-数学模型

第二章 控制系统的数学模型
„ 2.1 线性连续系统微分方程的建立 „ 2.2 传递函数 „ 2.3 控制系统的动态结构图 „ 2.4 信号流图

本章主要内容
本章重点
„ 线性定常系统微分方程 的建立
„ 非线性系统的线性化方 法
„ 传递函数概念与应用
„ 方框图及其等效变换
„ 梅逊公式的应用等
„ 传递函数的概念及其 求取方法、
„ 控制系统方框图的构 成和等效变换方法
„ 典型闭环控制系统的 传递函数
„ 梅逊公式的应用。

概述
1. 数学模型:描述系统变量之间关系的数学表达式 2. 建模的基本方法:(1) 机理建模法(解析法)
(2) 实验辩识法 3. 控制系统数学模型的主要形式:
(1) 外部描述法:输入--输出描述 (2) 内部描述法:状态变量描述
在控制系统的分析中,线性定常系统的分析 有特别重要的意义。

工程控制中常用的数学模型有三种：
„ 微分方程----------时域描述 „ 传递函数----------复域描述 „ 频率特性----------频域描述
本节主要介绍传递函数与微分方程两种数学模型

作业：P48 2-1(b), 2-3, 2-4
2.1 线性连续系统微分方程的建立
在控制系统的分析和设计中，建立合理的控制系统 数学模型是一项极为重要的工作，它直接关系到系统分 析结果的正确性和系统设计结果的可用性。因此，在建 立系统的数学模型时，既要考虑数学模型的精确性，又 要注重数学模型的简易性。一个合理的数学模型应该能 够以最简形式来正确描述系统的性能。

2.1 线性连续系统微分方程的建立
建立控制系统微分方程的步骤
(1)根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，将系 统正确划分为若干环节，并确定出各环节乃至整个 系统的输入量和输出量。
(2)从输入端开始，根据各环节所遵循的各种定律，依 次列写出相应微分方程，组成联立方程组。

(3) 消去中间变量，求取只包含系统（或元件）输入量和输 出量的微分方程。 (4) 将系统的微分方程整理成标准形式。即把含有输出量的 各项移至方程的左边，把含有输入量的各项及其常数项统统 移至方程的右边，两边都按降阶排列，并将有关系数化为具 有一定物理意义的表示形式，如时间常数和比例系数等。

例2.1 编写如图所示RC电路的微分方程式。
解: (1) 定输入输出量: u1 (t) ----输入量 u2(t) ----输出量
(2) 列写微分方程 i(t) ----中间变量
u1 = iR+u2 式中 u2 = q/c i = dq/dt
(3)消去中间变量,可得电路微分方程式
RC
du2 dt
+ u2
=
u1
LC
d 2u2 dt 2
+
RC
du2 dt
+ u2
=
u1

例2-2 图所示为一具有质量、弹簧、阻尼器的机械位移系统。
编写以f(t)为输入量xr，位移x(t)为输出量xc的系统的运动微
分方程式。
解: 定输入输出量: 力 f(t) ----输入量 位移 x(t) ----输出量
微分方程
f (t) = M d 2 x(t) + B dx(t) + Kx(t)
dt 2
dt
K——弹簧弹性系数； M——物体的质量， B——粘性摩擦系数。
只要参数M、B、K和外力F(t)已知，就可 以求出方程解x(t)，这样就可以研究参数m、f、 K在不同的数值下，质量m位移的运动规律。

例2-3 图为弹簧、质量、阻尼器机械旋转运动单元，试写出在 输入转矩M(t)作用下转动惯量为J的物体的运动方程，输出量 为角位移。
解: 定输入输出量: 转矩M(t) ----输入量
角位移 θ (t) ----输出量
弹簧的阻力与角位移成正比，阻尼 器的阻力与角速度成正比。
M(t)
J
k1
θ
f1
微分方程
J
d
2θ(t dt 2
)
+
f1
dθ(t dt
)
+
k
1θ(
t)
=
M(t
)

例2－4图中L、R分别为电枢回路的总电感和总电阻。假设励
磁电流恒定不变，试建立在ur(t) 作用下电动机转轴的运动方
程。
解: 定输入输出量: 电压ur(t) ----输入量
转速 ω (t) ----输出量
L
R
+
ia
+
ur(t)
Ea
-
负 Jm
ω 载 fm
E
a
(t
)
=
C
' e
⋅
n(t)
=
C
e
⋅
ω(t)
-
+
if
-
L
di a (t) dt
+
Ri
a
(t)
+
E
a
(t)
=
u
r
(t)
J
dω(t) dt
=
M(t)
−
M c (t)
M(t) = Cmia (t)
TlTm
d
2ω(t) dt 2
+
Tm
dω(t) dt
+
ω(t)
=
K
uu
r
(t)
−
K
m
(Tl
dM c dt
(t)
+
M
c
(t))

TlTm
d
2ω(t) dt 2
+
Tm
dω(t) dt
+
ω(t)
=
K
uu
r
(t)
−
K
m
(Tl
dM c (t) dt
+
M
c
(t))
式中
Tl
=
L， R
Tm
=
JR C eC m
；
Ku
=
1 Ce
，K m
=
Tm J
对于恒转矩负载
TlTm
d 2ω(t) dt 2
+
Tm
dω(t) dt
+
ω(t)
=
u r(t) Ce
−
R C eC m
M
c
对小容量的测速发电机，近似有
u(t) = Ceω(t)