离散数学 第十章+群与环
离散数学--第十章群，环，域
离散数学--第⼗章群，环，域群基本定义设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为⼆元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群（代数系统的前提不要忘，详情可看第九章）如果半群中有单位元==> 含⼳半群|独异点含⼳半群还有逆元==>群通常记作G群中的⼆元运算可交换==>交换群|阿贝尔群Klein四元群特征：1. 满⾜交换律2. 每个元素都是⾃⼰的逆元3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素平凡群只有单位元有限群群中元素有限⼦群如果把群看成集合，⼦群就是⼦集中能满⾜群定义的⼀个集合（可以有多个集合）群是代数系统，最基本要满⾜封闭性！真⼦群就类似真⼦集⼦群判定定理：设G为群，H是G的⾮空⼦集. H是G的⼦群当且仅当∀a,b∈H 有ab−1∈H（感觉很懵逼）证必要性显然. 只证充分性. 因为H⾮空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa−1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea−1∈H，即a−1∈H. 任取a,b∈H，知b−1∈H. 再利⽤给定条件得a(b−1)−1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的⼦群.⽣成⼦群：设G为群，a∈G，令H={a k| k∈Z}，则H是G的⼦群，称为由 a ⽣成的⼦群，记作<a>例如：Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有⽣成⼦群是：<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.则偏序集< L(G), ⊆ >称为G的⼦群格就相当于⼦群先变成偏序集然后就满⾜了格的定义？因为是⼦群所以叫⼦群格？右（左）陪集设H是G的⼦群，a∈G.令Ha={ha | h∈H}称Ha是⼦群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.相当于右（左）乘a所得的集合？循环群设G是群，若在G中存在⼀个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，元素a为循环群G的⽣成元。
离散数学重点笔记
第一章，0命题逻辑素数 = 质数，合数有因子和或假必真同为真(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。
若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(┐p∧q)→┐r公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值第二章，命题逻辑等值演算（1）双重否定律⌝⌝A⇔A（2）等幂律 A∧A⇔A ； A∨A⇔A（3）交换律 A∧B⇔B∧A ； A∨B⇔B∨A（4）结合律（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）；（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）（5）分配律（A∧B）∨C⇔（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C⇔（A∧C）∨（B∧C）（6）德·摩根律⌝（A∨B）⌝⇔A∧⌝B ；⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B（7）吸收律 A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A（8）零一律 A∨1⇔1 ； A∧0⇔0（9）同一律 A∨0⇔A ； A∧1⇔A（10）排中律 A∨⌝A⇔1（11）矛盾律 A∧⌝A⇔0（12）蕴涵等值式 A→B⇔⌝A∨B（13）假言易位 A→B⇔⌝B→⌝A（14）等价等值式 A↔B⇔（A→B）∧（B→A）（15）等价否定等值式 A↔B⇔⌝A↔⌝B⇔⌝B↔⌝A（16）归缪式（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝AA i(i=1,2,…,s)为简单合取式，则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式主范式【∧小真，∨大假】∧成真小写【例】(p→q)→(┐q→┐p)= ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)= (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式)= (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) （*）= m2∨m0∨m1∨m1∨m3= m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：┐p = ┐p∧(┐q∨q)= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)q = (┐p∨p)∧q= (┐p∧q)∨(p∧q)熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。
群、环、域的基本概念与性质
