专题训练(七) 圆中常见辅助线归类
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(3)存在点P使△PBD≌△AED.由(1)(2)知，BD＝ED， ∵ ∠ BAC ＝ 60° ， DE∥AB ， ∴ ∠ AED ＝ 120°.∵∠ABC ＝ 60° ， ∴∠PBD＝120°，∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED， 只需PB＝AE＝1
类型之三 遇切线添加过切点的半径
9．如图所示，已知 MN 是⊙O 的直径，直线 PQ 与⊙O 相切于 P 点， NP 平分∠MNQ. (1)求证：NQ⊥PQ； (2)若⊙O 的半径 R＝3，NP＝3 3，求 NQ 的长． 解：(1)证明：连接OP.∵直线PQ与⊙O相切于P点，MN 是 ⊙ O 的 直 径 ， ∴ OP⊥PQ. 又 ∵ NP 平 分 ∠ MNQ ， ∴∠MNP ＝∠QNP ，又 ∠OPN＝∠ MNP ＝∠QNP ， ∴OP∥NQ，∴NQ⊥PQ
九年级数学上册（人教版）
第二十四章 圆 专题训练(七) 圆中常见辅助线归类
类型之一 遇弦加弦心距或半径
1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 P，若 CD＝8，
OP＝3，则⊙O 的半径为( C )
A．10
B．8
C．5
D．3
2．如图所示，⊙O 的半径是 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连
解：(1)证明：连接CO，交DB于E， ∴∠O＝2∠D＝60°.又∵∠OBE＝30°， ∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°. ∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°， ∴AC是⊙O的切线
类型之四 添加辅助线计算阴影面积
(2)∵OE⊥DB，∴EB＝12DB＝3 3.在 Rt△EOB 中，∵EB＝3 3， 由勾股定理可得 OB＝6.又∵∠D＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB， ∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
8．如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交 BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点． (1)求证：△ABC为等边三角形； (2)求DE的长； (3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在， 请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
接 OP，若 OP＝4，∠APO＝30°，则弦 AB 的长是( A )
A．2 5
B. 5
C．2 13
D. 13
第1题图
第2题图
类型之一 遇弦加弦心距或半径
3．如图所示，在半径为 5 的⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，
垂足为 P，且 AB＝CD＝8，则 OP 的长为( C )
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
4．如图所示，AB 是⊙O 的弦，OH⊥AB 于点 H，点 P 是优弧上一
点，若 AB＝2 3，OH＝1，则∠APB 的度数是__6_0_°__．
第3题图
第4题图
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
5．如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝ 50°，则∠D为( C ) A．50° B．45° C．40° D．30°
解：(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC. ∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
(2)连接 BE.∵AB 是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC. ∵△ABC 是等边三角形，∴AE＝EC，即 E 为 AC 的中点． ∵D 是 BC 的中点， 故 DE 为△ABC 的中位线，∴DE＝12AB＝12×2＝1
(2)连接BF.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°，∴∠AEF ＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.在⊙O中， 四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－108°＝72°.由AB是⊙O的直径， 得∠AFB＝90°.∴∠BAF＝90°－∠B＝18°
类型之四 添加辅助线计算阴影面积
11．如图所示，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两个
端点，交直角边 AC 于点 E，B，E 是半圆弧的三等分点，B︵E的长为23π，
则图中阴影部分的面积为( D )
π
A. 9
3π
B. 9
3 C. 2
3－32π
3 D.
2
3－23π
1中2阴．影如部图分所的示面，积AB是是__⊙4_π_O_－_3的_3_直__3径__，_．弦 AC＝2，∠ABC＝30°，则图
第11题图
第12题图
类型之四 添加辅助线计算阴影面积
13．如图所示，点 B，C，D 都在⊙O 上，过点 C 作 AC∥BD 交 OB 延长线于点 A，连接 CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6 3cm.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线；
(2)求由弦 CD，BD 与B︵C所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．
类型之三 遇切线添加过切点的半径
解：(1)连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C时，∴OC⊥l， 得∠OCD＝90°.由AD ⊥l，得∠ADC＝90°.∴AD∥OC， ∴ ∠ ACO ＝ ∠ DAC. 在 ⊙ O 中 ， 由 OA ＝ OC ， 得 ∠ BAC ＝ ∠ ACO ， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°
(2)连接 MP，在 Rt△MNP 中，∵MN＝2R＝6，NP＝3 3， ∴MP＝ MN2－PN2＝3，则∠MNP＝30°，∴∠QNP＝30°.
