圆中的常用辅助线题型解析
圆中辅助线应用的典型例题
圆中辅助线应用的典型例题圆是数学中非常重要的一个几何图形，在数学教学中也经常涉及到相关内容。
圆中辅助线的应用也是数学教学中的一个重要内容。
在这里，我将为大家介绍一下圆中辅助线应用的典型例题。
例题一：如图，已知圆的半径OA和圆心角α，求BC 的长度。
解题思路：由于圆心角α是已知的，可以根据圆心角公式计算出弧长AC，即AC = αR，其中R为圆的半径。
又因为BC是弦，所以可以根据弦长公式计算出BC的长度：BC = 2√(R² - AC²/4)。
因此，只需把圆心角α和半径OA 代入公式，就可以得出BC的值。
例题二：如图，已知圆的半径OA和圆心角α，DE与BC平行，求DE的长度。
解题思路：由于DE与BC平行，所以可以构造辅助线EF与BC垂直，如图所示。
则BE = EC = Rcos(α/2)，EF = Rsin(α/2)，因此BF = 2Rsin(α/2)。
根据正弦定理，在三角形BDF中，有sin(α/2)/BD = sin(γ)/BF，又因为sin(γ) = DE/BD，所以DE = BDsin(α/2)/sin(γ)，代入BF的值即可求出DE的长度。
例题三：如图，已知圆上两个点A、B和点P到AB的距离为h，求圆心O到AB的距离d。
解题思路：首先，构造辅助线PC，并延长到圆上的交点D，如图所示。
则OP垂直于AB，所以POD是直角三角形。
由于PO = R - h，OD = √(R² - PD²)，所以DP =√(R² - (R - h)²)。
在三角形PBD中，有d/BD = PO/DP，所以d = (R - h)BD/√(R² - (R - h)²)，代入数据即可求出d的值。
以上就是三个典型的圆中辅助线应用例题。
这些例题的重点在于如何灵活应用几何知识，构造合适的辅助线，从而得出正确的解答。
在学习数学的过程中，需要不断地训练自己的思维能力，培养解决问题的能力。
(完整版)初中几何辅助线——圆常用辅助线
初中几何辅助线——圆常用辅助线题型 1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.例1如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，P A = 4cm .求⊙O 的半径.题型2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ,DN ⊥AB ,求证：证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴（二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD∴题型3.有弦中点时常连弦心距例3如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o －∠OMN ∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM题型4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例4如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B .求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M ,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P= ∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N ∴AC = BD题型5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例5如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的 中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点∴»»AB BC = ∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE = 12AO = 12BO又∵OC = OC∴△ODC ≌△OEC ∴CD = CE结论1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 结论2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.结论3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例6如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB为⊙O的直径∴∠ADP = 90o∵AC = PC∴AC = CD =12 AP练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：BC CF BE EF=题型6.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.题型7.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC（提示如图）题型8.有弦中点时，常构造三角形中位线例7已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =12 AD证明：作直径CF，连结DF、BF ∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴»»AD BF=∴AD = BF∵OE⊥BC O为圆心CO = FO ∴CE = BE∴OE =12 BF∴OE =12ADP2题图A1题图BA题型9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例8如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠F AC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：AB ·AC= AD ·AE证明：连结BE ∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1 ∴∠3 =∠2∵四边形ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E ∴△ABE ∽△ADC∴AE AB AC AD∴AB ·AC = AD ·AE题型10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例9如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于E 、F .求证：CE ∥DF证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF =∠C同理可证：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o ∴∠C ＋∠D = 180o ∴CE ∥DF题型11.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例10如图，P 为⊙O 外一点，以OP 为直径作圆交⊙O 于A 、B 两点，连结P A 、PB .求证：P A 、PB 为⊙O 的切线 证明：连结OA ∵PO 为直径∴∠P AO = 90o ∴OA ⊥P A∵OA 为⊙O 的半径 ∴P A 为⊙O 的切线同理：PB 也为⊙O 的切线例11如图，同心圆O ，大圆的弦AB = CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E ，求证：CD 是小圆的切线证明：连结OE ，过O 作OF ⊥CD 于F ∵OE 为半径，AB 为小圆的切线∴OE ⊥AB ∵OF ⊥CD , AB = CD∴OF = OE ∴CD 为小圆的切线P练习：如图，等腰△ABC ，以腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 于P ，PE ⊥AC 于E , 求证：PE 是⊙O 的切线题型12.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例12如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90o ，AC = 12，BC = 9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 长.解：连结OE ，则OE ⊥AC∵BC ⊥AC ∴OE ∥BC∴OE AOBC AB=在Rt △ABC 中，AB= 15==∴15915OE AB OB OEAB --==∴OE = OB = 458∴BD = 2OB = 454∴AD = AB －DB = 15－454= 154答：AD 的长为154.练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CDCC AE。
初中数学圆中常见辅助线的作法例题分析
初中数学圆中常见辅助线的作法例题分析1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
【例题】如图, 在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点。
求证：AC = BD证明: 过O作OE⊥AB于E，则OE⊥CD，∵OE过O，∴由垂径定理得：AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．故答案为：过O作OE⊥AB于E，则OE⊥CD，∵OE过O，∴由垂径定理得：AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．2、遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
【例题】如图，在Rt△ABC中,∠BCA = 90 o ,以BC为直径的⊙O交AB于E,D为AC中点，连结BD交⊙O于F。
求证：BC/BE=CF/EF证明：连结CE．∵BC为⊙O的直径，∴∠BFC为90°，∠BEC为90°．又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB=∠BAC.∵∠ECB=∠BAC ，∠EFB=∠ECB，∴∠BAC=∠EFB.∵∠BAC=∠EFB ，∠ABD公用，∴△BEF∽△BDA.∴EF/BE=AD/BD.∵∠BFC=∠ACB=90°，∠CBD公用，∴△CBF∽△DBC.∴CDBD=CFBC.∵D为AC中点，∴AD=CD，∴EF/BE=CF/BC.∴BC/BE=CF/EF.3、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
4. 遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5. 遇到有切线时①添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
中考专题八、圆 常作的辅助线(配中考真题讲解)
圆 常作的辅助线（马铁汉）解有关圆的问题，经常要作辅助线，常作的辅助线有：①连半径②连直径③作直径上的圆周角④根据相等的圆周角连相等的弦⑤作平行线（或垂线）构造全等三角形或相似三角形作辅助线的意图是结合题设和结论，完善有关性质、定理的基本图形，能运用所学性质或定理解决问题。
一、连半径1、（2019德州）如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD,垂足为E ，AB BF =,CE=1,AB=6,求弦AF 的长度。
