5.4-1 and 5.4-2 闭环系统频域测试及辨识 [系统辨识理论及Matlab仿真]

5.4 闭环系统传递函数的辨识
5.4.1 基本原理
针对线性控制系统，要设计前馈控制器，传统的 方法是确定系统的闭环传递函数。采用建模方法难免 产生较大的建模误差。目前在实际应用中，更多的是 采用实验测试建模方法，即频率特性方法，通过频域 辨识技术来确定闭环系统的传递函数。
1
由闭环系统的正弦激励响应，通过最小 二乘方法和Bode图拟合来确定闭环系统的传 递函数。闭环系统测试框图如图1所示。
b0 0
（14）
显然，如果用不变性原理设计前馈控制器，则控制器表示为：
zd A z1 F z1
Bu z1 Ba z1
由于闭环系统的不稳定零点成为前馈控制器的极点，采用上式作为 控制器会造成控制系统不稳定。为了克服这种情况，对于闭环系统(13)， 通过在控制器中引入零点 Bu (z) 来补偿闭环系统的不稳定零点 Bu (z1) ， 设计零相差前馈控制器为：
图1 控制系统原理图 图2 等效框图
不失一般性，Gc (z1) 可以写成如下形式:
Gc
z 1
zd Bu z1 Ba A z1
z 1
（13）
其中， A(z1) 为分母多项式，其所有的根都位于单位圆内部。 d 为 非负整数，zd 为 d 步延迟。Bu (z1) 和 Ba (z1)为多项式， Bu (z1) 中
F
z 1
zd A
z 1
Bu z
Ba z1 Bu (1)2
(15)
5.4.3.2 系统相移
定理1[1] 对于（14）式定义的 Bu (z1) ，设H z1 Bu z Bu z1 ，则有：
（1） H e jT 0, R
（9）
其中向量 θ 1 2
假设在时刻 t1 t2
n T是一组待辨识参数。
tm 取得关于 y 和 X 的 m 次观测结果，
采用yi 和x1 i x、2 i 、 x、m i ，i 1, 2, , m
数据，则有
表示实测
yi 1x1 i 2x2 i nxn i i 1, 2, , m
点，用上面方法计算相频和幅频，就可得到闭环系统的频率特性数据，利
用Matlab频域函数 invfreqs 和 freqs ，从而实现闭环系统的建模。
对于带有摩擦、干扰和重力等非线性因素的电机系统被控对象，无法 得到适合于闭环系统建模的频率特性数据，因此，无法对闭环系统进行辨 识，可通过摩擦补偿、干扰观测器、重力补偿器等方法，将系统转化为理 想的线性系统被控对象。
b0 b1 cosT j sin T bl cos lT j sin lT b0 b1 cos T j sin T bl cos lT j sin lT
b0 b1 cos T bl cos lT j bl sin T bl sin lT b0 b1 cos T bl cos lT j bl sin T bl sin lT
取 w 2πF ，利用Matlab函数 invfreqs hp, w, nb, na ，可得
到与复频特性 hp 相对应的、分子分母阶数分别为 nb 和 na 的 传递函数的分子分母系数 bb 和 aa ，从而得到闭环系统辨识的
传递函数。利用Matlab函数 freqsbb, aa, w ，可得到分子分母
包含了 Gc(z1) 中的所有的不稳定零点（位于单位圆上或单位圆 外）， Ba (z1) 中包含 Gc (z1) 中的所有稳定的零点（位于单位圆
内）。假定闭环系统有 l 个不稳定的零点，则 Bu (z1) 可以写成如
下形式：
Bu (z1) b0 b1z1 bl zl ,
y(t) Af sin(t )
A f sin(t)cos() Af cos(t)sin
sin(t)
cos(t)
Af cos

