含导函数的抽象函数的构造

含导函数的抽象函数的构造

1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-

例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则

()24f x x >+的解集为（ ）

A ．()1,1-

B ．()1-+∞，

C ．()1-∞-，

D ．()-∞+∞，

【答案】B

【解析】构造函数()()24G x f x x =--，所以()()2G x f x ''=-，由于对任意

R x ∈，()2f x '>，

所以()()20G x f x ''->=恒成立，所以()()24G x f x x =--是R 上的增函数， 又由于()()()112140G f -=----⨯=，所以()()240G x f x x -->=， 即()24f x x >+的解集为()1-+∞，．故选B ．

2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造

()()f x h x x

=

例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，

()()0f x xf x '+<成立，()0.20.2

22a f =，()log

3log 3b f π

π=，()33log 9log 9c f =，则a ，

b ，

c 的大小关系是（ ）

A ．a b c >>

B ．a c b >>

C ．c b a >>

D ．b a c >>

【答案】D

【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称，所以函数()y xf x =为奇函数．

因为()()()xf x f x xf x ''=+⎡⎤⎣⎦，所以当(),0x ∈-∞时，()()()0xf x f x xf x ''=+<⎡⎤⎣⎦，

函数()y xf x =单调递减，当()0,x ∈+∞时，函数()y xf x =单调递减．

因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，所以0.230log 32log 9π<<<，所以

b a

c >>．故选

D ．

3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()

()e x

f x h x =

例3：（2020年）已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（ ） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f >

B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f <

C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f >

D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 【答案】D

【解析】构造函数()()e x

f x

g x =

，则()()()()

()

()()

2

e e e e x x x

x f x f x f x f x g x ''-'-'=

=

，

因为R x ∀∈均有()()f x f x '>并且e 0x >，所以()0g x '<，故函数()()e

x f x g x =在

R 上单调递减，

所以(2016)(0)g g ->，(2016)(0)g g <，即2016

(2016)

(0)

e f f -->，2016(2016)(0)e f f <， 也就是2016e (2016)(0)

f f ->，2016(2016)e (0)f f <．

4．()f x 与sin x ，cos x 构造

例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫

∈-

⎪⎝⎭

满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则

（ ） A ．(

)04f π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()03f f π⎛⎫

<2- ⎪⎝⎭

C

34f ππ⎛⎫

⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

D

34f ππ⎛⎫⎛⎫

-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

【答案】D

【解析】提示：构造函数()

()cos f x g x x

=．

一、选择题

1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <， 则必有（ ）

A ．()()af b bf a <

B ．()()bf a af b <

C ．()()af a bf b <

D ．()()bf b af a <

【答案】C

【解析】由已知()()0xf x f x '+>∴构造函数()()F x xf x =， 则()()()0F x xf x f x ''=+>，从而()F x 在R 上为增函数。 ∵a b <，∴()()F a F b <，即()()af a bf b <，故选C ．

2．已知函数()()R f x x ∈满足()11f =，且()12

f x '<，则()12

2

x f x <+的解集

为（ ）

对点增分集训