分析：连半径后得直角三角形，图中由出现OB ⊥AF,用勾股定理得方程组，求解。
涉及垂径定理和勾股定理和方程组。
在Rt △AEO 中AE=6÷2=3由222AE OE AO +=得()2223+1r r -=，5r = 设BH=x,AH=y｛()22255x y -+= 解得 4.8y = ∴ AF=9.62、（2019菏泽）如图，BC 是⊙O 的直径，CE 是⊙O 的弦，过点E 作⊙O 的切线，交CB 的延长线于点G ，过点B 作BF ⊥GE 于点F ，交CE 的延长线于点A 。
（1）、求证：2ABG C ∠=∠；（2）、若33GF =,6GB =,求⊙O 半径。
分析：（2）有切线，连接过切点的半径OE ，得OE ⊥GF ，从而有AB ∥EO.2226x y +=∴FB GB EO GO =，()22226333FB GB GF =-=-= ∴366r r =+ ∴6r =二、连直径3、（2019荆门）已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ．（1）求证：＝2R ；（2）若△ABC 中∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝， 求BC 的长及sin C 的值．解：（1）连直径CD ，AD ，则∠D=∠B,sin sin 2AC AC B D DC R === ∴ 2sin AC R B= (2)由（1）知322sin 3AC R B === ∴22sin 222BC R A ==⨯= 232622AB BE EA +=+=+= ∴26sin 2AB C R +==4、（2019泰州）如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且AP=3,过点A 作AP 的垂线交⊙O 于点B ，C 。
圆中常见辅助线的作法
圆中常见辅助线的作法正文：在学习圆的内容时，很多同学觉得难学，总是找不到解题的突破口。
觉得难学，很大程度是因为不会画辅助线。
辅助线，就是现有图形的基础上，添加一些线条，以便运用所学知识，化繁为简，达到解决问题的目的。
在解决几何问题的时候，当运用题目给出的条件无法解决问题时，可以通过添加辅助线，形成新图形，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。
一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。
在此，对初中几何圆中常见的辅助线的添加思路从以下几个方面进行总结。
一：弦长计算，作弦心距，结合勾股定理和垂径定理。
例：如图，已知⊙O的半径为13，点O到AB的距离是5，则弦AB长是多少？分析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC=AB在Rt△AOC中，由勾股定理得AC=12.所以AB=24.二：切线的证明：1.连半径，证垂直。
例：如图， AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线；分析：连接OD ，先证OD∥AE，再证OD⊥EF，直线EF经过半径OD的外端点D，并与OD 垂直。
从而可以证明EF是⊙O的切线.2.作垂直，证半径例：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．求证：CD与⊙O相切；分析：过点O作OG⊥DC，垂足为G．证明△ADO≌△GDO后可以得到OA=OG．从而OG是⊙O的半径，CD经过半径OG的外端点并与半径OG垂直，根据切线的判定可以证明CD与⊙O相切。
三：有直径，作直径所对圆周角。
例：如图，是的外接圆⊙O的直径，若，则．分析：连接，如图，因为AD为的外接圆⊙O的直径，所以∠ABD＝90°,从而可得∠ACB＝∠D＝50°四.弧有中点，连中点圆心，结合垂径定理。
例：如图，在扇形中，已知，，过弧AB的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（）分析：连接OC,因为点C为弧AB的中点，所以∠AOC＝∠BOC,从而可以证明△CDO≌△CEO,于是四边形CDOE为正方形，面积等于1，由扇形面积公式得，故选B。
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
例谈圆中常见作辅助线的方法
例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。
只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。
通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，ab为⊙o的直径，pq切⊙o于t，ac⊥pq于c，交⊙o于d，ad=2，tc=.求⊙o的半径。
解：过点o作om⊥ac于m，∴am=md=ad/2=1.∵pq切⊙o于t，∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq，om⊥ac，∴∠otc=∠act=∠omc=90°，∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=，∴在rt△aom中，.即⊙o的半径为2.例2：如图2，已知在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.求证：ac=bd.证明：过点o作oe⊥ab于e，则ae=be，ce=de，∴ae-ce=be-de.∵ac=ae-ce，bd=be-de.∴ac=bd.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，⊙o的直径cd=20cm，直线l⊥co，垂足为h，交⊙o于a、b两点，ab=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙o相切？解：连接oa，∵l⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.在rt△aho中，oh=6cm.∴ch=4cm，dh=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙o相切。
例4：如图4，pa是⊙o的切线，切点是a，过点a作ah⊥op于点h，交⊙o于点b.求证：pb是⊙o的切线.证明：连接oa、ob.∵pa是⊙o的切线，∴∠oap=90°.∵oa=ob，ab⊥op，∴∠aop=∠bop.又∵oa=ob，op=op，∴△aop≌△bop.∴∠opb=∠oap=90°.∴pb是⊙o的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度ab的长是多少厘米？解：连接oa，作oc⊥ab于c，则ac=bc=ab.在rt△oac中，oa=×52=26厘米，oc=26-16=10厘米，∴ac=24厘米.∴ab=2ac=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的⊙o中，ab，cd是两条直径，m为ob的中点，cm的延长线交⊙o于点e，且em>mc.连结de，de=. （1）求证：am·mb=em·mc；（2）求em的长；（3）求sin∠eob的值.解：（1）连接ac，eb，则∠cam=∠bem.又∠amc=∠emb，∴△amc∽△emb.∴，即am·mb=em·mc.（2）∵dc为⊙o的直径，∴∠dec=90°，ec=∵oa=ob=4，m为ob的中点，∴am=6，bm=2.设em=x，则cm=7-x. 代入（1），得6×2=x（7-x）.解得x1=3，x2=4.但em>mc，∴em=4. （3）由（2）知，oe=em=4，作ef⊥ob于f，则of=mf=ob=1. 在rt△eof中，∴sin∠eob=.例7：如图7所示，△abc是直角三角形，∠abc=90°，以ab为直径的⊙o交ac于点e，点d是bc边的中点，连结de.（1）求证：de与⊙o相切；（2）若⊙o的半径为，de=3，求ae.（1）证明：连结oe，be，∵ab是直径，∴be⊥ac.∵d是bc的中点，∴de=db，∴∠dbe=∠deb.又oe=ob，∴∠obe=∠oeb，∴∠dbe+∠obe=∠dbe+∠oeb.即∠abd=∠oed.又∵∠abc=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线.（2）解：∵，∴，∴.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点a、b、c在⊙o上（ac不过o点），若∠acb=60°，ab=6，求⊙o半径的长。
圆中常用辅助线的作法【八大题型】(解析版)-初中数学
圆中常用辅助线的作法【八大题型】【题型1遇弦连半径构造三角形】 1【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】 5【题型3遇直径作直径所对的圆周角】 8【题型4遇切线作过切点的半径】 11【题型5遇90°的圆周角连直径】 16【题型6转移线段】 19【题型7构造相似三角形】 23【题型8四点共圆】 30【题型1遇弦连半径构造三角形】1.(2024·陕西渭南·三模)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，连接CD、BD，BD =BC，延长DB到点E，使得BE=BD，连接CE．(1)求证：∠A+∠E=90°；(2)若⊙O的半径为256，BC=5，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了圆综合，其中涉及到了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，圆周角定理及推论等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．(1)利于等边对等角的性质得到∠BCE=∠E，∠BCD=∠D，利用三角形的内角和得到∠BCE+∠E+∠BCD+∠D=180°，即可得到∠E+∠D=90°，再由圆周角的性质等量代换即可；(2)连接OC，由垂径定理推出OB⊥CD，CF=DF，利用勾股定理建立式子运算出BF的长，再利用中位线定理即可推出CE的长．【详解】(1)证明：∵BD=BC，BE=BD，∴BC=BE，∴∠BCE=∠E，∠BCD=∠D，∵∠BCE+∠E+∠BCD+∠D=180°，∴∠E +∠D =12×180°=90°，∵∠A =∠D ，∴∠A +∠E =90°；(2)解：连接OC ，则OC =OB =256，如图所示：∵BC =BD ，∴BC =BD ，∴OB ⊥CD ，CF =DF ，在Rt △OCF 中，CF 2=OC 2-OF 2=2562-256-BF 2，在Rt △BCF 中，CF 2=BC 2-BF 2=52-BF 2，∴256 2-256-BF 2=52-BF 2，解得BF =3，∵BD =BE ，DF =CF ，∴BF 为△DCE 的中位线，∴CE =2BF =6．2.(23-24九年级上·重庆大足·期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，若CD =8，OP =3，则⊙O 的直径为()A.10B.8C.5D.3【答案】A 【分析】连接OC ，由垂径定理可得CP =PD =4，然后再根据勾股定理可得OC ，进而问题可求解．【详解】解：连接OC ，如图所示：∵CD ⊥AB ，CD =8，∴CP =PD =4，∵OP =3，∴在Rt △CPO 中，OC =CP 2+OP 2=5，∴⊙O 的直径为10；故选A ．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3.