一轮复习-直线平面平行的判定及其性质ppt课件
高考一轮复习通用版8.4直线平面平行的判定与性质课件(55张)
【对点训练】
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
2.[2022·江苏南通市检测]《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经 十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1 000多年．在《九
线线平行”)
符号语言
因为 _l_∥__a__， _a_⊂__α__， __l⊄__α__， 所以l∥α
因为 __l∥__α__， __l⊂__β__， ______， 所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件 必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝AD， E为AD的中点，在线段B1C1上是否存在点F， 使得平面A1AF∥平面ECC1？若存在，请加 以证明，若不存在，请说明理由．
微专题29 函数思想破解立体几何中的问题
名师点评利用函数思想建立MN与a的函数关系式是解此题的关键， 立体几何中的最值问题，通常借助函数思想求解．
因为 _α_∥__β__， ______， ______， 所以a∥b
二、必明2个常用结论 1．平行间的三种转化关系
2．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
关键能力—考点突破
考点一 与线、面平行相关命题的判定 [基础性]
1．设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法 正确的是( )
高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
直线、平面平行的判定及其性质课件
思考6：设直线a，b为异面直线，经过
直线a可作几个平面与直线b平行？过a，
b外一点P可作几个平面与直线a，b都
平行？
a
b
p
b a a
p b
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中，E，F分别是 AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.
A E B
F D
C
例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中. （1）作出过直线AC且与直线BD1平行的
思考4：有一块木料如图，
E
P为面BCEF内一点，要求 过点P在平面BCEF内画一
F
P D
条直线和平面ABCD平行，
那么应如何画线？
A
C B
思考5：如图，设直线b在平面α内，直 线a在平面α外，猜想在什么条件下直线 a与平面α平行？
a
a//b
α
b
探究（二）：直线与平面平行的判断定理
思考1：如果直线a与平面α内的一条直 线b平行，则直线a与平面α一定平行吗？
D′
A′
P
C′
B′ D
C
A
B
例2 已知平面外的两条平行直线中的 一条平行于这个平面，求证另一条也 平行于这个平面.
如图，已知直线a，b
和平面α ，a∥b，
a
b
a∥α , a，b都在 平面α外 .
c α
求证：b∥α .
作业: P61练习，习题2.2A组：1，2. （做在书上） P62习题2.2A组：5，6. P63习题2.2B组：1，2.
由此可得什么推论？
推论 如果一个平 面内有两条相交直 线分别平行于另一
a
b
α
个平面内的两条直
线，那么这两个平 β
高考数学第一轮知识点总复习 第四节 直线、平面平行的判定及其性质
基础梳理
1. 平行直线 (1)定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. (2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线 的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行. (4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那 么它们的交线平行. (5)线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直 线平行.
错解 如图，连接C1E，并延长至G点，使GE= C1E，， 连接在 C1D1G 中，F是 D1C1 的中点，E是 C1G 的中点，
所以EF∥ ，D1而G EF 平面 BB1D1D,
D1G 平面 BB1D1D, 故EF∥平面 BB1D1D.
