终值定理
K2.07-初值定理和终值定理
两边乘zM，得
zM F z f (M ) f (M 1)z1 f (M 2)z2 ห้องสมุดไป่ตู้..
上式取z→∞，得
f (M ) lim zM F (z) z 3
初值定理和终值定理 2、终值定理： 如果序列存在终值，即：
则序列的终值
f () lim f (k) k
f () lim z 1 F (z) lim(z 1)F (z)
z1 z
z 1
注意：收敛域要求含单位圆。
4
知识点K2.07
初值定理和终值定理
初值定理和终值定理
主要内容：
初值定理和终值定理
基本要求：
熟练运用初值定理和终值定理
1
初值定理和终值定理
K2.07 初值定理和终值定理 初值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为整数)
时 f(k)=0 的 序 列 。 由 象 函 数 直 接 求 序 列 的 初 值 f(M), f(M+1), … 而不必求得原序列。
1、初值定理： 如果序列在k<M时，f(k)=0， f(k)←→F(z) ，<|z|<∞ 则序列的初值
f (M ) lim zmF (z) z
对因果序列f(k)， f (0) lim F (z) z
初值定理和终值定理
证明：
F (z) f (k)zk f (k)zk
k
kM
f (M )zM f (M 1)z(M 1) f (M 2)z(M 2) ...
K2.07 初值定理和终值定理
z1 z
z 1
注意：收敛域要求含单位圆。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
1、初值定理： 如果序列在k<M时，f(k)=0， f(k)←→F(z) ，<|z|<∞ 则序列的初值
f (M ) lim zmF (z) z
对因果序列f(k)， f (0) lim F (z) z
2
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
初值定理和终值定理
证明：
F (z) f (k)zk f (k)zk
k
kM
f (M )zM f (M 1)z(M 1) f (M 2)z(M 2) ...
两边乘zM，得
zM F z f (M ) f (M 1)z1 f (M 2)z2 ...
上式取z→∞，得
f (M ) lim zM F (z) z
3
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
初值定理和终值定理 2、终值定理： 如果序列存在终值，即：
则序列的终值
f () lim f (k) k
f () lim z 1 F (z) lim(z 1)F (z)
知识点K2.07
初值定理和终值定理
初值定理和终值定理
主要内容：
初值定理和终值定理
基本要求：
熟练运用初值定理和终值定理
1
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
K1.10-拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
知识点K1.10
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
主要内容： 1.拉普拉斯变换的初值定理 2.拉普拉斯变换的终值定理 基本要求： 1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理 2.熟练计算初始值和终止值
1
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
K1.10 拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t)。 初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，
若F(s)为假分式化为真分式），
则 f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,
0<0，则
f () lim sF(s) s0
2
