梯形与重心

梯形与重心知识点一：梯形要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。

知识点二：等腰梯形要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。

知识点三：直角梯形要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。

知识点四：等腰梯形的性质要点诠释： 1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。

2.等腰梯形的对角线相等。

知识点五：等腰梯形的判定要点诠释： 1.梯形的定义。

2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

知识点六：四边形的分类要点诠释：知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心要点诠释：1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。

2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

三、规律方法指导知识点回顾：2 •梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究,类型一：梯形中的辅助线1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于Jr ,它的两底分别是L■一，和「Ed，求它的腰长思路点拨：已知：如图，在梯形 ABC ［中，』応一 ,?'1 / C - . r':■ . -….求：AB 的长.解析：过点A 作/I C I 1' D 交BC 于E,•••四边形ABCD 是等腰梯形， AB=CD∙∙∙ AD// BC又∙∙∙ m∙四边形AECD 是平行四边形•∙，■ -I ：-：：-' ..J-V ：-* _：■∙厶一二••• ― -HN',∙二二】是等边三角形.又•••丄J —’w ∙二丄 / √L ∙ 一 二-总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时， 无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；举一反三：【变式1】（平移对角线）已知梯形 ABCe 的面积是32,两底与高的和为 一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为【答案】梯形 ABCD 中, AD// BC, BD ⊥ BC.由题得：x+y+z=16 ,仗+ "二322设 AD=X BC=y DB=z,（熟记梯形面积公式）解得 χ+y=8 , z=8,过D 作DE// AC 交BC 的延长线于∙四边形ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） E.16,如果其中B∙∙∙ DE=AC AD=CE (将“上底+下底”转化到一条线段上)在Rt △ DBE 中，∠ DBE=90 , BE=BC+CE=x+y=8 BD=8根据勾股定理得[]τ —“I ■ ' - ■,∙∙∙ AC=DE.-，■ -7-,?.【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC AB// CD ∠ D=90°, AEI BC.求证：CD=CE【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB,可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的.证明：如图，连结AC,过C作CF⊥AB于F.在厶CFB和厶AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）ZCFB=ZAEB = 90°^ZB=ZBAB = BC•••△CFB^△AEB (AAS•CF=AEτ∠D=90°, CF⊥AB 且AB// CD,•AFCD是矩形•AD=CF•AD=AE在Rt △ ADC和Rt △ AEC 中,AD=AEAC = AC•Rt △ ADC^ Rt △ AEC ( HL)•CD=CE【变式3】（延长两腰）如图，在梯形亠匸•中，一’】」，—「■ ——1 '「，=、-■为一二、一 \的中点。

D求证：L二;匚-LJ【答案】如图，延长一二，一丄「相交于丄点，连结丄』，・匚••••二、J为一二、L L的中点,•••―一二—二丄,―…T••…」•••_— _」’••• 一——•••厂、二、「三点共线•• 一二一匚H丄ABCD中, AD// Bq 【变式4】（过一腰中点作底边平行线一一构造中位线）已知梯形∠ABC的平分线过CD的中点E.求证：AD÷ BC=AB【答案】证明：过E作EF// BC交AB于F,贝U EF// BC// AD,∙∙∙ E是CD的中点•EF为梯形ABCD勺中位线,∠ 2=∠ 3•A D÷ BC=2EF AF=FBτ∠1 = ∠2,∙∠1 = ∠ 3 ,贝U BF=EF•BF=EF=AF•2EF=BF+AF=AB•A D÷ BC=2EF•A D÷ BC=AB【变式5】如图，E是梯形ABCD中腰DC上的中点, 求FrF U =A ♦ςQAABE：_ 2 *【答案】证明：过E作MNl AB交BC于N,交AD的延长线于M,则四边形ABNh是平行四边形••••△ ABE与□ ABNM同底同高，τ∠1 = ∠C,∠M=Z 2, DE=CE•••△ EMD2^ ENC.∙. S^ABN = S 梯形ABCD--ΔAEE =3⅛z≠BMN** ς = -lς…K- ∆J⅛BE -∙-'⅛^ABCD4类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）1、已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，U。

