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直线与平面平行
B
C D P 若一直线平行于平面上的一直线，则该直线与平面平行。反之，若平面上不存在与此直线平行的直线，则可断定直线与平面不平行。
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例1 过已知点K，作一水平线KM平行于已知平面△ABC 。 b 画法几何及工程制图 m a X a d b m c k k
a d
1
e
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(2)用三面共点法求两平面的交线
画法几何及工程制图
R D F A S P
K
Q
L
E G C
B
当两个投影面倾斜面的同面投影不重叠时，在两平面之外任作一辅助面P，则交点K是P、R、S的三面共点，它一定是R、S两平面交线上的点。这种方法称为三面共点法。
P
A
N
B
K C c
X
a
k m c
O
PH M
a
a bk
n k b m c
H
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。
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直线可见性的判别
b

画法几何及工程制图 V
n
3.2.1 积聚性法
画法几何及工程制图 V
P
A
N B K C c
PH M
a
bk
H
当直线或平面的投影具有积聚性时，可利用积聚性的特性直接做出交点或交线的一个投影，然后再利用在直线或平面上取点的方法求出另一投影。
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1.投影面倾斜线与特殊位置平面相交
b 画法几何及工程制图 V n
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f O
2 ka(b) 1
3. 投影面倾斜面与特殊位置平面相交
e
b k
d 画 V E c l 法 B a 几 K f X O A 何 e D a O X 及 L F k b k a e 工 d l l d C 程 H f c 制 c f 图求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
画法几何及工程制图
a′
PV k′
b′
X b k a PH
PX
O
过k作PH∥ab；过PX 作PV⊥OX轴，则P平面为所求。
由于铅垂面的H投影为一直线，若作铅垂面平行于直线AB，则PH必平行于ab。
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3.1.2
画法几何及工程制图
两平面平行
E
Q D
例5 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF 相交。画法几何及工程制图
c a b
X
k f
a
e e O f
b
c
k
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分析
K 画法几何及工程制图 F
C
H A
E
B 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。
F
B
P
A
C
若一平面上的两相交直线对应地平行于另一平面上的两相交直线，则这两个平面平行。
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两迹线平面平行
画法几何及工程制图
V PV QV O PH QH
PV
QV
X
PX
X P X
QX
O
QH
H
PH
两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相平行。因此，两平行平面的同面迹线一定平行。
作图步骤
先在△ABC内任作水平线AD
d c
O
再过点K作KM∥AD即 km∥ad，k m ∥a d′，则直线KM为一水平线且平行于已知平面△ABC。
分析：△ABC上的水平线有无数条，但其方向是确定的，因此过K点作平行于△ABC的水平线也是唯一的。
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例2 过点K作一铅垂面P(用迹线表示)，使之平行于直线AB。
（1）用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。（2）连接两个共有点，作出交线KL。
1
2
k
c
a
d
1
e
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两平面相交，判别可见性
画法几何及工程制图
3
c k
b 1 (
e ) d
2
e
a b 2 e
4
X f f
O
3 4
c
( ) k
c
b
定理1：如果一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。
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c V 画法几何及工程制图
l
d A
C E B e b c e d b l
k
D
a X a
k O
定理2（逆）：如果一直线垂直于平面上的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。
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作图步骤
c PV m a f1 2 n k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
画法几何及 b 工程 b 制图 c
h
e e
2、过直线EF作正垂平面P。 3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。
a
h f
n
4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
X
f r
s e
n
c d c n e a d r
O
m
s
b
结论：两平面平行
f
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例4 已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。 a 画法几何及 X 工程制图 d m b c c n b s
n
r
f
k
e
O
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作图原理
画法几何及工程制图 E
A K
M N
D
C B
过直线AB作一辅助铅垂面P，由于铅垂面P的水平投影有积聚性，故可直接得到平面P与△CDE的交线MN。又因 MN和AB都在P平面内，不平行必相交，其交点K即为直线 AB与平面△CDE的交点。
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求投影面倾斜线AB与投影面倾斜面△DEF的交点K．
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s 画法几何及工程制图 e f
a
d b c
O
r
X
SH
e
s f r P H
d
a c b
当两平面为同一投影面的垂直面时，若其在该投影面上的积聚性投影平行，则这两平面平行。
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例3 试判断两平面是否平行。 a 画法几何及工程制图 b m
第3章
画法几何及工程制图
直线与平面、平面与平面的相对位置