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
例1
F(s)
s2
2s 2s
2
f (0) lim sF(s) lim 2s2 2
s
s s 2 2s 2
f () lim sF(s) lim 2s2 0
s0
s0 s 2 2s 2
例2
s2 F(s)
s2 2s 2
F(s)
1
2s 2 s2 2s
2
1
F1(s)
f
(0)
lim
s
sF1(s)
lim
s
2s2 2s s2 2s 2
2
f () lim sF(s) lim s3 0
s0
s0 s2 2s 2
3
离散系统终值定理
离散系统终值定理嘿，你们知道吗？我觉得离散系统终值定理好像一个神秘的魔法咒语呢！今天我要和大家说一说离散系统终值定理哦。
比如说我们玩游戏的时候，每次游戏结束都会有一个最后的得分，这个最后的得分就有点像离散系统终值定理里的那个“终值” 哦。
就像我们玩跳房子游戏，每跳一次就会有一个成绩，到最后游戏结束时，我们会得到一个总的成绩，这个总成绩就是跳房子这个“系统” 的终值啦。
再比如说我们收集卡片，每次得到一张卡片就是一个小的“值”，等我们收集了好多好多卡片后，最后我们数一数一共有多少张卡片，这个总数就是卡片收集“系统” 的终值哦。
离散系统终值定理就是告诉我们怎么去找到这个最后的值呢。
想象一下，如果我们把每天吃的糖果数量记下来，一个星期后，我们想知道这一个星期一共吃了多少颗糖果，这时候就可以用类似离散系统终值定理的方法来算哦。
我们每天吃的糖果数就像是一个个小的“离散的值”，到了周末，把这些天的糖果数加起来得到的总数，就好像是这个“糖果吃的系统” 的终值呢。
还有哦，我们在学校里每次考试都有分数，一个学期下来，所有考试分数加起来的那个总分，也可以看成是学习成绩这个“系统” 的终值哦。
离散系统终值定理就是帮助我们理解这些最后结果是怎么来的。
比如说我们种小花朵，每天观察它长了多高，过了一段时间后，最后花朵长到的高度就是它生长这个“系统” 的终值啦。
离散系统终值定理就像一个小工具，能让我们知道最后的结果是多少。
我们玩搭积木游戏也是一样哦，每搭一块积木就有一个小小的变化，等我们把积木搭完了，整个积木的样子和高度就是这个搭积木“系统” 的终值啦。
离散系统终值定理能让我们明白这个最终的状态是怎么形成的哦。
嘿，现在你们是不是对离散系统终值定理有点了解啦？其实它没有那么难哦，就是在生活中很多地方都能看到它的影子呢。
我们可以通过这些有趣的例子来慢慢认识它，以后再遇到类似的情况，我们就可以想到这个神秘又有趣的离散系统终值定理啦！怎么样，是不是很有意思呀？下次我们再一起发现更多有趣的知识哦！。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
拉普拉斯变换初值定理和终值定理
文章标题：深度探析拉普拉斯变换初值定理和终值定理目录：1. 引言2. 拉普拉斯变换初值定理2.1 定义和原理解析2.2 详细推导与举例说明2.3 个人观点与理解3. 拉普拉斯变换终值定理3.1 概念解析3.2 推导及应用范围3.3 个人见解和扩展思考4. 总结与回顾1. 引言拉普拉斯变换初值定理和终值定理是微积分中的重要概念，它们在信号处理、控制理论、电路分析等领域有着广泛的应用。
通过深入探究这两个定理，不仅可以帮助我们加深对拉普拉斯变换的理解，还能为日后的应用打下坚实的基础。
2. 拉普拉斯变换初值定理2.1 定义和原理解析拉普拉斯变换初值定理是指如果函数f(t)在t=0处连续，并且t<0时f(t)=0，则拉普拉斯变换的初值f(0-)等于原函数的初始值f(0)。
2.2 详细推导与举例说明以实际函数为例，对拉普拉斯变换初值定理进行推导和举例说明，可以更加直观地理解这一概念的含义和应用。
2.3 个人观点与理解在我看来，拉普拉斯变换初值定理的重要性在于它可以帮助我们在进行变换计算时更加便捷准确地处理初始值的情况，同时也为我们提供了从初始值到变换结果的直观对应关系。
3. 拉普拉斯变换终值定理3.1 概念解析拉普拉斯变换终值定理是指如果函数f(t)在t=∞时有界，并且在t>0时f(t)有有限个第一类间断点，则拉普拉斯变换的终值lim(s→0)F(s)等于原函数f(t)的终值lim(t→∞)f(t)。