错解 分析上述证明中，“D1G 平面BB1D1D ”这一结论没有根据，只是主
平面A1C1 / /平面AC
A1C1 / / AC A1C1 / /平面AB1C
A1C1 平面AB1C 同理A1D//平面AB1C
AC 平面AB1C
A1C1 A1D A1
平面AB1C//平面A1C1D
学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其 推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
又∵c β,b β,∴b∥β.(线面平行的判定定理)……………..8′
52讲直线、平面平行的判定及其性质(文科)一轮复习
52讲--直线、平面平行的判定及其性质1、直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b2、平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）推论：垂直于同一条直线的两个平面平行。
3、直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：a ∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行二、例题讲解：1．设AA′是长方体的一条棱，这个长方体中与AA′平行的棱共有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条2．b是平面α外一条直线，下列条件中可得出b∥α的是(D)A．b与α内一条直线不相交B．b与α内两条直线不相交C．b与α内无数条直线不相交D．b与α内任意一条直线不相交3．若直线a∥b，且a∥α，则b与平面α的关系是(C)A．b∥αB．b⊂αC．b∥α或b⊂αD．b与α相交，b∥α或b⊂α4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是(D)A．1个B．2个C．3个D．4个5．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中真命题的个数是(B)A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知直线l，m，n及平面α，下列命题中的假命题是(D)A．若l∥m，m∥n，则l∥nB．若l⊥α，n∥α，则l⊥nC．若l⊥m，m∥n，则l⊥nD．若l∥α，n∥α，则l∥n7．如图K13－4－1，已知l是过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是(D) Array A．D1B1∥lB．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1D1B1D．l⊥B1C18． 设m ，n 表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( D ) A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αB ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥βC ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥βD ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则n ∥β9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系是______平行__． 10．如图J13－4－1，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点，求证：BC 1∥平面CA 1D .图J13－4－1证明：连接AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ，因为D ，E 分别是AB ，AC 1的中点， 所以DE ∥BC 1.又BC 1⊄平面CA 1D ，DE ⊂平面CA 1D ， 所以BC 1∥平面CA 1D .11．如图K13－4－3，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若MN ＝BC ＝4，P A ＝4 3，求异面直线P A 与MN 所成的角的大小．图K13－4－3．(1)证明：取PD 的中点H ，连接AH ，HN .∵由N 是PC 的中点，∴NH 12DC .∵M 是AB 的中点， ∴NH AM ，∴AMNH 为平行四边形． ∴MN ∥AH .又∵由MN ⊄平面P AD ，AH ⊂平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)解：连接AC 并取其中点为O ，连接OM ，ON ，∴OM 12BC ，ON 12P A .∴∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角，且MO ⊥NO .由MN ＝BC ＝4，P A ＝4 3，得OM ＝2，ON ＝2 3.所以∠ONM ＝30°，即异面直线P A 与MN 成30°的角．12． 如图K39－4所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：P A ∥平面EFG ；．[解答] (1)证明：如图，取AD 的中点H ，连接GH ，FH ，∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD ，∵G ，H 分别是BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，H ，G 四点共面， ∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴P A ∥FH ，∵P A ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴13．一个多面体的直观图和三视图如图K39－5(其中M，N分别是AF，BC中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－图K39．[解答] (1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝22，∴∠CBF＝90°.取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知：NG∥CF，MG∥EF，又MG∩NG＝G，CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE －BCF为直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝2，∴V A－CDEF＝13S四边形CDEF·AH＝13×2×22×2＝8 3.。
高考数学一轮总复习课件：直线、平面垂直的判定及性质
在△B1OC1中，∵C1O⊥OB1，B1O＝2，B1C1＝2 2， ∴C1O＝2. ∴OC12＋OA12＝A1C12，∴OC1⊥OA1， ∵BB1⊥C1O，A1O⊥C1O，BB1∩A1O＝O，∴C1O⊥平面 ABB1A1， 又C1O⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1. 【答案】 略
①证明：平面PBD⊥平面PBC； ②求点D到平面PBC的距离．
【解析】 ①证明：如图，因为PD⊥DC，AD⊥DC， 所以二面角P－DC－A的平面角为∠PDA＝90°，则PD⊥平面 ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 又在平面四边形ABCD中，BD＝ AB2＋AD2 ＝ 2 2， 过B作BE⊥CD，由题意得，E为CD中点，又D为PA中点， 所以PD＝AD＝CE＝DE＝2， 又DE＝AB， 所以BE＝AD＝2，BC＝ CE2＋BE2＝2 2，所以BC2＋BD2＝DC2， 即BD⊥BC，而PD∩BD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， 故BC⊥平面PBD，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.
又因为F为AC的中点， 所以OF∥CC1且OF＝12CC1. 因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝12CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF.