3.1 3.2
平行问题相交问题
3.3
3.4
垂直问题
综合问题分析
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3.1
画法几何及工程制图
平行问题
3.1.1 直线与平面平行
3.1.2 平面与平面平行
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3.1.1
A
画法几何及工程制图
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2.平面与投影面垂直面垂直
画法几何及工程制图
左图投影面倾斜面△ABC与正垂面△EFG垂直。在 △ABC内与正垂面△EFG垂直的直线AD一定是一条正平线，且a′d′⊥e′f′g′。右图两铅垂面△ABC与EFGH垂直，其水平投影abc⊥ef(g)(h)。
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P
A
N
a
k
B
K C c
X
m
c a n k m b
O
PH M
a
bk
H
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能够直接判别直线的可见性----观察法，由水平投影可知KM 段在平面前，故正面投影上k m 为可见。
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2. 投影面垂直线与投影面倾斜面相交
a 画法 c 几何及 X 工程制图 c k b 1（2） e e f d d 分析：直线AB是铅垂线，H投影有积聚性，故交点的H投影k 必和a（b）重合。又因交点K是△CDE上的点，因此可用求面上取点的方法，求出K点的V面投影k′。可见性判别----重影点法点Ⅰ位于AB上在前。点 Ⅱ位于平面上在后；故 k1为可见。
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直线与平面相交
画法几何及工程制图
P K
A
B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
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平面与平面相交
B 画法几何及工程制图
M
K F
N
A
L
C 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。
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2 k
5、连接KH，KH即为所求。
m 1
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3.3
画法几何及工程制图
垂直问题
3.3.1 特殊情况的垂直问题
3.3.2 一般情况的垂直问题
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3.3.1 特殊情况的垂直问题
1. 直线与投影面垂直面垂直
画法几何及工程制图
当直线与投影面垂直面垂直时，直线一定与该平面所垂直的投影面平行，并且直线的投影一定与该平面有积聚性的同面投影垂直。
1
k
4
c
3
X
b
e
利用重影点判别可见性。由于两个投影的可见性分别反映其投影方向上的重影关系，故必须分别判断。
O e
a
c
2
k 1
（3 ） 4
d
b
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2. 两投影面倾斜面相交
(１) 用直线与平面求交点的方法求两平面的交线
B
画法几何及工程制图
F
K
r e k d a
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m
f
s
3.2
画法几何及工程制图
相交问题
3.2.1 积聚性法
3.2.2 辅助平面法
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交点与交线的性质
画法几何及工程制图
B D P K A K A
B
C
L
E
F
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。
a X
f O
c
d a
e
2
1
平面水平投影的重叠部分，其可见性利用重影点进行判断。
(3)4
f b 两个平面同时垂直于某投影面，其交线为该投影面垂直线。两正垂面△ABC与△DEF相交，交线ⅠⅡ为正垂线。
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3.2.2
画法几何及工程制图
辅助平面法
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a
画法几何及X 工程制图
d
k
n
作题步骤：
(1) 过AB作铅垂平面P。
c
m
b
PH a
e
O
(2)求P平面与 ΔCDE的交线 MN。
(3)求交线MN 与AB的交点K。
m
e
k
c
n
b
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d
判别可见性 a
画法几何及工程制图 ( 2 )
d
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平面可见性的判别
m 画法几何及工程制图 V M B K F m C c N k a f n L l H c n f X n c k
b l a a l
f
O
m
k b
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平面可见性的判别
m 画法几何及工程制图 V
3.3.2 一般情况的垂直问题
1. 直线与平面垂直
画法几何及工程制图 V
A C E B
D
几何条件：如果一直线垂直于一平面，则必垂直于该平面内的一切直线。
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l
画法几何及工程制图
V
A C E B D X
a
k
d
e
c
b
O a k l e d
A
E
L D
C
利用求一般位置直线与平面交点的方法——辅助平面法，分别作出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。
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求两投影面倾斜面△ABC与△DEF的交线。
b c f X f e PV QV
画法几何及工程制图
2
k d l b l a O
作源自文库步骤
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求△ABC与DE、FG两平面的交线。
画法几何及工程制图
作图步骤
过点A、E的正垂面P为辅助面，得辅助交线A1、 E2,求出点K；再过点A、 F的铅垂面Q为辅助面，得辅助交线A3、F4，求出另一个三面共点L；连接K、L，即为所求的交线。
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直线与迹线平面垂直
l
V l N k M H
b k l a O k b a l
M B
K F L X n c
f
m C c
N k a
f
m
l H c n f
n
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4. 两个垂直于同一投影面的平面相交
d 画法几何及工程制图 3 4 1 (2) b e c
a′b′c′与d′e′f′的交点1′(2′) 即为交线的正面投影，由此在ac上求得2，在df上求得1，12为交线的水平投影。