3.2 推导及应用范围通过数学推导和具体应用范例，可以更好地理解拉普拉斯变换终值定理在控制理论、信号处理等领域中的作用和价值。
3.3 个人见解和扩展思考我认为拉普拉斯变换终值定理不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式，它能够帮助我们从全局的角度去理解和分析问题，为我们解决实际问题提供了新的视角和思路。
4. 总结与回顾通过对拉普拉斯变换初值定理和终值定理的深度探讨，我们不仅对这两个定理有了更深入的理解，也为我们今后在工程技术和科学研究中的应用提供了更加丰富的思维方式。
z变换的终值定理公式
z变换的终值定理公式Z 变换的终值定理公式是控制工程、信号处理等领域中的一个重要概念。
在深入探讨这个公式之前，我先跟您讲讲我曾经遇到的一件有趣的事儿。
那是在我给学生们上相关课程的时候，有个学生，咱们就叫他小李吧。
小李这孩子特别聪明，但是有时候聪明劲儿没用对地方。
有一次课堂上，我正在讲解 Z 变换的终值定理公式，刚在黑板上写下公式，就发现小李在下面皱着眉头，一脸的困惑。
我就问他：“小李，怎么啦？”他站起来，挠挠头说：“老师，这公式看着太复杂了，感觉没啥用啊。
”我一听，心里想，这可不行，得让他明白这公式的重要性。
于是我就给他举了个例子。
我说：“假设咱们有一个自动控制系统，就像一辆自动驾驶的汽车，这个系统会根据输入的指令和环境的变化来调整自己的速度和方向。
而 Z 变换的终值定理公式呢，就像是能告诉我们这辆车最终会稳定在什么样的速度和位置上。
如果没有这个公式，咱们就没法准确预测系统的最终状态，那这辆自动驾驶的车可能就会到处乱撞啦。
”小李听了，眼睛一下子亮了起来，说：“老师，我好像有点明白了。
”好了，言归正传，咱们来说说 Z 变换的终值定理公式。
Z 变换的终值定理公式表述为：如果离散时间函数 f(k) 的 Z 变换为F(z)，并且当 z 趋近于 1 时，(z - 1)F(z) 的极限存在，那么 f(k) 的终值f(∞) 可以通过下式求得：f(∞) = lim(z→1) [(z - 1)F(z)] 。
这个公式看起来可能有点让人头疼，但其实它的作用非常强大。
它可以让我们在已知系统的 Z 变换表达式的情况下，直接求出系统的稳态值，而不需要通过繁琐的迭代计算。
比如说，在控制系统中，如果我们知道了系统的传递函数的 Z 变换，就可以利用终值定理公式来判断系统是否稳定，以及系统的输出最终会稳定在什么值上。
这对于设计和优化控制系统非常重要。
再比如说，在数字信号处理中，我们可以用这个公式来分析离散信号的长期特性。
如果一个数字滤波器的输入是一个离散信号，通过 Z变换和终值定理公式，我们可以知道经过滤波后，信号最终会变成什么样。
z变换终值定理使用条件
Z 变换终值定理，也称为Z 域积分定理，是信号与系统领域中一个重要的定理。
它用于计算线性时不变系统在正弦激励下的稳态响应。
在使用Z 变换终值定理时，需要满足以下条件：
1. 系统是线性时不变系统：这意味着系统的特性不会随着时间的变化而变化，且系统对输入信号的响应是与输入信号的幅度和频率无关的。
2. 输入信号是正弦信号：Z 变换终值定理主要用于计算线性时不变系统在正弦激励下的稳态响应。
因此，输入信号应当是正弦信号或者是可以分解为正弦信号的复杂信号。
3. 系统是稳定的：这意味着系统的传递函数在单位圆内没有极点。
也就是说，系统的闭环增益矩阵在单位圆内是稳定的。
4. 初始条件已知或可得：在应用Z 变换终值定理时，需要知道系统的初始条件或者可以通过计算得到初始条件。
5. 变换域的选择：Z 变换终值定理可以在不同的变换域中应用，如频域、时域等。
选择合适的变换域可以简化问题的求解。
s域终值定理的使用条件
s域终值定理的使用条件域终值定理（Final Value Theorem）是一种用于确定系统响应在稳定状态下的极限值的工具。
它常用于线性时间不变系统中，用于预测系统的稳态响应。
在本文中，我将详细介绍该定理的使用条件，并逐步回答这个问题。
第一步：了解域终值定理的基本原理域终值定理是基于拉普拉斯变换理论的一个定理。
该定理可以用于计算系统响应函数在时间趋于无穷大时的值。
拉普拉斯变换是一种将时间域函数转换为复频率域函数的方法，通过将微分方程转化为代数方程，可以更方便地进行分析和计算。
第二步：掌握域终值定理的使用条件域终值定理的使用条件是系统必须是稳定的、线性的和因果的。