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE. 因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以 OE⊥AC. 因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1. 又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1. 因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定(共38张PPT)
上一页
返回首页
下一页
【解析】 A 错误，若 b⊂α，a∥b，则 a∥α 或 a⊂α；B 错误，若 b⊂α，c∥α， a∥b，a∥c，则 a∥α 或 a⊂α；C 错误，若满足此条件，则 a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交；D 正确．
【答案】 D
上一页
返回首页
下一页
教材整理 2 平面与平面平行的判定定理
【解析】 因为 AB∥CD，AB⊂平面 α，CD⊄平面 α，由线面平行的判定定 理可得 CD∥α.
【答案】 CD∥α
上一页
返回首页
下一页
5．如图 2-2-7 所示，在直角梯形 ABCP 中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP， AD＝DC＝PD.E，F，G 分别为线段 PC，PD，BC 的中点，现将△PDC 折起， 使点 P∉平面 ABCD.
阅读教材 P56～P57“例 2”以上的内容，完成下列问题. 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平
自然语言 面平行
符号语言
a⊂β，b⊂β，aa∩∩bb＝＝PP，a∥α，bb∥∥αα ⇒β∥α
图形语言
上一页
返回首页
下一页
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
平面与平面平行的判定
直线与平面平行的判定
【答案】 平面与平面平行的判定 (1)× (2)√ (3)× (4)×
上一页
返回首页
下一页
直线与平面平行的判定
[小组合作型]
已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在 同一平面内，P，Q 分别是对角线 AE，BD 上的点，且 AP＝DQ(如图 2-2-1)．求证：PQ∥平面 CBE.
2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第七章 第3节 空间直线、平面的平行 课件(40张)
3.(多选题)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则(
A.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
B.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
C.平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行
D.平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行
ABD
)
解析:若平面PAD内存在直线与BC平行,则BC∥平面PAD,
所以A′B′∶AB=3∶7,所以S△A′B′C′∶S△ABC=9∶49.
答案:9∶49
直线、平面平行的基本问题
1.(多选题)平面α与平面β平行的条件可以是( BCD
)
A.α内有无数条直线都与β平行
B.α内的任何直线都与β平行
C.两条相交直线同时与α,β平行
D.两条异面直线同时与α,β平行
解析:当α内有无数条直线与β平行时,α与β可能平行,也可能相交,故A错误;
又EF⊂平面ACE,
BD1⊄平面ACE,
所以BD1∥平面ACE.
答案:平行
3.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC
于A′,B′,C′,若PA′∶AA′=3∶4,则S△A′B′C′∶S△ABC=
.
解析:由题意,因为平面α∥平面ABC,所以A′B′∥AB,B′C′∥BC,A′C′∥AC,
如果平面外一条直线与此平面
内的一条直线 平行 ,那么该
判定定理
直线与此平面平行(线线平行⇒
线面平行)
一条直线与一个平面平行,如果
过该直线的平面与此平面相交,
性质定理
那么该直线与交线平行(线面平
行⇒线线平行)
图形语言
符号语言
2025届高中数学一轮复习课件《直线、平面平行的判定及性质》ppt
(1)求证：EF∥平面 ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥 P-ABC 的体积．此条件暗示 △POF 的特殊性，即平面 POF⊥平面 ABC.
高考一轮总复习•数学
第18页
(1)证明：如图，连接 DE.设 AF＝tAC，t∈[0,1]，则B→F＝B→A＋A→F＝(1－t)B→A＋tB→C，A→O＝ －B→A＋12B→C.由 BF⊥AO，AB⊥BC，
第25页
高考一轮总复习•数学
∵∠DAB＝120°，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°， ∴AD⊥CD，∴MB∥AD. 又 MB⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴MB∥平面 PAD. ∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面 EMB， ∴平面 EMB∥平面 PAD，∵EB⊂平面 EMB，∴EB∥平面 PAD.
