第四章 等离子体中的碰撞

第四章 等离子体中的碰撞
4.1 守恒定律对粒子碰撞的应用
等离子体是多组元弱相互作用粒子的气体。通常采取气体动力学理论中的惯用的处理方 法，在粒子相互作用区域不考虑外场的影响，而在碰撞的间隔部分不考虑粒子相互作用力。 因为相互作用半径比自由程小很多。
这节我们只讨论碰撞的后果——碰撞粒子状态和速度的改变。现在讨论α 类粒子与 β
40
µ d 2r = −gradU (r) dt 2
它等价于一个质量为 µ 的粒子在静止中心对称场U (r ) 中的运动。
r
θ
ξ
ϕ
A
（4-46）
图 4-3
建立散射角与瞄准参数之间的依赖关系，是经典碰撞理论的任务。由方程（4-46）得
守恒定律，其中之一是能量守恒定律
这里 υ = dr r dt
K = µυ∞2 2 = µυ2 2 +U (r)
式中系数
καβ = 2mαmβ (mα + mβ )2
（4-23） （4-24）
表 征 碰 撞 时 能 量 交 换 的 效 率 （ 称 为 能 量 传 输 系 数 ）。 这 个 系 数 当 mα = mβ 取 最 大 值
38
（
κ max
=
0.5 ），当 mα
<< mβ
或
mα >> mβ 时，其数量级为小的质量比。
对于电子与重粒子（原子或离子）碰撞的这一重要情形， mα = me << mβ = ma ，且原
子能量不十分大的条件下（ Ka ≤ Ke 时），则
υα
=
υ e
=
2Ke me
υβ
=υ = a
2Ka ma
电子的速度远远大于重粒子速度，有
（4-25）
υ = υe − υa ≈ υe
µ ea
=
me ma
（4-43）
dυα dt
− dυβ dt
=( 1 mα
+
1 mβ
)Fαβ
（4-44）
即
µαβ
dυ dt
= Fαβ
上式是相对速度方程。 µαβ 是折合质量。
（4-45）
粒子之间的相互作用力，经常可以认为是中心对称的。决定这样的相互作用的势
Uαβ (r ) 仅仅依赖于碰撞粒子之间的距离 r = rα − rβ ，力 Fαβ = −gradU (r) ，则
碰撞前后能量守恒 或
K = K ′ + ∆E
mα υα2 2 + mβ υβ2 2 = mα υα′2 2 + mβ υβ′2 2 + ∆E
（4-3） （4-4） （4-5） （4-6）
这里 ∆E 是碰撞引起的粒子内能的总改变量。
对于弹性碰撞，显然有 ∆E =0。对于非弹性碰撞，可分为第一类碰撞 ∆E ﹥0 和第二
dN ′ = σnυdΩ
（4-40）
具有面积量纲的比例系数σ 表征粒子散射入一定方向的几率。它称为散射微分截面。
39
4.2.2 微分散射截面的经典力学公式
按经典力学，散射入立体角 d Ω 的粒子数等于穿过垂直于入射通量方向的面元的粒子数，
则
dN ′ = nυξdξdϕ
（4-41）
这里ξ 是瞄准参数。比较（4-41）式和（4-40）式，得到微分截面的经典力学公式
对速度 υ 。能量守恒定律可表示为
1 2
M
υ2 o
+
1 2
µαβ υ2
=
1 2
M
υ′2 o
+
1 2
µαβ υ′2
+
∆E
因为在碰撞过程中质心的速度和动能不变 υ = υ′ ，得到
o
o
（4-15）
36
1 2
µαβ υ2
=
1 2
µαβ υ′2
+
∆E
上式表明，总动能 K 中只有对应于相对运动能量的那部分才能转换为内能。
代入（4-17）式，得
∆pα
=
−
mα mβ mα + mβ
(1− cos θ)(υα
− υβ
)
= −µαβ (1− cos θ)(υα − υβ )
（4-19）
从上式看到，动量变化正比于碰撞粒子的相对速度。它对散射角的依赖关系决定于因子
(1 − cosθ ) 。 这 个 因 子 在 对 头 碰 撞 时 （ θ = π , cosθ = −1 ） 取 最 大 值 ， 在 远 碰 撞 时
υαo
=
mβ mα + mβ
υ
（4-10） （ 4-11 ）
υβo
=
−
mα
mα +
mβ
υ
粒子在实验室坐标系中的速度
（4-12）
υα
=
υo
+ υαo
=
υo
+
mβ mα + mβ
υ
υβ
= υo
+ υβo
=
υo
− mα mα + mβ
υ
(4-13）
由(4-13)式，得总动能
K = mα υα2 2 + mβ υβ2 2
为小的质量比 mβ mα 。
