第六章 置换群

第六章 置换群

一. 概念题

1.置换群

以n 个数字{}1,2,...,n 间的所有置换操作为元素构成的群，称为n 阶置换群n S 。

2.置换群的类

置换群中有相同轮换结构的元素互相共轭，他们的集合构成置换群的类。

3.置换群的产生子

任两个数字的对换(),i j 可以写成()()()()111i j i j i =，因此n S 中任一置换都可以由

()()()()12,13,14,,1n ⋅⋅⋅这些基本对换中的一些相乘得到，

所以就称这()1n -个与符号'1'对换(){}

1i 为n S 的产生子。 4.杨图

任取一组配分数[]λ，12[][,,......]m λλλλ=，1210,m m j j n λλλλ

=≥≥⋅⋅⋅≥>=∑，画n 格方格

图，分成m 行，左边对齐，第一行含1λ格，第二行含2λ格，以此类推，这样的方格图称为杨图。

5.杨算符

对于给定的杨表，所有横向置换之和称为它的横向算符P p =

∑，所有纵向置换乘其置换宇称之和称为它的纵向算符q

Q q δ=∑，杨算符等于横向算符和纵向算符的乘积，E PQ =。

6.杨盘与正则杨盘

把自然数1到n 填入杨图，得到杨盘。如在杨盘中，同一行中左面数小，同一列中上面数小，则称为正则杨盘。

7.什么是关联杨图？什么是关联表示？

有些杨氏图，像[]4与41⎡⎤⎣⎦，[]3,1与22,1⎡⎤⎣⎦等，分别沿第一个方块的左上角到右下角的对

角线转π角后可以互相重合，称之为关联杨图，这种图对应的不可约表示称为关联表示。

8.正则杨盘的大小

自第一行开始自左至右比较两杨盘的填数，如果都相同，再比较第二行、第三行等，第一次发现填数不同时，填数大的正则杨盘大于填数小的正则杨盘。

9.置换

n 个客体排列次序的变换称为置换。

10.轮换

有一类特殊的群，如果在一个置换中，有（n-1）个客体保持不变，而余下的l 个客体顺序变换，即第1a 个位置的客体排列第2a 的位置，第2a 位置的客体排到第3a 位置，以此类推，最后第l a 位置的客体排到第1a 位置，形成一个循环。则这样的置换叫轮换。

二. 计算题

1.写出对应下列杨表的杨算符。

（1） 1 2 3

4 （2）

1 2

3 4

（1）()()()()()()()()()()()

()()()()()()()

1213231233211412132312332114214314231423143214E E E +++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

=+++++------ （2）()()()()()()()()()()

()()()()()()

()()()()()()12341324123412341321343121432412434212341324132431423214E E E E E ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

=+++--------++++

2.试计算5S 群对应于杨图[]3,2的正则杨图有多少个，并按自小到大的

顺序写出。

杨图形式为

根据构型规则计算：

[]()()()()()()!5!52212011101n ij n d S h λ=

∏==+⨯+⨯+⨯+⨯+ 1 2 3

4 5

1 2 4

3 5

1 2 5

3 4

1 3 4

2 5

1 3 5

2 4

3.计算联系下面两杨表的置换12R ，并验算对应的两杨算符满足如下关

系：112122112122,.p R R p q R R q ==

杨表1y =

杨表2y =

解：()121243341234R ⎛⎫== ⎪⎝⎭

[]()

()[]

112122112122

(12)(13)(23)(123)(321)34(34)(12)(34)(134)(234)(1234)(2134)34(12)(14)(24)(124)(421)(34)(12)(34)(341)(342)(3412)(3421)p R E R p E p R R p =+++++=+++++=+++++=+++++∴=

[]()()[]112122112122(14)34(34)(143)

34(13)(34)(431)q R E R q E q R R q =-=-=-=-∴=

1 2 3 4 1 2 4 3

4.分别自大至小写出置换群56,S S 和7S 的全部杨图。 解：置换群5S 的杨图有：

[][][]22355,4,1,3,2,3,1,2,1,2,1,1.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

置换群6S 的杨图有：

[][][][]223322466,5,1,4,2,4,1,3,3,2,1,3,1,2,2,1,2,1,1.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

置换群7S 的杨图有：

[][][][][]232224323577,6,1,5,2,5,1,4,3,4,2,1,4,1,3,1,3,2,

3,2,1,3,1,2,1,2,1,2,1,1.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