(2024·贵州黔东南·二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AC =BC ，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为点E ，延长BE 交⊙O 于点D ，连接AD ，CD ，CO ，并延长CO 交BD 于点F ．(1)写出图中一个与∠ACD相等的角∶；(2)求证∶CD=CF；(3)若BC=10，BE=6，求⊙O的半径．【答案】(1)∠ACD=∠ABD(答案不唯一)(2)见解析(3)⊙O的半径为5103【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质；(1)根据圆周角可得∠ACD=∠ABD；(2)延长CF交AB于M，根据垂径定理的推论可得∠ACF=∠BCF，CM⊥AB，即可由BE⊥AC得到∠ACF=∠ABD，进而得到∠ACD=∠ABD=∠ACF=∠BCF，由三线合一即可得到CD=CF；(3)连OA，由勾股定理求得CE=8，进而依次得到AE=2，AB=210，AM=1AB=10，再求出CM，最2后在Rt△AOM中利用勾股定理求半径即可．【详解】(1)由圆周角可得：∠ACD=∠ABD，故答案为：∠ABD(答案不唯一)；(2)延长CF交AB于M，∵AC=BC，延长CO交BD于点FAB∴∠ACF=∠BCF，CM⊥AB，AM=12∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠AMC=90°，∴∠ACF=∠ABD=90°-∠CAB，∴∠ACD=∠ABD=∠ACF=∠BCF，∵BE⊥AC，∴∠CED=∠CEF=90°，∴△CED≌△CEF，∴CD=CF；(3)连OA，∵BC=10，BE=6，∴CE=BC2-CE2=8，AC=BC=10∴AE=AC-CE=2，∴AB=AE2+BE2=210，AB=10∴AM=12∴CM=AC2-AM2=310，∴OM=CM-OA=310-OA222∴310-OA2+102=OA2解得OA=510 3，∴⊙O的半径为5103．4.(2024·陕西咸阳·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC是⊙O的直径，⊙O与边AB交于点D，E为BD的中点，连接CE，与AB交于点F．(1)求证：AC=AF．(2)当F为AB的中点时，求证：FC=2EF．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】(1)连接EO，交BD于点N，根据E为BD的中点，可得OE⊥BD，即有∠NEF+∠EFN=90°，再根据EO=OC，可得∠OEC=∠OCE，进而可得∠ACF=∠AFC，即可证明；(2)连接EB，在Rt△ABC中，有BF=AF=FC=12AB，即∠ABC=∠FCB，再由E为BD的中点，可得∠EBD=∠FCB，进而可得∠EBD=∠ABC，即可证明△EBF∽△CBA，问题随之得证．【详解】(1)连接EO，交BD于点N，如图，∵E为BD的中点，∴OE⊥BD，∴∠ENF=90°，∴∠NEF+∠EFN=90°，∴∠NEF+∠AFC=90°，∵EO=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠OCE=90°，∴∠ACF+∠OEC=90°，∵∠NEF+∠AFC=90°，∴∠ACF=∠AFC，∴AC=AF；(2)连接EB，如图，∵在Rt△ABC中，F为AB的中点，∴BF=AF=FC=12AB，∵E 为BD 的中点，∴DE =BE ，∴∠EBD =∠FCB ，∴∠EBD =∠ABC ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BEC =90°，∴∠BEC =∠ACB ，又∵∠EBD =∠ABC ，∴△EBF ∽△CBA ，∴EF AC =BF AB ，即EF AC =BF AB=12，∴2EF =AC ，∵AF =FC ，且在(1)已证明AC =AF ，即FC =2EF ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，作出合理的辅助线，掌握垂径定理是解答本题的关键．【题型2遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】5.(23-24九年级上·云南昆明·期末)如图，半径为5的⊙O 中，有两条互相垂直的弦AB 、CD ，垂足为点E ，且AB =CD =8，则OE 的长为()A.3B.3C.23D.32【答案】D 【分析】作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CB 于N ，连接OA ，OC ，根据垂径定理得出BM =AM =4，DN =CN =4，根据勾股定理求出OM 和ON 证明四边形OMEN 是正方形，即可解决问题．【详解】解：如图，作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CB 于N ，连接OA ，OC ．∴AM =BM =4，CN =DN =4，∵OA =OC =5，∴OM =OA 2-AM 2=52-42=3，ON =OC 2-CN 2=52-42=3∴OM =ON ，∵AB ⊥CD ，∴∠OME =∠ONE =∠MEN =90°，∴四边形OMEN 是矩形，∵OM =ON ，∴四边形OMEN 是正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查圆的垂径定理和正方形的判定，关键在于作出辅助线，利用垂径定理得到证明．6.(23-24九年级上·山东潍坊·期末)如图，⊙O的半径是4，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=6，∠APO=30°，则弦AB的长为()A.27B.7C.5D.52【答案】A【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含30°的直角三角形，连接OA，则OA=4，过点O作OD⊥AB交AB于点D，则可计算出OD，利用勾股定理求出AD，进一步利用垂径定理即可求出弦AB的长．【详解】解：连接OA，则OA=4，过点O作OD⊥AB交AB于点D，∵若OP=6，∠APO=30°∴OD=OP÷2=6÷2=3，则AD=OA2-OD2=42-32=7=7∴AB=2AD=27．故选：A．7.(23-24九年级下·上海·阶段练习)如图，⊙O1和⊙O2相交于A和B，过点A作O1O2的平行线交两圆于C、D，已知O1O2=20cm，则CD=cm．【答案】40【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作O1E⊥CD于点E，O2F⊥CD于点F，利用垂径定理得到AE=CE，AF=DF，且易得四边形O1O2FE为矩形，进而得到EF=O1O2=20cm，再利用等量代换即可得到CD．E⊥CD于点E，O2F⊥CD于点F，【详解】解：作O∴O1E∥O2F，AE=CE，AF=DF，∵O1O2∥CD，易得四边形O1O2FE为矩形，∵O1O2=20cm，∴EF=O1O2=20cm，∴CD=CE+AE+AF+DF=2AE+AF=2EF=40cm，故答案为：40．8.(23-24九年级上·福建厦门·期末)关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0，如果a、b、c满足a2 +b2=c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：(1)求证：关于x的“勾系方程”2ax2+2cx+2b=0必有实数根.(2)如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB=2a，CD=2b，且关于x的方程2ax2+ 10x+2b=0是“勾系方程”.①求∠BDC的度数，②直接写出BD的长：(用含a、b的式子表示).【答案】(1)见解析(2)①∠BDC=45°；②2a+b【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式即可判断；(2)①由勾股定理，圆周角定理，垂径定理即可求解．②过点D作AB的垂线，垂足为G，则四边形DGEF是矩形，根据AB∥CD，得出∠GBD=∠BDC=45°，进而勾股定理，即可求解．【详解】(1)证明：∵关于x的一元二次方程2ax2+2cx+2b=0是“勾系方程”，∴a2+b2=c2且c≠0，a≠0，Δ=2c2-4⋅2a⋅2b=4c2-8ab=4a2+b2-8ab=4a2+b2-2ab=4a-b2，∵a-b2≥0，∴Δ≥0，∴方程必有实数根；(2)解：①∠BDC=45°，理由如下：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OB，OC，∵DC∥AB，∴EF⊥CD，∴AE=BE=a，CF=DF=b，∵BE2+OE2=OB2，∴a2+OE2=52，∵2ax2+10x+2b=0是“勾系方程”，∴a2+b2=52，∴OE=b=CF；∵OB=OC，∴Rt△BOE≌Rt△OCF HL；∴∠FOC=∠OBE，∵∠OBE+∠EOB=90°，∴∠FOC+∠EOB=90°，∴∠COB=90°，∠BOC=45°．∴∠BDC=12②如图所示，过点D作AB的垂线，垂足为G，则四边形DGEF是矩形，∴DG=EF=a+b，∵AB∥CD，则∠GBD=∠BDC=45°∴DB=2DG=2a+b故答案为：2a+b．【点睛】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形全等，解题的关键是明白“勾系方程”的定义．【题型3遇直径作直径所对的圆周角】9.(2024·安徽合肥·一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD于点M，连接OD．(1)若∠ODB=54°，求∠BAC的度数；(2)AC，DB的延长线相交于点F，CE是⊙O的切线，交BF于点E，若CE⊥DF，求证：AC=CD．【答案】(1)36°(2)见详解【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ODB=∠OBD=54°，求得∠DOB=180°-∠OBD-∠ODB=72°，根据垂径定理得到BC=BD，于是得到结论；(2)连接OC，BC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据平行线的性质得到∠ACO=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，求得AB=BF，根据等腰三角形的性质得到AC=CF，等量代换得到结论．本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】(1)解：∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD=54°，∴∠DOB=180°-∠OBD-∠ODB=72°，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴BC=BD，∠BOD=36°，∴∠BAC=12故∠BAC的度数为36°；(2)证明：连接OC，BC，∵CE是⊙O的切线，∵CE⊥DF，∴OC∥DF，∴∠ACO=∠F，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠A=∠F，∴AB=BF，∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AF，∴AC=CF，∵∠A=∠CDB，∴∠CDB=∠F，∴CD=CF，∴AC=CD．10.(2024九年级上·湖北武汉·期中)如图，AB为⊙O的直径，点C为BE的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．(1)求证：OC∥AD；(2)若DE=1,CD=2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)证明OC⊥EB，AD⊥BE即可得出结论；(2)设BE交OC于点T，证明四边形DETC是矩形，设OB=OC=r，利用勾股定理即可求解．