新人教B版学高中数学选修推理与证明合情推理讲义

学

习目标核心素养

１．了解推理的结构及合情推理的定义．（易混点）

２．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．（重点）

３．了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．（重点、难点）通过归纳推理和类比推理学习，培养学生的逻辑推理素养.

一、推理与合情推理

１．推理的定义

根据一个或几个已知的事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫做推理．

２．推理的结构

推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

３．推理的分类

推理一般分为合情推理与演绎推理．

４．合情推理

前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．

二、归纳推理与类比推理

１．归纳推理

（１）定义

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）．

（２）归纳推理的一般步骤

１通过观察个别情况发现某些相同性质；

２从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）．

２．类比推理

（１）定义：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）．它属于合情推理．

（２）类比推理的一般步骤

１找出两类事物之间的相似性或一致性；

２用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．

（２）类比推理得到的结论可以作为定理应用．（）

（３）归纳推理是由个别到一般的推理．（）

[答案] （１）×（２）×（３）√

２．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到（）

Ａ．空间中平行于同一直线的两直线平行

Ｂ．空间中平行于同一平面的两直线平行

Ｃ．空间中平行于同一直线的两平面平行

Ｄ．空间中平行于同一平面的两平面平行

[解析] 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．

[答案] D

３．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n>１，n∈N＋）个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝___________________________________________________，

a n＝________（n>１，n∈N＋）．

[解析] 依据图形特点，可知第５个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝３×6—３＝１５．由

n＝２,３,４,５,6的图形特点归纳得a n＝３n—３（n>１，n∈N＋）．

[答案] １５３n—３

数、式中的归纳推理

１n＋１n＋则f２0１9（x）的表达式为________．

（２）观察下列等式：

（１＋１）＝２×１，

（２＋１）（２＋２）＝２２×１×３，

（３＋１）（３＋２）（３＋３）＝２３×１×３×５，

…

照此规律，第n个等式可为________．

（３）已知f（x）＝错误!，设f１（x）＝f（x），f n（x）＝f n—１（f n—１（x））（n>１，且n∈N＋），则f３（x）的表达式为__________，猜想f n（x）（n∈N＋）的表达式为________．

[思路探究] 结合数或式子的结构特征，提炼结论．

[解析] （１）由题意f１（x）＝f（x）＝错误!，

f２（x）＝f（f１（x））＝错误!＝错误!，

f３（x）＝f（f２（x））＝错误!＝错误!，…，

f n（x）＝f（f n—１（x））＝…＝错误!，

故f２0１9（x）＝错误!.

（２）从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从１开始，逐项加１递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以１为首项，２为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为（n＋１）（n＋２）…（n＋n）＝２n×１×３×…×（２n—１）．

（３）∵f（x）＝错误!，∴f１（x）＝错误!.

又∵f n（x）＝f n—１（f n—１（x）），

∴f２（x）＝f１（f１（x））＝错误!＝错误!，

f３（x）＝f２（f２（x））＝错误!＝错误!，

f４（x）＝f３（f３（x））＝错误!＝错误!，

f５（x）＝f４（f４（x））＝错误!＝错误!，

根据前几项可以猜想f n（x）＝错误!.

[答案] （１）f２0１9（x）＝错误!（２）（n＋１）（n＋２）…（n＋n）＝２n×１×３×…×（２n—１）

（３）f３（x）＝错误!f n（x）＝错误!

进行数、式中的归纳推理的一般规律

１．已知等式或不等式进行归纳推理的方法

（１）要特别注意所给几个等式（或不等式）中项数和次数等方面的变化规律；

（２）要特别注意所给几个等式（或不等式）中结构形式的特征；

（３）提炼出等式（或不等式）的综合特点；

（４）运用归纳推理得出一般结论．

２．数列中的归纳推理

在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．

（１）通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；

（２）根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；

（３）运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．

１．（１）已知数列{a n}中，a１＝１，a n＋１＝错误!（a∈N＋），则可归纳猜想{a n}的通项公式为（）Ａ．a n＝错误!Ｂ．a n＝错误!

Ｃ．a n＝错误!Ｄ．a n＝错误!

（２）已知错误!＜错误!，错误!＜错误!，错误!＜错误!，…，推测猜想一般性结论为________．[解析] （１）由已知得a１＝１，a２＝错误!＝错误!，a３＝错误!＝错误!＝错误!，a４＝错误!＝错误!

＝错误!，…，由此可猜想a n＝错误!.

