5推理与证明 简单难度 讲义 2
推理与证明
知识讲解
一、推理
推理：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断．这种思维方式就是推理．
从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．
推理一般分为合情推理与演绎推理．
1．合情推理：前提为真，结论可能为真的推理．
归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．
归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程．
教师内容：
由归纳推理得到的结论是通过猜测得到的，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．
归纳推理的一般步骤：
第1步通过观察个别情况发现某些相同的性质；
第2步从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）．
类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）．
类比推理的一般步骤：
第1步找出两类事物之间的相似性或一致性；
第2步用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
教师内容：
在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越有关，类比得出的命题就越可靠．
2．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理．
演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真．
教师内容：
因而演绎推理是数学中严格的证明工具．
几种数学中常用的演绎推理规则：
⑴假言推理：通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．符号语言：若，真，q?pp则真；qa?c．⑵三段论推理：如果，则ba?c?b，“三段论”是演绎推理的一般模式；包括：
①大前提——已知的一般原理；（通常是已知的定义、定理、公式等）
②小前提——所研究的特殊情况；（通常是已知条件或前面推理的结论）
③结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．
aRc，其中表示具有传递性的关系．，则⑶传递性关系推理：如果aRbbRc，R⑷完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则．
教师内容：
在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明，一道证明题，往往要综合应用这些演绎推理规则，如果违背了这些规则，那么证明就是错误的．
①归纳是由特殊到一般的推理；
②类比是由特殊到特殊的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理．
从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确．不等式证明中的放缩法就属于传递性关系推理；数学归纳法属于完全归纳推理，文科现在不再学习数学归纳法，．
复式三段论
一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论．可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论．
二、证明
证明：分成直接证明与间接证明．
1．直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．
常用的直接证明方法有综合法与分析法．
①综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．是从原因推导到结果的思维方法；
②分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法．
2．间接证明：常用的有反证法．
反证法：先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；与原命题中的已知结论矛盾等．
典例精讲
一．选择题（共12小题）
332222）y”﹣﹣yxy）（（x﹣y）（xx+y）=（x+若．1（2018春?天门期末）命题“x ＞y，则的证明过程：
332222），xy+）（x（xy+y）=（x﹣﹣yx“要证明（﹣y）
3322）．+（xy﹣xy（x﹣y）（x+y﹣即证（xy）（x）+y）=
因为x＞y，
3322）y，﹣xy+=（x+y）（即证x+yx
33322223，xyy+x+即证x+yy=x﹣﹣xy+xy
3333，y+y+=x即证x
因为上式成立，故原等式成立应用了（）
A．分析法
B．综合法
C．综合法与分析法结合使用
D．演绎法
【分析】分析法是果索因，基本步骤：要证…只需证…，只需证…，分析法是从求证的不等式出发，找到使不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题．
【解答】解：分析法是果索因，基本步骤：要证…只需证…，只需证…
结合证明过程，证明过程应用了分析法．
故选：A．
2．（2018?北京模拟）北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是（）
年以来，每年参观总人次逐年递增2013A．
万年增加的参观人次不超过201350B．2014年比
年参观总人次最多年这六年间，2017．2012年到2017C
万年这六年间，平均每年参观总人次超过1602012年到2017．D
年年到20172017年每年参观人数的折线图，得2012【分析】由从2012年到年参观总人次最多．2017这六年间，
年每年参观人数的折线图，得：2017解：由从2012年到【解答】
错误；A2014年参观人次少，故2013A中，年以来，2015年参观总人次比在
错误；万，故B502014年比2013年增加的参观人次超过在B中，
正确；年参观总人次最多，故C2017年这六年间，20172012在C中，年到
D万，故2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160在D中，2012年到
错误．
．C故选：
邢台期末）小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到?．（2017秋3；”小明：我得第一名”；“小红没得第一名“回答如下：四人谁得第一时，小方：．已知他们四人中只有一人说“”“小马：小明没得第一名；小红：我的第一名”
真话，且只有一人得第一．根据以上信息可以判断出得第一名的人是（）A．小明B．小马C．小红D．小方
【分析】分别假设第一名是小方、小明、小马、小红，依次判断四个人的话的真假，由此能求出结果．
【解答】解：假设第一名是小方，则小方、小明、小马说的都是真话，小红说的是假话，不合题意；