【详解】(1)证明：连接BE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，即AD⊥BE，∵点C为BE的中点，∴EC=CB，∴OC⊥EB，∴OC∥AD；(2)解：设BE交OC于点T，如图，∵CD⊥AD，∴∠D=∠DET=∠CTE=90°，∴四边形DETC是矩形，∴CD=ET=2,DE=CT=1，∴BT =TE =2，设OB =OC =r ，则r 2=r -1 2+22，∴r =52，∴AB =2r =5，即⊙O 的直径为5；【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质,勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题．11.(2024·浙江温州·三模)如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，AC =3，点E 是AC 边上的动点，以CE 为直径作⊙F ，连接BE 交⊙F 于点D ，则AD 的最小值为．【答案】43-72【分析】连接DC ，由以CE 为直径作⊙F ，得∠CDE =90°，∠CDB =90°，即可得动点D 在以BC 为直径的圆上运动，当A ，D ，O 在一直线上时，根据AD ≥AO -OD ，即可求解．【详解】解：△ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，AC =3，∴BC =AB 2-AC 2=42-32=7连接DC ，由以CE 为直径作⊙F ，BC =4，AC =5，∴∠CDE =90°，∠CDB =90°，∴动点D 在以BC 为直径的圆上运动，O 为圆心，当A ，D ，O 在一直线上时，AO =32+72 2=432∴AD ≥AO -OD =432-72=43-72即AD 的最小值为43-72故答案为：43-72．12.(23-24九年级上·福建莆田·期中)如图，AB 是半圆O 的直径，AB =10，点D 在半圆O 上，AD =6，C是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH ⊥AC 于H ，连接BH ，在点C 移动的过程中，BH 的最小值是．【答案】73-3/-3+73【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，然后利用勾股定理，求出BD的长，再利用勾股定理，求出BE的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，再由BH=BE-EH，即可算出BH的长．【详解】解：如图，连接BD，取AD的中点E，连接BE，∵DH⊥AC，∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，∵AB是直径，∴∠BDA=90°，在Rt△BDA中，∵AB=10，AD=6，∴由勾股定理得：BD=AB2-AD2=100-36=8，∵E为AD的中点，AD=3，∴DE=12在Rt△BDE中，∵BD=8，DE=3，∴由勾股定理得：BE=DE2+BD2=9+64=73，又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点，AD=3，∴EH=12∴BH=BE-EH=73-3．故答案为：73-3．【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键．【题型4遇切线作过切点的半径】13.(2024·贵州·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P为边BC上一点，连接AP，分别以点A，P为圆心，大于是1AP的长为半径画弧，两弧交于点E，F，EF交AB于点D，再以点D为圆心，DA长2为半径作圆，交AB于点M，BC恰好是⊙D的切线．若∠B=30°，AC=3，则BM的长为()A.233B.33C.34D.3【答案】A【分析】本题考查的是切线的性质、含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接DP ，由线段垂直平分线的性质可得AD =DP ，再由直角三角形性质求得AB =23，根据切线的性质得到∠DPB =90°，再证明△BPD ∽△BCE ，再列出方程求解即可．【详解】解：连接DP ，由题意可得，EF 是AP 的垂直平分线，∴AD =DP ，设AD =DP =r ，∵∠B =30°，AC =3，∴AB =23，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠DPB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠DPB =∠ACB =90°，∴DP ∥AC ，∴△BPD ∽△BCE ，∴BD AB =DP AC ，∴23-r 23=r 3，∴r =233，∴AD =233，∴AM =433，∴BM =AB -AM =23-433=233，故选：A 14.(2024·辽宁大连·一模)如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径与BC 交于点F ，∠CAD =45°，过B 点的切线交AD 的延长线于点E ．(1)若∠C=64°，求∠E的度数；(2)⊙O的半径是3，OF=1，求BE的长．【答案】(1)38°(2)BE的长为4【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识．(1)连接OB，由切线的性质得到∠OBE=90°，由圆周角定理得到∠AOB=2∠C，又由∠C=64°得到∠AOB =128°，则∠BOE=180°-128°=52°，利用直角三角形性质即可得到答案；(2)连接OC，OB，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD=2×45°=90°，再证明EF=BE，在Rt△OBE中，根据勾股定理得，OE2=OB2+BE2，设BE=EF=x，得到x+12=32+x2，解方程即可得到答案．【详解】(1)解：连接OB，∵BE是⊙O的切线∴OB⊥BE∴∠OBE=90°∵AB=AB∴∠AOB=2∠C∵∠C=64°∴∠AOB=128°∴∠BOE=180°-128°=52°∴∠E=90°-52°=38°(2)解：连接OC，OB，∵CD=CD∴∠COD=2∠CAD=2×45°=90°∴∠1+∠3=90°∵OC=OB∴∠1=∠2∵∠OBE=90°∴∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∵∠3=∠5∴∠4=∠5∴EF=BE在Rt△OBE中，∠OBE=90°，根据勾股定理得，OE2=OB2+BE2设BE=EF=x，由OB=3，OF=1得，x+12=32+x2∴BE 的长为4．15.(2024·福建泉州·模拟预测)已知AB 与⊙O 相切于点B ，直线AO 与⊙O 相交于C ，D 两点(AO >AC )，E 为BD 的中点，连接OE 并延长，交AB 的延长线于点F ．(1)如图①，若E 为OF 的中点，求∠A 的大小；(2)如图②，连接BD 与OF 相交于点G ，求证：∠D =∠F ．【答案】(1)30°(2)见解答【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．(1)连接OB ，如图①，先根据切线的性质得到∠OBF =90°，再利用余弦的定义求出∠BOF =60°，接着根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOE =∠BOE =60°，所以∠AOB =60°，然后利用互余得到∠A 的度数；(2)连接OB ，如图②，根据垂径定理得到OE ⊥BD ，再利用等角的余角相等得到∠OBD =∠F ，加上∠OBD =∠D ，从而得到∠D =∠F ．【详解】(1)解：连接OB ，如图①，∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥AF ，∴∠OBF =90°，∵E 为OF 的中点，∴OE =EF ，∴OF =2OB ，在Rt △OBF 中，∵cos ∠BOF =OB OF =12，∴∠BOF =60°，∵点E 为BD 的中点，∴∠DOE =∠BOE =60°，∴∠AOB =60°，∴∠A =90°-60°=30°；(2)证明：连接OB ，如图②，∵点E 为BD 的中点，∴OE ⊥BD ，∴∠OGB =90°，∵∠OBD +∠BOF =90°，∠BOF +∠F =90°，∴∠OBD =∠F ，∵OB =OD ，∴∠OBD =∠D ，∴∠D =∠F ．16.(23-24九年级上·北京西城·期中)如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC=6，DE=4．(1)求证：∠FEB=∠ECF；(2)求⊙O的半径长．(3)求线段EF的长．【答案】(1)证明见解析(2)3(3)25【分析】(1)根据切线的性质及SAS证得△COD≌△COB，可证∠OCD=∠OCB，再利用角的等量代换即可求证结论；(2)设OD=x，则OB=x，OE=8-x，在Rt△BCE和Rt△OED中，分别利用勾股定理即可求解；(3)在Rt△OED和Rt△OCD中，利用勾股定理得OE=5，OC=35，再利用相似三角形的判定及性质即可求解；【详解】(1)证明：连接OD，∵CB，CD是⊙O的切线，∴CB=CD，∠ODC=∠OBC=90°，在△COD和△COB中，OD=OB∠CDO=∠CBO CD=CB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠OCD=∠OCB，∵EF⊥OG，∴∠OEF+∠EOF=90°，∵∠BOC+∠BCO=90°，∠EOF=∠BOC，∴∠FEB=∠OCB，∴∠FEB=∠ECF．(2)解：由(1)得：CD=CB=6，∵DE=4，∴CE=CD+DE=10，在Rt△BCE中，根据勾股定理得：∴BE=EC2-BC2=102-62=8，在Rt△OED中，设OD=x，则OB=x，OE=8-x，由勾股定理得：DE2+OD2=OE2，即：42+x2=8-x2，解得：x=3，∴OD=3，即⊙O的半径为3．(3)解：在Rt△OED和Rt△OCD中，根据勾股定理得：OE=OD2+DE2=32+42=5，OC=OD2+CD2=32+62=35，∵∠FEO=∠DCO，∠EFO=∠CDO=90°，∴△EOF∽△COD，∴EF CD =OEOC，即：EF6=535，∴EF=25．【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质：作出合适的辅助线是解本题的关键．【题型5遇90°的圆周角连直径】17.(2024·安徽合肥·一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作CE，使得CD=CE，交AD的延长线于点E．(1)求证：AB=AE．(2)若AD=DE=2，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】(1)如图，连接AC，根据BC=CD推出∠BAC=∠EAC，再证明BC=CE，∠B=∠E，进而证明△ABC≌△AEC AAS，即可证明AB=AE．(2)先证明BD是⊙O的直径，得到∠BCD=90°．由(1)可得AB=4．在Rt△ABD中求出BD=25；在Rt△BCD中，CD=BC=22BD=10．【详解】(1)证明：如图，连接AC．∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠BAC=∠EAC．∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，BC=CE．∵∠B+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDE，∴∠B=∠E．