梯形重心的求法
课题学习《重心》
课题学习《重心》新疆生产建设兵团第一中学李雪荣各位专家、老师大家好：刚才的短片把我们带到了美丽的西部边陲新疆生产建设兵团，我就是来自新疆生产建设兵团第一中学的李雪荣，我今天说课的题目是课题学习《重心》，本节课选自人教版八年级下第十九章《四边形》，我将从教材分析、教学程序设计、教学反思和体会三方面来说课一、教材分析（一）、本章及本节的地位和作用：《四边形》这一章主要介绍了四边形以及平行四边形、特殊的平行四边形、梯形的概念、判定、性质等相关知识，同时对重心做了简要的介绍，以学生已经掌握的多边形、平行线、三角形等知识为基础，又进一步加强了对学生已有知识的应用和深化，学好本章内容可以使学生对所学知识更加系统化、条理化。
本章在学习了特殊平行四边形后，安排了课题学习《重心》，加强了基本几何知识的实际应用，课题学习重点在于学生的亲身活动，在整个探究过程中，先从简单的几何图形线段入手，进一步研究平行四边形、三角形等规则几何图形的重心，最后探究不规则几何图形的重心，可以激发学生的学习兴趣，体会数学与物理学科之间的联系，构建学科之间的交流与互动。
本课题的学习将分为两课时进行，第一课时探究线段和平行四边形的重心，第二课时探究三角形和不规则几何图形的重心，我今天说的是第一课时。
在对教材进行认真分析后，我确定了如下的教学目标（二）、教学目标1、知识与技能：（1）、认识线段和平行四边形的重心（2）、探究线段和平行四边形的重心（3）、探究平行四边形重心的特征2、过程与方法：（1）、通过悬挂等方法，探究线段和平行四边形的重心（2）、经历探索过程，使学生认识到规则几何图形的重心就是它的几何中心3、情感态度与价值观：在进行探究活动的过程中让学生感受数学活动的乐趣，培养学生积极动手，合作交流的意识及合情的归纳推理。
（三）、教学的重难点：这部分的内容实际很难，但我并不要求学生更多的从理性角度思考，因此我把本节内容的重点定为：通过实验发现了解线段和平行四边形的重心把观察、猜想、操作、验证等融合在一起，激发学生的直观意识，以寻找线段和平行四边形的重心作为本节课的难点（四）、教法与学法：1、认知基础：学习了三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形，积累一定的经验的基础上学习本节课内容。
梯形与重心
梯形与重心知识点一：梯形要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。
知识点二：等腰梯形要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。
知识点三：直角梯形要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。
知识点四：等腰梯形的性质要点诠释： 1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。
2.等腰梯形的对角线相等。
知识点五：等腰梯形的判定要点诠释： 1.梯形的定义。
2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
知识点六：四边形的分类要点诠释：知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心要点诠释：1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。
2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
三、规律方法指导知识点回顾：2 •梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究,类型一：梯形中的辅助线1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于Jr ,它的两底分别是L■一，和「Ed，求它的腰长思路点拨：已知：如图，在梯形 ABC ［中，』応一 ,?'1 / C - . r':■ . -….求：AB 的长.解析：过点A 作/I C I 1' D 交BC 于E,•••四边形ABCD 是等腰梯形， AB=CD∙∙∙ AD// BC又∙∙∙ m∙四边形AECD 是平行四边形•∙，■ -I ：-：：-' ..J-V ：-* _：■∙厶一二••• ― -HN',∙二二】是等边三角形.又•••丄J —’w ∙二丄 / √L ∙ 一 二-总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时， 无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；举一反三：【变式1】（平移对角线）已知梯形 ABCe 的面积是32,两底与高的和为 一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为【答案】梯形 ABCD 中, AD// BC, BD ⊥ BC.由题得：x+y+z=16 ,仗+ "二322设 AD=X BC=y DB=z,（熟记梯形面积公式）解得 χ+y=8 , z=8,过D 作DE// AC 交BC 的延长线于∙四边形ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） E.16,如果其中B∙∙∙ DE=AC AD=CE (将“上底+下底”转化到一条线段上)在Rt △ DBE 中，∠ DBE=90 , BE=BC+CE=x+y=8 BD=8根据勾股定理得[]τ —“I ■ ' - ■,∙∙∙ AC=DE.