思路点拨：要证A≡ ≡ ≡β,则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系。

解析：而- ^∙∙ - - ■ 1 ,且丄亡」二：，则问题得证，本题要证对应的角相等也并不困难。

•••四边形ABCD为矩形，•••,TV.•••四边形ABDE为等腰梯形，且二一匚‘为其对角线，牡：M -.二在」川也和—丄中,4 _ I ：「工--',又丄匚,•••丄举一反三:求证：【答案】∙∙∙ADHBC,∙∙∙ A、D两点到BC的距离相等.即—二中BC边上的高与LDBC中BC边上的高相等说明本题中，我们也可以用LI--L 和一亠的面积相等，推出和一二的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用【变式2】如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形•请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来：（1）不是正方形的菱形一个；（2）不是正方形的矩形一个；（3）梯形两个；（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。

【答案】【变式1】如图，已知：在梯形ABCC中，, AC BD相交于点O.【变式3】如图，已知：AD是_二_1的平分线， =」亠…W /.（1）求证：四边形ADC是等腰梯形•⑵若LL _■的周长为∣r■- 匚;，,求四边形ADCE勺周长.【答案】证明：（I）：ABUED（已知），_一】―二：丄（两直线平行，内错角相等）又--r-^∙（角平分线定义），•••丄二—工（等角对等边）••• 一」^j l（已知）丄丿丄即Ll - L•••丄亠「（等边对等角）又「一」-L-L（对顶角相等）（内错角相等，两直线平行）而』L .［池•••四边形ADCE是梯形又∙.∙' - ■./. ■' f-二.∙. 11—三亠二.；.■：：!•二二—（全等三角形的对应边相等）••四边形ADCE是等腰梯形解答：（2）τ四边形ADC是等腰梯形•丄.: W'•梯形ADCE勺周长一二' 一」一■二I'. J ■'：而—1 的周长ADiDC+AC=∖^•一…f•••丄一1J _f j.j：•J'^ I.-. - .< -：■即J= ■ JC 1上门•梯形ADCE勺周长-I . ' h「「二说明：等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决•、填空题1. _____________________________________________________________________________ 等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm 10Cm 6cm, ?则等腰梯形的下底角为 ______________________________ 度.2.如图，在梯形ABCD中，∠ DCB=90 , AB// CD AB=25, BC=24.将该梯形折叠，点A4 .如图所示，梯形纸片ABCD∠ B=60°, AD// BC AB=AD=2 BC=6,将纸片折叠，使点B 与点D重合，折痕为AE,贝U CE= ________ .（第4题）题）5 .如图，在等腰梯形ABCD中, AD// BC, AB≠ AD对角线AC BD相交于点Q ?如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②∠ DAC∠ DCA③厶AQB≤^ DQC④∠ QAD∠ QDA 请把其中正确结论的序号填在横线上：_________________________________ .、选择题6.若等腰梯形两底之差等于一腰的长，？那么这个梯形一内角是（）A. 90°B. 60 °C. 45 ° D . 30°7.如图，在梯形ABCD中，AD// Bq CA平分∠ BCD CD=5贝U AD的长是（）A. 6B. 5C. 4D. 3&如图，等腰梯形ABCD中, AB// DC AC⊥BC,点E是AB的中点，EC// AD,则∠ ABC恰好与点D重合，BE为折痕，那么3 .如图所示，图（1）中梯形符合___________ 条件时，可以经过旋转和翻折形成图（2）3.直角梯形的中位线长为a , —腰长为b,这腰和底所成的角为30°,则它的面积是（）。

] 1（A ） ab（B ）- ab （C ） ab （D ） ： ab等于（）A. 75B. 70 D . 30°9.如图，已知等腰梯形 长为（）A. 19B. 20ABCD 中, AD// BC, ∠ B=60°, AD=2 BC=8 则此等腰梯形的周C. 21D. 22.判断下列命题是否正确.① 一组对边平行的四边形是梯形； （）② 一组对边平行且相等的四边形是梯形； （）③ 一组对边平行且不相等的四边形是梯形.答案与解析：1. 60° （经上底顶点向下底边作垂线）2. 30 （过 D 作DF 垂直AB 于F ）3. 底角为60°且腰长等于上底长4. 4 （四边形ABED 为菱形）5. ①，③，？④（由等腰梯形的性质和梯形面积求出结论）6. B （过上底一个顶点做一腰的平行线）7. B （可证 AD=CD& C （直角三角形斜边中线等于斜边的一半） 9. D （做双高图）三、①ד有且仅有一组对边平行”的四边形，才能称为梯形;②× ③√能力提升： 一、选择题.1.下面命题中错误的命题是（）。