群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两 个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核， 记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规 子群。
感谢观看
域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关， 是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领 域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解 性等问题。
THANKS
子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构 成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对 于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则 称$I$是环$R$的理想。
《离散数学课件》群与环3
定理的证明(续)
设G=(g)是一个n阶有限循环群，则gn=e，且对于任意的小于n 的正整数m，gm≠e。所以，对于任意的小于n大于等于0的二个 整数m1，m2，若m1≠m2，则gm1≠gm2。 即 G={g, g2, ..., gn-1, g0=e}， 而模n的整数加群为 (Zn，)， 这里Zn={0, 1, 2, ..., n-1}。 作映射φ ，对于任意的i ∊ Zn， φ( i)=gi。 显然φ是一个满射且也是一个单射，即φ是一个双射。 对于任意的i，j ∊ Zn， 若i+j ≤ n-1， φ (i j)=φ (i+j)=gi+j =gi ∘ gj=φ(i)∘φ(j)， 若i+j ≥ n， φ (i j)=φ (i+j-n)=gi+j-n=gi+j-n∘gn =gi+j=gi ∘ gj=φ(i)∘φ(j) 。 所以φ也即是同构映射，从而 (Zn， )同构于(G，∘)。
A2={0, 3}，
A3={0, 2, 4}，
和Z6本身。
14/34
例 S3= { (1), (12), (23), (13), (123), (132)}
S3的所有子群为: {(1)}
∘ (1) (12) (13) (23) (123) (132)
(1)
(12) (13) (23)
(1)
(12) (13) (23)
25/34
由子集A生成的子群(A)
设(G，· )是一个群，Ø≠A⊆G， 设想给出G的一个子群A’，有性质： ◆A’ ⊇A， ◆且若有B是G的子群，B⊇A，则B⊇A’。 这样的子群A’称为由子集A生成的子群，记 (A)=A’。
3/34
循环群
第十章 群与环
设<S ； >是一独异点，若<T ； >是
6
例8
令2 Z
对于独异点<N；+ > , 子集N2，N3，N4，…
2n | n N, Z3 3n | n N, Z4 4n | n N,
则<Z2 ；+ >，<Z3 ；+ >，<Z4 ；+ >都是 <N ；+>的 子独异点。
25
对于任意a∈G，
a0=e,
a n1 a n a ( n = 0, 1 , 2, …)
（a-1)0=e, ( a 1)n1 (a 1)n a 1 (n=0,1,2,…) （*）
引进记号 a n (a 1)n a 1 a1 a1 ( n个a-1 )
28
又例如（a2）-3=a-6 因为 (a ) (( a ) ) (a ) (a ) (a )
2 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1
根据结合律 a) (a 1 a 1 ) (a 1 a 1 ) (a a) e (a 所以 a) 1 a 1 a 1 (a 因此 2 ) 3 (a 1 a 1 ) (a 1 a 1 ) (a 1 a 1 ) (a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 (a 1 ) 6 a 6
例6
对于半群
<Z+；+>，
Z+的子集
都是<Z+；+>的子半群。
5
例7 对于半群 <S； >的任一元素 a ∈ S ，
离散数学 代数系统(1)
例10.1.7 设R为实数集， 为集合R上的二元运算，对任意
的a，b∈R，a b=a+2b，问这个运算满足交换律、结合律 吗？
解 因为2 3=2+2×3=8，而3 2=3+2×2=7，23≠3 2，故
该运算不满足交换律。
又=2因+2为×（（23 +32）× 44）=（=223+，2×（32） 3+）2 ×44≠=216 （，3而 42） （，3 故4）该运
运算在A上满足结合律。
例10.1.6 设A为非空集合， 为集合A上的二元运算，对任意 的a，b∈A，ab=a，证明 是可结合的。
证明 因为对于任意的a，b，c∈A，
（a b） c=a c=a，而a （b c）= a b=a， 所以有（a b）c= a （b c），因此运算是可结合的。
10.1 二元运算及其性质
b∈Z，a b =2a+b，问运算是否可交换？
解：因为
a b=2a+b=2 b +a=b a，
所以是可交换的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定 都有义（10x.1 .4y）设 z=为x集 （合y Az）上，的则二称元该运二算元，运若算对是任可意结x，合y的，，z∈也A称，
有零元；对于乘法运算来说，1是单位元，0是零元。
例 设有一个由有限个字母组成的集合X，叫字母表，在X 上构造任意长的字母串，叫做X上的句子或字，串中字母 的个数叫做这个串的长度，且当一个串的长度n=0时用符 号∧表示，称作空串。这样构造出了一个在X上的所有串 的集合X*。