假设第一名是小明，则只有小明说的是真话，别外三人说的都是假话，符合题意；假设第一名是小马，则小方、小马、小红说的都是假话，小明说的是真真话，不合题意；
假设第一名是小红，则小方、小明说的是假话，小马和小红说的是真话，不合题意．
故选：A．
4．（2017秋?新余期末）下列说法中正确的是（）
A．类比推理是由特殊到一般的推理
B．演绎推理是由特殊到一般的推理
C．归纳推理是由个别到一般的推理
D．合情推理的一般模式是“三段论”形式
【分析】本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对4个命题逐一判断即可得到答案．
【解答】解：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式是“三段论”形式
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故C是正确的
故选：C．
5．（2017秋?襄阳期末）下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）
A．π是无限不循环小数，无限不循环小数是无理数，所以π是无理数
是无理数，所以无限不循环小数是无理数是无限不循环小数，πB．π
是无限不循环小数π是无理数，所以．无限不循环小数是无理数，Cπ
D．无限不循环小数是无理数，π是无限不循环小数，所以π是无理数
【分析】根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论．
【解答】解：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式
对于C，小前提和结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；
对于D，符合演绎推理三段论形式且推理正确；
故选：D．
6．（2018春?东城区期末）下面几个推理过程是演绎推理的是（），，计算出a，，根据a=1中，A．在数列{a}21n
a，a的值，然后猜想{a}的通项公式n34B．某校高二共8个班，一班51人，二班52人，三班52人，由此推测各班人数都超过50人
C．因为无限不循环小数是无理数，而π是无限不循环小数，所以π是无理数D．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
【分析】推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．
【解答】解：∵A与B都是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；
D：由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；
故选：C．
7．（2018春?天门期末）下列类比推理正确的是（）
xyxyxy++a类比，则有a=aaA．把（b+c）与a+
2+=aa?ba+b）a）与a?（+b）类比，则有a?（baB．把（a+
nnnnnn zy++y+z）类比，则有（x++z）=xyxabcC．把（）与（+
D．把（ab）c与（a?b）?c类比，则有（a?b）?c=c?（a?b）
【分析】直接利用举例或特值法排除选项，从而求出结果．
xy+类比，a（b+c）与【解答】解：对于选项A：把a
xyxy+，a+=a则有a
当x=y=1时，不成立．
2222．++yy+z）z≠x+对于选项C：当n=2时（x
对于选项D：向量是不成立的．
故选：B．
8．（2018春?抚顺期末）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就）是，则用算筹可表示为（
．CA．B．．D
，利用算筹能求出结果．由【分析】=8771
，=8771【解答】解：
．用算筹可表示为∴
．故选：C
南阳期末）观察图形规律，在图中右下角的空格内应填入的图形为．9（?2018春）（
．D．C．A．B
观察图形发现每行有两个阴影图形，三个图形有长方形、圆、三角形．【分析】解：观察图形得到规律是每行有方块、三角形、圆各一个，【解答】
且有两块是有阴影部分，
照此规律，第三行第三格应该填方块，
由于前两格只有一格有阴影部分，
故第三格应该是阴影部分的方块．
．故选：B
2=xy“因为偶函数的图象关于轴对称，而函数f（x）．10（2018春?济宁期末）2在上述演绎推理中，x的图象关于y轴对称”=x﹣x是偶函数，所以f（x）．﹣）所以结论错误的原因是（
．大前提错误A
．小前提错误B
．推理形式错误C
．大前提与推理形式都错误D
小前提和结论主要观察所给的大前提，【分析】要分析一个演绎推理是否正确，及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．2是非奇非偶函数，故小前题错误，（解：函数fx）=xx﹣【解答】
．故选：B
是异面直线，CDAB，“201811．（春?东城区期末）用反证法证明命题：若直线），首先应该（，则直线ACBD也是异面直线”
是共面直线，ACBD．假设直线A
是相交直线B．假设直线BDAC，
C．假设直线AC，BD是平行直线
D．假设直线AC，BD互相垂直
【分析】用反证法证明命题时，应假设命题的否定成立．
【解答】解：用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线，
则直线AC、BD也是异面直线”应假设直线AC、BD是共面直线，
故选：A．
12．（2018春?天元区校级期末）中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出：十位、千位、
9.1﹣的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示十万位……
果个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则算筹表示的结这9）和下列相同的是
（
264
D．C81A．3B．2．
，计算选项得结果．对应数据729【分析】根据题意得
解：由题意，；均【解答】64B为；C为81×81814729为，A为；不是所求，．D故选：
小题）二．填空题（共6
类”属于”归纳推理（在“归纳和“天鹅都是白色的镇江期末）秋（13．2017?“．中选择一个合适的填空）比”
根据归纳推理的定义即可判断．【分析】
属归纳推理，【解答】解：”“天鹅都是白色的
故答案为：归纳
14．（2018春?伊通县期末）学校建议孩子们周末去幸福广场看银杏叶，舒缓高三学习压力，返校后甲、乙、丙、丁四位同学被问及情况．甲说：“我没去”；乙说：“丁去了”；丙说：“乙去了”；丁说：“我没去”．班主任了解到这四位同学中只有一位同学去了幸福广场，但只有一位说了假话，则去了幸福广场的这位同学是乙．
【分析】分别假设去了幸福广场的这位同学是甲，乙，丙，丁，由此分析四个人的话，能求出结果．
【解答】解：假设去了幸福广场的这位同学是甲，
则甲、乙、丙三位同学说的是假话，丁说的是真话，不符合题意；
假设去了幸福广场的这位同学是乙，
则甲、丙、丁说的是真话，乙说的是假话，符合题意；