在△ABC 与△AEC 中，∠BAC =∠EAC ，∠B =∠E ，BC =CE ，∴△ABC ≌△AEC AAS ，∴AB =AE ．(2)解：如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD =90°．由(1)可得AB =AE ．∵AD =DE =2，∴AB =4．在Rt △ABD 中，BD =AB 2+AD 2=25；在Rt △BCD 中，CD =BC =22BD =10．【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理，90度圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．18.(2024·浙江嘉兴·模拟预测)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ,AB =2,BC =23，则AB ⏜的长为()A.13πB.23πC.33πD.233π【答案】B【分析】本题考查了圆的基础知识，如图，连接AC ，BD ，根据内接矩形的性质可得AB ，CD 是直径，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的高，可得OA =OB =2，可得△AOB 是等边三角形，再根据弧长的计算方法即可求解，掌握矩形的性质，圆的基础值，弧长计算公式是解题的关键．【详解】解：如图所示，连接AC ，BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =∠ABC =90°，∴AC ，BD 是直径，点O 是线段AC 的中点，∴在Rt △ABC 中，AC =AB 2+BC 2=22+23 2=4，∴OB =12AC =2=OA ，∴OA =OB =AB =2，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =60°，∴l AB ⏜=n πr 180=60π×2180=23π故选：B．19.(23-24九年级下·四川成都·开学考试)《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ，若A B :AB=2:1，则四边形A B C D 的外接圆半径为．【答案】22【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形ABCD的边长为2和位似比求出A B =4，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长．【详解】解：如图，连接A C ，∵正方形ABCD与四边形A B C D 是位似图形，∴四边形A B C D 是正方形，∴∠A B C =90°∴A C 是四边形A B C D 的外接圆直径，∵正方形ABCD的边长为2，A B :AB=2:1∴A B =4∴AC =42+42=42∴四边形A B C D 的外接圆半径为22，故答案为：22．20.(2024·江西景德镇·三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P经过点O，与y轴交于点A0,6，与x轴交于点B8,0，则OP的长为．【答案】5【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接AB，通过题意判断出AB为直径，圆心P在AB上，根据勾股定理计算出AB的长，从而得出结果．【详解】解：如图，连接AB，∵∠AOB为直角，且点A，B，O都在圆上，∴AB为直径，圆心P在AB上，∵A 0,6 ，B 8,0 ，∴OA =6，OB =8，∴AB =OA 2+OB 2=10，∴OP =12AB =5，故答案为：5．【题型6转移线段】21.(23-24九年级上·四川泸州·阶段练习)如图，⊙O 的直径AB =8，弦CD =3，且弦CD 在圆上滑动(CD 的长度不变，点C 、D 与点A 、B 不重合)，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若M 是CD 的中点，则PM 的最大值是．【答案】4【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长CP 交⊙O 于点K ，连接DK ，根据垂径定理可得CP =PK ，再根据三角形中位线定理可得PM =12KD ，进而可得当KD 最大时，PM 的值最大，即即当KD 为直径时，KD 的值最大，即可求解．【详解】解：延长CP 交⊙O 于点K ，连接DK ，∵AB ⊥CK ，∴CP =PK ，∵M 是CD 的中点，∴PM 是△CKD 的中位线，∴PM =12KD ，∴当KD 最大时，PM 的值最大，即当KD 为直径时，KD 的值最大，∵⊙O 的直径AB =8，∴PM =12KD =12AB =4，故答案为：4．22.(2024九年级上·浙江台州·期中)如图，在△ABC 中，AB =5，AC =4，BC =3，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是．【答案】125/2.4/225【分析】设圆心为点F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、CF 、CD ，则有FD ⊥AB ，由勾股定理的逆定理可得△∠ACB =90°，再由直角三角形的性质可得FC +FD =QP ，又由FC +FD ≥CD ，PQ 为圆F 的直径，可得点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值，即CD 为圆F 的直径，再利用△ABC 的面积即可求解．【详解】解：如图，设圆心为点F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、CF 、CD ，∵圆F 与AB 相切，∴FD ⊥AB ，∵在△ABC 中，32+42=52，即BC 2+AC 2=AB 2，∴△∠ACB =90°，∴CF =12QP ，又∵CF =FD ，∴FC +FD =QP ，∵FC +FD ≥CD ，PQ 为圆F 的直径，∴当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值，即CD 为圆F 的直径，∵S △ABC =12BC ⋅AC =12AB ⋅CD ，∴12×4×3=12×5×CD ，∴CD =125，故答案为：125．【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 上时，PQ =CD 有最小值是解题的关键．23.(2024·江苏徐州·三模)【问题情境】如图1，P 是⊙O 外的一点，直线PO 分别交⊙O 于点A 、B ．小明认为线段P A 是点P 到⊙O 上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O 上任意取一个不同于点A 的点C ，连接OC 、CP ，则有OP <OC +PC ，即OP -OC <PC ，由OA =OC 得OP -OA <PC ，即P A <PC ，从而得出线段P A 是点P 到⊙O 上各点的距离中最短的线段．小红认为在图1中，线段PB 是点P 到⊙O 上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．【直接运用】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是；【构造运用】如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A MN，连接A C，请求出A C长度的最小值．【深度运用】如图5，已知点C在以AB为直径，O为圆心的半圆上，AB=4，以BC为边作等边△BCD，则AD的最大值是．【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：5-1；构造运用：7-1；深度运用：23+2【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；直接运用∶取半圆的圆心O，连接OA交半圆于点M，则当P与点M重合时，P A最小，由勾股定理得OA= 22+12=5，从而即得解；构造运用：由折叠知A M=AM，进而得点A ，A，D都在以AD为直径的圆上．如图3，以点M为圆心，MA 为半径画⊙M，连接MC．当A C长度取最小值时，点A 在MC上，过点M作MH⊥DC于点F，根据菱形的性质及勾股定理即可得解；深度运用：如图，在AB的上方作等边△ABH，连接DH，取BH的中点G连接DG，证明△ABC≌△HBD，得∠BDH=∠ACB=90°，点D在以BH为直径的半圆上，进而利用勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解．【详解】解：问题情境∶小红的说法正确，在圆О上任意取一个不同于点B的点C，连接OC、OP，∵在△POC 中，OP +OC >PC ．OB =OC ，∴OP +OB >PC ，即PB >PC ．∴线段PB 是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段．∴小红的说法正确；直接运用∶取半圆的圆心O ，连接OA 交半圆于点M ，则当P 与点M 重合时，P A 最小，∵∠ACB =90°，AC =BC =2，∴OC =1，OC 2+AC 2=OA 2，∴OA =22+12=5，∴P A 的最小值为OA -AM =5-1故答案为：5-1．构造运用：由折叠知A M =AM ，∵M 是AD 的中点，∴MA =MA =MD ，∴点A ，A ，D 都在以AD 为直径的圆上．如图3，以点M 为圆心，MA 为半径画⊙M ，连接MC ．当A C 长度取最小值时，点A 在MC 上，过点M 作MH ⊥DC 于点F ，∵在边长为6的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 为AD 中点，∴2MD =AD =CD =2，∠HDM =60°，∴∠HMD =30°，∴HD =12MD =12．∴HM =DM ×cos30°=32,HC =52，∴MC =HM 2+HC 2=7，∴A C =MC -MA =7-1；深度运用：如图，在AB 的上方作等边△ABH ，连接DH ，取BH 的中点G 连接DG ，∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°，∵△ABH 和△BCD 都是等边三角形，∴AB =BH =AH =4，BD =BC =DC ，∠ABH =∠CBD =60°即∠ABC +∠CBH =∠CBH +∠HBD ，∴∠ABC =∠HBD ，∴△ABC ≌△HBD ，∴∠BDH =∠ACB =90°，∴点D 在以BH 为直径的半圆上，∵G 是BH 的中点，AB =AH =BH =4，∴AG ⊥BH ，BG =DG =HG =2，∴AG =AB 2-BG 2=42-22=23，∴根据三角形的两边之和大于第三边可得AD 的最大值为AG +DG =23+2，故答案为：23+2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三24.(23-24九年级上·河南开封·阶段练习)如图，以G(0,3)为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．【答案】33-3/-3+33【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形30度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点G作GM⊥AC于点F，连接AG．得到点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，最小值=FM-GM，即可得到答案．