等离子体电子工程(8)-粒子间的碰撞

气体分子的半径 r 不尽相同，我们取其中比较有代表的数值
r 2 10 10 [m] 。对于 e n 碰撞，碰撞截面 r 2 ，平均热运动速度
ve (8T e / me )1/2 ，则根据公式（2.23）~（2.25）可以得到有关平
均自由程和碰撞频率的数值表达式：
12
1 n2
（2.23）
前面我们已经讲了 e n 碰撞的碰撞截面为 n n 碰撞的 1/4， 所以
e n 碰撞的平均自由程 en 为 n n 碰撞的 en 的 4 倍。
图 2.7 平均自由程 12 （试验粒子 1 在行进中不断与静止粒子 2 发生碰撞） 公式 （2.23） 是在碰撞一方粒子 2 静止不动的假设条件下得到的， 这种模型适用于高速运动的电子与速度较慢的中性粒子（气体分子） 间的碰撞。但是，对于中性粒子间的 n n 碰撞，由于碰撞双方的速
2.2 粒子间的碰撞 等离子体中存在着大量运动着的电子（e） 、离子（i） 、中性粒子 （n） ，它们间不断发生着各种类型的碰撞。如果用 e i 表示电子和离
1 ei ； 子的碰撞，则按照碰撞粒子的种类，共有六种碰撞组合，即○ 2 e e ；○ 3 i i ；○ 4 e n ；○ 5 i n ；○ 6 n n 。前三种为带电粒子间在 ○
1.38 1023[ J / K ] ，把 T， 代入状态方程，可得
n[m 3 ] 1.81 10 20 [来自百度文库P ]Pa
（2.25）
其中，压强 P 的单位为 Pa （帕【斯卡】 ） ，它与常用的压强单位
mTorr
的
换
算
关
系
为
1Pa 7.501mTorr
（1Torr 1mmHg 1.33322 102 Pa ） 。
f ei 2.9 1012 n0 ln / Te3/2 [ Hz ]
（2.27）
其中， 定义为以德拜长度为半径的球内所包含的电子数的 9 倍。 ln 被称为库伦对数， n0 和 Te 对它的影响不大。当 Te 1[eV ] 、
n0 1016 [m 3 ] 时， ln 11.7 ， f ei 3.4 105[ Hz ] 。
体中所有的离子形成的库伦电场都会对试验电子起作用。实际上，离 子周围总是有大量的电子在作无规则的热运动，在它们的屏蔽作用 下，粒子库仑力的有效作用只是在德拜长度 D 【参见公式（3.20） 】 的范围之内。考虑这种效应的严格计算过程请参阅其它书目，在此我 们仅给出有关结果。 当等离子体密度为 n0 [m 3 ] 、 电子温度为 Te[eV ] 时， 电子和 1 价正离子（ Ti Te ）间的碰撞频率为
[1010 m] h / mv 150 / [eV ] 。因此，当波长接近于分子直径的低
能电子与分子发生碰撞时，如果满足衍射的相位条件，那么电子波会 像没有障碍物一样通过，这时的碰撞截面也会变得很小。
图 2.6 稀有气体的电子碰撞截面与冉邵尔效应 3.2.2 平均自由程 由于碰撞是无规则的， 所以粒子在前后两次碰撞之间所走过的路 程（自由程）也是有长有短。从统计平均的角度，现在我们引入平均 自由程（ mean free path） 的概念，即认为粒子每行进距离 就会发 生一次碰撞。为了求出 ，如图 2.7 所示，我们假设空间内充满了密 度为 n2 的粒子 2，而有一个粒子 1 以某一速度进入这个空间中（粒子
f12
v1 n 2 v1 12
较 平 均
（2.24）
比
自
由
程
可
知
，
f en / f nn ( ve / en ) / ( vn / nn ) ( ve / vn ) / 4 2 。