碰撞时粒子在实验室坐标系中的动能变化
∆Kα = mα υα′2 2 − mα υα2 2
=
1 2
mα
⎢⎣⎡(υo
+
υα′ o
)2
−
(υo
+
υαo
)2
⎥⎦⎤
=
1 2
mα
⎢⎣⎡υo2
+
2υo
⋅
υα′ o
+
υα′20
−
υ2 o
−
2υo
⋅
υαo
−
υα2o
⎥⎦⎤
= mαυo ⋅ (υα′ o − υαo ) = υo ⋅∆pα
（4-7） （4-8）
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由于动量守恒，质心速度在碰撞过程中是一个常数。因而可以采用质心静止的坐标系，即
υoo = 0 的坐标系，有
mαυαo + mβ υβo = 0
（4-9）
或
υβo
=−
mα mβ
υαo
粒子的相对速度
υ = υα − υβ = υαo − υβo
将（4-10）式代入（4-11）式，得
（4-16）
我们将仔细的讨论弹性碰撞情况，在弹性碰撞下（ ∆E =0），相对速度的大小不会改变，
即υ = υ′ 。下面我们讨论碰撞时粒子动量和动能的变化。α 粒子的动量变化
∆pα = mαυα′ − mαυα = mαυα′ o − mαυαo
=
mα mβ mα + mβ
(υ′ − υ)
=
mα mβ mα + mβ
= exp(ik ⋅r) ， k
=
p =
是波矢
量； p = µυ 是等价粒子的动量。
把方程（4-53）的右边部分看作非齐次项，利用格林函数法，可以形式的将它的解写成
积分形式
∫ ψ(r)
=
[
exp(ik ⋅r) −
µ 2π= 2
exp(ik r − r −r′
r
′
) U
(r
′)ψ (r
′)d
3r
′
]
（4-54）
（4-21）
这里考虑到弹性碰撞 υ'αo 2 =υαo 2 (见（4-12）式)。将（4-8），（4-19）式 ，代入（4-21）式，
得
∆Kα
=
−(
mα υα mα
+ +
mβ υβ mβ
)
mα mβ mα + mβ
⋅ (υα
−
υβ
)(1−
cos
θ)
=
−
mα mβ (mα + mβ
)2
(1−
cos
θ)
(me + ma ) ≈ me
（4-26）
因此，在质心系中的碰撞问题变成了电子在静止原子的场中的运动问题。将（4-26）式代入
到（4-19）式和（4-23）式，得
∆pe = −pe (1−cos θ)
（4-27）
∆Ke = −2(me ma )(Ke − Ka )(1− cos θ)
（4-28）
这里θ 是电子同静止原子碰撞时的散射角。
M
dr
r
υ r
r2 2µ(K −U ) − M r2
=
ξ
r2 1−ξ2 r2 −U K
（4-50） （4-51）
41
上面得到最后一个等式时用到 M = µξυ∞ =ξ 2µK 。积分（4-51）式，得到
∫ π + θ = 2 ∞
ξdr
r rmin r 2 − ξ 2 −U (r)r 2 K
（4-52）
类粒子的碰撞。假设在碰撞过程中不存在外力对粒子的作用。相互作用粒子系统的动量和能
量是不改变的。系统的动量
p = pα + pβ = mαυα + mβ υβ
（4-1）
动量守恒定律
p = p′
（4-2）
或
mαυα + mβ υβ = mαυα′ + mβ υβ′
系统的总动能
K = Kα + Kβ = mα υα2 2 + mβ υβ2 2
= µυ2 r
2 + µυϕ2
2 +U (r)
,
υϕ
=
r
dϕ dt
。其次是角动量守恒
M
=
µξυ∞
=
µ[r×υ] z
=
µrυϕ
（4-47） （4-48）
从（4-47）和（4-48）式，解出υr 和υϕ ，得
υϕ
=
M µr
（4-49）
υ r
=
1 µ
2µ(K −U ) − M r2
源自文库
由上式，可得到轨道方程
dϕ = 1 υϕ =
式中按整个相互作用区域的体积进行积分。碰撞结果决定于远离力心（ r → ∞ ）处波函数
的渐进行为。展开
类碰撞 ∆E ﹤0。原子从基态跃迁到激发态的碰撞是第一类碰撞的例子。伴随逆过程的碰撞
是第二类碰撞的例子。
为了更仔细的研究守恒定律，采用质心坐标系统较为方便。质心坐标和速度
ro = (mαrα + mβrβ ) (mα + mβ )
υo
= dro dt
= (mαυα + mβ υβ )