【详解】解：过点G作GM⊥AC于点F，连接AG，∵GO⊥AB，∴OA=OB，∵G(0,3)，∴OG=3，在Rt△AGO中，AG=6,OG=3，∴OA=AG2-GO2=33，∴∠GAO=30°,AB=2AO=63，∴∠AGO=60°，∵GC=GA=6，∴∠GCA=∠GAC，∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，∴∠AGO=∠GAC=30°，∴AC=2OA=63,MG=1CG=3，2∵∠AFC=90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，∴MF=AC=33，2点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，最小值=FM-GM=33-3，故答案为：33-3．【题型7构造相似三角形】25.(2024·贵州六盘水·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，DB平分∠ADC，CA=CD，DB与CA交于点E，延长AB,DC交于点F．(1)直接写出线段AB 与线段BC 的数量关系；(2)求证：△AFC ≌△DEC ；(3)设△ABD 的面积为S 1，△BCD 的面积为S 2，求S 1S 2的值．【答案】(1)AB =BC(2)见解析(3)2【分析】(1)根据等角，等弧，等弦，即可得出结论；(2)根据同弧所对的圆周角相等，利用ASA 证明△AFC ≌△DEC 即可；(3)过点C 作CH ⊥DE ，圆周角定理得到∠ACD =∠ABD =90°，勾股定理得到AD =CA 2+CD 2=2CD ，证明△ABD ∽△CHD ，得到AB CH =AD CD=2，根据同底三角形的面积比等于高线比，即可得出结果．【详解】(1)解：连接OB ,OC ，则：∠AOB =2∠ADB ,∠BOC =2∠CDB ，∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠AOB =∠BOC ，∴AB =BC ，∴AB =BC ；(2)∵AD 为直径，∴∠ACD =90°，∴∠ACF =90°=∠ACD ，又∵∠BAC =∠CDB ，CA =CD ，∴△AFC ≌△DEC ；(3)过点C 作CH ⊥DE ，则∠CHD =90°∵AD 为直径，∴∠ACD =∠ABD =90°，∵CA =CD ，∴AD =CA 2+CD 2=2CD ，∵∠ABD =∠CHD =90°,∠ADB =∠CDB ，∴△ABD ∽△CHD ，∴AB CH =AD CD =2，∴S 1S 2=12AB ⋅BD 12CH ⋅BD =AB CH =2．【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．线上．且AD =2．过点A 另一条直线交⊙O 于B 、C ．(1)如图1，当AC =5时，研究发现：连接CE 、BD 可以得到△ABD ∽△AEC ，继而可以求AB 长．请写出完整的解答过程．(2)如图2，当B 、C 重合于一点时，AC =．(3)如图3，当OB 平分∠AOC 时，AC =．【答案】(1)AB =165；过程见解析(2)4(3)8105【分析】(1)连接BD 、CE ，证明△ABD ∽△AEC ，得出AD AC =AB AE，求出AB =165．(2)连接OC ，根据当B 、C 重合于一点时，AC 与⊙O 相切于点C ，得出∠ACO =90°，求出AC =AO 2-OC 2=52-32=4．(3)连接BD ，根据角平分线定义得出∠AOB =∠COB =12∠AOC ，证明DB =BC ，△ABD ∽△AOB ，得出AB AO =AD AB =BD OB ，即AB 5=2AB=BD 3，求出AB =10，BD =3105，即可求出结果．【详解】(1)解：连接BD 、CE ，如图所示：∵DE =6，AD =2，∴AE =AD +DE =2+6=8，∵∠ABD +∠CBD =180°，∠CBD +∠E =180°，∴∠ABD =∠E ，∵∠BAD =∠EAC ，∴△ABD ∽△AEC ，∴AD AC =AB AE ，∴25=AB 8，解得：AB =165．(2)解：连接OC ，如图所示：∵当B 、C 重合于一点时，AC 与⊙O 相切于点C ，∴∠ACO =90°，∵DE =6，∴OC =OD =OE =3，∴AO =AD +DO =2+3=5，∴AC =AO 2-OC 2=52-32=4．∵OB 平分∠AOC ，∴∠AOB =∠COB =12∠AOC ，∴DB =BC ，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∵∠AOC =∠OCE +∠OEC ，∴∠OCE =∠OEC =12∠AOC ，∴∠DOB =∠OEC ，根据解析(1)可知：∠ABD =∠AEC ，∴∠ABD =∠AOB ，∵∠DAB =∠OAB ，∴△ABD ∽△AOB ，∴AB AO =AD AB =BD OB ，即AB 5=2AB=BD 3，解得：AB =10，BD =3105，∴AC =AB +BC =AB +BD =10+3105=8105．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．27.(23-24九年级下·福建厦门·阶段练习)如图，以AB 为直径的⊙O 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，连接AC ，AD ，点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交⊙O 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：∠CAG =∠AGC ；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若EF CE =25，求DP CP的值；(3)当点E 在射线AB 上，AB =2，四边形ACOF 中有一组对边平行时，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)57(3)2-2或3-52【分析】(1)设AB 与CD 相交于点M ，由⊙O 与AH 相切于点A ，得到∠BAG =90°，由CD ⊥AB ，得到∠AMC =90°，进而得到AG ∥CD ，由平行线的性质推导得，∠CAG =∠ACD ，∠AGC =∠FCD ，最后由点A关于CD 的对称点为E 得到∠FCD =∠ACD 即可证明．(2)过F 点作FK ⊥AB 于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，证明∠FAD =∠ADC 得到DP =AP ，再证明△CP A ≌△FPD 得到PF =PC ；最后根据△KEF ∽△NEC 及△APN ∽△AFK 得到KE EN =EF CE =25和P A AF =AN AK=512，最后根据平行线分线段成比例求解．(3)分两种情形：当OC ∥AF 时，当AC ∥OF 时，分别求解即可．【详解】(1)证明：如图，设AB 与CD 相交于点M ，∵⊙O 与AH 相切于点A ，∴∠BAG =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AMC =90°，∴AG ∥CD ，∴∠CAG =∠ACD ，∠AGC =∠FCD ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴∠FCD =∠ACD ，∴∠CAG =∠AGC ．(2)解：过F 点作FK ⊥AB 于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，如下图所示：由同弧所对的圆周角相等可知：∠FCD =∠FAD ，∵AB 为⊙O 的直径，且CD ⊥AB ，由垂径定理得：AC =AD ，∴∠ACD =∠ADC ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴∠FCD =∠ACD ，∴∠FAD =∠FCD =∠ACD =∠ADC ，即∠FAD =∠ADC ，∴DP =AP ，由同弧所对的圆周角相等得：∠ACP =∠DFP ，且∠CP A =∠FPD ，∴△CP A ≌△FPD ，∴PC =PF ，∵FK ⊥AB ，AB 与CD 交于点N ，∴∠FKE =∠CNE =90°．∵∠KEF =∠NEC ，∠FKE =∠CNE =90°，∴△KEF ∽△NEC ，∴KE EN =EF CE=25，设KE =2x ,EN =5x ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴AN =EN =5x ，AE =AN +NE =10x ，AK =AE +KE =12x ，又FK ∥PN ，∴△APN ∽△AFK ，∴P A AF =AN AK=5x 12x =512．∵∠FCD =∠CDA ，∴CF ∥AD ，∴DP =AP =AP =5；。
初中数学《圆》常用辅助线构造技巧
初中数学《圆》常用辅助线构造技巧圆是初中数学中的重要内容，常常会涉及到圆的基本性质、切线、切点、弦、弦长、弧、弧长等概念。
为了更好地解题，我们可以使用一些常用的辅助线构造技巧。
下面，我将介绍几种常用的辅助线构造技巧。
1.直径是圆的特殊弦，通过任意两点连接圆心，可以得到直径。
在解题中，如果涉及到圆心和两点的位置关系，可以考虑构造直径。
2.过圆心的直线与圆的切线垂直。
当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过圆心的直径，使其与需要垂直的线段或角度相交。
3.过圆心的直线将弧等分为两个等长的弧。
当我们需要将一个弧等分为两个等长的弧时，可以考虑构造一条过圆心的直线，将这个弧分割为两个等长的弧。
1.过切点的切线与圆的半径垂直。
当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与需要垂直的线段或角度相交。
2.过切点的切线等于切点至圆心的半径。
当我们需要求解两个等长的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与另一条需要等长的线段或角度相交。
1.弦的中点与圆心以及两个端点可以构成一个等腰三角形。
当我们需要求解与等腰三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与圆心以及两个端点的直线。
2.以弦的中点为顶点的直角三角形。
当我们需要求解与直角三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与两个端点的直线，并通过调整弦的位置，使其与这条直线构成一个直角。
1.弦的垂直平分线同时也是弦的中垂线。
在解题中，如果需要求解弦的垂直平分线或者弦的中垂线，可以考虑构造一条连接弦的两个端点的直线，并将其垂直平分或中垂。
2.连接弦的两个端点与圆心的线段是一个等角二段线。
当我们需要求解与等角二段线相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的两个端点与圆心的直线。
以上是一些常用的圆的辅助线构造技巧，通过合理地运用这些技巧，可以帮助我们更好地理解和解题。
圆中常见辅助线作法例析
弦心 距是 惯 用 的辅 助 线．
二、 当题 目 中 出 现 直 径 时 。 作 出 直 径 上 的 圆周 角 。 常 构 造 出直 角 ， 者 说 明 两 直 线 垂 直 ． 时 图 中 无 直 径 ， 可 根 或 有 还
．
Ｃ为 切 点 ，
ＯＣ ＿ＡＢ ， ＝ 曰ｃ ＝ Ｌ ＡＣ 旭
・ ． ．
分 析 ： 问题 需要 结合 题 意 画 出 示 意 图进 行 分 析 ， 以 本 可 画 出 两种 图形 如 图 ９ 图 ｌ 同 时 需要 添 加 适 当的 辅 助 线． 、 ０，
在 Ｒ ＺＡ Ｃ中 ， Ｃ＝６ｍ，Ａ＝１ ｃ ｔｋ Ｏ Ｏ ｃ Ｏ ０ ｍ．
