圆中的常用辅助线题型解析

圆中的常见辅助线及口诀

一、圆上两点连成弦圆心向弦作垂线

,图1 图2

例1、如图1 AE是⊙O的直径，⊿ABC是⊙O的内接三角形， AD是⊿ABC的高．求证：∠1=∠2

简证：(1) 连BE，AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90° ∠E=∠C

∴Rt⊿ABE∽Rt⊿ADC ∴∠1=∠2

(2) 作OG⊥AB于G (圆心向弦作垂线垂直于弦且平分弦) 则∠AOG=∠C

Rt⊿AOG∽Rt⊿ACD ∴∠1=∠2

例2、如图2 △ABC内接于⊙O,∠A的外角平分线交BG的延长线于D,办⊙O于E.

求证:AB·AC=AD·AE

简证：连BE ∵∠ADC=∠E ∠DAC=∠CAP=∠BAE

∴△AEB∽△CDA ∴AB

AD=

AE

AC∴AB·AC=AD·AE

例3、如图3 PA切⊙O于A, PC交⊙O于B、C, D为PC中点, AD延长办⊙O于E BE2=DF·AE

求证∶(1)PA=PD (2)PB= 1

2PA 图3

简证∶连AB (1) BE2=DF·AE BE

AE=

DF

BE

∠BEA=∠AEB ∴△BED∽AEB

∴∠EBD=∠EAB 又∠PAB=∠1

∴∠ADP=∠1＋∠EBD=∠PAB＋∠EAB=∠PAD PA=PD (2) PA2=PB·PC=PB·2PD=PB·2PA

∴PB= 1

2PA

图4

例4、如图5 AD是∠BAC的平分线,BC切⊙O于D, AB、AC交⊙O于E、F.

求证∶EF∥BC

简证∶连DE, ∵∠3=∠4 ∠2=∠3 ∠1=∠4

∴∠1=∠2 ∴EF∥BC

二、两圆三圆连心线两圆连心过切点圆心切点紧相连

例1、如下图5 ⊙O1和⊙O2外切于P，公切线MN 切两圆于M、N，过P的直线交两于A、B； AM、BN延长交于C

图5 图5附图求证:AC⊥BC

简证:连MO1NO2O1O2O1O2必过切点P

∵MN是两圆的公切线∴O1M⊥MN O2N⊥MN

则∠O1+∠O2=180° ∵∠A=∠O1∠B=∠O2

∴∠A+∠B=90° ∴∠C=90°

则AC⊥BC

图6

例2、如图6 ⊙A的直径为2 3 ⊙B的直径为4－2 3 ⊙C的直径为2,

⊙A分别外切于⊙B和⊙C,且∠CAB=60°

求BC的长和∠C的度数.

简证∶∵两圆连心过切点, ∴AB 和AC 是两圆半径之和.

∴AB=2 AC= 3 ＋1 由余弦定理得∶

BC=22＋(3＋1)2－2(3＋1)×2cos60°= 6

∴cos ∠C=22＋(3＋1)2－222×6×(3＋1)=22

∴∠C=45°

例3、如图7 AB 是⊙O 的直径, FD 是⊙O 的切线AD ⊥FD 于D,BC 延长交AD 延长线于E 求证∶(1)AE=AB (2)AF ∶AD=FC ∶CD

图7

简证∶(1)连AC 、OC 则OC ⊥FD(圆心切点紧相连,且必垂直于切线)

∵AD ⊥FD ∴OC ∥AD ∠ABC=∠OCB=∠E ∴AB=AE

(2)∠1=∠2 ∠1=∠3 ∴∠2=∠3

AF ∶AD=FC ∶CD(角平分线定理)

三、两圆两交公共弦 两圆相切公切线

例1 如图8，⊙O 1和⊙O 2相交于点A 、B ，EF 切⊙O 2于P ，

PA 、PB 分别交⊙O 1于点C 、D ，

图8

求证∶EF ∥CD 简证∶连结AB (AB 叫公共弦)∵EF 切⊙O 1 于点P ，⊙A 分别外切于⊙B 和⊙C ∴∠APE=∠ABP 又∠ABP=∠C ∴∠C=∠ABP 即∠C=∠CPE ∴EF ∥CD\ 例2、如图9，在⊿ABC 中，∠ACB=90°，以顶点A 为圆心，AC 为半径

作⊙A ，交AB 于D ，交⊿ABC 的外接圆于E.

求证：AD 2=AF·AB

图9

证明：连CE 交AB 于F

⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥CE 于点F ∠ACB=90°⎭

⎬⎫═ ＞AC 2=AF·AB AC=AD ═ ＞ AD 2=AF·AB 例3、如图10 ⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，过⊙O 2上的一点A ，作⊙O 2的切线

交⊙O 1于B 、C 两点，BP 、CP 分别与O 2相交于点E 、F ．

求证：∠BPA=∠CPA

图10

简证：过P 作两圆的外公切线MN ， (两圆内切作外公切线)又BC 切⊙O 2于A ∴∠MPA=∠BAP ∠MPB=∠C ∵∠BPA=∠MPA －∠MPB ∠CAP=∠BAP －∠C ∴∠BAP=∠CAP

例4、如图11两圆内切于P 求证∶PA ·PD=PB ·PC

简证∶过P 作两圆的外公切线MN ∠NPC=∠PBD ∠NPC=∠A

∴∠PBD=∠A ∴DP ∥CA ∴PD PC ＝PB PA

∴PA ·PD=PB ·PC 图11

例5、如图12 ⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，O 1的弦BC 延长切⊙O 2于点D ，

BA ，CA 的延长线分别与⊙O 2交于点E 、F ．

求证：（1）EF ∥BC （2）AD 平分∠CAE

图12

简证：（1）过A 作两圆的内公切线MN 交BD 于N (两圆外切作内公切线) 由弦切角定理得：∠MAF=∠E ∠NAC=∠B

∵∠MAF=∠NAC ∴∠B=∠E ∴EF ∥BC

（2）∵NA 、ND 切⊙O 2于A 、D NA=ND

∴∠NAD=∠NDA 又∠NAC=∠B ∵∠CAD=∠NAC ＋∠NAD ∴∠CAD=∠B ＋∠NDA ∵∠EAD=∠B ＋∠NAD ∴∠CAD=∠EAD

即AD 平分∠CAE

例6、如图13：两圆外切于C ，弦AB 延长切另一圆于E ， 求证：BF FD ＝BC CD

图13

证明思路：CE 是∠BCD 的平分线.

证明∶过C 作两圆的内公切线 MN ，

⎭

⎪⎬⎪⎫∠BCE=∠BCM ＋∠MCE ∠MCE=∠AEC ∠BCM=∠EAC ⎭⎬⎫═ ＞∠BCE=∠EAC ＋∠AEC ∠DCE=∠EAC ＋∠AEC ═

＞∠BCE=∠DCE ═ ＞BF FD ＝BC CD

此外，直径所对圆周角是直角,直角所对是直径.(有时作直径也是不错的辅助线)