10.1 二元运算及其性质
10.2 代数系统
例 设代数系统（A，*），其中A={x，y，z}，*是A上的 一个二元运算。对于表10.2-1中所确定的几个运算，试分 别讨论它们的交换性、等幂性，并且讨论在A中关于*是 否有零元及单位元，如果有单位元，那么A中的元素是否 有逆元。
离散数学中的群与置换群
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象及其性质，其中一个重要的概念就是群。
群是代数学中的基本概念，也是离散数学中的重要内容之一。
在离散数学中，群与置换群是研究最广泛和最基础的对象之一。
群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成。
这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在以及每个元素都有逆元这四个条件。
群是离散数学中的基本代数结构，它有着丰富的性质和应用。
在群的定义中，如果二元运算满足交换律，那么这个群就是一个交换群，也叫做阿贝尔群。
交换群是群论中的一个重要分支，其运算满足交换律使得它有更简单的性质和结构。
而对于非交换群，它们的性质则更加丰富和复杂。
置换群是群论中的一个重要的研究对象。
置换是一种将集合中的元素重新排列的操作，通过置换操作，可以将一个有限集合的元素按不同的方式重新排列，从而得到不同的置换。
置换群是由这些置换操作以及对应的运算所构成的群。
置换群的运算是将两个置换组合起来进行的。
对于置换群中的每一个置换，都有一个逆置换存在，使得进行逆置换后再进行置换得到原来的置换。
同时，置换群还有一个单位元，就是将所有元素按照原始排列摆放的置换。
这样，置换群的定义满足了群的四个条件。
在置换群中，置换可以用不同的形式进行表示。
一种常见的表示方法是使用环表达式。
环是一个由元素以及它们之间的运算组成的结构，其中每个元素对应一个置换。
通过环表达式，我们可以方便地进行置换群的运算和推导。
置换群的研究具有广泛的应用价值。
在密码学中，通过使用置换群可以对信息进行加密和解密，保护信息的安全性。
在计算机图形学中，置换群可以用来描述、操作和分析图形的对称性质。
在量子力学中，置换群的概念也有着重要的应用，用于描述和分析微观粒子的性质和行为。
综上所述，离散数学中的群与置换群是该领域研究的基本对象之一。
群作为一种代数结构，具有独特的性质和应用。
而置换群则是群论中的一个重要分支，它通过置换操作和运算构成了一个群。
置换群的研究在密码学、计算机图形学和量子力学等领域具有广泛的应用。
离散数学-群
.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定理11.17 设<G，>为有限群,那么当G的非空子
集H对 运算封闭时, <H，>即为G的子群.
定理11.18 设<H，>为<G，>的子群，那麽
（1）当gH时， gH = H（Hg = H）。 （2）对任意gG， gH = H （ Hg = H ）.
.
群
1.1 群及其基本性质
定理11.13
有限群G的每个元素都有有限阶, 且其阶数不超过群G的阶数 G .
.
群
1.1 群及其基本性质
定理11.14
设<G，>为群,G中元素 a 的阶为 k, 那么, an = e当且仅当 k 整除 n .
定理11.15
设<G，>为群，a为G中任一元素， 那么 a 与 a-1 具有相同的阶．
或者aH = bH（Ha = Hb）， 或者 aH∩bH = （Ha∩Hb = ）．
定理0 设<H，>为有限群<G，>的子群
那么H阶的整除G的阶．
.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定义11.11 设<H，>
为群<G，>的子群。
定义 G上H的左(右)
陪集等价关系～。
对任意a,bG a～b当且仅当a，b 在H的同一左（右） 陪集中
.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定义11.9
设<G，>为群．称<H，
G的子群(subgroups)，
如果<H，>为G的 子代数 ，且<H，>为一群．
.
群
离散数学环与域详解
设A为有１的环，a∈A，如果a在〈A，·〉中有逆 元，则称a为A中的可逆元．并把a在半群〈A，·〉 中的逆元，称为a在环A中的逆元，用a -1表示． 有１的环A中所有可逆元在乘法运算下构成一个群 （？），该群记为A*，并称为环A的乘法群.
§6.2
整环、除环和域
(1)
6.2.1 零因子 设 <A,,*> 是环，如果存在 a,bA，
am+n = am+an = (m+n)a;
amn = (am)n = n(ma)。
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
6.1.2 环的性质
（2）假设 e 是<A,+>的单位元，对a,b,cA有：
①a*e=e*a=e
(0*a=a*0=0)
<Z,+, > , +单位元0，是 的零元
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
6.1.2 环的性质
（2）假设 e 是<A,+>的单位元，对a,b,cA有：
③ a-1 * b-1 = a * b
例<Z,+, > , +单位元0，是的零元
2-1 3-1 = 2 3 =6
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
<e,e>记为e, <e,a>记为a, <a,e>记为b, <a,a>记为c,
2019/1/15
<K,*>是Klein四元群。K={e,a,b,c};
“.”运算定义如下，则<K,*，.>是环。
离散数学讨论课(群环格域布尔代数)
图像的边缘 .