分 析 ： 据 切 线 的 性 质 ， 圆 的 切 线 垂 直 于 过 切 点 的 半 根 “ 径 ” 作 出半 径 ， 据 垂径 定理 、 ， 根 勾股 定 理 相 结 合 解 决．
五 、 圆 相 交 时 。 接 公 共弦 （ 圆 相 切 时 。 过 切 点 的 两 连 两 作 公切 线）利用公共弦 （ 切线 ） ， 公 沟通 两 圆 的角 或 线 段 ．
・
麓题思路 ・
新课 哥 覃导 学 ２３ 口．己 １１ １
在 Ｒ ＡＡ Ｍ 中 ， Ｍ ＝ ～ 『 ： （ｍ） ｔ Ｏ Ｏ 二 ３ｃ 故点 ｍ 圆 中 常 见 辅 助 线 作 法 例 析 Ｐ到 圆心 Ｏ 的最 短距 离是 ３ｃ ．
说 明： 本题考查 了图形运 动 的特 点， 涉及 到 垂径定 理 、
・ ． ．
Ａ ＝、 Ｃ 伍
ＡＢ ＝２ ＡＣ ＝ １ ｍ． ６ｃ
：、 ｉ ＝ （ｍ） （ ８ｃ ，
圆中常见的辅助线的作法分类大全
1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，AE是O O的直径，P0丄AB交O O于P点，弦PN与AB相交于点M , 求证：PM?PN=2PO2.分析：要证明PM?PN=2PO2，即证明PM?PC =P02,过0点作0C丄PN于C,根据垂经定理NC=PC，只需证明PM?PC=PO2，要证明PM?PC=PO2只需证明Rt△ POC s Rt△ PMO.1证明：过圆心O作OC丄PN于C,.・.PC= - PN2•/ PO丄AB, OC 丄PN ,•••/ MOP= / OCP=90 ° .又•••/ OPC= / MPO ,••• Rt△ POC s Rt△ PMO.匹即• PO2= PM?PC. • PO2= PM?1 PN , • PM?PN=2PO2.PM PO 2【例1】如图，已知△ ABC内接于O O,Z A=45°, BC=2,求O O的面积。
【例2】如图，O O的直径为10,弦AB= 8, P是弦AB上一个动点,【例3】如图，弦AB的长等于O O的半径，点C在弧AMB上,则/ C的度数是_________那么OP的长的取值范围是___________2. 遇到有直径时常常添加(画)直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
例如图，在△ ABC中，/ C=90。
，以BC上一点0为圆心，以0B为半径的圆交AB于点M，交BC于点N .(1)求证：BA • BM=BC • BN ;(2)如果CM是O O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.分析：要证BA • BM=BC • BN，需证△ ACB NMB，而/ C=90。
圆中常作哪些辅助线
CM O N 圆中常作哪些辅助线?通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下：弦与弦心距，密切紧相连. 直径对直角，圆心作半径. 已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦. 遇到相切圆，作条公切线. “有点连圆心，无点作垂线.” 切线证明法，规律记心间.一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”.例 1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO⊥AB 交⊙O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M，求P证：PM•PN=2PO2.1分析：要证明PM•P N=2PO²，即证明PM•PN =POA B2²，1过 O 点作 OC⊥PN 于 C，根据垂经定理PN =PC，只需证明2。
⨯。
∆PMOPM•PC=PO²，由PO = P M，“三点定型”法可判断需证明 Rt△POC∽Rt△PMO.。
⨯ ∆POCPC PO1证明: 过圆心 O 作 OC⊥PN 于 C，∴PC= PN2∵PO⊥AB, OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=900.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴ PO = PC PM，即∴PO2= PM•PC. PO1∴PO2= PM•PN，∴PM•PN=2PO2.2二、连结半径圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一.例 2．已知：△ABC 中，∠B=900，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆切 AC 与 D 点，交 AB 与 E 点，AD=2，AE=1.求证:CD 的长. CD 分析：D 为切点，连结 DO，∠ODA=900.根据切线长定理AE O BCD=CB.DO=EO= 半径r，在Rt△ADO 中根据勾股定理或Rt△ADO~ Rt△ABC，求出CD.证明: 连结DO∴OD⊥AC 于 D, ∴∠OCP=900.∵AB 过 O 点, ∠B=900.∴BC 为⊙O 的切线, ∴CD=CB设 CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO 中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=13∴(1+y)2=22+y2, ∴ y=23 3在Rt△ABC 中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ + )2+x2, ∴x=32 2∴CD=3.三、连结公共弦D 在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把AEBPAE“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。
圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)(解析版)
圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。
模型1、遇弦连半径(构造等腰三角形)【模型解读】已知AB 是⊙O 的一条弦，连接OA ，OB ，则∠A =∠B ．在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。
当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题1(2022·山东聊城·统考中考真题)如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，延长AB ，CD 相交于点P ．已知∠P =30°，∠AOC =80°，则BD 的度数是()A.30°B.25°C.20°D.10°【答案】C【分析】如图，连接OB ，OD ，AC ，先求解∠OAC +∠OCA =100°，再求解∠PAO +∠PCO =50°，从而可得∠BOA +∠COD =260°，再利用周角的含义可得∠BOD =360°-80°-260°=20°，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB ，OD ，AC ，∵∠AOC =80°，∴∠OAC +∠OCA =100°，∵∠P =30°，∴∠PAO +∠PCO =50°，∵OA =OB ，OC =OD ，∴∠OBA =∠OAB ，∠OCD =∠ODC ，∴∠OBA +∠ODC =50°，∴∠BOA +∠COD =260°，∴∠BOD =360°-80°-260°=20°．∴BD的度数20°．故选：C ．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．2(2023•南召县中考模拟)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE =OB ，∠AOC =84°，则∠E 等于()A.42°B.28°C.21°D.20°【分析】利用OB =DE ，OB =OD 得到DO =DE ，则∠E =∠DOE ，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E ，所以∠1=2∠E ，同理得到∠AOC =∠C +∠E =3∠E ，然后利用∠E =13∠AOC 进行计算即可．【解答】解：连结OD ，如图，∵OB =DE ，OB =OD ，∴DO =DE ，∴∠E =∠DOE ，∵∠1=∠DOE +∠E ，∴∠1=2∠E ，而OC =OD ，∴∠C =∠1，∴∠C =2∠E ，∴∠AOC =∠C +∠E =3∠E ，∴∠E =13∠AOC =13×84°=28°．故选：B ．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等)．也考查了等腰三角形的性质．3(2023·江苏沭阳初三月考)如图，已知点C 是⊙O 的直径AB 上的一点，过点C 作弦DE ，使CD =CO ．若AD 的度数为35°，则BE 的度数是．【答案】105°．【分析】连接OD 、OE ，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD =35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】解：连接OD 、OE ，∵AD的度数为35°，∴∠AOD =35°，∵CD =CO ，∴∠ODC =∠AOD =35°，∵OD =OE ，∴∠ODC =∠E =35°，∴∠DOE =180°-∠ODC -∠E =180°-35°-35°=110°，∴∠AOE =∠DOE -∠AOD =110°-35°=75°，∴∠BOE =180°-∠AOE =180°-75°=105°，∴BE 的度数是105°．故答案为105°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．4(2023年山东省淄博市中考数学真题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BAC=120°，D 是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD=2，DE=3，则⊙O的半径为()A.10B.3210 C.210 D.310【答案】A【分析】连接OA,OC,CE, 根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=30°, 根据等边三角形的性质得到AC=OA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【详解】连接OA,OC,CE,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠ACB=30°∴∠AOC=60°,∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA,∵∠AEC=∠ACB=30°，∠CAD=∠EAC,∴△ACD∽△AEC,∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD·AE,∵AD=2,DE=3,∴AC=AD×AE=2×2+3=10，∴OA=AC=10，即⊙O的半径为10，故选:A.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.模型2、遇弦作弦心距(解决有关弦长的问题)【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE=BE，OE2+AE2=OA2。
中考复习讲义：圆的7种辅助线做法(方法总结+例题+巩固练习)(无答案)
9. （2018•德州）如图，AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，且与 AB 的延长线交于点 E，点 C 是 的中点．
