M BA 4i B 15
(4) 位移法基本方程（平衡条件）
4I0 4m
B 5I0
3I0
3I0 F 4m
M
F BA
E 4m 5m
（1）基本未知量B、C （2）固端弯矩
F M BC
F M CB 41.7kN m
20kN/m
A 4I0 4m B 5I0 C 4I0
D
3I0
E 4m 5m F 4m
各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则
iBA iBE
Displacement Method
第 7 章 位移法
教学内容 7-1 等截面杆件的形常数和载常数 7-2 位移法的基本概念
7-3 无侧移刚架的计算
7-4 有侧移刚架的计算
7-5 对称结构的计算
7-1 等截面杆件的形常数和载常数
知识点：
等截面梁的形常数 等截面梁的载常数
（1）结构的独立结点位移
（2）结构拆成杆件，做杆件分析—荷载、变形
（3）平衡方程，求解
（4）回代，求杆端弯矩
小结
7-1 等截面杆件的形常数和载常数
知识点： 等截面梁的形常数
等截面梁的载常数 重点： 记忆等截面梁的形常数和载常数。
7-2 位移法的基本概念
知识点： 整体分析、杆件分析
力法解常见超静定结构
m AB 15kN m
mBC ql 2 9kN m 8
(3) 列杆端转角位移方程
MAB
EI
P
B MBA
MBC B
q
EI
设i
EI 6
M AB 2i B 15
M BC 3i B 9
M BA 4i B 15
(4) 位移法基本方程（平衡条件）
4I0 4m
B 5I0
3I0
3I0 F 4m
M
F BA
E 4m 5m
（1）基本未知量B、C （2）固端弯矩
F M BC
F M CB 41.7kN m
20kN/m
A 4I0 4m B 5I0 C 4I0
D
3I0
E 4m 5m F 4m
各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则
iBA iBE
结构力学-第7章 位移法
第7章位移法一. 教学目的掌握位移法的基本概念；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟悉等截面杆件的转角位移方程；熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。
二. 主要章节§7-1 位移法的基本概念§7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作§7-3 位移法解无侧移刚架§7-4 位移法解有侧移刚架§7-5 位移法的基本体系§7-6 对称结构的计算＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容）§7-8小结§7-9思考与讨论三. 学习指导位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四. 参考资料《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。
由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。
因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。
此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。
位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解）§7-1 位移法的基本概念1.关于位移法的简例为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。
结构力学 第七章 位移法
表示等截面直杆杆端力与杆端位移及杆上荷载间关系的表达式
B A
Δ
6i F M AB l 6i F M BA 2i A 4i B M BA l 6i 6i 12i F F QAB A B 2 FAB l l l M AB 4i A 2i B
B
4i
1
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ =1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ =1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
三 等截面直杆的载常数 由荷载作用所引起的杆端力（固端力）
单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
mAB
B
mBA
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
位移法方程实质上平衡方程
Z1
D i A 2i E
Z2
C 2i
i EI l
4m
EI
i B
A
B
4m
2m
2m
位移法基本体系
解：1 确定位移法基本体系 2 列位移法方程 k11Z1+ k12Z2+ F1P=0 k21Z1+ k22Z2+ F2P=0
３ 计算系数和自由项 Z1=1
4i 4i D i8i A 2i 8i 2i E 2i i B C
M AB 2i B
M BC ql 2 4i B 12
ql 2 ql 2 ql 2 4i 96i 12 24
结构力学第7章 位移法
第7章 位 移 法
§7-1 位移法的基本概念 §7-2 等截面直杆的刚度方程 §7-3 无侧移刚架的计算 §7-4 有侧移刚架的计算
§7-5 位移法的基本体系
§7-6 对称性的应用 §7-7 支座移动和温度改变时的计算
§7-8 小结
§7-1
1
位移法的基本概念
关于位移法的简例
■ 对称结构承受对称荷载，结点B只发生竖向位移Δ。
§7-3 无侧移刚架的计算
（3）建立位移法基本方程
结点B力矩平衡：
（4）求出基本未知量
M BA M BC M BE 0
10 B 2C 1.7 0
结点C力矩平衡：
B 1.15, C 4.89
（5）求出各杆最终杆端弯矩：
M BA 3 1.15 40 43.5kN.m M BC 4 1.15 2 4.89 41.7 46.9kN.m
F M BA 3iBA B M BA 3 B 40 F M BC 4iBC B 2iBCC M BC 4 B 2C 41.7 F M CB 2iBC B 4iBCC M CB 2 B 4C 41.7
M CD 3iCDC 3C M BE 4iBE B 3 B , M EB 2iBE B 1.5 B M CF 4iCF C 2C , M FC 2iCF C C
■ 若求出位移Δ，则各杆件的变形和内力都可求出。
■ 取位移Δ作为位移法基本未知量。
§7-1 位移法的基本概念
第一步，从结构中取 出一个杆件 进行分析。 第二步，把各杆综合成结构。 各杆的杆端位移与基本 位置量的关系为
EAi FNi ui li
杆件的刚度方程
§7-1 位移法的基本概念 §7-2 等截面直杆的刚度方程 §7-3 无侧移刚架的计算 §7-4 有侧移刚架的计算
§7-5 位移法的基本体系
§7-6 对称性的应用 §7-7 支座移动和温度改变时的计算
§7-8 小结
§7-1
1
位移法的基本概念
关于位移法的简例
■ 对称结构承受对称荷载，结点B只发生竖向位移Δ。
§7-3 无侧移刚架的计算
（3）建立位移法基本方程
结点B力矩平衡：
（4）求出基本未知量
M BA M BC M BE 0
10 B 2C 1.7 0
结点C力矩平衡：
B 1.15, C 4.89
（5）求出各杆最终杆端弯矩：
M BA 3 1.15 40 43.5kN.m M BC 4 1.15 2 4.89 41.7 46.9kN.m
F M BA 3iBA B M BA 3 B 40 F M BC 4iBC B 2iBCC M BC 4 B 2C 41.7 F M CB 2iBC B 4iBCC M CB 2 B 4C 41.7
