万能解题模型(六) 圆中常见辅助线的作法

D．90°－α
2．如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 的延长线交于点 E.若 DE＝OB，∠AOC
＝84°，则∠E 等于( B )
A．42°
B．28°
C．21°
D．20°
类型 2 与垂径定理有关的辅助线
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段 或连接弧的中点与圆心，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理或锐 角三角函数进行计算．
(1)求证：CD 与⊙O 相切； (2)若 BF＝24，OE＝5，求 tan∠ABC 的值．
解：(1)证明：过点 O 作 OG⊥DC，垂足为 G. ∵AD∥BC，AE⊥BC， ∴OA⊥AD. 又∵DO 平分∠ADC，OG⊥DC， ∴OA＝OG. ∴OG 是⊙O 的半径． ∴DC 是⊙O 的切线．
(2)连接 OF. ∵OA⊥BC， ∴BE＝EF＝12BF＝12. 在 Rt△ OEF 中，OE＝5，EF＝12. ∴OF＝ OE2＋EF2＝13. ∴AE＝OA＋OE＝13＋5＝18. ∴tan∠ABC＝ABEE＝23.
5．如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接
AC，BD.若 AC＝2，则 tanD 的值是(A ) A．2 2
B.2
2 3Leabharlann Baidu
2 C. 4
1 D.3
6．(2019·辽阳)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四点，且点 B 是A︵C的 中点，BD 交 OC 于点 E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝60°．
1 A.2
B．5
53 C. 2
D．5 3
类型 3 与圆周角定理及其推论有关的辅助线
(1)利用圆周角定理求角度时，常构造同弧或等弧所对的圆周角或者圆 心角；(2)遇到直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线 作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质；(3)遇 90° 的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．
3．(2018·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP＝2，
BP＝6，∠APC＝30°，则 CD 的长为(C )
A. 15
B．2 5
C．2 15
D．8
4．(2018·威海)如图，⊙O 的半径为 5，AB 为弦，点 C 为A︵B的中点．若
∠ABC＝30°，则弦 AB 的长为(D )
A．4.5
B．4
C．3
D．2
类型 7 与圆中阴影部分面积的计算有关的辅助线 13．(2019·南充)如图，在半径为 6 的⊙O 中，点 A，B，C 都在⊙O 上， 四边形 OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(A ) A．6π B．3 3π C．2 3π D．2π
7．(2019·连云港)如图，点 A，B，C 在⊙O 上，BC＝6，∠BAC＝30°， 则⊙O 的半径为 6 ．
类型 4 与切线的性质有关的辅助线
已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，从 而构造出直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．
8．如图，在⊙O 中，AD，CD 是弦，连接 OC 并延长，交过点 A 的切 线于点 B.若∠ADC＝30°，则∠ABO 的度数为( B )
第六单元 圆 万能解题模型(六) 圆中常见辅助线的作法
类型 1 连半径——构造等腰三角形
作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，这样就把有关 线段或角的问题转化到三角形中来解答．
1．如图，△ ABC 内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC 等于( D )
A．180°－2α
B．2α
C．90°＋α
(2)∵BC＝4，∴OA＝2. ∴AD＝OA·tan60°＝2 3. ∴S△ AOD＝12AD·OA＝2 3. 又∵S 扇形 AOC＝603π6×04＝23π， ∴S 阴影＝2 3－23π.
10．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AE⊥BC 于点 E，∠ADC 的 平分线交 AE 于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆经过点 B，交 BC 于 另一点 F.
A．20° B．30° C．40° D．50°
类型 5 与切线的判定有关的辅助线
证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证 垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，则需要过圆心作 已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．
9．(2019·齐齐哈尔)如图，以△ ABC 的边 BC 为直径作⊙O，点 A 在⊙O 上，点 D 在线段 BC 的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°.
类型 6 与三角形内切圆有关的辅助线
11．(2019·娄底)如图，边长为 2 3的等边△ ABC 的内切圆的半径为(A )
A．1
B. 3
C．2
D．2 3
12．(2018·河北)如图，点 I 为△ ABC 的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，
将∠ACB 平移使其顶点与 I 重合，则图中阴影部分的周长为( B )
(1)求证：直线 AD 是⊙O 的切线； (2)若直径 BC＝4，求图中阴影部分的面积．
解：(1)证明：连接 OA. ∵AD＝AB，∠D＝30°， ∴∠B＝∠D＝30°. ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠B＝30°. ∴∠AOD＝60°. ∴∠OAD＝180°－30°－60°＝90°. ∴OA⊥AD. 又∵OA 是⊙O 的半径， ∴AD 是⊙O 的切线．