第5讲 直棱柱及表面展开图

第5讲直棱柱及表面展开图
【知识要点】
1.由若干个平面围成的几何体叫多面体；多面体上相邻两个面之间的交线叫多面体的棱；几个面的公共顶点叫多面
体的顶点。

2.棱柱的上下底面平行且全等，每个侧面都是平行四边形。

3.根据侧棱与底面是否垂直，棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的每个侧面都是长方形（含正方形）。

4.根据底面多边形的边数，直棱柱可分为直三棱柱、直四棱柱……长方体和正方体都是直四棱柱。

5.欧拉公式：V+F－E=2(V:顶点数，F: 面数，E: 棱数）。

6.几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）
7.常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②长方体表面积：2（ab+ah+bh）（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高
③正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）
8.几何体的展开图：
（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，立体图形的展开图是平面图形。

（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
9.正方体相对两个面上文字：
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想像。

（2）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
【典型例题】
〖讨论1〗在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是____________．
〖讨论2〗如图是一个正方体纸盒的展开图，当折叠成正方体纸盒时，A点与_______点重合,C点与_______点重合.
〖讨论3〗一个简单多面体的各个面都是三角形，请你说明它的顶点数V和面数F之间的关系为F=2V－4.
学力训练
一．选择题（共15小题）
1．下列各几何体中，直棱柱的个数是（）
A．5B．4C．3D．2
2．七棱柱的侧面是（）第3题A．长方形B．七边形C．三角形D．正方形
3．如图所示，在长方体中，与棱AB平行的棱有（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．下列关于棱柱的说法：①棱柱的所有面都是平面；②棱柱的所有棱长都相等；③棱柱的所以侧面都是长方形或正方形；④棱柱的侧面个数与底面边数相等；⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
5．一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（）
A．10个B．9个C．8个D．7个
6．一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是（）
A．十八边形B．八边形C．六边形D．四边形
7．（2012•台湾）如图1为图2中三角柱ABCEFG的展开图，其中AE、BF、CG、DH是三角柱的边．若图1中，AD=10，CD=2，则下列何者可为AB长度？（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
第7题第8题第9题
8．（2012•佛山）一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（）
A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥
9．（2011•台湾）若下列只有一个图形不是右图的展开图，则此图为何？（）
A．B．C．D．
10．（2011•呼和浩特）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）A．B．C．D．
11. （2012•德州）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（）
A．B．C．D．
12．（2011•河北）将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（）
A．面CDHE B．面BCEF C．面ABFG D．面ADHG
13．（2010•宁波）骰子是一种特的数字立方体（见图），它符合规则：相对两面的点数之和总是7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（）
A．B．C．D．
二．填空题（共2小题）
14．已知三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱，…，由此可以推测n 棱柱有_________个面，_________个顶点，棱有_________条．15．一个直棱柱有7个面，则它有________个顶点，________条棱，表面上至少有______个直角．
三．解答题（共6小题）
16．（2010•宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）
四面体 4 4
长方体8 6 12
正八面体8 12
正十二面体20 12 30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_________．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24
个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
17..下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块．
图号顶点数x 棱数y 面数z
（a）8 12 6
（b）
（c）
（d）
（e）
（1）我们知道，图（a）的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表；
（2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式．
18．如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．
（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条？
（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？
19．如图，是一个无盖立方体盒子，请把下列不完整的展开图补充完整．（请画出三种）
20.马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示）
21.如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．
22.一个简单多面体的各个面都是五边形，请你说明它的顶点数V和面数F满足以下关系式：2V=3F+4。