M CD 3iCDC 3C M BE 4iBE B 3 B , M EB 2iBE B 1.5 B M CF 4iCF C 2C , M FC 2iCF C C
■ 若求出位移Δ，则各杆件的变形和内力都可求出。
■ 取位移Δ作为位移法基本未知量。
§7-1 位移法的基本概念
第一步，从结构中取 出一个杆件 进行分析。 第二步，把各杆综合成结构。 各杆的杆端位移与基本 位置量的关系为
EAi FNi ui li
杆件的刚度方程
第07章位移法
22
2、结点转角 结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 FP A D B C
B( )
C( )
3、杆件两端相对侧移 杆件两端相对侧移的正负号与弦转角的正负号 一致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 A
l
B
A
l
B
23
二、等截面直杆的刚度方程(形常数)
此时B结点产生固端弯矩。
12
q A B
q
B 0
F M BA 0
C B
F M BC
C
F M BC
ql 2 8
3、令B结点产生转角B( 单跨超静定梁。 A i A i
)。
此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角B的 B i B
B
C
i
B 3i B
B
3i B
B
EI —线刚度 l
20
§7-2 等截面直杆的刚度方程
位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座
移动和外荷载作用时的杆端力的计算。 位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单 跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支 梁；一端固定、一端滑动梁。 用到的数据是：形常数和载常数。 (1) 已知杆端位移求杆端弯矩——形常数；
D值法(广义反弯点法)。
2
§7-1 位移法基本概念
一、位移法的基本思路
将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即： 结构
拆成 搭接成 杆件 第二步 第一步
结构
第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位 移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。
第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点位
移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。
( a) B A C D E F G (b) B C D E F G
2、结点转角 结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 FP A D B C
B( )
C( )
3、杆件两端相对侧移 杆件两端相对侧移的正负号与弦转角的正负号 一致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 A
l
B
A
l
B
23
二、等截面直杆的刚度方程(形常数)
此时B结点产生固端弯矩。
12
q A B
q
B 0
F M BA 0
C B
F M BC
C
F M BC
ql 2 8
3、令B结点产生转角B( 单跨超静定梁。 A i A i
)。
此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角B的 B i B
B
C
i
B 3i B
B
3i B
B
EI —线刚度 l
20
§7-2 等截面直杆的刚度方程
位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座
移动和外荷载作用时的杆端力的计算。 位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单 跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支 梁；一端固定、一端滑动梁。 用到的数据是：形常数和载常数。 (1) 已知杆端位移求杆端弯矩——形常数；
D值法(广义反弯点法)。
2
§7-1 位移法基本概念
一、位移法的基本思路
将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即： 结构
拆成 搭接成 杆件 第二步 第一步
结构
第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位 移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。
第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点位
移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。
( a) B A C D E F G (b) B C D E F G
结构力学第七章-位移法(二)
C
t1
t1 40 D t2 20
Z1
l t1 2
B
C
t1
t1 40 D t2 20
Z2
C’ C
30 l 30 l
D’ D
t1
15 l
A
l
l 2
A
B 基本结构
B
基本结构只承 受t0时的变形
EI l
A
2个基本未知量。 【解】 几个基本未知量？
位移法方程
r11Z1 r12 Z 2 R R 0 r21Z1 r22 Z 2 R R 0
' 1t ' 2t '' 1t '' 2t
R1't
180 EI l 45
' R2 t
基本结构只承受温度变化t0=30° 基本结构只承受温度变化Dt=20°
R1't 135
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§ 7-7 广义荷载作用下的位移法计算
二、温度改变时的位移法
关于表7-2中端弯矩的理解：
t t
2l
①
利用对称性 取半结构
l
t t
温度变化情况 下，原直杆的 形状有何变化？
②
t t
端弯矩方向： 温度低的一侧受拉
力法和位移法作为超静定结构求解的两种基本方法， 各自的最适用范围如何？ 判别原则：基本未知量数量尽可能少。 力法：超静定次数少而结点位移多的结构。 位移法：超静定次数多而结点位移少的结构。
Strucural Analysis
Байду номын сангаас
t1
t1 40 D t2 20
Z1
l t1 2
B
C
t1
t1 40 D t2 20
Z2
C’ C
30 l 30 l
D’ D
t1
15 l
A
l
l 2
A
B 基本结构
B
基本结构只承 受t0时的变形
EI l
A
2个基本未知量。 【解】 几个基本未知量？
位移法方程
r11Z1 r12 Z 2 R R 0 r21Z1 r22 Z 2 R R 0
' 1t ' 2t '' 1t '' 2t
R1't
180 EI l 45
' R2 t
基本结构只承受温度变化t0=30° 基本结构只承受温度变化Dt=20°
R1't 135
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§ 7-7 广义荷载作用下的位移法计算
二、温度改变时的位移法
关于表7-2中端弯矩的理解：
t t
2l
①
利用对称性 取半结构
l
t t
温度变化情况 下，原直杆的 形状有何变化？
②
t t
端弯矩方向： 温度低的一侧受拉
力法和位移法作为超静定结构求解的两种基本方法， 各自的最适用范围如何？ 判别原则：基本未知量数量尽可能少。 力法：超静定次数少而结点位移多的结构。 位移法：超静定次数多而结点位移少的结构。
Strucural Analysis
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