假设去了幸福广场的这位同学是丙，
则甲和丁说的是真话，乙和丙说的是假话，不符合题意；
假设去了幸福广场的这位同学是丁，
则甲和乙说的是真话，丙和丁说的是假话，不合题意．
故答案为：乙．
15．（2018春?南阳期末）有甲、乙、丙、丁四位学生参加数学竞赛，其中只有一名学生获奖，有其他学生问这四个学生的获奖情况，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都没有获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位学生的话有且只有两个人的话是对的，则获奖的学生是丙．
【分析】分别假设奖的学生是甲、乙、丙、丁，分析四个人的话，能求出结果．【解答】解：假设获奖的学生是甲，则四人说的不对，不符合题意，故获奖学生不是甲；
假设获奖的学生是乙，则甲、乙、丁说的都对，不符合题意，故获奖学生不是乙；假设获奖的学生是丙，则甲、丙说的正确，乙和丁说的不对，符合题意，故获奖学生是丙；
假设获奖的学生是丁，则甲、丙和丁说得都不对，不符合题意，故获奖学生不是丁．
故获奖学生是丙．
故答案为：丙．
16．（2018春?南京期末）观察下列等式：
…
222222）（﹣5）1=（﹣6）+（﹣7）（﹣+3）++（﹣2）（﹣
2222226+++42+5=10
22222213++11++1297=8
22222220++18++191614=15
…
22222+）7k++1）2+4））+（7k+5（=（（请你归纳出一般性结论7k）7k+（7k+
2，k∈Z
（7k+6）．
【分析】根据数字之间的变化规律即可求出．
222222）1+（﹣+（﹣）5+（﹣2））=（﹣6【解答】解：（﹣7））+（﹣3 222222652=10++4++
22222213129=87++11++
222222，20=1514++18++1916
22222+（7k）+61））+（7k4（7k+）++（7k+5）2=（7k（归纳出一般性结论，7k）++2，k∈Z．
222222，k）∈Z+（7k+6=（7k+1）（+7k+2）故答案为：（7k）+（7k+4）+（7k+5）17．（2018春?盐城期末）已知对任意正实数a，a，b，b都有+≥，
2211
类比可得对任意正实数a，a，a，b，b，b都有 ++≥322113．
【分析】根据类比的定义，按照题设规律直接写出即可．
【解答】解：∵对任意正实数a，a，b，b都有+≥，2112
∴类比可得对任意正实数a，a，a，b，b，b都有：312312
++≥．
故答案为：++≥．
18．（2018春?江阴市校级期中）已知数列{a}的各项分别为，，，，，，n
，，，，…，依它的前10项的规律，则a+a9998的值为．
【分析】将数列进行重新分组，根据数列项的规律即可得到结论．
【解答】解：数列{a}的各项分别为，（，），（，，），（，，，），…，n
则a，a分别是第14组的第7个和第8个数，分子和分母之和为15，10099故
a=，a=，9999则a+a=+=，9998
故答案为：
三．解答题（共4小题）
22，a+1，c=x，试证明﹣x﹣春?东城区期末）已知x∈R，a=x+，b=2x19．（2018 b，c至少有一个不小于1．
【分析】根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得a+b+c ＜3，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立．
【解答】证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a+b+c＜3 2+3≥+3=23c=2x而a+b+，﹣2x+
两者矛盾；
故a，b，c至少有一个不小于1．
20．某同学在一次研究性学习中发现以下四个不等式都是正确的：
22222；）×41）≥（×2+（1+3）（2+43
22222；]×+）×（﹣10×（）（﹣[5+7]3+）≥[53710
22222；）9.2×6.8）≥（7.5（7.5×+9.23.6）×（3.6++6.8
22222．请你观察这四）2015×2017）≥（20142014+2015×）（20162016+2017+（个不等式；
（1）猜想出一个一般性的结论（用字母表示）；
（2）证明你的结论．
2222）db+）（【分析】（1）依据已知的四个不等式，可以归纳出一般性的结论为（ac+2．）+bd≥（ac
（2）利用做差法，a﹣b≥0?a≥b即可
2222）d+）（1）由四个不等式，观察可以猜想出如下一般性的结论（ac+b【解答】
解：（2．bd）ac≥（+
22222）+dbd+b）﹣（）（cac（2）利用作差（a+
222222222222﹣dd﹣c+a﹣da+bbcc+b=a2acbd
222≥0bc），﹣2abcd==b（c+ad﹣
22222．（当且仅当ad=bc时等号成立）ac）≥（a++bbd）（c）+d故（
21．诺埃尔和莱昂两个人的生日都在7月1日，2006年7月1日星期六，他们庆祝自己的生日，诺埃尔对莱昂说：“如果把我们的年龄的两个数字对调一下，就是你的年龄．”莱昂回答道“这种情况不是第一次发生了，上一次发生这种情况，正好是我和你姐姐结婚的那一天．”
诺埃尔说：“是的！确实是这样，我记得很清楚，就像发生在昨天一样．”
从这段对话中，你能推断出诺埃尔的姐姐和莱昂是在哪一天结婚的吗？
【分析】由题意，诺埃尔和莱昂的年龄分别为10a+b、10b+a，2006：埃尔和莱昂的年龄分别为：10a+b+c、10b+a+c，由此可得方程，即可得出结论．
【解答】解：由题意，诺埃尔和莱昂的年龄分别为10a+b、10b+a，
2006：埃尔和莱昂的年龄分别为：10a+b+c、10b+a+c，
∴（10a+b+c+10b+a+c）÷2=11n，
∴c=11，min∴诺埃尔的姐姐和莱昂是在1995年7月1号．
22232*成立？若N∈+cn对一切nbn2，使得，，．是否存在实数22abc1++…n=an+存在，求出实数a，b，c，若不存在，请说明理由．
c=，式，b=a=在，使得关于n的等【分析】存
*223222）…+n1=n成立．证明时先证：+n+n=，n∈12+N+3（+
时，成立即+1n=1当时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k可．【解答】解：存在a=，使得关于n的等式，b=，c=
*222322成立Nn=nn+∈+n=1+2，+3…++n
证明如下：
①当n=1时，等式成立．
*）时等式成立，∈N②假设n=k（k
2222；=1++2…k+3即2222+（k+）=1）（+2+3+…当+k+111n=k+时，2=
即n=k+1时，等式成立．
222232*N∈，+cnnbn+31nc=b=a=因此存在，，，使得关于的等式+2++…n=an+
成立．
高中数学推理与证明.doc
