置 换 群离散数学

➢ 例. σ=
13
2 2
3 4
4 1
5 5
6 6
=（1 3 4）=（3 4 1）=（4 1 3）
➢ 可以把a1，… ，ar中的任意元素ai排在 头一位而改写成
（ai ai+1 … ar a1 … ai-1）
结论：设（a1 a2 … ar ） 是M的轮换，则 （a1 a2 … ar ）-1 =（ ar … a2 a1 ） 证明：往证（ ar … a2 a1 ） （a1 a2 … ar ）=I 命χ为M的任意元
6.3.1 置换的定义
❖ 定义. 设M是一个非空的有限集合，M的 一个一对一变换称为一个置换。
❖ 设M={a1,a2,…,an},则M的置换σ可简记为
σ＝
a1 b1
a2 b2
an bn
， bi=σ(ai)，i=1,2,…,n
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结论：M的置换共有n！个。
M上的置换称为n元置换。 特别地，
若σ(ai)=ai, i=1,2,…,n,则σ为n元恒等置换。 Sn: n！个置换作成的集合。
置换的例
设M={1，2，3}，则有3！=6个3元置换，
所有元素不动：σ1＝
11
2 2
33
一个元素不动：σ2＝
σ4＝
12
2 1
33
11
2 3
23σ 3＝
0个元素不动：σ5＝
12
2 3
31σ6＝
故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}
13
2 2
31
13
2 1
23
置换的乘法
➢ 对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ， 规定στ（a）=σ（τ（a））。
➢ 若χ∈｛a1,…,ar-1｝，设χ=ai，则
(ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (ai)=(ar…a2 a1) (ai+1)= ai ➢ 若χ= ar ,则
(ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (ar)= (ar … a2 a1)(a1)= ar ➢ χ｛a1,…,ar｝，则(ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (x)=x 总之， (ar … a2 a1) (a1 a2 … ar)(x)=I(x)=x 即，（ ar … a2 a1 ） （a1 a2 … ar ）=I 同理， （a1 a2 … ar） （ar … a2 a1） =I
51 =
14
2 5
3 3
4 1
25
στ=
14
2 1
3 2
4 5
53
τσ=
15
2 4
3 1
4 3
25
σ-1=
15
2 1
3 3
4 2
45
τ-1=
13
2 1
3 5
4 4
25
x=σ-1 τ=
11
2 4
3 5
4 2
53y =στ-1=
13
2 2
3 1
4 5
45
n次对称群
n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作 成一个群，称为n 次对称群。 （n 次对称群的
a1 b1
a2 b2
an bn
1
=
b1 a1
b2 a2
bn an
➢ 例. 设σ＝
12
2 4
3 3
4 5
51，τ＝
12
2 5
3 1
4 4
53
求σ2，στ，τσ， σ-1， τ -1 。
并解方程σx=τ, y τ= σ.
解： σ2=
12
2 4
3 3
4 5
51
12
2 4
3 3
4 5
➢ 例. 设σ＝
12
2 1
3 3
44，τ＝
13
2 4
3 1
24
则στ=
13
2 4
3 2
41，
τσ=
14
2 3
3 1
24
≠ στ
置换的乘法的性质
❖ 满足结合律：(στ)ρ=σ(τρ)，σ,τ,ρ∈ Sn。
❖ Sn中有单位元: n元恒等置换，设 为σ0，有：σ0τ=τσ0 ，τ∈Sn
❖ 每个n元置换在Sn 中都有逆元素:
则写法是唯一的(唯一性)。
例.
13
2 1
3 5
4 4
5 2
6 8
7 7
68
=(1 3 5 2)(4)(6 8)(7)=(3 5 2 1)(7)(8 6)(4)
置换的这种表法称为置换的轮换表法
去掉单轮换为轮换表法的省略形式：
(1 3 5 2) (6 8)
证明：
（1）可表性。
设σ是M上置换，任取a1∈M。 ➢ 若σ（a1） = a1，则有轮换（a1）。 ➢ 设σ（a1）= a2， σ（a2）= a3，…。由于M 有限，故到某一个元素ar，σ(ar)必然不能再是 新的元素,即σ(ar) ∈｛a1,…,ar｝。由于σ是一 对一的，已有σ（ai）= ai+1,i=1,2,…,r-1，所以 σ(ar)只能是a1.于是得到一个轮换（a1…ar）。
不相杂轮换
结论：若σ和τ是M的两个不相杂的轮换，
则 στ=τσ.
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs）， σ和τ不相杂。命χ为M的任意元.
➢ 若χ∈｛a1,…,ar｝，设χ=ai，则 στ(χ)=στ(ai)=σ(ai) = ai+1， τσ(χ)=τσ(ai)=τ(ai+1)=ai+1 。 i=r时, ai+1 应改为 a1 。 故,στ(χ)=τσ(χ)。
不相杂轮换
➢ 同 理 可 证 ， 若 χ∈ ｛ b1,…,bs ｝ ， 也 有 στ （χ）=τσ（χ）。
➢ 若χ {a1,…,ar,b1,…,bs}, 于是， στ（χ）=σ（χ）=χ， τσ（χ）=τ（χ）=χ。 综上，στ（χ）=τσ（χ），故 στ=τσ。
定理6.3.2 任意置换σ恰有一法写成不相杂轮 换的乘积。即，任意置换σ可以写成不相杂轮 换的乘积（可表性），如果不考虑乘积的顺序，
不相杂轮换
➢ M的两个轮换 σ=(a1…ar)和τ=(b1…bs)说 是不相杂或不相交，如果 a1,…,ar和b1,…,bs都 不相同(即{a1,… ,ar}∩{b1,…,bs}= ) ➢ 例.设M={1,2,3,4,5,6,7}， （1 3 4）与（6 3 7）是相杂轮换， （1 3 4）（6 3 7）=（1 3 7 6 4）， （6 3 7） （1 3 4）=（1 7 6 3 4）; （1 3 4）与（2 5）是不相杂轮换， （1 3 4）（2 5）= （2 5） （1 3 4）
2 2
3 1
nn 12
2 1
3 3
n n
12
2 3
3 1
n n
6.3.2 置换的轮换表法 轮换的定义
➢ 轮换. 设σ是M的置换，若可取到M的元素
a1, …,ar 使 σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1， 而σ不变M的其余的元素，则σ称为一个轮换，
记为 （a1 a2 … ar ）
任一子群称为n 次置换群。 ）
n=1，M={a}，
S1={
a a
}—在置换的乘法下作
成1次对称群，为Abel群。
n=2,
M={a，b},
S2={
a a
b b
,
a b
b a
}
在置换的
乘法下作成2次对称群，为Abel群。
当n≥ 3时，
12
2 1
3 3
n n
13
2 2
3 1
nn
13
2 1
3 2
nn
Sn不是Abel群。13