(mα + mβ )
在电子和原子的非弹性碰撞条件下，将（4-26）式代入（4-16）式，能量守恒定律具有
形式
me
υ′2 e
2
=
me
υ2 e
2 − ∆E
（4-29）
这意味着，重粒子内能的变化等于电子动能的变化；重粒子的动能不变化。这一结论的精确
性到电子和原子的质量比 me ma 。
4.2 碰撞的描述方法
4.2.1 微分散射截面的定义
假设密度为 n 的粒子以速度 υ 轰击散射中心 A。我们来计算在单位时间内散射入给定的
角θ 和ϕ 附近的立体角元 d Ω =sinθdθdϕ 内的平均粒子数 d N' 。显然，散射几率正比于 d Ω 。
同时，散射粒子数正比于轰击通量密度（单位时间通过单位面积的粒子数）。所以，单位时
间内散射入立体角 d Ω 的粒子数等于
4.2.3 微分散射截面的量子力学公式
同经典理论时一样，最容易在质心坐标系中得到问题的解。在这种坐标系中，这个问题
等价于力心散射问题。对于弹性碰撞，问题归结为求给定相互作用势的定态薛定谔方程
∇2ψ + k 2ψ = (2µ = 2 )U (r)ψ
（4-53）这
里k2
=
2µE =2
。没有相互作用的时候，方程的解是平面波 ψ 0
υ ∆υ θ υ′
y
ϕ
x
图 4-1
因为ϕ 角仅决定于粒子的相互位置，所以在对碰撞进行统计研究的时候常按ϕ 作平均。
由于 sin ϕ = cosϕ = 0 , 所以分量 ∆υ(2) 和 ∆υ(3) 等于零，则
∆υ = −(1− cos θ)υ = −(1− cos θ)(υα − υβ )
（4-18）
∆υ
（4-17）
上式的推导用到了（4-12）和（4-13）式。
∆υ
在
υ
方向的投影为
∆υ (1)
=
−υ(1− cos θ)
,在
垂直方向上的两个投影为
∆υ (2)
=
υ
sin
θ
cos ϕ
和
∆υ (3)
=
υ
sin
θ
sin
ϕ
，这里碰撞前后
速度矢量 υ 和 υ′ 之间的夹角 θ 称为散射角，而 ϕ 为方位角。
z
=
1 2
(mα
+ mβ )υo2
+
1 2
mα mβ mα + mβ
υ2
=
1 2
M
υ2 o
+
1 2
µαβ υ 2
（4-14）
其中 M = mα + mβ 为总质量， µαβ = mα mβ /（ mα + mβ ）折合质量。上式右边第一项称为
质心能量，第二项称为相对运动能量。因此，碰撞粒子的运动完全决定于质心速度 υo 和相
σ = (ξ sin θ) dξ dθ
（4-42）
如果已知了θ 与ξ 之间的关系，可由上式确定微分截面。
dϕ ϕ
dξ ξ A
ϕ θ
图 4-2 在经典力学中，两个碰撞粒子的运动方程
dυα = Fαβ , dυβ = Fβα dt mα dt mβ 注意到 Fαβ = −Fβα 是粒子之间的相互作用力，这两个方程之差
式中 rmin 是粒子轨道与散射中心最近距离，由（4-50）式υr = 0 确定。公式（4-52）建立起
散射角θ 与瞄准距离ξ 之间的关系。对于给定的相互作用势U (r ) ，代入公式（4-52），完成
积分，再利用（4-42），可算出微分散射截面。对于排斥力场方程（4-51）式左边该用负号 取代正号。经典力学对于伴随粒子内部状态变化的非弹性碰撞过程的分析是完全不适用的。
37
（θ → 0, cosθ → 1 ）很小。
对与慢粒子 υβ υα 碰撞的情形，由公式（4-19）式，得碰撞时动量的相对损失
∆pα pα
=
−
mα
mβ +
mβ
(1− cos θ)
（4-20）
它的最大值决定于质量比。（i）在轻粒子与重粒子（ mα << mβ ）碰撞的条件下，动量可能
反向： ∆pα pα max = 2 。（ii）在质量大小相近的条件下（ mα ≈ mβ ），动量可能完全损失： ∆pα pα max = 1 。（iii）重粒子与静止轻粒子的碰撞（ mα >> mβ ），动量最大损失的数量级
⎡⎢⎣
mα υα2
−
mβ υβ2
−
(mα
−
mβ
)⋅
υα
⋅
υβ
]
（4-22）
如果 β 类粒子的速度分布各向同性，则在作了相应的平均之后，括号内第三项将等于
零。这时
∆Kα
=
−2
mα mβ (mα + mβ
)2
(1− cos
θ)(
mα υα2 2
−
mβ υβ2 2
)
= −καβ (1− cos θ)(Kα − Kβ )