高中数学推理与证明 高中数学推理知识点 1、归纳推理：顾名思义，一个归纳的过程。比如，一个篮子里有苹果梨葡萄草莓等等，那么你发现苹果是水果、梨是水果、葡萄是水果、草莓是水果，然后你猜想：篮子里装的是水果。这个推理是由特殊推到一般的过程，可能正确也可能不正确，如果篮子里确实都是水果，那么你就猜对了;如果篮子里有一根胡萝卜，那你就猜错了。所以才会有证明。 2、类比推理：同样顾名思义，一个类比的过程。例如，你知道苹果水分多又甜、梨水分多又甜、葡萄水分多又甜，所以你推理出同样作为水果，香蕉水分多又甜，那这个结论显然是不对的，香蕉并没有什么水分。但如果你推导出荔枝水分多又甜，这就是正确的。(这个例子中指的都是正常水果)显然，这个推理方式是一个由特殊推特殊的过程，也不一定正确。 3、演绎推理：一般推特殊，一定对。例如，f(x)=1，那么f(1)=1 高中数学证明知识点 1、综合法：即我们正常的证明过程，由条件一直往下推。 例如，1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量，证明：2菠萝重量=160葡萄重量。 证明：因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 ____________所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量 ____________所以2菠萝重量=160葡萄重量。 2、分析法：由结论推出等价结论，去证明这个等价结论成立。
同样上面的例子的证明：要证明2菠萝重量=160葡萄重量，即证明2*1菠萝重量=2*80葡萄重量，即证明1菠萝重量=80葡萄重量。 因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量，原式即证。 3、反证法：先假设结论相反，然后根据已知推导，最后发现和已知不符，收!这是一个战胜自己的过程! 4、数学归纳法： 解题过程： A.命题在n=1(或n0)时成立，这是递推的基础; B.假设在n=k时命题成立; C.证明n=k+1时命题也成立 高中数学推理与证明 一、公理、定理、推论、逆定理： 1.公认的真命题叫做公理。 2.其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。 3.由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。 4.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。 二、类比推理： 一道数学题是由已知条件、解决办法、欲证结论三个要素组成，这此要求可以看作是数学试题的属性。如果两道数学题是在一系列属性上相似，或一道是由另一道题来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相同或相似的属性。
推理与证明(教案)
富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程
二年级数学教案《简单推理》教学
二年级数学教案《简单推理》教学 二、教学准备：多媒体课件、实物展示台、学习纸。 三、教学目标与策略选择： 1、目标确定：随着新课程理念的不断深入，教师在不断地实践过程中，对新课程理念的理解也随着加深了。怎样让我们的孩子眼中这样枯燥、乏味的数学变得生动、有趣呢？再加上本课是我校与杭州行知小学进行教学交流时所上的一节公开课，考虑到师生彼此陌生，能否让孩子们在短短的35分钟的课堂上对彼此有个大概的了解？能否让我们的孩子在陌生的环境中、在众多老师的环境下轻松愉快地来学习数学？这都成了我设计这堂课所思考的问题。我就带着这些问题制定了一下的教学目标。 教学目标：1、通过师生互相认识、猜测等活动，使学生感受简单推理的过程，初步获得一些简单推理的经验。 2、培养学生初步的分析推理能力、合作能力。 教学重点：培养学生初步的分析推理能力和观察能力。 教学难点：培养学生初步的有序地、全面地思考问题能力。 2、教学策略的选择： 为了体现以学生为本的课堂教学理念，改进以往复习-新授-练习-作业的传统模式，而是采用了玩中学、玩中思、新授与练习相互交叉的模式进行。通过师生间的相互出题猜一猜活动，使学生在较短的时间那学会了简单推理的思考方法。 在练习的设计上，教师充分考虑到学生的不同层面，设计了由浅入深的3道练习题，让不同的人在数学上得到不同的发展。 四、教学流程设计及意图：
教学流程 设计意图 一、创设情境，引入新知 （一）谈话 1、师：小朋友，你们认识我吗？（不认识）那我是谁？（老师）不对，我是你们的大伙伴，那你们想了解我什么呢？ 生：您从哪里来的？ 师：我也是我们城南小学的老师。 生：您姓什么？ 师：那请你猜一猜，好吗？ 2、揭示课题：猜一猜 3、指名学生回答 师：那我们继续猜下去，是不是很多，也很累啊，那我给你提示一下 4、出示：我可能姓李，也可能姓张 师：那现在你能一下子就猜对吗？ 指名学生回答 师：怎么还有两种意见。那我在提示一下，小朋友能不能意见统一呢？ 5、出示：我不姓张 师：现在谁能一次就猜对？ 生异口同声：姓李。 师：为什么呢？
高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案
推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正
推理与证明教案
推理与证明合情推理（一） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点; 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤： ⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶检验猜想。
归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：2221342,13593,13579164 +==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题： ① [例1] 观察图，可以发现：1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, … 由上述具体事实能得出怎样的结论？ ② 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构 造新数列）
推理与证明综合测试题
一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++
高中数学推理与证明知识点归纳
高中数学推理与证明知识点归纳高中数学推理与证明知识点归纳 数学推理与证明知识点总结: 1.知识方法梳理 一、考纲解读： 本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。 二、要点梳理： 1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。 2.类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。 3.演绎推理 三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。 4.直接证明与间接证明