（1）求证：AD⊥CD； （2） 若∠CAD=30°， ⊙O 的半径为 3， 一只蚂蚁从点 B 出发， 沿着 BE﹣EC﹣ 回至点 B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数） ． 爬
10. 如图 AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点 A，BP 与⊙O 相较于点 D，C 为 ⊙O 上的一点，分别连接 CB、CD，∠BCD＝60°． (1)求∠ABD 的度数； (2)若 AB＝6，求 PD 的长度．
方法详解： 一、连半径，构造等腰三角形 .
二、连弦心距
三、构造圆周角
四、连接圆心和切点得切线
五、连半径证垂直
六、内切圆，连内角平分线
七、构造三角形与扇形
真题反馈： 1. （2018•聊城）如图，⊙O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC．若 ∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C 的度数是（ ）
A．25° B．27.5°
C．30° D．35°
AB 是⊙O 的直径， OC=5cm， CD=8cm， 2. （2018•张家界） 如图， 弦 CD⊥AB 于点 E， 则 AE=（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm 3. （2018•通辽）已知⊙O 的半径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离为 5，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（ ）
坏了花草，走出了一条小路 AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少 B 走了 步 （假设 1 步为 0.5 米， 结果保留整数） ． （参考数据： ≈1.732，
π 取 3.142）
初中数学圆的常用辅助线知识点
初中数学圆的常用辅助线知识点圆的常用辅助线是指在解决与圆相关的问题时，通过引入一些特殊的辅助线，可以简化问题的步骤和求解的过程。
在初中数学中，常用的辅助线有弦、弧、切线、垂径等。
下面我将详细介绍一些常用的辅助线知识点，以及它们的引入和应用。
一、弦：1.定义：在圆上任取两点A、B，将其连接的线段AB称为圆的弦。
2.性质：（1）等幅弦：从圆的圆心引一条互相垂直于弦AB的直径CD，可以得出两条等幅弦AC和BD。
（2）等分弦：若弦AB平分弦CD的位置，且AN=NB，即AN=NB=ND，则可得出弦AB平分弦CD。
（3）垂直弦：若直径AD垂直于弦BC，即AD⊥BC，则可得出弦BC是直径AD上的线段。
（4）垂直弦截弦：若直径AD垂直于弦BC，即AD⊥BC，在圆上任取一点E，则可得出由DE与弦BC所构成的一对相交直线的乘积等于DE的平方，即DE²=EB×EC。
二、弧：1.定义：圆上相邻两点的连线所代表的弧叫做圆的弧。
2.弧长：圆的弧长度等于弧所对圆心角的大小。
3.弧所对的圆心角：圆心角是以圆心为顶点，两条弧所在直线为两腿的角。
4.弧所对的面积：圆上起始点和终止点之间的弧所对的扇形面积等于扇形的面积减去由对应弦所截取圆的面积。
三、切线：1.定义：切线是指与圆只有一个交点的直线。
2.性质：（1）切点所在半径垂直于切线。
（2）半径在切点上的长度等于切线与圆心的距离。
（3）由同一点引的切线相等。
（4）切线和半径之间的夹角等于切线所在弧所对的圆心角的一半。
四、垂径：1.定义：从圆心引一条垂直于弦的直径，叫做弦的垂径。
2.性质：（1）垂径恒垂直于弦，即垂径和弦互相垂直。
（2）垂径平分弦，即垂径把弦平分为两个等份。
（3）垂径间的距离始终保持不变。
五、割圆：1.定义：用直线割圆叫做割圆。
2.性质：（1）割圆的两个切线段相等。
（2）割圆的两个切线乘积等于割圆所截圆的弦乘积，即AB×CD=BC×DE。
初三圆中常见的辅助线的长度如何确定？
初三圆中常见的辅助线的长度如何确定？在初中数学中，圆是一个重要的几何概念之一。
而在对圆进行研究和作图的过程中，辅助线的使用是非常常见的。
辅助线可以帮助我们更好地理解和解决圆相关的问题。
本文将讨论在初三数学中常见的辅助线的长度如何确定的问题。
1. 连接圆心和圆上一点的线段当我们需要作图或解题时，通常会用到连接圆心和圆上一点的线段作为辅助线。
根据圆的性质，连接圆心和圆上一点的线段长度等于半径的长度。
因此，确定这种辅助线的长度只需要测量或知道圆的半径。
2. 连接圆上两点的线段在某些情况下，我们可能需要连接圆上的两个点来辅助作图或解题。
如果我们已知这两个点在圆上的位置，可以直接测量线段的长度来确定辅助线的长度。
3. 连接圆上一点和切线的线段当我们需要确定与圆相切的直线与圆的交点位置时，可以使用连接圆上一点和切线的线段作为辅助线。
根据圆的性质，切线和半径垂直相交，因此辅助线的长度等于圆的半径。
4. 划分圆上弧的等分点有时候我们需要将圆上的某个弧平均分成若干等分点，以便进行更准确的测量或计算。
在这种情况下，我们可以根据需要确定辅助线的长度来划分弧的等分点。
需要注意的是，确定辅助线的长度时，我们需要明确圆的相关信息，例如半径、圆心和圆上的点位置等。
在解题或作图过程中，根据题目或问题的要求，合理选择并确定辅助线的长度，可以帮助我们更好地理解和解决与圆相关的数学问题。
总结：- 连接圆心和圆上一点的线段长度等于圆的半径的长度。
- 连接圆上两点的线段的长度可以通过测量或知道两点的位置来确定。
- 连接圆上一点和切线的线段的长度等于圆的半径的长度。
- 划分圆上弧的等分点时，根据需要确定辅助线的长度。
希望本文能对你理解初三圆中常见的辅助线的长度确定问题有所帮助。
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圆中的常见辅助线及口诀
一、圆上两点连成弦圆心向弦作垂线
,图1 图2
例1、如图1 AE是⊙O的直径，⊿ABC是⊙O的内接三角形， AD是⊿ABC的高．求证：∠1=∠2
简证：(1) 连BE，AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90° ∠E=∠C
∴Rt⊿ABE∽Rt⊿ADC ∴∠1=∠2
(2) 作OG⊥AB于G (圆心向弦作垂线垂直于弦且平分弦) 则∠AOG=∠C
Rt⊿AOG∽Rt⊿ACD ∴∠1=∠2
例2、如图2 △ABC内接于⊙O,∠A的外角平分线交BG的延长线于D,办⊙O于E.
求证:AB·AC=AD·AE
简证：连BE ∵∠ADC=∠E ∠DAC=∠CAP=∠BAE
∴△AEB∽△CDA ∴AB
AD=
AE
AC∴AB·AC=AD·AE
例3、如图3 PA切⊙O于A, PC交⊙O于B、C, D为PC中点, AD延长办⊙O于E BE2=DF·AE
求证∶(1)PA=PD (2)PB= 1
2PA 图3
简证∶连AB (1) BE2=DF·AE BE
AE=
DF
BE
∠BEA=∠AEB ∴△BED∽AEB
∴∠EBD=∠EAB 又∠PAB=∠1
∴∠ADP=∠1＋∠EBD=∠PAB＋∠EAB=∠PAD PA=PD (2) PA2=PB·PC=PB·2PD=PB·2PA
∴PB= 1
2PA
图4
例4、如图5 AD是∠BAC的平分线,BC切⊙O于D, AB、AC交⊙O于E、F.
求证∶EF∥BC
简证∶连DE, ∵∠3=∠4 ∠2=∠3 ∠1=∠4
∴∠1=∠2 ∴EF∥BC
二、两圆三圆连心线两圆连心过切点圆心切点紧相连
例1、如下图5 ⊙O1和⊙O2外切于P，公切线MN 切两圆于M、N，过P的直线交两于A、B； AM、BN延长交于C
图5 图5附图求证:AC⊥BC
简证:连MO1NO2O1O2O1O2必过切点P
∵MN是两圆的公切线∴O1M⊥MN O2N⊥MN
则∠O1+∠O2=180° ∵∠A=∠O1∠B=∠O2
∴∠A+∠B=90° ∴∠C=90°
则AC⊥BC
图6
例2、如图6 ⊙A的直径为2 3 ⊙B的直径为4－2 3 ⊙C的直径为2,
⊙A分别外切于⊙B和⊙C,且∠CAB=60°
求BC的长和∠C的度数.
简证∶∵两圆连心过切点, ∴AB 和AC 是两圆半径之和.
∴AB=2 AC= 3 ＋1 由余弦定理得∶
BC=22＋(3＋1)2－2(3＋1)×2cos60°= 6
∴cos ∠C=22＋(3＋1)2－222×6×(3＋1)=22
∴∠C=45°
例3、如图7 AB 是⊙O 的直径, FD 是⊙O 的切线AD ⊥FD 于D,BC 延长交AD 延长线于E 求证∶(1)AE=AB (2)AF ∶AD=FC ∶CD
图7
简证∶(1)连AC 、OC 则OC ⊥FD(圆心切点紧相连,且必垂直于切线)
∵AD ⊥FD ∴OC ∥AD ∠ABC=∠OCB=∠E ∴AB=AE
(2)∠1=∠2 ∠1=∠3 ∴∠2=∠3
AF ∶AD=FC ∶CD(角平分线定理)
三、两圆两交公共弦 两圆相切公切线
例1 如图8，⊙O 1和⊙O 2相交于点A 、B ，EF 切⊙O 2于P ，
PA 、PB 分别交⊙O 1于点C 、D ，
图8
求证∶EF ∥CD 简证∶连结AB (AB 叫公共弦)∵EF 切⊙O 1 于点P ，⊙A 分别外切于⊙B 和⊙C ∴∠APE=∠ABP 又∠ABP=∠C ∴∠C=∠ABP 即∠C=∠CPE ∴EF ∥CD\ 例2、如图9，在⊿ABC 中，∠ACB=90°，以顶点A 为圆心，AC 为半径
作⊙A ，交AB 于D ，交⊿ABC 的外接圆于E.
求证：AD 2=AF·AB
图9
证明：连CE 交AB 于F
⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥CE 于点F ∠ACB=90°⎭
⎬⎫═ ＞AC 2=AF·AB AC=AD ═ ＞ AD 2=AF·AB 例3、如图10 ⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，过⊙O 2上的一点A ，作⊙O 2的切线
交⊙O 1于B 、C 两点，BP 、CP 分别与O 2相交于点E 、F ．
求证：∠BPA=∠CPA
图10
简证：过P 作两圆的外公切线MN ， (两圆内切作外公切线)又BC 切⊙O 2于A ∴∠MPA=∠BAP ∠MPB=∠C ∵∠BPA=∠MPA －∠MPB ∠CAP=∠BAP －∠C ∴∠BAP=∠CAP
例4、如图11两圆内切于P 求证∶PA ·PD=PB ·PC
简证∶过P 作两圆的外公切线MN ∠NPC=∠PBD ∠NPC=∠A
∴∠PBD=∠A ∴DP ∥CA ∴PD PC ＝PB PA
∴PA ·PD=PB ·PC 图11
例5、如图12 ⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，O 1的弦BC 延长切⊙O 2于点D ，
BA ，CA 的延长线分别与⊙O 2交于点E 、F ．
求证：（1）EF ∥BC （2）AD 平分∠CAE
图12
简证：（1）过A 作两圆的内公切线MN 交BD 于N (两圆外切作内公切线) 由弦切角定理得：∠MAF=∠E ∠NAC=∠B
∵∠MAF=∠NAC ∴∠B=∠E ∴EF ∥BC
（2）∵NA 、ND 切⊙O 2于A 、D NA=ND
∴∠NAD=∠NDA 又∠NAC=∠B ∵∠CAD=∠NAC ＋∠NAD ∴∠CAD=∠B ＋∠NDA ∵∠EAD=∠B ＋∠NAD ∴∠CAD=∠EAD
即AD 平分∠CAE
例6、如图13：两圆外切于C ，弦AB 延长切另一圆于E ， 求证：BF FD ＝BC CD
图13
证明思路：CE 是∠BCD 的平分线.
证明∶过C 作两圆的内公切线 MN ，
⎭
⎪⎬⎪⎫∠BCE=∠BCM ＋∠MCE ∠MCE=∠AEC ∠BCM=∠EAC ⎭⎬⎫═ ＞∠BCE=∠EAC ＋∠AEC ∠DCE=∠EAC ＋∠AEC ═
＞∠BCE=∠DCE ═ ＞BF FD ＝BC CD
此外，直径所对圆周角是直角,直角所对是直径.(有时作直径也是不错的辅助线)。