-，■ -7-,?.【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC AB// CD ∠ D=90°, AEI BC.求证：CD=CE【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB,可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的.证明：如图，连结AC,过C作CF⊥AB于F.在厶CFB和厶AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）ZCFB=ZAEB = 90°^ZB=ZBAB = BC•••△CFB^△AEB (AAS•CF=AEτ∠D=90°, CF⊥AB 且AB// CD,•AFCD是矩形•AD=CF•AD=AE在Rt △ ADC和Rt △ AEC 中,AD=AEAC = AC•Rt △ ADC^ Rt △ AEC ( HL)•CD=CE【变式3】（延长两腰）如图，在梯形亠匸•中，一’】」，—「■ ——1 '「，=、-■为一二、一 \的中点。
梯形的定义和性质
梯形的定义和性质梯形的定义和性质梯形是一种平行四边形，它有两个面，其中一个面比另一个面宽度大。
由于它形状独特，它在建筑物，矿山，橱柜，桥梁，行业，机械系统，工程学，数学，甚至太空技术的设计和建造中被广泛应用。
一个梯形有四个角和六条边，其中前两个角以及其对应的边被称为“主边”，其余 two angles and their corresponding sides are the secondary angles and sides. There are two bases, the longer one and the shorter one, two long sides, two short sides and two angles. The two bases are either parallel or their slopes are the same. 梯形没有中线，但它们有对称性，即从对称轴上取中线。
梯形也有两个重要的性质。
首先，它们有平行边。
因此，如果两条平行边的角度发生变化，它们的面积也会发生变化。
其次，它们有四个角，每个角的度数和它的垂直相邻的边的乘积相等，这被称为右角定理。
梯形也可以用来解决数学问题，例如寻找面积，重心，垂心，内切圆，外接圆的半径等。
这些问题的解决过程要求我们去求解圆的面积，以及梯形四边形的定理，以及长边和短边等参数。
由此可见，梯形是一个非常重要而实用的几何形状，它可以用在各种领域，如建筑，工程，机械和数学中。
它有两个基本性质，使得它在工程设计中非常有用。
准确应用梯形能确保整个设计性能符合预期，这将为我们带来更多的机会和更多的成功。
[学科竞赛]物理奥赛
![[学科竞赛]物理奥赛](https://img.taocdn.com/s3/m/3f11ed4258fafab069dc023e.png)
第一部分静力学【竞赛知识要点】重心共点力作用下物体的平衡物体平衡的种类力矩刚体的平衡流体静力学（静止流体中的压强）【内容讲解】一.物体的重心1.常见物体的重心：质量均匀分布的三角板的重心在其三条中线的交点；质量均匀分布的半径R的半球体的重心在其对称轴上距球心3R/8处；质量均匀分布的高为h的圆锥体的重心在其对称轴上距顶点为3h/4处。
2.重心：在xyz 三维坐标系中，将质量为m的物体划分为质点m1、m2、m3……m n.设重心坐标为（x0,y0，z0）,各质点坐标为（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)……(x n,y n,z n).那么：mx0=∑m i x i my0=∑m i y i mz0=∑m i z i【例题】1、（1）有一质量均匀分布、厚度均匀的直角三角板ABC，∠A=30°∠B=90°，该三角板水平放置，被A、B、C三点下方的三个支点支撑着，三角板静止时，A、B、C三点受的支持力各是N A、N B、N C，则三力的大小关系是.（2）半径为R的均匀球体，球心为O点，今在此球内挖去一半径为0.5R的小球，且小球恰与大球面内切，则挖去小球后的剩余部分的重心距O点距离为.2、如图所示，质量分布均匀、厚度均匀的梯形板ABCD，CD=2AB，求该梯形的重心位置。
3、在质量分布均匀、厚度均匀的等腰直角三角形ABC（角C为直角）上，切去一等腰三角形APB，如图所示。
如果剩余部分的重心恰在P点，试证明：△APB的腰长与底边长的比为5：4.4、（1）质量分别为m,2m,3m……nm的一系列小球（可视为质点），用长均为L的细绳相连，并用长也是L的细绳悬于天花板上，如图所示。
求总重心的位置5、如图所示，质量均匀分布的三根细杆围成三角形ABC，试用作图法作出其重心的位置。
6、如图所示，半径为R圆心角为θ的一段质量均匀分布的圆弧，求其重心位置。
7、论证质量均匀分布的三角形板的重心在三条中线的交点上8、求半径为R 的厚薄均匀的半圆形薄板的重心9、均匀半球体的重心问题10、均匀圆锥体的重心11、如图所示，有一固定的半径为R 的光滑半球体，将一长度恰好等于R 21、质量为m 的均匀链条搭在球体上，其一端恰在球体的顶点上，并用水平拉力拉住链条使之静止，求拉力的大小。
四边形重心的定义
四边形重心的定义四边形的重心是四条边线的中点连线的交点。
对于四边形的重心（质心）求解。
质心的定义，Σmi*ri=r*Σmi。