高考一轮总复习•数学
第28页
题型
面面平行的判定与性质
典例 2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点．求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
高考一轮总复习•数学
第32页
对点练 2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，P 是 棱 AD 上一点，且 AP＝a3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ＝( )
A.2 3 2a B. 3 2a C. 2 2a D.2 3 3a
2019年高中数学·第一轮复习 第40讲 直线、平面平行的判定与性质
第40讲 直线、平面平行的判定与性质[学生用书P130]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (5)若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥α.( ) (6)若α∥β，直线a ∥α，则a ∥β.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×对于直线m ，n 和平面α，若n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：D(教材习题改编)如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α的位置关系可另等价表述，下列命题中正确的是( )A ．直线a 上有无数个点不在平面α内B ．直线a 与平面α内的所有直线平行C ．直线a 与平面α内的无数条直线不相交D ．直线a 与平面α内的任意一条直线都不相交解析：选D .因为a ∥平面α，直线a 与平面α无公共点，因此a 和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D .(教材习题改编)下列命题为真的是( ) A ．若直线l 与平面α有两个公共点，则l ⊄α B ．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线 C ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥βD ．若α∩β＝b ，a ⊂α，则a 与β一定相交解析：选C .A 错误．直线l 和平面α有两个公共点，则l ⊂α. B 错误．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 异面或平行． C 正确．因为a 与β无公共点，则a ∥β. D 错误．a 与β有可能平行．故选C .(教材习题改编)设m ，n 表示直线，α、β表示平面，则下列命题为真的是( ) A .⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αn ∥α⇒m ∥n B.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αα∥β⇒m ∥β C .⎭⎪⎬⎪⎫α∩β＝m n ∥α n ∥β⇒m ∥n D ．⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ∥αn ∥β⇒m ∥n 解析：选C .A 错误，因为m 可能与n 相交或异面． B 错误，因为m 可能在β内．D 错误，m 、n 可能异面或相交，故选C .(教材习题改编)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面AEC 的位置关系为______．解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行线面、面面平行的相关命题的真假判断[学生用书P130][典例引领](1)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面(2)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．【解析】(1)A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D 项正确．(2)①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．【答案】(1)D(2)②(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．[通关练习]已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，因为a⊥α，且α∥β，所以a⊥β，又因为b⊂β，所以a⊥b，则“a⊥b”是“α∥β”的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β＝b时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分条件，故选B.线面平行的判定与性质(高频考点)[学生用书P131]平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中．主要命题角度有：(1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用．[典例引领]角度一判断线面的位置关系(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()【解析】 对于选项B ，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ .故选A .【答案】 A角度二 线面平行的证明如图，四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .【证明】 (1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ═∥AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点． 又因为F 是PC 的中点，所以FO∥AP，因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，所以FH∥平面P AD.又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，所以OH∥平面P AD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面P AD.又因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面P AD.角度三线面平行性质的应用如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．【解】(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为P A＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ， 所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点． 再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点， 且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42.PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．[通关练习]如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF的中点．(1)求证：MA∥平面BDE.(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.面面平行的判定与性质[学生用书P132][典例引领]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G═∥EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1═∥BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1.BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D.所以平面A1BD1∥平面AC1D.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理；如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．[通关练习]如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.证明：(1)由题设知BB1═∥DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1═∥B1C1═∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.线线、线面、面面平行间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质．平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.解决平行问题应注意三点(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．(3)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．[学生用书P303(单独成册)]1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：选A.由m∥l1，m⊂α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．2．已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是()①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n.A．