下面将对每个条件进行详细讨论：稳定性：系统稳定意味着系统的响应在时间趋于无穷大时趋于有限值。
在控制系统中，稳定性是一个重要的性能指标。
对于连续时间系统，可以通过判断系统的特征方程的根是否位于左半平面来确定系统的稳定性。
如果所有的特征根都在左半平面，则系统稳定；如果存在特征根在右半平面，则系统不稳定。
对于离散时间系统，可以通过判断系统的特征方程的根的模是否小于1来确定系统的稳定性。
线性性：线性系统满足叠加原理，即输入和输出的线性组合等于对应输入和输出的线性组合。
线性系统的响应是输入信号的加权和，可以用线性常微分方程来描述。
因果性：因果系统的输出仅依赖于输入的过去和当前值。
因果性是一个物理系统的基本要求，因为输出不能提前依赖于未来的输入。
第三步：使用域终值定理进行分析一旦确定系统符合上述使用条件，即稳定、线性和因果，就可以使用域终值定理进行分析。
一般而言，使用域终值定理可以分为以下几个步骤：1. 将系统的传递函数变换为复频率域函数。
传递函数描述了系统的输入和输出之间的关系。
通过应用拉普拉斯变换，可以将传递函数转换为复频率域函数。
2. 根据定理，当时间趋于无穷大时，输入信号的复频率域函数的极限值等于输出信号的复频率域函数的极限值。
确定输出信号的复频率域函数的极限值，可以通过对输入信号的复频率域函数应用定理来计算。
s域终值定理的使用条件
s域终值定理的使用条件s域终值定理是控制理论中的一个重要定理，用于分析和设计线性时间不变（LTI）系统在无穷远处的稳定性和响应。
这个定理提供了一种简化复杂系统分析的方法，通过从频率域转换到时间域，并利用频域响应的特性来推导系统在无限时间内的输出。
s域终值定理的使用条件如下：1. 系统必须是稳定的：系统的传递函数必须有所有极点的实部为负，即系统的零输入响应（自由响应）必须收敛到零。
这是必要条件，因为只有稳定的系统才能在无穷远处达到稳态。
2. 系统必须是线性的：系统的传递函数必须满足线性叠加原理，即对于输入的线性组合，输出也是这些输入的线性组合。
3. 输入信号必须是永久有界的：如果输入信号是不稳定的或无限大的，在无穷远处系统的响应将无法预测。
4. 传递函数必须存在：系统的输入-输出关系必须可以用一个有理函数表示，即传递函数必须存在。
这是因为s域终值定理是利用传递函数推导系统的稳态响应。
5. 开环或闭环系统：s域终值定理可以应用于开环系统或闭环系统，只要系统满足上述条件，就可以使用该定理。
当满足上述条件时，可以应用s域终值定理进行系统分析和设计。
在具体的应用中，可以按照以下步骤来使用s域终值定理：1. 确定系统的传递函数：根据系统的物理模型或通过系统特性的实验测量，得到系统的传递函数。
2. 在s域中进行分析：将传递函数转换到复频率域（s域），分析系统的极点和零点，并确定系统的稳定性。
3. 计算系统的频率响应：根据传递函数，在s域中计算系统的频率响应，这将给出系统在不同频率下的增益和相位特性。
4. 应用s域终值定理：将频率响应转换回时间域，并使用s域终值定理，计算系统在无穷远处的稳态响应。
5. 分析稳态响应：根据计算得到的稳态响应，分析系统在无穷远处的输出特性，如稳定性、振荡或收敛性。
通过使用s域终值定理，可以在分析和设计控制系统时简化复杂的数学计算，提高系统的稳态响应预测能力。
同时，该定理也为控制系统的抗干扰性能和响应速度提供了参考依据。
终值定理适用条件
终值定理适用条件
嘿，咱今天就来讲讲终值定理的适用条件这档子事儿哈。
你说这终值定理啊，它可不是啥时候都能随便用的，就像你不能随便穿双拖鞋就去参加正式舞会一样。
首先呢，它得要求系统是稳定的。
啥叫稳定呀？就好比你骑自行车，稳稳当当的不会突然歪倒，这就是稳定。
要是系统不稳定，那就像那摇摇晃晃的醉汉，你还能指望用终值定理去算个啥呀！
然后呢，还得要求输入信号是有界的。
这就好比你吃饭，得有个度，不能一顿狂吃，不然肚子可受不了。
输入信号要是没个界限，那可就乱套啦，终值定理也没法好好发挥作用咯。
还有哦，它还得满足一些其他的小条件，就像生活中的各种小细节一样。
这些条件都具备了，终值定理才能大显身手，给咱算出个靠谱的结果来。
其实啊，这终值定理的适用条件就跟咱交朋友似的。
得找那些靠谱的、稳定的朋友，不然三天两头闹别扭，那多累呀。