算法见pdf 文件
格 论：L为非空集合，+和。是L上的两个二院运算，如果他们满足交换
律、结合律、吸收律，则代数系统（L,+,。）为格，也称作代数格。 交换律：a+b=b+a，a。b=b。a
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)， (a。b)。c=a。(b。c)
吸收律：a+ (a。b)=a，a。(a+b)=a
环论和格论
环 的 基 本 定 义 整环 域
格 的 基 本 定 义 分配格 有界格
补格
布尔代数
环 的 定 义：设有代数系统（Ｒ，+，。），若满足以下条件：
（１）、（Ｒ，+）为可换群；（即满足交换律、结合律、存在零元、 负元） （２）、（Ｒ，。）为半群；（即满足结合律） （３）、运算。对+满足分配律，即对任意ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，存在
的一些基本概念（如：时域和频域信号空间的群同
构关系） （３）、椭圆曲线密码的应用等
组合群论在密码学中的应用 用群论的基础知识理解信号处理中的一些基本 概念(如：时域和频域信号空间的群同构关系)
椭圆曲线密码的应用
椭圆曲线密 码的应用
无线网络操作模式由 3 部分组成 : ① 移动用户。 能从一个代理范围移动到另一个代理范围 ; ②地点固定的代理。 它如同一个调停机构 , 协调移动用户和服务器之间的通信服务 ; ③ 服务器。 当移动用户从一个地区到另一个地区时 , 它能选择一个合适的代理 , 实现与服务器和 其它移动用户之间的通信。为了保证用户的合法接入和信息的安全传输 , 一般需要 做到如下 5 点： 【1】访问控制。确保接入用户合法。此过程可以通过移动用户的 MAC 地址和用户 的相关信息来实现。 【2】身份认证。确保对方为其所声称的用户及数据的完整性 , 通过数字签名技术实 现。 【3】不可否认性。确保其发出的信息事后无法抵赖 , 通过数字签名实现。 【4】数据完整性。防止信息被截获后数据被更改重新发送 , 通过消息认证码 ( MAC ) 和数字签名来实现。 【5】保密性。信息在传输中即使被截获 , 因截获者无法破解而毫无意义。通过数据 的加密来实现。 密码应用中常使用的两类椭圆曲线为定义在有限域 GF ( p ) 上的素曲线和在有限域 GF(2n )上的二元曲线。素曲线计算不需二元曲线所要求的位混淆运算 , 对软件应用 而言 , 最好使用素曲线 ;而对硬件应用而言 , 则最好使用二元曲线 , 它可用很少的门 电路来得到快速且功能强大的密码体制 。
离散数学第10章——半群与群
e a b c
e e a b c
a a e c b
b c b c c b e a a e
特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结 果都等于剩下的第三个元素
二、群的定义、术语、实例
定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无 限群. (2) 只含单位元的群称为平凡群. (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换 群或阿贝尔 (Abel) 群.
方法：根据定义验证，注意运算的封闭性
2. 设V1= <Z, +>, V2 = <Z, >,其中Z为整数集合, + 和 分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S 是否构成V1和V2的子半群和子独异点. (1) S= {2k | kZ} (2) S= {2k+1 | kZ} (3) S= {1, 0, 1}
定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最
小正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元.
若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元. 在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
(3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算 构成环. (4) 设Zn＝{0,1, ... , n－1}，和分别表示模n的加 法和乘 法，则<Zn,,>构成环，称为模 n的整数 环.