这是对于离散型的质点；对于质量密度均匀的平面，那么就是二重积分∫∫ρ*dxdy*（x，y）=(xG,yG) *∫∫ρ*dxdy，所以，xG=∫∫x*dxdy/∫∫dxdy，yG=∫∫y*dxdy/∫∫dxdy。
先说昨天上一篇过重心G的直线不一定能均分两块面积的问题。
今天想通了，既然两个质量不相等的质点能有一个质心坐标，这就是说明，质心或过质心的直线未必能分成两部分质量相等。
质心坐标或矢量，是与各部分的质量权重因子有关的；只是当两部分面积或质量相等时，权重因子各为1/2,质心恰好是两者的中间位置。
对于一般的四边形，四个顶点不是轮换对称的，这与三角形不一样，所以不能用四点有一个质量为1的小球质点去等效质量均匀的薄木板。
也就是xG=1/4*(xA+xB+xC+xD)并不通用，只有对称图形，比如平行四边形才可以用。
我们得用基本的积分方法，作为简单举例，我们以45°角的平行四边形为例，一是积分简单，而是可以简单验证是不是对称中心就是重心。
设定坐标A（b，b），B(0,0),C(a,0),D(a+b,b)。
我们先用基本的积分方法求面积∫∫dxdy，这里分为3部分，一是y=x直线的积分，y区间是（0，x），x区间是（0，b）；二是矩形部分，y区间是（0，b），x区间是（b，a+b）；第三部分是要减去的y=x-a直线的积分，y区间（0，x-a），x区间（a，a+b）。
即，∫∫dxdy=1/2*b^2+ab-1/2*b^2=ab。
再计算∫∫xdxdy=1/3*b^3+b*1/2*[(a+b)^2-b^2]- ∫(x-a)xdx，中间过程有点复杂，最后化简结果是1/2*ab(a+b)。
这样，我们就能求得重心G的x坐标，xG=1/2*ab(a+b)/(ab)= 1/2*(a+b)。
再计算∫∫ydxdy=∫1/2*x^2*dx+1/2*b^2*a-∫1/2*(x-a)^2*dx=1/2*ab^2；所以，yG=1/2*ab^2/(ab)=1/2*b。
§24.4.3-梯形的中位线!
鸿桥中学“四环节”模式学案班级：______姓名：___________学习目标1.识记、理解梯形中位线概念。
2.参与梯形中位线性质的探究过程，学习探究、发现、总结规律。
；3.掌握梯形中位线性质定理，能应用梯形中位线性质定理解决实际问题。
4.了解线段倍半问题的证明思路和基本方法，会有意运用中位线添加必要的辅助线。
学习重点：梯形中位线性质定理。
明确定理揭示了两个关键性问题：一是中位线与上下底的位置关系，一是中位线与上下底的数量关系； 学习难点：理解梯形中位线性质定理的证明；了解证明线段倍半关系问题的基本方法。
学法指导：类比三角形的中位线概念，理解梯形的中位线概念；将证明梯形的中位线性质转化为三角形中位线性质应用问题。
学习过程设计一、知识预备：（2分钟3分）1.三角形的中位线的概念______________________________________。
2.三角形中位线的性质定理：与第三边的位置关系_______________； 与第三边的数量关系______________________________。
3.在梯形ABC D 中，AD ∥BC ，AD ＝3， BC ＝5，E 是AB 的中点，过E 作BC 的平行线 分别交AC 、DC 于F 、H 。
(1)求EF 的长； (2)求FH 的长。
(3) 求EH 的长。
二、自主探究（18分钟10分）1.梯形的中位线类比三角形的中位线，给出梯形中位线的概念：连结梯形_______中点的 连线，叫做梯形的中位线。
在有图所示的格点图 中梯形ABCD 的中位线。
【一标一练】填一填， 你能行！梯形有_____条中位线； 梯形的中位线是_________ (直线、线段、射线)。
2.中位线的性质探究(1)读出格点图中梯形的上底、下底、中位线长，分析数据给出猜想，梯形的中位线与梯形的两底边有怎样的数量关系？观察分析猜想梯形的中位线与两底边有怎样的位置关系?(2)观察几何画板中的多组测量数据，分析结果，你的猜想是中位线EF 与上底AD 、下底BC 有怎样的位置关系和数量关系呢？___________________________________________________________。
梯形与重心
如图：已知在等腰梯形ABCD中，对角线AC=BC+AD，求∠DBC的度数。
等腰梯形的判定
【学习目标】
1.掌握同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形这个判定方法，以及这个判定方法的证明。
2.能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想。
3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想。
（1）求梯形的各角。
（2）求梯形的面积。
5、如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=AB，BD=BC，求∠A的度数.
6、.①在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5，BD=12，求梯形中位线的长②若AD=2，BC=3，E、F分别为AC、BD中点，求EF.
7、下列命题中，真命题是（）
三、训练为能
1、在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a,BC=b,则DC=。
2、直角梯形的高为6cm,有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和。
3、等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD=.