A
f
sin

其中 A f 、 分别为系统输出的幅度和相角。
在时间域上取 t 0, h, 2h,, nh ， 并设
rad./s
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
60
rad./s
图3 频率特性拟合误差曲线
12
闭环系统辨识仿真程序 chap5_5a.m chap5_5b.m
13
附：最小二乘参数辨识法
假设一个变量 y 与一组变量 X x1 x2
xn 有线性关系，即
y 1x1 2 x2 n xn
10
Mag.(dB.)
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
10
10
10
rad./s
2
10
10
10
rad./s
Phase(Deg.)
图2 实际传递函数与拟合传递函数的Bode图比较
11
x 10-4 2
Mag.(dB.)
Phase(Deg.)
0
0
10
20
30
40
50
60
-4
x 10
通常, 前馈控制是基于不变性原理,即将前馈控制环节设计成 待校正的闭环系统的逆,从而使校正后系统的输入输出传递函数为1， 从而达到精确控制。但当闭环系统为非最小相位系统时，这种方法 就不适用了。这是由于非最小相位系统的逆会出现不稳定的极点。
随着计算机技术的发展，现代高精度伺服控制中，采样频率 通常较高，采样周期的范围在 0.1ms - 2ms 之间。由于采样频率很 高，离散化的闭环系统一般为非最小相位数字系统，即闭环系统的 零点至少有一个在单位圆之外。因此非最小相位数字系统在实际工 程应用中非常广泛。
图1 闭环系统测试框图
2
设闭环系统输入指令信号为：
yd t Amsin(t)
(1)
其中 、 Am 分别为输入信号的幅度和角频率。
位置跟踪误差为：
et yd t yt
在闭环系统内，采用P控制，控制律为：
ut kpet
3
由于闭环系统是线性的，则其角位置输出可表示为：
零相差前馈跟踪控制在数控加工中心、坐标仪以及绘图仪等高精 度伺服系统中得到了成功应用，有效地拓宽了系统频带。
基于零相差前馈控制器的控制系统如图1所示，其中 yd 为输入
指令信号， y 为系统输出， F(z1) 为前馈控制器， C(z1) 为闭环控制
器，Gp (s) 为对象的传递函数，虚线框内Gc (z1) 为闭环控制系统。设离 散化后的闭环系统传递函数为 Gc (z1) ，则图2可以进一步化简，得到 图3。
件。则有
J

ˆ
2XTY 2XTXθˆ 0
16
可得
XTXθˆ XTY
解得的最小二乘估计值为：
θˆ XTX 1 XTY
(12)
17
5.4.3 基于闭环系统辨识的数字前馈控制
在闭环系统辨识的基础上,本节讨论基于闭环系统逆的控制器 设计问题。 5.4.3.1 零相差前馈控制基本原理
YT y(0) y(h)
y(nh)
ΨT

sin(0) cos(0)
sin(h) cos(h)
sin(nh) cos(nh)
c1 Af cos
c2 Af sin
（2）
4
由式（2）和（3）得：
Y

Ψ

c1 c2

（3）
由式（3），根据最小二乘原理，可求出 c1 、 c2 的最小二乘解为：
（2） H e jT 2 Re2 Bu (e jT ) Im2 Bu (e jT ) , R
证明：由式(13)和(15)，加入零相差前馈控制器后，整个系统（包括前 馈环节）的传递函数为：
F
z 1
Gc (z1)

Bu (z1)Bu (z) Bu (1)2
cˆ1
cˆ2


ΨTΨ
1 ΨTY
（4）
对于角频率 ，闭环系统输出信号的振幅和相移如下：
Af cˆ12 cˆ22


tg1

c2 c1

（5） （6）5
由于相频为输出信号与输入信号相位之差，幅频为稳态输出振幅
与输入振幅之比的分贝表示。由于输入信号 yd A msin(t) 的
(16)
设系统的采样周期为 T ， 为角频率，由式(14)，有
Bu z1 Bu z b0 b1z1 bl zl b0 b1z bl zl b0 b1e jT ble jlT b0 b1e jT ble jlT
对于非最小相位数字系统，基于不变性原理的前馈控制器设 计方法是不适用的，这是因为当闭环系统为非最小相位数字系统时， 用不变性原理设计前馈控制器，即利用闭环系统的逆设计控制器， 则闭环系统的不稳定零点 ({z | Gc (z) 0 | z |1}) 将成为前馈控制器 的极点，造成前馈环节存在不稳定极点，控制系统不稳定。
定义误差矢量 ε 1 2
m T ，令
ε Y Xθ
(11)
15
误差性能指标为：
m
则
J

2 i

εTε
1
J Y XθT Y Xθ YTY θTXTY YTXθ θTXTY
求 J 对 的导数并令结果为零，作为使为最小的估计值 θˆ 的条
14
上式可以用矩阵表示为：
Y Xθ
(10)
其中
x1 1 xn 1