①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。综合法的 思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。 ②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否 具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原 不等式成立，这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是：执 果索因。 ③反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即为反证法。一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或结 论以否定语句出现，或要讨论的情况复杂时，常考虑使用反证法。 ④数学归纳法： 教学目标： 一、通过观察、猜测等活动，让学生经历简单的推理过程，理解逻辑推理的含义。初步获得一些简单的推理经验。 二、能借助连线、列表等方式整理信息，并按一定的方法进行推理。 三、在简单的推理过程中，培养学生初步的观察、分析、推理和有有条理的进行数学表达的能力。 教学重点： 理解逻辑推理的含义，经历简单的推理过程，初步获得一些简单的推理经验。 教学难点： 初步培养学生有序的，全面的思考问题及数学表达的能力。 教学过程：
高中数学 推理与证明 板块三 数学归纳法完整讲义(学生版).doc
学而思高中完整讲义：统计.板块一.随机抽样.学生版 题型一：数学归纳法基础 【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111 12()234 124 2n n n n -+-+ +=+++ -++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立 C ．22+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题 为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当 1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 【例4】利用数学归纳法证明 “* ),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 3 2++k k 【例5】用数学归纳法证明),1(1112 2 *+∈≠--= ++++N n a a a a a a n n ，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.2 1a a ++ D. 4 2 1a a a +++ 【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ ))(12(31*∈+????N n n ，从“k 到k+1”左端需乘的代数式是（ ） 典例分析
3二年级简单推理
简单推理1 推算重量和简单推理，都是通过简单推理解决问题。此类练习可以提高孩子的观察、分析和简单的推理能力，有利于培养孩子逻辑的思维能力。推算重量，解决问题的关键是确定一个标准重量，一般以最轻的物体的重量作为标准重量，然后把每个物体的重量都换算成几份标准重量，再进行比较得出需要的答案.简单推理,需要运用日常生活经验进行合情推理，从而找出正确结论。 例1、1只猪的重量＝2只羊的重量 1只羊的重量＝5只兔的重量问：1只猪的重量＝（）只兔的重量 练习1、1壶水的重量=2瓶水的重量 1瓶水的重量=4杯水的重量 那么，1壶水的重量= ( )杯水的重量。 练习2、1个苹果换2个椅子，1个椅子换6块糖， 想一想，1个苹果可以换（）块糖。 练习3、1头牛换4头猪，1头猪换3只羊，1只羊换10只兔，想一想，1头牛能换（）只兔子。 例2、1个黑球的重量＝2个灰球的重量 1个灰球的重量＝3个白球的重量 3个黑球的重量＝（）个白球的重量
练习1、1头猪换2只羊， 1只羊换2只兔子， 4头猪换（）只兔子。 练习2、1头象的重量等于4头牛的重量， 1头牛的重量等于3匹小马的重量， 1匹小马的重量等于3头小猪的重量。 1头象的重量等于（）头小猪的重量。 练习3、2只鸡的重量等于1只兔的重量， 1只兔的重量等于4只鸭的重量， 1只鸡的重量等于（）只鸭的重量。 例3 一桶油连油带桶重17千克。把油倒出一半，连油带桶重9千克，请问原来油和桶各重多少千克？ 【解析】： 解法一：先求出倒出的一半的油重：17-9=8（千克），那么原来油重：8×2=16（千克）；原来桶重：17-16=1（千克）。 解法二：题中告诉我们：“连油带桶重9千克”，也就是说剩下的半桶油和一只桶共重9千克。先求出一桶油和两只桶的重量：9×2=18（千克），再求出一只桶的重量：18-17=1（千克）；一桶油的重量：17-1=16（千克）。
数学第二章推理与证明测试2新人教A版选修1 2
高中新课标选修（1-2）推理与证明测试题 一选择题（5×12=60分） 1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（） A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 2．“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）是3的倍数（P）.”上述推理是（） A．小前提错 B．结论错 C．正确的 D．大前提错 3．F（n）是一个关于自然数n的命题，若F（k）（k∈N＋）真，则F（k＋1）真，现已知F（7）不真，则有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F （5）不真；⑥F（5）真.其中真命题是（） A．③⑤ B．①② C．④⑥ D．③④ 4.下面叙述正确的是（） A．综合法、分析法是直接证明的方法 B．综合法是直接证法、分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（） ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。 A．① B．①② C．①②③ D．③ 6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C充要条件D．不充分不必要条件 7．（04·全国Ⅳ，理12）设f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝12 ，f（x＋2）＝f（x）＋f（2），f（5）＝（） A．0 B．1 C．52 D．5 8．设S（n）＝1n＋1n＋ 1 ＋1n＋ 2 ＋1n＋ 3 ＋…＋1n2，则（）A．S（n）共有n项，当n＝2时，S（2）＝12 ＋1 3 B．S（n）共有n＋1项，当n＝2时，S（2）＝12 ＋13 ＋14 C．S（n）共有n2－n项，当n＝2时，S（2）＝12 ＋13 ＋14 D．S（n）共有n2－n＋1项，当n＝2时，S（2）＝12 ＋13 ＋14 9．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x2－y，若关于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，则实数a的取值范围是（）