①③ B.③④C．②④D．③解析：选D.①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α，β相交；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n或l∥n或l，n异面；③正确；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n或m∥n或m，n异面．3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD ＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF═∥15BD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG═∥12BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A．①③ B.①④C．②③D．②④解析：选A.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故③正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是()A．1 B.2C．3 D．4解析：选B.由题易知①正确；②错误，l也可以在α内；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明，故选B.6.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确的命题是________．解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， 所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ， 所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)． 所以③是正确的；对于④，因为水是定量的(定体积V )， 所以S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .所以BE ·BF ＝2VBC (定值)，即④是正确的．答案：①③④7．棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.答案：928．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉ β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．解析：如图1，因为AC ∩BD ＝P ，图1所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ， β∩平面PCD ＝CD ， 所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD， 即69＝8－BD BD ，所以BD ＝245. 如图2，同理可证AB ∥CD .图2所以P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，所以BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24.答案：245或249．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别是线段A 1D ，BC 1的中点．延长D 1A 1到点G ，使得D 1A 1＝A 1G .证明：GB ∥平面DEF .证明：连接A 1C ，B 1C ，则B 1C ，BC 1交于点F . 因为CB ═∥D 1A 1，D 1A 1＝A 1G ，所以CB ═∥A 1G ，所以四边形BCA 1G 是平行四边形，所以GB ∥A 1C . 又GB ⊄平面A 1B 1CD ，A 1C ⊂平面A 1B 1CD ，所以GB ∥平面A 1B 1CD .又点D ，E ，F 均在平面A 1B 1CD 内，所以GB ∥平面DEF . 10.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1.又因为MC1∥BF，所以BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE═∥12DC，又D1G═∥12DC，所以OE═∥D1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O.又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1，又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.1.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为() A．AC⊥BDB．AC＝BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选B.因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；由BD∥PN，所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；由上面可知：BD∥PN，MN∥AC.所以PNBD＝ANAD，MNAC＝DNAD，而AN≠DN，PN＝MN，所以BD≠AC.B错误．故选B.2．设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①或③.答案：①或③3.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)4.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠BAC ＝π3，AC ＝4，M 为AA 1的中点，点P 为BM 的中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q ＝3QC ，则PQ 的长度为________．解析：由题意知，AB ＝8，过点P 作PD ∥AB 交AA 1于点D ，连接DQ ，则D 为AM 的中点，PD ＝12AB ＝4.又因为A 1Q QC ＝A 1D AD＝3，所以DQ ∥AC ，∠PDQ ＝π3，DQ ＝34AC ＝3，在△PDQ 中， PQ ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.答案：135．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论．解： (1)点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)平面BEG ∥平面ACH ，证明如下： 因为ABCD -EFGH 为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.6．如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE 的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.。
直线和平面平行的判定定理ppt课件
判定定理二：向量
03
共线法
向量共线法原理
定义
若两向量方向相同或相反，则称这两 向量共线。
性质
应用
在直线与平面平行判定中，通过判断 直线的方向向量与平面上两不共线向 量的关系，确定直线与平面的位置关 系。
共线的向量可以表示为同一基向量的 倍数。
向量运算规则
加法运算
向量加法满足平行四边形 法则或三角形法则。
$l parallel alpha$。
实例二
若直线$l$的方向向量$vec{a}$ 与平面$alpha$的法向量
$vec{n}$满足$vec{a} cdot vec{n} = 0$，则$l parallel
alpha$。
讨论
通过实例分析，我们可以发现向 量共线法在直线与平面平行判定 中的重要作用。同时，需要注意 判定条件的充分性和必要性，以
及特殊情况的处理。
判定定理三：距离
04
相等法
距离相等法原理
直线与平面平行时，直线上任意一点 到平面的距离都相等。
利用这一性质，可以通过比较直线上 不同点到平面的距离是否相等来判断 直线与平面是否平行。
点到直线距离公式
点$P(x_0, y_0, z_0)$到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$的距 离公式为
直线与平面的距离为零
当直线上的任意一点到平面的距离都为零时，直线与平面平行。可 以通过计算点到平面的距离公式来判断。
复杂问题简化策略
转化为基本问题
将复杂问题转化为判断直线与平面是否平行的基本问题，以便运 用上述方法进行求解。
利用已知条件
充分利用题目中给出$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
空间直线平面的平行课件-2024届高三数学一轮复习
)
答案 B
解析 ∵在▱AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,∴AM=BN.又AM∥BN,
∴四边形ABNM是平行四边形,∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF,平面
MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB.在△ABC中,EF≠AB,
∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.故选B.
3.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列命题正确的是(
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m⊥α,α⊥β,则m∥β
D.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
答案 D
解析 A选项,若m∥α,n∥α,则m∥n,或m,n相交或m,n异面,A错误;
EMGHIJ∥平面ACD1,EF∥平面ACD1,则F⊂平面EMGHIJ,观察各选项,ACD
满足.