（２）每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：错误!＜错误!（a，b，m均为正数，且a＞b）．

[答案] （１）B （２）错误!＜错误!（a，b，m均为正数，且a＞b）

几个图形中的归纳推理

黑色地面砖的块数是________．

（２）根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________．

１２３４

[思路探究] （１）观察图案知，每多一块白色地面砖，则多５块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为５的等差数列．

（２）先求出前４个图形中线段的数目，再归纳．

[解析] （１）观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为５的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋（n—１）×５＝５n＋１．（２）图形１到４中线段的条数分别为１,５,１３,２9，因为１＝２２—３,５＝２３—３,１３＝２４—３,２9＝２５—３，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为２9—３＝５09．

[答案] （１）５n＋１（２）５09

归纳推理在图形中的应用策略

通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：

２．观察分析下表中的数据：

多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）

三棱柱５69

五棱锥66１0

立方体68１２

[解析] 观察F，V，E的变化得F＋V—E＝２．

[答案] F＋V—E＝２

３．根据如图的５个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈．

（１）（２）（３）（４）（５）[解] 法一：图（１）中的圆圈数为１２—0，图（２）中的圆圈数为２２—１，图（３）中的圆圈数为３２—２，图（４）中的圆圈数为４２—３，图（５）中的圆圈数为５２—４，…，故猜测第n个图形中的圆圈数为n２—（n—１）＝n２—n＋１．

法二：第２个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有２×（２—１）＋１个圆圈；第３个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有３×（３—１）＋

１个圆圈；第４个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有４×（４—１）＋１个圆圈；第５个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有５×（５—１）＋１个圆圈；……

由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有（n—１）个圆圈，因此共有n（n—１）＋１＝（n２—n＋１）个圆圈．

类比推理及其应用

１．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？

提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．

２．三角形的面积等于底边与高乘积的错误!，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？

提示：四面体的体积等于底面积与高的积的错误!.

【例３】（１）在公比为４的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有错误!，错误!，错误!也成等比数列，且公比为４１00；类比上述结论，相应地，在公差为３的等差数列{a n}中，若S n是{a n}的前n项和．可类比得到的结论是________________________________.

（２）在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：错误!＝错误!＋错误!，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

[思路探究] （１）等比数列中的商类比等差数列中的差．

（２）三角形类比四面体，三角形中的边类比四面体中的面，三角形中的高类比四面体中的高．[解析] （１）因为等差数列{a n}的公差d＝３，

所以（S３0—S２0）—（S２0—S１0）

＝（a２１＋a２２＋…＋a３0）—（a１１＋a１２＋…＋a２0）

＝１0d＋１0d＋…＋１0d

１0个

＝１00d＝３00，

同理可得：（S４0—S３0）—（S３0—S２0）＝３00，

所以数列S２0—S１0，S３0—S２0，S４0—S３0是等差数列，且公差为３00．

即结论为：数列S２0—S１0，S３0—S２0，S４0—S３0也是等差数列，且公差为３00．[答案] 数列S２0—S１0，S３0—S２0，S４0—S３0也是等差数列，且公差为３00（２）如图１所示，由射影定理得

１

AD２＝BD·DC，AB２＝BD·BC，AC２＝CD·BC，

所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!.

又BC２＝AB２＋AC２，所以错误!＝错误!＋错误!.

类比猜想：

四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，A E⊥平面BCD，

则错误!＝错误!＋错误!＋错误!.

如图２，连接BE交CD于F，连接AF，

２

因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，

所以AB⊥平面ACD，

而AF?平面ACD，所以AB⊥AF，

在Rt△ABF中，AE⊥BF，

所以错误!＝错误!＋错误!，

易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，

所以错误!＝错误!＋错误!，

所以错误!＝错误!＋错误!＋错误!，猜想正确．

上例（１）中条件不变，试写出一个更为一般的结论（不必证明）．

[解] 对于任意的k∈N＋，都有数列S２k—S k，S３k—S２k，S４k—S３k是等差数列，且公差为k２d.

１．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：

平面图形空间图形

点直线

直线平面

边长面积

面积体积

三角形四面体

线线角面面角

１．我们把１,４,9,１6,２５，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形（如图）．

则第n个正方形数是（）

Ａ．n（n—１）Ｂ．n（n＋１）

Ｃ．n２Ｄ．（n＋１）２

[解析] 观察前５个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n２.

[答案] C

２．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前４项，则这个数列的一个通项公式为（）

Ａ．a n＝３n—１

Ｂ．a n＝３n

Ｃ．a n＝３n—２n

Ｄ．a n＝３n—１＋２n—３

[解析] ∵a１＝１，a２＝３，a３＝9，a４＝２7，猜想a n＝３n—１．

[答案] A

３．在平面上，若两个正三角形的边长的比为１∶２，则它们的面积比为１∶４，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为１∶２，则它们的体积比为________．

[解析] 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为１∶２，则它们的体积之比为１∶8．

[答案] １∶8

４．观察下列等式：

１＝１，

２＋３＋４＝9，

３＋４＋５＋6＋7＝２５，

４＋５＋6＋7＋8＋9＋１0＝４9，

…

照此规律，第五个等式应为________．

[解析] 每行最左侧数分别为１,２,３，…，所以第n行最左侧的数应为n；每行的个数分别为１,３,５，…，所以第n行的个数应为２n—１．所以第５行的数依次是５,6,7，…，１３，其和为５＋6＋7＋…

＋１３＝8１．

[答案] ５＋6＋7＋…＋１３＝8１

５．已知在数列{a n}中，a１＝错误!，a n＋１＝错误!.

（１）求a２，a３，a４，a５的值；

（２）猜想a n.

[解] （１）a２＝错误!＝错误!＝错误!，

同理a３＝错误!＝错误!，a４＝错误!，a５＝错误!.

（２）由a２＝错误!，a３＝错误!，a４＝错误!，a５＝错误!，可猜想a n＝错误!.