而且和朋友相处也得有个度，不能啥要求都提，不然友谊的小船说翻就翻啦。
总之呢，咱得好好了解终值定理的适用条件，就像了解自己的朋友一样。
只有这样，咱才能在需要的时候正确地使用它，让它为咱服务。
可别瞎用哦，不然就得出错啦。
哎呀，说了这么多，其实就是想让大家知道，这终值定理的适用条件可不是闹着玩的，咱得重视起来。
就像咱重视生活中的每一个选择一样，选对了，才能顺顺利利的。
好啦，今天就说到这儿吧，希望大家都能记住这些条件，让终值定理为咱的学习和工作助力！嘿嘿，下次再见啦！。
拉氏变换终值定理
拉氏变换终值定理
我先给你们讲个小故事吧。
想象一下，你有一个小盒子，这个小盒子就像一个神秘的机器。
你往这个小盒子里放进一些特别的东西，然后小盒子会给你吐出另外一些东西。
这个小盒子就有点像拉氏变换做的事情呢。
那终值定理又是什么呢？就好比你在看一个小虫子爬呀爬。
这个小虫子一开始爬得很慢，然后速度有点变化，但是你想知道这个小虫子最后会停在哪里。
终值定理就像是能告诉你这个小虫子最后停下来的位置的魔法。
比如说，我们有一个小风扇。
小风扇刚打开的时候，它转得慢慢的，然后越转越快。
我们可以用一些数字和规则来表示小风扇转动速度的变化，就像拉氏变换那样。
那终值定理呢，就可以让我们知道这个小风扇最后会以多快的速度一直转下去，是会一直转得超级快，还是会慢慢稳定下来，有一个固定的速度。
再举个例子，你在玩一个弹弹球。
你把弹弹球扔出去，它会跳呀跳。
弹弹球每次跳的高度会慢慢变低，一开始跳得很高，后来越来越低。
我们可以用拉氏变换的东西来表示弹弹球高度的变化。
终值定理就能告诉我们，这个弹弹球最后会停在地上，高度变成零。
就像我们在学校跑步比赛的时候。
每个小朋友开始跑的速度可能不太一样，有的小朋友一开始就冲得特别快，有的小朋友慢慢加速。
如果我们把每个小朋友跑步速度的变化用拉氏变换来表示，那终值定理就可以告诉我们，最后哪个小朋友会先跑到终点，哪个小朋友会在后面。
z变换终值定理证明
z变换终值定理证明Z变换是一种将离散时间序列转换为复平面上的函数的数学工具。
在数字信号处理领域，Z变换在滤波、采样和系统建模等方面具有广泛的应用。
Z变换终值定理是Z变换的一个重要定理，用于计算离散时间序列在时域中的终值。
在这篇文章中，我们将讨论Z变换终值定理的证明。
先给出Z变换终值定理的表述：若 X(z) 的极点位于单位圆内，且在z=1处无极点，则有：$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x(n) = \lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)X(z)$$其中，X(z) 是序列 {x(n)} 的 Z 变换。
Z变换终值定理的证明基于留数定理和极点转移定理。
下面我们将逐步介绍这两个定理和证明过程。
一、留数定理留数定理是复数函数理论中的一个重要定理。
它说的是：如果一个函数在一个有限奇异点集合内的所有点都是亚纯函数，那么这个函数的围道积分等于这些点的留数总和。
留数是一个点在复平面中的一个数值，反映了函数在该点处的奇异性（例如极点或可去奇点）。
留数定理的公式如下：$$\oint_{C} f(z)dz= 2\pi i \sum_{i=1}^{n} Res[f,a_i]$$二、极点转移定理极点转移定理指出：当两个Z变换函数X(z)和Y(z) 在某些点的极点相同，但是极点的阶数不同时，它们在这些点处的值也将相同。
算法是通过以下步骤实现的：* 找到共同的极点；* 对于每个共同的极点，计算他们被X(z)和Y(z)所喂养的单位面积内的倒数之和，因此有相同的效果；* 相加这些单位面积。
这就是两个函数在这些共同极点处的相同效果。
这个定理的公式形式如下：其中，X(z)和Y(z)为两个Z变换函数，在点a1,a2,...,an处存在极点，p和q是这些点的极点的阶数。
三、证明现在我们开始证明Z变换终值定理。
首先，我们将X(z)写成以下形式：$$X(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$$其中，P(z) 和 Q(z) 是关于 z 的多项式，Q(z)在单位圆内有一个不为零的极点。
自控终值定理应用条件