4、等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，AB=4√3，
【导学重点】
梯形的判别条件。
【导学难点】
解决梯形问题的基本方法。
【导学指导】
一、自主学习
1.什么是梯形？梯形一般分为哪几类？
2.等腰梯形有哪些性质？（提示：从边、角、对角线等方面整理）
二、合作探究
学习教材P108相关内容，思考讨论、合作交流后完成下列问题：
1.前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题。等腰梯形同一底上两个底角相等的逆命题是什么？这个命题是否成立？证明一下。
梯形中位线与面积
天材教育学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号：年级：初二课时数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题梯形中位线与面积授课时间：备课时间：教学目标1、掌握平行线等分线段定理，三角形、梯形中位线定理，三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边，过梯形一腰的中点且平行底的直线平分另一腰的定理；2、使学生了解面积的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积公式，等底等高的三角形面积相等的性质，会用面积公式解决一些几何中的简单问题；3、使学生掌握几何证题中的平移、旋转、翻折三种变换。
重点、难点三角形，梯形中位线定理的应用，添加适当的辅助线来解有关梯形的几何题考点及考试要求三角形，梯形中位线定理的应用，添加适当的辅助线来解有关梯形的几何题教学内容第一部分梯形中位线与面积〖考查重点与常见题型〗1．考查中位线、等分线段的性质，常见的以选择题或填空题形式，也作为基础知识应用，如：一个等腰梯形的周长是100cm，已知它的中位线与腰长相等，则这个题型的中位线是2．考查几何图形面积的计算能力，多种题型出现，如：三角形三条中位线的长分别为5厘米，12厘米，13厘米，则原三角形的面积是厘米23．考查形式几何变换能力，多以中档解答题形式出现〖预习练习〗1．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是（）（A）矩形（B）等腰梯形（C）菱形（D）正方形2．在四边形ABCD中，AC＝BD，厘米顺次连结四边形ABCD各边中点所得的四边形一定是（）（A）平行四边形（B）矩形（C）正方形（D）菱形3．正方形的对角线的长为6cm，则正方形的面积是 cm24．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是15厘米2，则两条对角线的长分别是厘米和厘米5．一个三角形和一个梯形的面积相等，它们的高也相等，已知三角形德国底边为18厘米，厘米梯形的中位线的长等于厘米6．△ABC中，若D是BC边的中点，则S△ACD ＝＝12；若BD：DC＝3：2，则S△ABD ：S△ACD＝AB CDG考点训练：1．等腰三角形腰长为2，面积为1，则顶角大小是（） (A) 90° (B) 30° (C) 60° (D) 45°2．如图，G是△ABC的重心（三角形中线的交点），若S△ABC＝6，则的面积是（）(A) 43(B) 1 (C) 2 (D)343．如图，AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,则图中和△ABD面积相等的三角形个数（不包括△ABD）为（）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. 矩形两邻边的长是4cm，6cm，顺次连结它的四边中点所得的四边形面积是______cm25．若等边三角形的边长为a，则它的面积为____________.6．菱形的边长为5cm，一条对角线长为8cm，则它的面积是__________.7．等腰梯形的中位线长为m，且对角线互相垂直，则此梯形的面积为____.8．四边形ABCD为平行四边形，P,Q分别是AD,AB上的任意点，则S△PBC 与S△QCD有什么关系？它们与原平行四边形的面积之间有什么关系？9．在△ABC中，AB＝10，BC＝5 5 ，AC＝5，求∠A的平分线的长。
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梯形重心的求法
东宁县第一中学高一1班 解怀德
指导教师 陈丽华
如图，在梯形ABCD 中，连接AC ，延长DA 、CB 交于一占P ，取CD 中点M ，连接PM 交AB 于点N ，连接AM 、CN 取AC 中点O ，连接OD ，分别交AM 、CN 于G 1、G 2，连接G 1G 2交AM 于点G ，过G 1作G 1E ∥CD 交PM 于点E ，过G 2作G 2F ∥AB 交PM 于点F 。
∵AB ∥CD ∴
∵M 是CD 中点 ∴CM=DM ∴AN=BN
∴PN 是△PAB 中AB 边上的中线，PM 是△PCD 中CD
∴△PAB 和△PCD 的重心都在PM 上，
由组合图形重心一线定理得梯形ABCD 的重心在PM ∵AM 、DO 分别是△ACD 的边CD 、AC 上的中线， ∴AM 与DO 交点G 1是△ACD 的重心。
同理，G 2是△ABC 的重心。
由组合图形重心一线定理得梯形ABCD 的重心在 G 1G 2上，
∴G 1G 2与PM 的交点G 即为梯形ABCD 的重心。
∵G 1E ∥CD ∥G 2F ∥AB
∴=，
∴G 2F= G 1E= ME=NF=
∴EF=
∵G 1E ∥G 2F ∴
∴
特别：当AB=0时，梯形ABCD 即为三角形，此时点G 即为三角形重心。
P
D
2013年6月11日星期二。