新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结
《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点） 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点） 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ；….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a
２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__． 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 ［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤： 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想． 思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等
人教版二年级数学简单推理练习题
简单推理练习 例1 一只猫的重量大约是6千克，一只燕子的重量大约是（）千克 同步精练 1、1个菠萝的重量等于2个梨的重量，1个梨的重量等于3个香蕉的重量，1个菠萝的重量等于几个香蕉的重量？ 2、1只小猴重4千克，它等于2只小兔的重量，2只小兔和4只小猫重量相等，1只小兔和1只小猫共重多少千克？ 简单推理（二） 例2 小王、小徐、小刘三人中，一位是工人，一位是农民，一位是教师，已知：（1）小王比教师重；（2）小刘和教师体重不同；（3）小王和农民是朋友。谁是工人，谁是教师，谁是农民？ 同步精练 1、二年级举行数学竞赛，王非、周勇、李明取得了前三名。已知王非不是第一名，李明不 是第一名也不是第二名，请排出三人的名次。 2、佳佳、卉卉、娟娟、婷婷四人画鸡，每人画1只，有黑公鸡，黑母鸡，白公鸡，白母鸡。又知，娟娟和卉卉画的鸡都是黑色的，婷婷和娟娟画的都是母鸡。问：白公鸡是谁画的
3、盘子里有香蕉、苹果、桔子三种水果，小华说：“每人只吃一种水果，我不吃桔子。”小明说：“我既不吃苹果，也不吃桔子。”大伟问：“请你猜一猜我们三人各吃什么水果？” 4.甲、乙、丙三个人分别来自上海、南京和北京、已知：（1）甲从未在上海住过；（2）上海来的人不是乙；（3）乙不来自北京；问：这三个人分别来自哪儿？ 5、小鲁、小吕、小赵三人中，有一人在数学竞赛中获奖，老师问他们谁是获奖者时，小鲁说是小吕，小吕说不是我，小赵也说不是我，如果他们当中只有一人说了真话，那么谁是获奖者？ 课后作业 1.小明、小华和小刚都戴着太阳帽参加野炊活动，他们戴的帽子一个是红的，一个是黄的， 一个是蓝的。只知道小明没有戴黄帽子。请你判断小明、小华和小刚分别戴的是什么颜色的帽子？ 2..3个人从事不同的职业，其中只有一人是教师，他们每人说了一句话：小张说：“我 是教师。”小王说：“我不是教师。”小李说：“小张说了假话。”如果他们三人中只有一人说了真话，那么谁是教师？
高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》基础测试题附答案解析
新单元《推理与证明》专题解析 一、选择题 1．已知()()2739n f n n =+?+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n , 则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9 C ．36 D ．6 【答案】C 【解析】 【分析】 依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】 由()(27)39n f n n =+?+，得(1)36f =， (2)336f =?，(3)1036f =?， (4)3436f =?，由此猜想36m =. 下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。 (2)假设n k =时，()f k 能被36整除，即 ()(27)39k f k k =+?+能被36整除； 当1n k =+时, 1[2(1)7]39k k +++?+ 1 3(27)391823k k k +??=+?+-+??? () 13(27)391831k k k -??=+?++-?? 131k --Q 是2的倍数， () 11831k -∴-能被36整除， ∴当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有 ()(27)39n f n n =+?+能被36整除， m 的最大值为36. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题. 2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端
新人教B版学高中数学选修推理与证明综合法与分析法讲义
学习目标核 心素养 １．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．（重点、易混点） ２．会用综合法、分析法解决问题．（重点、难点）通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养. 一、综合法 １．直接证明 （１）直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．（２）常用的直接证明方法有综合法与分析法． ２．综合法 （１）定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论． （２）符号表示：P0（已知）?P１?P２?…?P n（结论）． 二、分析法 １．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实． ２．符号表示： B（结论）?B１?B２?…?B n?A（已知） １．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）综合法是执果索因的逆推证法．（） （２）分析法就是从结论推向已知．（） （３）综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．（）