定义10.13 设<R,+,· >是环
(1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称R是交换环 (2) 若环中乘法 · 存在单位元，则称R是含幺环 (3) 若a,b∈R，ab=0 a=0∨b=0，则称R是无零因 子环 (4) 若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R 是整环
离散数学 群与环89页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
离散数学 群与环
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
离散数学 第十章、群与环
子群判定定理3 子群判定定理
定理10.7 （判定定理三） 判定定理三） 定理 为群， 是 的非空有穷子集 的非空有穷子集， 设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当 为群 是 的子群当且仅当 ∀a,b∈H有ab∈H. ∈ 有 ∈ 必要性显然. 为证充分性， 证 必要性显然 为证充分性，只需证明 a∈H有a−1∈H. ∈ 有 任取a∈ 任取 ∈H, 若a = e, 则a−1 = e∈H. ∈ 若a≠e，令S={a,a2,…}，则S⊆H. ， ， ⊆ 由于H是有穷集 必有a 是有穷集， 由于 是有穷集，必有 i = aj（i<j）. ） 根据G中的消去律得 aj−i = e，由a ≠ e可知 j−i>1，由此得 根据 中的消去律得 − ， 可知 − ， −− −− a j−i−1a = e 和 a a j−i−1 = e −− 从而证明了a 从而证明了 −1 = a j−i−1∈H.
8
群的性质： 群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： 为群， 中的幂运算满足： 定理 中的幂运算满足 (1) ∀a∈G，(a−1)−1=a ∈ ， (2) ∀a,b∈G，(ab)−1=b−1a−1 ∈ ， (3) ∀a∈G，anam = an+m，n, m∈Z ∈ ， ∈ (4) ∀a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z ∈ ， ∈ (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn. 为交换群， 为交换群 的逆元， 也是 的逆元. 也是a 证 (1) (a−1)−1是a−1的逆元，a也是 −1的逆元 根据逆元唯一 等式得证. 性，等式得证 (2) (b−1a−1)(ab)= b−1(a−1a)b = b−1b = e, (ab)( b−1a−1)=e， 同理 ， 的逆元. 故b−1a−1是ab的逆元 根据逆元的唯一性等式得证 的逆元 根据逆元的唯一性等式得证.
群环域的基本概念
群环域的基本概念嗨，朋友！今天咱们来聊聊数学里特别有趣的几个概念：群、环、域。
你可别一听是数学就皱眉头，这几个概念就像神秘的宝藏，一旦你开始了解，就会被它们深深吸引。
先来说说群吧。
想象一下，你和一群小伙伴在一起玩一种特别的游戏。
这个游戏有一些规则，就像群有它自己的规则一样。
比如说，有一个操作（我们在数学里叫它运算），就好比是小伙伴们之间互相击掌这个动作。
每两个小伙伴击掌之后，结果还是一个小伙伴（在群里这叫封闭性，就是经过运算后的结果还在这个群里）。
而且不管谁先击掌谁后击掌，只要是这两个人击掌，结果都是一样的（这就是结合律）。
还有一个特殊的小伙伴，他自己击掌就相当于什么都没做，这个小伙伴就像群里的单位元。
对于每个小伙伴来说，都有另一个小伙伴，他俩击掌就相当于回到那个什么都没做的状态（这就是逆元）。
你看，这样一个小伙伴的群体，是不是很像群的概念呢？我有个朋友小明，他一开始也觉得群特别抽象，但是当我这么给他一解释，他就说：“哎呀，原来群就是这么回事啊，还挺好玩的呢！”再来说环。
这就像是在群的基础上又加了一些新东西。
你可以把环想象成一个超级市场。
这个超级市场里有两种商品，我们就把它们当作两种运算吧。
一种运算就像是加法，在这个超市里，加法和群里的那种规则很像，有封闭性、结合律，还有单位元（就是0啦，任何数加0还是那个数）和逆元（相反数）。
但是呢，还有另一种运算，像是乘法。
这个乘法也有自己的规则，它和加法之间还有一些联系。
比如说，乘法对加法有分配律。
就好像在超市里，买多个东西打折的计算方式和单独买东西然后加起来的价格有一定的关系。
我和我的同学小红讨论环的时候，小红就感叹：“这环还真是复杂又有趣呢，就像一个有很多机关的神秘盒子。
”最后就是域啦。
域就像是一个更高级的存在。
你可以把域想象成一个魔法王国。
在这个王国里，除了有像环里的加法和乘法两种运算，而且除法也变得很神奇。
在这个魔法王国里，几乎每个元素（就像王国里的每个小魔法生物）都可以做除数（当然除了0这个特殊的家伙，就像王国里有一个特殊的不能用来做某种魔法操作的东西）。
离散数学中路径与圈知识点详解
离散数学中路径与圈知识点详解离散数学是计算机科学中的重要基础学科之一，路径与圈是其中的核心概念之一。
在这篇文章中，我们将详细解释路径与圈的概念和相关知识点，以帮助读者更好地理解和应用离散数学中的路径与圈。
一、路径的定义与性质在图论中，路径是指由图中的顶点和边所构成的序列。
形式化地说，路径可以定义为一个顶点的非空序列，其中顶点之间通过边相连。