考点二
线面平行的判定与性质(多考向探究)
考向1.直线与平面平行的判定
典例突破
例2.(2023江西南昌三模)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD与ABEF
均为直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面
∴BB1=2CD, =2,
∴OE∥GD,又OE⊄平面AA1C1C,GD⊂平面AA1C1C,
∴OE∥平面AA1C1C.
(2)解连接AC1,则GD∥AC1,OE∥AC1,
∴A,C1,O,E四点共面.
又AO∩BC=F,∴F∈AO,F∈平面AC1EO.
又F∈BC,BC⊂平面BB1C1C,
∴F∈平面BB1C1C.
系如何?
提示 平行或异面.
2.面面平行的判定与性质
高考数学一轮复习专题八立体几何3直线平面平行的判定与性质综合篇课件新人教A版
② a b P
⇒α∥β
a
b
判定定 如果两个平面同垂直于一条直线,那么这
理2
两个平面平行
判定定 平行于同一个平面的两个平面平行
理3
③
l
l
⇒α∥β
⇒④
α∥γ
2.性质定理
文字语言
性质定理1 如果两个平面平行,那么在一个平面
图形语言
符号语言
1
2
B1D1且EF= B1D1,又知四边形BDD1B1为矩形,∴BD B1D1,∴EF∥BD且EF=
1
BD.∴四边形BDFE为梯形.
2
(2)连接FM,在△A1B1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1的中点,∴MN∥B1D1.由(1)
知,EF∥B1D1,∴MN∥EF.
在正方形A1B1C1D1中,F为C1D1的中点,M为A1B1的中点,∴FM A1D1,又∵四
(2)若一条直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一
平面平行.
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别
是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明 (1)连接B1D1.∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,∴EF∥
例 (2019吉林长春四模,18)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面
ABCD,AD⊥DC,AD⊥AB,DC=2AD=2AB=2,AA1=4,点M为C1D1的中点.
(1)求证:平面AB1D1∥平面BDM;
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：空间直线、平面的平行
(2)DF∥l.
由(1)知DF∥平面PBE， 又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l， 所以DF∥l.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.
由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥D1C.
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
如果平面外一条直线与_此__平__面__ 判定
_内___的一条直线平行，那么该 定理
直线与此平面平行
一条直线与一个平面平行，如 性质
果过该直线的平面与此平面_相__ 定理
_交__，那么该直线与交线平行
符号语言 _a_⊄__α_
_b_⊂__α_ ⇒a∥α _a_∥__b_
思维升华
(1)判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点). ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要 经过已知直线作辅助平面确定交线.
跟踪训练3 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1 上的点.
(1)当DA11DC11等于何值时，BC1∥平面 AB1D1?
当DA11DC11＝1 时，BC1∥平面 AB1D1. 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形， ∴点O为A1B的中点. 在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点， ∴OD1∥BC1. 又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1. ∴当DA11DC11＝1 时，BC1∥平面 AB1D1.
新课程2021高考数学一轮复习第七章立体几何第4讲直线平面平行的判定与性质课件
2.面面平行条件的应用 (1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个 平面内的两条直线是相交直线.
(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90°， ∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，AB＝1.设 M，N 分别为 PD， AD 的中点.
2．如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB， AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面；
证明 (1)∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线，则 GH∥B1C1. 又 B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 直线与平面平行的判定与性质
角度 1 线面平行判定定理的应用 1．(2019·全国卷Ⅰ节选)如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱 形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中 点．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时 间，你们休息一下眼睛，
(1)试确定点 E 的位置，并说明理由； 解 (1)如图，在棱 C1D1 上取点 N，使 D1N＝A1M＝1.
又 D1N∥A1M， ∴四边形 A1MND1 是平行四边形，∴MN∥A1D1∥AD. ∴四边形 AMND 为平行四边形，∴AM∥DN. 过 C1 作 C1E∥DN 交 CD 于点 E，连接 BE， ∴DN∥平面 BC1E，AM∥平面 BC1E，∴CE＝1.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
与 平行； ×
（2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则
与 平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； ×
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平
行； ×
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．×
24
例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平 面AB1D1//平面C1BD
D1 A1
C1 B1
D A
C
B
11
巩固练习:
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中 点，求证:BD1//平面AEC.