[答案] （１）×（２）×（３）√ ２．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝１， 求证：错误!错误!错误!≥8． 证明过程如下： ∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝１， ∴错误!—１＝错误!>0，错误!—１＝错误!>0，错误!—１＝错误!>0，∴错误!错误!错误!＝错误!·错误!·错误!≥错误!＝8， 当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________（填综合法、分析法）． [解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． [答案] 综合法 ３．错误!—２错误!与错误!—错误!的大小关系是________． [解析] 假设错误!—２错误!>错误!—错误!，由分析法可得， 要证错误!—２错误!>错误!—错误!，只需证错误!＋错误!>错误!＋２错误!， 即证１３＋２错误!>１３＋４错误!，即错误!>２错误!. 因为４２>４0，所以错误!—２错误!>错误!—错误!成立． [答案] 错误!—２错误!>错误!—错误! 综合法的应用 （２）已知方程（x２—mx＋２）（x２—nx＋２）＝0的四个根组成一个首项为错误!的等比数列，则|m—n|＝__________. （３）下面的四个不等式：１a２＋b２＋３≥ab＋错误!（a＋b）；２a（１—a）≤错误!；３错误!＋错误!≥２；４（a２＋b２）·（c２＋d２）≥（ac＋bd）２.其中恒成立的有__________． [解析] （１）∵cos A cos B>sin A sin B， ∴cos A cos B—sin A sin B>0，
推理与证明测试题
推理与证明测试题 一、选择题（本题共20道小题，每小题0分，共0 分） 1?下列表述正确的是（ ） ① 归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ②③④ B .①③⑤ C .②④⑤ D .①⑤ 2?“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ） A. 演绎推理 B .类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 3?证明不等式丄 二 ■ ■- - - " L （ a > 2）所用的最适合的方法是（ ） A .综合法B.分析法C.间接证法D.合情推理法 4.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） A .有两个内角是钝角 B .有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 5?已知2、仁2, 22X 1X 3=3X 4, 2、1 X 3X 5=4X 5X 6，…，以此类推，第 5个等式为( ) 4 5 A . 2 X 1 X 3X 5 X 7=5X 6 X 7X 8 B . 2 X 1 X 3 X 5 X 7X 9=5X 6X 7 X 8X 9 4 5 C. 24 X 1 X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 10 D. 25 X 1 X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 10 6.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是 （） ① y=cosx （ x € R ）是三角函数； ② 三角函数是周期函数； ③ y=cosx （ x € R ）是周期函数. A .①②③ B .②①③ C.②③① D.③②① 3 7.演绎推理“因为f '（X o ） 0时，X 。是f （x ）的极值点.而对于函数f （x ） X,f'（0） 0.所以0是函 数f （x ） X’的极值点.”所得结论错误的原因是 A.大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 大前提和小前提都错误 8.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质； C. 两条直线平行，同旁内角互补，如果 A 和 B 是两条平行直线的同旁内 角，则 31 1,3n A .在数列3 n 中 -)(n a n 1 2） ，由此归纳数列 3n 的通项公式;
高中数学-推理与证明
推理与证明 一、合情推理 1.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 （1）特点：由部分到整体、由个别到一般 （2）归纳推理的思维过程大致如图： 实验、观察概括、推广猜测一般性结论 （3）归纳推理的特点： ○1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象○2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具 ○3归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题 2.类比推理：根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理 （1）特点：由特殊到特殊 （2）类比推理的一般步骤: ○1找出两类事物的相似性或一致性 ○2用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) ○3一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的 ○4一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠 （3）共性：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 二、演绎推理 1.定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常
叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理 2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： （1）大前提——已知的一般原理 （2）小前提——所研究的特殊情况 （3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断 三、直接证明 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法 1.综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法 （1）特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件 （2）步骤的符号表示：P0(已知)?P1?P2?P3?P4(结论) 2.分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法（1）特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件 （2）步骤的符号表示：B(结论)?B1?B2…?B n?A(已知) 四、间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法 1.反证法的定义：一般地，由证明p?q 转向证明：非q?r?…?t，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定非q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法 2.用反证法证明的一般步骤： （1）反设——假设命题的结论不成立 （2）归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止 （五）结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立 五、数学归纳法：它是一个递推的数学论证方法 1.证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立