∴PQ＝32 3.故 NQ＝ PN2－PQ2＝92
类型之三 遇切线添加过切点的半径
10．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D. (1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC 的大小； (2) 如 图 ② ， 当 直 线 l 与 ⊙ O 相 交 于 点 E ， F 时 ， 若 ∠ DAE ＝ 18° ， 求 ∠BAF的大小．
6．如图所示，点A，B，C，D分别是⊙O上四点，∠ABD＝20°， BD是直径，则∠ACB＝_7_0_°___．
第5题图
第6题图
第7题图
7．如图所示，△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若 D是AC的中点，∠ABC＝120°. (百度文库)求∠ACB的大小； (2)求点A到直线BC的距离．
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
解：(1)连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D， ∴∠BDC＝90°.∵D是AC的中点，∴BD是AC的垂直平分线． ∴AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，
即∠ACB＝30° (2)过点 A 作 AE⊥BC 交 CB 的延长线于点 E，∵BC＝3， ∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，∴BD＝32.在 Rt△BCD 中， 由勾股定理可得 CD＝ BC2－BD2＝32 3.∵AD＝CD，∴AC＝3 3. ∵在 Rt△AEC 中，∠ACE＝30°，∴AE＝12AC＝12×3 3＝3 2 3， 即点 A 到直线 BC 的距离为32 3
∴S 阴影＝S 扇形 OCB＝36600π·62＝6π(cm2)
类型之三 遇切线添加过切点的半径
9．如图所示，已知 MN 是⊙O 的直径，直线 PQ 与⊙O 相切于 P 点， NP 平分∠MNQ. (1)求证：NQ⊥PQ； (2)若⊙O 的半径 R＝3，NP＝3 3，求 NQ 的长． 解：(1)证明：连接OP.∵直线PQ与⊙O相切于P点，MN 是 ⊙ O 的 直 径 ， ∴ OP⊥PQ. 又 ∵ NP 平 分 ∠ MNQ ， ∴∠MNP ＝∠QNP ，又 ∠OPN＝∠ MNP ＝∠QNP ， ∴OP∥NQ，∴NQ⊥PQ
九年级数学上册（人教版）
第二十四章 圆 专题训练(七) 圆中常见辅助线归类
类型之一 遇弦加弦心距或半径
1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 P，若 CD＝8，
OP＝3，则⊙O 的半径为( C )
A．10
B．8
C．5
D．3
2．如图所示，⊙O 的半径是 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连
解：(1)证明：连接CO，交DB于E， ∴∠O＝2∠D＝60°.又∵∠OBE＝30°， ∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°. ∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°， ∴AC是⊙O的切线
类型之四 添加辅助线计算阴影面积
(2)∵OE⊥DB，∴EB＝12DB＝3 3.在 Rt△EOB 中，∵EB＝3 3， 由勾股定理可得 OB＝6.又∵∠D＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB， ∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
8．如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交 BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点． (1)求证：△ABC为等边三角形； (2)求DE的长； (3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在， 请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
接 OP，若 OP＝4，∠APO＝30°，则弦 AB 的长是( A )
A．2 5
B. 5
C．2 13
D. 13
第1题图
第2题图
类型之一 遇弦加弦心距或半径
3．如图所示，在半径为 5 的⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，
垂足为 P，且 AB＝CD＝8，则 OP 的长为( C )
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
4．如图所示，AB 是⊙O 的弦，OH⊥AB 于点 H，点 P 是优弧上一
点，若 AB＝2 3，OH＝1，则∠APB 的度数是__6_0_°__．
第3题图
第4题图
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
5．如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝ 50°，则∠D为( C ) A．50° B．45° C．40° D．30°
解：(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC. ∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
(2)连接 BE.∵AB 是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC. ∵△ABC 是等边三角形，∴AE＝EC，即 E 为 AC 的中点． ∵D 是 BC 的中点， 故 DE 为△ABC 的中位线，∴DE＝12AB＝12×2＝1
(2)连接BF.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°，∴∠AEF ＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.在⊙O中， 四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－108°＝72°.由AB是⊙O的直径， 得∠AFB＝90°.∴∠BAF＝90°－∠B＝18°
类型之四 添加辅助线计算阴影面积
11．如图所示，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两个
端点，交直角边 AC 于点 E，B，E 是半圆弧的三等分点，B︵E的长为23π，
则图中阴影部分的面积为( D )
π
A. 9
3π
B. 9
3 C. 2
3－32π
3 D.
2
3－23π
1中2阴．影如部图分所的示面，积AB是是__⊙4_π_O_－_3的_3_直__3径__，_．弦 AC＝2，∠ABC＝30°，则图
第11题图
第12题图
类型之四 添加辅助线计算阴影面积
13．如图所示，点 B，C，D 都在⊙O 上，过点 C 作 AC∥BD 交 OB 延长线于点 A，连接 CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6 3cm.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线；
(2)求由弦 CD，BD 与B︵C所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．
类型之三 遇切线添加过切点的半径
解：(1)连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C时，∴OC⊥l， 得∠OCD＝90°.由AD ⊥l，得∠ADC＝90°.∴AD∥OC， ∴ ∠ ACO ＝ ∠ DAC. 在 ⊙ O 中 ， 由 OA ＝ OC ， 得 ∠ BAC ＝ ∠ ACO ， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°
(2)连接 MP，在 Rt△MNP 中，∵MN＝2R＝6，NP＝3 3， ∴MP＝ MN2－PN2＝3，则∠MNP＝30°，∴∠QNP＝30°.
∴PQ＝32 3.故 NQ＝ PN2－PQ2＝92
类型之三 遇切线添加过切点的半径
10．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D. (1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC 的大小； (2) 如 图 ② ， 当 直 线 l 与 ⊙ O 相 交 于 点 E ， F 时 ， 若 ∠ DAE ＝ 18° ， 求 ∠BAF的大小．
6．如图所示，点A，B，C，D分别是⊙O上四点，∠ABD＝20°， BD是直径，则∠ACB＝_7_0_°___．
第5题图
第6题图
第7题图
7．如图所示，△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若 D是AC的中点，∠ABC＝120°. (百度文库)求∠ACB的大小； (2)求点A到直线BC的距离．
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
解：(1)连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D， ∴∠BDC＝90°.∵D是AC的中点，∴BD是AC的垂直平分线． ∴AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，
即∠ACB＝30° (2)过点 A 作 AE⊥BC 交 CB 的延长线于点 E，∵BC＝3， ∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，∴BD＝32.在 Rt△BCD 中， 由勾股定理可得 CD＝ BC2－BD2＝32 3.∵AD＝CD，∴AC＝3 3. ∵在 Rt△AEC 中，∠ACE＝30°，∴AE＝12AC＝12×3 3＝3 2 3， 即点 A 到直线 BC 的距离为32 3
∴S 阴影＝S 扇形 OCB＝36600π·62＝6π(cm2)