路径的长度等于路径中边的数量。
路径具有以下性质：1. 路径可以是有向的或无向的，具体取决于图的类型。
2. 在有向图中，路径可以是有向边的序列，顶点之间按照边的方向顺序相连。
3. 在无向图中，路径可以是顶点的序列，顶点之间通过边相连，但没有方向之分。
4. 路径的长度可以通过统计路径中的边数来计算。
二、圈的定义与性质在图论中，圈是指起点和终点相同的路径。
圈也被称为环或回路。
形式化地说，圈可以定义为一个顶点的非空序列，其中起点和终点相同，而且路径中除起点和终点之外的顶点是互不相同的。
圈具有以下性质：1. 圈可以是有向的或无向的，具体取决于图的类型。
2. 在有向图中，圈是有向边的序列，起点和终点相同。
3. 在无向图中，圈是顶点的序列，起点和终点相同，且路径中除起点和终点之外的顶点不重复。
4. 圈的长度等于圈中边的数量。
三、路径与圈在离散数学中的应用路径与圈在离散数学中有广泛的应用，特别是在图论、网络分析和算法设计中。
以下是路径与圈常见的应用场景：1. 最短路径问题：在给定图中寻找两个顶点之间的最短路径。
最短路径算法，如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法，就是基于路径的概念来设计的。
2. 图的连通性：路径与圈可以帮助我们判断一个图是否连通，即是否存在路径或圈连接图中的所有顶点。
3. 图的环路检测：通过检测图中是否存在圈，可以判断图是否有环。
在拓扑排序和关键路径分析中，环路检测是一个重要的步骤。
4. 调度问题：路径与圈可以用来解决任务调度问题，如在工厂中优化生产流程，或在计算机网络中优化数据传输路径等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
实例
例2 设G={ e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，称为Klein 四元群
e e a b c
a
b
c
特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元
e a a e b c c b
b c c b e a a e
3. a, b, c中任何两个元素运算结
果都等于剩下的第三个元素
9
群的性质：方程存在惟一解
定理10.2G为群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且 仅有惟一解. 证 a1b 代入方程左边的x 得 a(a1b) = (aa1)b = eb = b 所以a1b 是该方程的解. 下面证明惟一性. 假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有 c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b 同理可证ba1是方程 ya=b的惟一解. 例3 设群G=<P({a,b}),>，其中为对称差. 解下列群方程： {a}X=，Y{a,b}={b} 解 X={a}1={a}={a}， Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}
第十章 群与环 主要内容
群的定义与性质 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
1
10.1 群的定义与性质
半群、独异点与群的定义 半群、独异点、群的实例 群中的术语 群的基本性质
2
半群、独异点与群的定义
定义10.1
(1) 设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可
17
左陪集的定义与性质
设G是群，H是G的子群，H 的左陪集，即 aH = {ah | h∈H}，a∈G
18
Lagrange定理
定理10.12 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则 |G| = |H|· [G:H] 其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在 G 中的指数. 证 设[G:H] = r，a1,a2,…,ar分别是H 的r个右陪集的代表元素， G = Ha1∪Ha2∪…∪Har |G| = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1,2,…,r, 得 |G| = |H|· = |H|· r [G:H]
1 2 3 4 5 5 3 2 1 4 ,
1 2 3 4 5 4 3 1 2 5
定义10.12 设σ,τ是n元置换, σ和τ的复合σ ∘τ 也是n元置换, 称为σ与τ 的乘积, 记作σ τ. 例如
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 1 3 4 2 , 1 2 5 3 4
6
群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e n 1 n a a (a 1 )m
n0 n0 n 0, n m
群中元素可以定义负整数次幂. 在<Z3, >中有 23 = (21)3 = 13 = 111 = 0 在<Z,+>中有 (2)3 = 23 = 2+2+2 = 6
对任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡 子群.