5推理与证明 简单难度 讲义 2
推理与证明 知识讲解 一、推理 推理：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断．这种思维方式就是推理． 从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论． 推理一般分为合情推理与演绎推理． 1．合情推理：前提为真，结论可能为真的推理． 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理． 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程． 教师内容： 由归纳推理得到的结论是通过猜测得到的，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具． 归纳推理的一般步骤： 第1步通过观察个别情况发现某些相同的性质； 第2步从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）． 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）． 类比推理的一般步骤： 第1步找出两类事物之间的相似性或一致性； 第2步用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 教师内容： 在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越有关，类比得出的命题就越可靠．
2．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理． 演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真． 教师内容： 因而演绎推理是数学中严格的证明工具． 几种数学中常用的演绎推理规则： ⑴假言推理：通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．符号语言：若，真，q?pp则真；qa?c．⑵三段论推理：如果，则ba?c?b，“三段论”是演绎推理的一般模式；包括： ①大前提——已知的一般原理；（通常是已知的定义、定理、公式等） ②小前提——所研究的特殊情况；（通常是已知条件或前面推理的结论） ③结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断． aRc，其中表示具有传递性的关系．，则⑶传递性关系推理：如果aRbbRc，R⑷完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则． 教师内容： 在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明，一道证明题，往往要综合应用这些演绎推理规则，如果违背了这些规则，那么证明就是错误的． ①归纳是由特殊到一般的推理； ②类比是由特殊到特殊的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理． 从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确．不等式证明中的放缩法就属于传递性关系推理；数学归纳法属于完全归纳推理，文科现在不再学习数学归纳法，． 复式三段论 一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论．可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论． 二、证明 证明：分成直接证明与间接证明． 1．直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性． 常用的直接证明方法有综合法与分析法． ①综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．是从原因推导到结果的思维方法； ②分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法． 2．间接证明：常用的有反证法． 反证法：先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；与原命题中的已知结论矛盾等．
二年级简单推理
课题：简单推理（二年级） 【教学目标】 1．经历简单推理的过程，初步获得一些简单推理的经验，了解列表法、排除法的简单应用。2．培养学生初步的审题、分析及推理能力，初步理解“读”、“想”、“写”的重要性。 3．体会数学思想方法在生活中的用途，激发学生学好数学的信心。 【教学重难点】 重点：经历简单推理的过程难点：推理依据的叙述 【课前准备】 教具：例1、练习1、例2、练习2：图纸；例3、练习3：题纸；正方体1个；奖励贴画 学具：例2表格 【教学步骤】 尊敬的各位家长、小朋友们上午（下午）好！非常欢迎你们来到巨人学校。我们学校的办学思路就是“以质量求生存，以创新求发展”。针对于一年级的孩子，我们专门设置了“趣味数学”课程，以激发他们的学习兴趣、拓展他们的思维方式、培养他们良好的学习习惯为主；学习知识的同时，更重要的是引导他们发现数学中的乐趣，点燃他们的创造欲望，使您的孩子在学校中成为众多学生中的佼佼者。下面我将为大家展示一下我们趣味数学中一个小片段。（可以由班主任介绍） 导入： 同学们，很高兴见到大家，你们想知道我是谁，姓什么吗？（想）你们来猜猜看好吗？（好） 有3个姓，胡、李、刘，我不是李老师，我比胡老师高，那么我是……？（刘老师） 真棒！那以后见到你们我如果说同学们好！你们应该怎样说啊？（刘老师好！）其实你们刚刚在猜我姓什么的时候就用到了推理的方法，“简单推理”就是我们今天要一起来讨论的问题。（板书课题：简单推理） 经典例题1：有一些小动物组成一个图，见图，每种小动物代表一个数字，每一排三种动物代表的三位数是369、594、316和143，那么第三排“牛、猪、鸭”代表哪 个三位数？ 594 观察：找突破口（只出现了一次的是什么？）