整体法在非平衡系统中的应用

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“整体法”在非平衡系统中的应用

安徽省五河第二中学 沈 光

我们知道“整体法”在“平衡系统”中的使用是很有效的。对图中（系统整体相对水平面静止）求斜面受到地面的摩擦力，用整体法很容易求出f ＝0。 那么对于系统中有一部分或多部分处于非平衡状态时，“整体法”还能不能方便有效地给予处理呢?

我们从一个简单的例子来探讨一下。

如图一，当质量为m 的小环沿不光滑的竖直杆以加速度a 加速下滑时求地面对M 的支持力。用隔离法解题时应为：

对于m mg －f ＝ma ⑴ 对于M N=Mg ＋f ⑵ 解方程组得：N=Mg ＋mg －ma

从该式可见和系统均处于平衡状态相比，N 比（Mg ＋mg ）小ma 即系 统所受的合外力等于ma ，方向竖直向下。由此可以得出这样一个结论： 系统所受的合外力等于其系统内部各部分质量与其加速度的乘积。用

此方法可使此类问题的解决大为简化。

【例一】 如图二，光滑水平面上有三个等大的带电小球A 、B 、C ，其质量分别为2kg 、3kg 、4kg ，当B 、C 固定，释放A 球时其加速度为4m/s 2。当A 、C 固定，释放B 球时其加速度为-3m/s 2。当A 、B 固定，释放C 球时其加速度为多大？方向如何？

根据上面的方法得：m 1a 1＋m 2a 2＋m 3a 3＝0 即2×4＋3×（－3）＋4a 3＝0 解得：a 3＝－0.25m/s 2

即C 球的加速度大小为0.25m/s 2 方向于A 球的加速度方向相反。

根据牛顿第二定律的分量式，我们还可以把上面的结论表示为：系统在某个方向上的合外力等于其系统内部各部分质量与其在这个方向上的加速度的乘积。

【例二】 如图三，倾角为α、质量为M 的斜面放在粗糙的水平面上，在斜面上一质量为m 的物块沿斜面以加速度a 加速下滑（斜面仍相对水平面静止），求斜面受到的支持力N 和静摩擦力f 。

解：分解加速度如图四 a x =a cos α a y =a sin α 水平方向：∑F X =f=ma x =ma cos α

竖直方向：∑F Y =mg －N=ma y =ma sin α 即N=mg －ma sin α=m(g －a sin α)

由此可见运用此方法将使这一方面的问题大为简化，解题效率大为提高。

图

一 图二 图

三 图

四