欲求 en 和 f en ，需先求出中性粒子的密度。如果已知气体的压强 P 和温度 T，通过理想气体的状态方程 P nT 可算出气体分子密度 n。气体放电时的温度要比室温高，假定 T 400[ K ] ，波尔兹曼常数
图 2.5 粒子 1 和粒子 2 发生碰撞的瞬间 上述的面面积为
(r1 r2 )2
（2.22）
可见， 越大就意味着越容易发生碰撞。所以，我们用 来衡量 粒子发生碰撞的概率，并称之为碰撞截面。如附录 I 所示，原子、分 子等中性粒子的半径 r 1010 [m] ，它们的碰撞截面 10 20 [m 2 ] 。 这里如果认为粒子和中性粒子的半径大致相等且其值为 r，则 i n 或 n n 碰撞的碰撞截面为 4 r 2 ，由此可见， i n 或 n n 碰 撞的碰撞截面是 e n 碰撞的 4 倍。 如果从上述的刚性球模型考虑，则粒子的碰撞截面 为常数，与 碰撞能量无关。而实际上电子和分子都不是坚硬的球体，发生碰撞时 的作用力将不是力学上的力而是电场力。我们知道，当电子或离子接
2me 104 ， 这时电 mn
子几乎不损失能量。这样，因为电子的能量损失系数非常小，所以弱 电离等离子体的电子温度 Te 比离子温度 Ti 、中性粒子温度 Tn 要高出若 干数量级。但是，诸如在大气压强条件下碰撞十分频繁的时候，粒子 达到热平衡状态，这时会有 Te Tn Ti 。
在公式（2.30）的右边再乘以 cos 。因此，如果对所有入射角度的情 况进行平均，那么能量损失系数则为公式（2.31）的一半，即

2m1m2 (m1 m2 )2
（2.32）
由此可知，对于 n n 碰撞、 i n 碰撞，由于碰撞双方的质量大体相 等，即 m1 ~ m2 ，所以 0.5 ，每次碰撞要损失一半能量。另一方面， 当电子与比它约重 1 万倍的中性粒子碰撞时，
碰撞（inelasitic collision） 。关于非弹性碰撞将在下一节介绍，本节将 讨论弹性碰撞。 在图 2.5 中，碰撞前质量为 m2 的粒子 2 静止不动（ f 2 0 ） ，质 量为 m1 的粒子 1 以速度 v1 沿 x 轴从左侧向粒子 2 运动， 最后发生对心 碰撞。设碰撞后粒子 1 和粒子 2 的速度分别为 v1 ' 、 v2 ' ，那么有下列 两个守恒关系： 动量守恒： m1v1 m1v1 ' m2 v2 ' （2.28）
1 和粒子 2 为不同种类的粒子） 。由图 2.5 中关于 的定义可知，粒子 在距离为 的直线行进过程中，可能发生碰撞的空间范围是以 为底 面，高为 的圆柱，而行进距离 必发生碰撞指的是，在这个圆柱空 间范围内只有一个粒子 2 存在，即 n2 1 。所以，这时粒子 1 和粒 子 2 发生碰撞的平均自由程
近中性粒子时，中性粒子内部就会产生极化现象，出现电偶极子。该 偶极子所产生的电场同电子或离子的相互作用会改变粒子轨迹。 由于 这种极化效应与碰撞粒子的相对速度有关， 所以碰撞截面一般不是常 数，而是能量的函数。特别是，当 Ar 、Kr 等稀有气体（He、Ne 除外） 与电子发生碰撞时，如图 2.6 所示，电子能量 处于 1eV 附近时，其 碰撞会明显地变小， 这种现象被称为冉邵尔效应 （Ramsauer effect） 。 对此现象，经典力学无法解释，必须要借助于考虑了电子波动性的量 子力学。众所周知，电子的波长 随电子动能 而变化，即
如前所述， 库伦碰撞是指在德拜长度的尺度范围内发生的大角度 散射。即使在这种库伦碰撞可以被忽略的条件下，库仑力仍然可以超 出德拜长度面整体地作用于带电粒子， 引起许多粒子同时发生小角度 的散射，即所谓的等离子体集体运动（collective motion） 。其典型的 例子是可传播空间电荷密度变化的等离子体波， 下一章将讲述等离子 体的这种宏观现象。 2.3 弹性碰撞中的能量损失 现在我们来看看粒子间发生碰撞时的能量交换。 碰撞前后动能和 动量均守恒的碰撞称为弹性碰撞（elastic collision） ；而动能或动量在 碰撞前后不守恒并伴随有粒子内能变化的高能粒子碰撞叫做非弹性