自控终值定理应用条件一、引言自控终值定理是控制理论中的一个重要定理，它在控制系统分析与设计中具有重要的应用价值。
本文将介绍自控终值定理的应用条件及其意义。
二、自控终值定理的定义自控终值定理是指在一般情况下，当控制系统的输入信号为周期性信号时，系统的输出信号也将具有相同的周期性，并且在输入信号的周期足够长的情况下，输出信号将趋于稳定，即达到终值。
三、自控终值定理的应用条件自控终值定理的应用条件有以下几点：1. 系统稳定性：控制系统必须是稳定的，即系统的传递函数的极点必须位于左半平面。
2. 系统线性性：控制系统必须是线性的，即输入信号与输出信号之间存在线性关系。
非线性系统无法满足自控终值定理的应用条件。
3. 输入信号周期性：输入信号必须是周期性的，即具有重复的模式。
这样才能保证系统的输出信号也具有相同的周期性。
4. 输入信号足够长：输入信号的周期足够长，以保证系统的输出信号趋于稳定。
如果输入信号的周期较短，系统的输出信号可能无法达到终值。
四、自控终值定理的意义自控终值定理的应用条件在控制系统的分析与设计中具有重要的意义：1. 稳定性分析：自控终值定理可以用于判断控制系统的稳定性。
当输入信号为周期性信号时，通过观察系统的输出信号是否趋于稳定，可以判断系统的稳定性。
2. 系统性能分析：自控终值定理可以用于分析系统的性能。
通过观察系统的输出信号的终值，可以评估系统的性能是否满足要求。
3. 控制器设计：自控终值定理可以用于控制器的设计。
根据输入信号的周期性特征，可以选择合适的控制策略和参数，以实现系统的稳定性和性能要求。
4. 系统优化：自控终值定理可以用于系统的优化。
通过调整输入信号的周期和幅值，可以使系统的输出信号达到最优状态，提高系统的性能。
五、结论自控终值定理是控制系统分析与设计中一个重要的定理，它在稳定性分析、系统性能分析、控制器设计和系统优化等方面具有重要的应用价值。
通过满足自控终值定理的应用条件，可以有效地分析和设计控制系统，实现系统的稳定性和性能要求。
K1.10-拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
K1.10 拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t)。 初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，
若F(s)为假分式化为真分式），
则 f (0) lim f (t) lim sF(s)
s0
s0 s 2 2s 2
例2
s2 F(s)
s2 2s 2
F(s)
1
2s 2 s2 2s
2
1
F1(s)
f
(0)
lim
s
sF1(s)
lim
s
2s2 2s s2 2s 2
2
f () lim sF(s) lim s3 0
s0
s0 s2 2s 2
3Leabharlann 初值定理设函数ft不含t及其各阶导数即fs为真分式若fs为假分式化为真分式k110拉普拉斯变换的性质初值终值定理xidianuniversityicie
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
知识点K1.10
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
主要内容： 1.拉普拉斯变换的初值定理 2.拉普拉斯变换的终值定理 基本要求： 1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理 2.熟练计算初始值和终止值
t 0
s
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,
0<0，则
f () lim sF(s) s0
2
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
例1
F(s)
s2
2s 2s
K1.10 初值、终值定理
知识点K1.10
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
主要内容： 1.拉普拉斯变换的初值定理 2.拉普拉斯变换的终值定理 基本要求： 1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理 2.熟练计算初始值和终止值
