2020年考研数学一真题及答案(全)

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全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸...

指定位置上. (1

)若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩

在x 连续,则 (A) 12

ab =. (B) 12

ab =-

. (C) 0ab =. (D) 2ab =.

【答案】A

【详解】由0

11lim 2x b ax a +

→-==,得1

2

ab =.

(2)设函数()f x 可导,且()'()0f x f x >则

(A) ()()11f f >- . (B) ()()11f f <-. (C) ()()11f f >-. (D) ()()11f f <-.

【答案】C

【详解】2()

()()[]02

f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. (3)函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12. (B) 6.

(C) 4.

(D)2 .

【答案】D

【详解】方向余弦12

cos ,cos cos 33

=

==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.

(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处.图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位:m/s),三块阴影部分面积的数值一次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则

(A) 010t =. (B) 01520t <<. (C) 025t =. (D) 025t >.

【答案】C

【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. (5)设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则 (A) T

E -αα不可逆. (B) T

E +αα不可逆. (C) T 2E +αα不可逆. (D) T

2E -αα不可逆.

【答案】A

【详解】可设T α=(1,0,

,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为

011,,,,因此T αα-E 不可逆.

(6)设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122C ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

(A)A 与C 相似,B 与C 相似. (B) A 与C 相似,B 与C 不相似.

(C) A 与C 不相似,B 与C 相似. (D) A 与C 不相似,B 与C 不相似. 【答案】B

【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以

A 可对角化,

B 则不行.

(7)设,A B 为随机事件,若0()1P A <<,0()1P B <<,则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件

(A) (|)(|)P B A P B A >. (B) (|)(|)P B A P B A <. (C) (|)(|)P B A P B A >. (D) (|)(|)P B A P B A <.

【答案】A

【详解】由(|)(|)P A B P A B >得

()()()()

()()1()

P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;

由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . (8)设12,,

,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记1

1n

i i X X n ==∑,则下

列结论不正确的是 (A)

2

1

()n

i

i X μ=-∑服从2χ分布 . (B) 2

12()n X X -服从2

χ分布.

(C)

21

()n

i

i X

X =-∑服从2χ分布. (D) 2

()n X -μ服从2

χ分布.

【答案】B

【详解】

22

2211

~(0,1)()~(),()~(1)1n n

i i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 22

1~(,),()~(1);X N n X n

-μμχ2211()~(0,2),

~(1)2n n X X X X N --χ.

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)已知函数2

1

(),1f x x

=+(3)(0)f = . 【答案】0 【详解】24

2

1()1(11)1f x x x x x

=

=-++-<<+,没有三次项.

(10)微分方程032=+'+''y y y 的通解为 .

【答案】12e ()x

y C C -=+

【详解】特征方程2

230r r ++=

得1r =-,

因此12e ()x y C C -=+.

(11)若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}

1),(2

2<+=y x y x D 内与路径无关,则=a

. 【答案】1-

【详解】有题意可得

Q P

x x

∂∂=

∂∂,解得1a =-. (12)幂级数

11

1

)

1(-∞

=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = .

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