en [cm] 4.40 / P[ Pa ]
（有人标注算错，查询资料核实） （2.26）
nn [cm] en / 4 2 0.778 / P[ Pa]
f en [ Hz ] 1.52 107 P[ Pa ] Te [eV ]
2.23 库伦碰撞
相互碰撞的两个粒子中至少有一个为中性粒子时， 只有在两个粒 子发生接触时才会产生作用力， 所以碰撞截面基本是由粒子大小所决 定。但是，带电粒子间发生碰撞时 ，相互间的作用力为库伦力 （ 1/ r2 ） ，所以即使两个粒子离得很远，仍然存在相互作用。也就 是可以认为碰撞截面为无穷大。进一步考虑，等离子体中存在大量的 带电粒子，每个粒子同时受到其它许多粒子的库仑力。因为碰撞的实 质就是粒子的速度和轨道因相互作用力而改变， 所以等离子体内的库 伦碰撞是粒子同时和多个粒子的碰撞，也可以称为多体碰撞。 现在我们考查等离子体中的一个电子（试验电子） 。该电子受到 多个粒子的库仑力的作用，其运动方向不断发生小角度偏转（散射） ， 当速度矢量的偏转角度累积达到 90°时（大角度散射） ，我们就认为 发生了“碰撞” 。但值得注意的是，在发生多体碰撞时，并非等离子
库伦力的作用下发生的碰撞，故称为库伦碰撞。余下的三种，发生的 碰撞的两个粒子至少有一方为中性粒子， 所以只有在两个粒子直接碰 撞接触的瞬间，才会产生相互间的作用力。 2.2.1 碰撞截面 图 2.5 是把粒子看做刚性球，半径分别为 r1 、 r2 的粒子 1 和粒子 2 发生碰撞瞬间的示意图。假设图中粒子 2 静止不动，以粒子 2 的中 心为原点，在 xy 平面上作半径（ r1 + r2 ）的圆。当粒子 1 沿 z 轴向粒 子 2 靠近时，如果粒子 1 的中心在 xy 平面上的投影落在这个圆内， 那么粒子 1 必然会和粒子 2 发生碰撞。

m2v2 '/ 2 4m1m2 1 m1v1 '/ 2 (m1 m2 ) 2
（2.31）
当 m1 m2 时， 1 ，就是说碰撞后粒子 1 损失掉全部动能，而 粒子 2 以碰撞前粒子 1 的速度开始运动。但是，以上讨论是在对心碰 撞这种特殊情况下进行的。对于更一般的碰撞情况，例如，图 2.5 中 粒子 1 碰撞前的速度方向与 x 轴成 角，则碰撞后粒子 2 的速度就需
1 1 1 能量守恒： m1v12 m1v1 '2 m2v2 '2 2 2 2
（2.29）
把它们看作以 v1 ' 和 v2 ' 为未知数的联立方程，求出 v2 ' ：
v2 '
2m1 v1 m1 m2
（2.30）
在上述碰撞过程中粒子 1 损失的动能 就等于碰撞后粒子 2 获 得的动能（ m2 v2 '/ 2 ） 。考虑到这种情况，我们定义粒子的能量损失系 数 为碰撞过程中损失的能量 与碰撞前的能量 1 之比，即
度相当，所以不能把其中一方视为静止。碰撞双方都运动的模型与假 设一方静止的模型相比，粒子间的相对速度较大，单位时间内碰撞次 数较多，所以 自由程相对较小。另外，由进一步计算可得
nn en / 4 2 。这里，离子和中性粒子碰撞时，由于离子比中性粒子
温度高，所以有 nn in 。 1 秒钟内发生碰撞的平均次数称为碰撞频率，如图 2.7 中试验粒 子 1 和粒子 2 的碰撞频率为 f12 ，粒子 1 的平均热运动速度为 v1 ， 则试验粒子 1 秒内行进的路程 v1 f1212 ，于是碰撞频率为