热力学与统计物理课后答案第八章(汪志诚)
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第八章玻色统计和费米统计
8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即
ln .
S k Ω=解:对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））
()!
,
!!
l l
l l l Ωa a ωω=−∏
（1）
取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））
()()ln ln ln ln .
l l l l l l l l l
Ωa a a a ωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（2）
另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为
()
ln ln ln ln S k ΞΞΞk ΞN U
αβαβαβ⎛⎞∂∂
=−−⎜⎟
∂∂⎝⎠=++()ln ,
l l l k Ξa αβε⎡⎤
=++⎢⎥⎣⎦
∑（3）
其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））
()
ln ln 1.
l l l
Ξe αβεω−−=+∑（4）
由费米分布
e 1
l l
l a αβεω+=
+易得
148
1e l l l l
a αβεωω−−+=
−（5）
和
l n
.l l
l l
a a ωαβε−+=（6）
将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为
ln ln
.l
l l
l l
Ξa ωωω=−∑（7）
将式（6）和式（7）代入式（3），有
ln ln l l l l l l l l l a S k a a a ωωωω⎛⎞
−=+⎜⎟
−⎝
⎠∑()()ln ln ln .
l l l l l l l l l
k a a a a ωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（8）
比较式（8）和式（2），知
ln .
S k Ω=（9）
对于理想玻色系统，证明是类似的.
8.2试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为
()()()()B.E.F.D.ln 1ln 1,
ln 1ln 1,
s s s s s
s s s s s
S k f f f f S k f f f f =−++⎡⎤⎣⎦=−+−−⎡⎤⎣⎦∑∑其中s f 为量子态s 上的平均粒子数.s
∑
表示对粒子的所有量子态求和.同时
证明，当1s f <<时，有
()B.E. F.D.M.B.ln .
s s s s
S S S k f f f ≈≈=−−∑解:我们先讨论理想费米系统的情形.根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为
()()()F.D.ln ln ln ln ln l l l l l l l l l
l l l l l l l l
l S k a a a a a a k a a ωωωωωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦
⎡⎤
−=−−+⎢⎥
⎣⎦∑∑
149
1ln 1ln ,l
l
l l l l l l l l a a a a k ωωωωω⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−
−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦
∑（1）
式中l
∑表示对粒子各能级求和.以l
s l
a f ω=
表示在能量为l ε的量子态s 上的平均粒子数，并将对能级l 求和改为对量子态s 求和，注意到
~,
l l
s
ω∑∑
上式可改写为
()()F.D.ln 1ln 1.
s s s s s
S k f f f f =−+−−⎡⎤⎣⎦∑（2）
由于1s f ≤，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.
对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明
()()F.D.ln 1ln 1.
s s s s s
S k f f f f =−−++⎡⎤⎣⎦∑（3）
对于玻色系统0s f ≥，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的.由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.
在1s f <<的情形下，式（2）和式（3）中的
()()()()1ln 11s s s s s
f f f f f ±≈±≈−∓∓∓∓所以，在1s f <<的情形下，有
()B.E. F.D.ln .
s s s s
S S k f f f ≈≈−−∑（4）
注意到s s
f N =∑，上式也可表示为
B.E. F.D.ln .
s s s
S S k f f Nk ≈≈−+∑（5）
上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.
8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.解:式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为
3
2252311122π2N h U NkT g V mkT ⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦
（1）
（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）.利
150
用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）
2,3U
p V
=
（2）
可直接求得弱简并气体的压强为
3
2252111,2π2h p nkT n g mkT ⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦
（3）
式中N
n V
=
是粒子数密度.由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为
32
2
7
2311,22π2
V V
U C T h Nk n mkT ∂⎛⎞=⎜⎟
∂⎝⎠⎡⎤
⎛⎞⎢⎥=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥
⎣⎦
∓（4）
参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为
()0.V
C S dT S V T
=+∫
（5）
将式（4）代入，得弱简并气体的熵为
()32
2
072
311ln .22π2h
S Nk T Nk n S V g mkT ⎛⎞=
±+⎜⎟⎝⎠
（6）
式中的函数()0S V 可通过下述条件确定：在
32
2
312πN h
n V mkT λ⎛⎞=
<<⎜⎟⎝⎠
的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体.将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g ），可确定()0S V ，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为
33
2
2272
22π511ln .22π2mkT h
S Nk ng h g mkT ⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎪⎪⎛⎞⎢⎥=+±⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎣⎦⎩⎭
（7）
弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数ln Ξ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵.在求巨配分函数的对数时可利用弱