分析：要证BD1//平面 AEC即要在平面AEC内找
A1
D1
一条直线与BD1平行.根据
E
已知条件应该怎样考虑辅
C1 B1
助线?
D
C
O
A
B
12
巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
8
变式2:
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O
为底面正方形DBCE对角线的交
点,F为AE的中点. 求证:AB//平面
DCF.
证明:连结OF,
B
∵ O为正方形DBCE 对角线的交点,
∴BO=OE,
又AF=FE,
∴AB//OF,
AB 平面DCF
OF 平面DCF AB//平面DCF
AB//OF
A
D
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；
（2）判定定理：（线线平行 线面平行）；
a
b
a
//
a // b
2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可
以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判定等来完成。
14
《平面与平面平行的判定》
15
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢?
《直线与平面平行的判定》
1
复习提问
直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
2
归纳结论
直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行 .
(线线平行 线面平行)
（1）定义法； （2）直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行．
a
b
a
b
a// a /源自 b 线线平行线面平行 16
复习回顾：
2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
怎样判定平面与平面平行呢？
17
生活中有没有平面与平面平行的例子呢? 教室的天花板与地面给人平行的感觉， 前后两块黑板也是平行的。
求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO.
D1
C1
∵O 为矩形ABCD对角线的交点, A1
B1
∴DO=OB,
E
又∵DE=ED1,
D
C
∴BD1//EO. BD1 平面AEC
A
EO
平面AEC
BD1
//
平面AEC
BD1 // EO
O B
13
归纳小结，理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法：
(1)三角板或课本的一条边所在直线与 桌面平行，这个三角板或课本所在平 面与桌面平行吗？ (2)三角板或课本的两条边所在直线分 别与桌面平行，情况又如何呢？
18
当三角板的两条边所在直线分别 与地面平行时,这个三角板所在 平面与地面平行。 （１）平面内有一条直线与 平面平行，，平行吗？
（２）平面内有两条直线与平 面平行，，平行吗？
证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1 又AB∥A1B1，AB＝A1B1， ∴D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴D1C1BA是平行四边形， ∴D1A∥C1B，
又D1A 平面C1BD,
CB 平面C1BD.
由直线与平面平行的判定,可知 D1A∥平面C1BD，
O
F E
C
9
反思~领悟：
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、 梯形的中位线、平行线的判定等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平 行”，缺一不可。
10
巩固练习:
1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行
的平面是__平__面__Ｂ__Ｃ__1_、__平__面__C__D. 1
如果平面β内的两条直线 Q
是相交的直线，两个平 面会不会一定平行？
P
21
直线的条数不是关键 直线相交才是关键
22
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
符号表示：
ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ
图形表示：
bP a
线不在多，重在相交
23
判断下列命题是否正确，并说明理由．
19
（1）中的平面α，β不一定 平行。如图，借助长方体模 型，平面ABCD中直线AD平行 平面BCC'B'，但平面ABCD与 平面BCC'B'不平行。
20
（2）分两种情况讨论： 如果平面β内的两条直线是平行直线，平面 α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ， AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD 与平面BCC’B’不平行。
别为AB、AD上的点，若
AE EB
AF FD
，则EF
与平面BCD的位置关系是_E_F_/_/平__面__B_C__D__.
A
F
E
D
B
C
7
变式2:
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O
为底面正方形DBCE对角线的交
点,F为AE的中点. 求证:AB//平面
DCF.(天津高考)
B
A
D
O
F E
C
分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.
5
定理的应用
A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
E、F分别是 AB，AD的中点. E
D
求证：EF∥平面BCD.
B
证明：连结BD.
∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD（三角形中位线性质）
EF 平面BCD
BD 平面BCD EF//平面BCD
FE//BD
6
变式1:
1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分
a
符号表示：
b
a
b
a
//
a // b
3
感受校园生活中线面平行的例子:
天花板平面
4
定理的应用
A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
E、F分别是 AB，AD的中点. E
D
求证：EF∥平面BCD.
B
C
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，
即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已
知的条件怎样找这条直线？