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
K1.10 拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t)。 初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，
若F(s)为假分式化为真分式），
则 f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,
初值定理设函数ft不含??t及其各阶导数即即fs为真分式若若fs为假分式化为真分式则终值定理若若ft当t时存在并且ftfsres??0??00则k110拉普拉斯变换的性质初值终值定理00limlimtsfftsfs???????0limsfsfs???拉普拉斯变换的性质初值终值定理3xidianuniversityicie
0<0，则
f () lim sF(s) s0
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
例1
F(s)
s2
2s 2s
2
f (0) lim sF(s) lim 2s2 2
s
s s 2 2s 2
f () lim sF(s) lim 2s2 0
s0
s0 s 2 2s 2
例2
F(s)
s2
s2 2s 2
F(s)
1
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9. 初值定理
如果信号x ( t ) 的拉氏变换为X ( s ) ，且x ( t ) 在t = 0 点不含有任何阶次的冲激函数，则:
(5.40)
初值定理表明，s X ( s ) 的极限值等于信号x ( t ) 在t = 0+ 点的初值，而且，无论拉氏变换采用 0-系统还是 0+ 系统，所求得的初值都是在t = 0+ 时刻的值，证明如下。
根据时域微分性质可知:
(5.41)
而由拉氏变换的定义可得:
(5.42)
于是有:
(5.43)
对此式两边取的极限，由于当，且仅当t > 0 时，，因此:
对初值定理，也可利用信号x ( t ) 在t = 0+ 时刻的台劳级数来证明，其台劳级数为:
(5.44)
式中，x (n)(0+) 是x ( t ) 在t =0+时刻的n 阶导数值。
由于:
因此，对式（5.44）两边取拉氏变换后有:
由此而得:
初值定理要求信号x ( t ) 在t = 0 点不含有任何阶次的冲激函数，这也就是要求式（5.40）中的X ( s ) 必须是一个真分式。
如果X ( s ) 是一个
假分式，即当X ( s ) 分子的阶次高于或等于分母的阶次时，，式（5.40）将不成立。
因此，如果X ( s ) 是一个假分式时，则应先将它分解出一个真分式，然后再利用式（5.40）求这个真分式所对应的信号初值。
例如，如
果，这是一个假分式，它不能直接利用式（5.40）求得初值。
但是，如果将其分解为，则可利用式（5.40）求得所对应的信号初值为1。
(5.40)
10.终值定理
终值定理的形式类似于初值定理，它是通过变换式在时的极限值来求得信号的终值，即
(5.45)
利用初值定理证明过程中所得到的式（5.43）可以证明终值定理。
由式（5.43）知
于是有:
显然只有当信号x ( t ) 的终值存在时，才能利用式（5.45）求得它的终值，否则将得到错误的结果。
而要使x ( t ) 的终值存在，则要求X ( s ) 的极点在左半s 平面，如果X ( s ) 在j 上有极点的话，也只能是在原点上的一阶极点，其原因在于，只有满足这种极点分布的信号才有终值存在。
关于这个问题，可参阅“拉普拉斯逆变换”一节中的讨论。
至此，我们讨论了单边拉氏变换的主要性质，并求得了一些常见信号的变换式。
表5.1和表5.2分别列出了这些信号的变换式和拉氏变换的主要性质，以供读者查阅。
虽然我们讨论的只是单边拉氏变换，但对双边拉氏变换而言，除了初值定理、终值定理和微分性质和单边拉氏变换略有不同外，其它的性质和单边拉氏变换是一样的。
这两种变换之间并没有什么本质的区别，然而，如果要求解非零状态下的系统响应，则只能使用单边拉氏变换。