12
子群判定定理1
定理10.5（判定定理一） 设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当 (1) a,b∈H有ab∈H
(2) a∈H有a1∈H.
13
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
结合的，则称V为半群. (2) 设V=<S,∘>是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V 是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=<S,∘,e>.
(3) 设V=<S,∘>是独异点，eS关于∘运算的单位元，若
aS，a1S，则称V是群. 通常将群记作G.
3
实例
例1 <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普 通加法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点
23
实例
例10
(1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则(12)=4. 小于12且
与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理10.13可知 a, a5, a7 和 a11是G的生成元. (2) 设G=<Z9,>是模9的整数加群，则(9)=6. 小于9且与9互 素的数是 1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理10.13，G的生成元是1, 2,
25
n元置换的轮换表示
设 S = {1, 2, …, n}，对于任何S上的 n 元置换 , 存在着一个 有限序列 i1, i2, …, ik, k≥1, (可以取i1=1) 使得 (i1) = i2, (i2) = i3, …, (ik1) = ik, (ik) = i1 令 1 = (i1 i2 … ik), 是 分解的第一个轮换. 将 写作 1, 继续对 分解. 由于S 只有n 个元素, 经过有限步得到 = 1 2 … t 轮换分解式的特征 轮换的不交性 分解的惟一性: 若 = 12 …t 和 = 12 …s 是的两个轮换表示式，则有 { 1, 2, …, t } = {1, 2, …,s }
14
典型子群的实例:生成子群
定义10.6 设G为群，a∈G，令H={ak| k∈Z}， 则H是G的子群，称为由 a 生成的子群，记作<a>. 实例： 例如整数加群，由2生成的子群是 <2>={2k | k∈Z}=2Z <Z6, >中，由2生成的子群<2>={0,2,4} Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有生成子群是： <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.
正整数有4个： 1, 5, 7, 11，
所以(12)=4.
21
证明
证 (1) 显然<a1>G. ak∈G， ak=(a1)k <a1>， 因此G<a1>，a1是G的生成元. 再证明G只有a和a1这两个生成元. 假设 b 也是G 的生成元， 则 G=<b>. 由a∈G 可知存在整数 t 使得a = bt. 由b∈G = <a> 知存在整数 m 使得 b = am. 从而得到 a = bt = (am)t = amt 由G中的消去律得 amt1 = e 因为G是无限群，必有mt1 = 0. 从而证明了m = t = 1或 m = t = 1，即 b = a 或 b = a1
5
有关群的术语
定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无
限群. 群G 的基数称为群 G 的阶，有限群G的阶记作|G|. (2) 只含单位元的群称为平凡群.
(3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝
尔 (Abel) 群. 实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
4, 5, 7和8.
(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那么G只有 两个生成元：3和3.
24
n 元置换及乘法
定义10.11 设 S = {1, 2, …, n}, S上的任何双射函数 σ:S→S 下述为5元置换
8
群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn. 证 (1) (a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元. 根据逆元唯一 性，等式得证. (2) (b1a1)(ab)= b1(a1a)b = b1b = e, 同理 (ab)( b1a1)=e， 故b1a1是ab的逆元. 根据逆元的唯一性等式得证.
22
证明
(2) 只须证明：对任何正整数 r ( r≤n)， ar是G的生成元 n与r互质.
充分性. 设r与n互质，且r≤n，那么存在整数 u 和 v 使得 ur + vn = 1 从而 a = aur+vn = (ar)u(an)v = (ar)u 这就推出ak∈G，ak = (ar)uk∈<ar>，即G<ar>. 另一方面，显然有<ar>G. 从而G = <ar>. 必要性. 设ar是G的生成元，则 |ar| = n. 令r与n的最大公约数 为d，则存在正整数 t 使得 r = dt. 因此, |ar| 是n/d的因子，即 n整除n/d. 从而证明了d = 1.
20
循环群的生成元
定理10.13 设G=<a>是循环群. (1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a1. (2) 若G是 n 阶循环群，则G含有(n)个生成元. 对于任何小 于n且与 n 互质的数r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元.
(n)成为欧拉函数，例如 n=12，小于或等于12且与12互素的
19
10.3 循环群与置换群
定义10.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z} 则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元. 循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , an1 } 那么|G| = n，称 G 为 n 阶循环群. 若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 称 G 为无限循环群.