新人教B版学高中数学选修推理与证明综合法与分析法讲义

学习目标核

心素养

１．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．（重点、易混点）

２．会用综合法、分析法解决问题．（重点、难点）通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养.

一、综合法

１．直接证明

（１）直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．（２）常用的直接证明方法有综合法与分析法．

２．综合法

（１）定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．

（２）符号表示：P0（已知）?P１?P２?…?P n（结论）．

二、分析法

１．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．

２．符号表示：

B（结论）?B１?B２?…?B n?A（已知）

１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）综合法是执果索因的逆推证法．（）

（２）分析法就是从结论推向已知．（）

（３）综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．（）

[答案] （１）×（２）×（３）√

２．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝１，

求证：错误!错误!错误!≥8．

证明过程如下：

∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝１，

∴错误!—１＝错误!>0，错误!—１＝错误!>0，错误!—１＝错误!>0，∴错误!错误!错误!＝错误!·错误!·错误!≥错误!＝8，

当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．

这种证法是__________（填综合法、分析法）．

[解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法．

[答案] 综合法

３．错误!—２错误!与错误!—错误!的大小关系是________．

[解析] 假设错误!—２错误!>错误!—错误!，由分析法可得，

要证错误!—２错误!>错误!—错误!，只需证错误!＋错误!>错误!＋２错误!，

即证１３＋２错误!>１３＋４错误!，即错误!>２错误!.

因为４２>４0，所以错误!—２错误!>错误!—错误!成立．

[答案] 错误!—２错误!>错误!—错误!

综合法的应用

（２）已知方程（x２—mx＋２）（x２—nx＋２）＝0的四个根组成一个首项为错误!的等比数列，则|m—n|＝__________.

（３）下面的四个不等式：１a２＋b２＋３≥ab＋错误!（a＋b）；２a（１—a）≤错误!；３错误!＋错误!≥２；４（a２＋b２）·（c２＋d２）≥（ac＋bd）２.其中恒成立的有__________．

[解析] （１）∵cos A cos B>sin A sin B，

∴cos A cos B—sin A sin B>0，

∴cos（A＋B）>0，即cos（π—C）>0，∴cos C<0，

又0

（２）设方程的四个根分别为x１，x２，x３，x４，则由题意可知，

x１＝错误!，x１x４＝x２x３＝２，∴x４＝４．

设公比为q，则x４＝x１q３，

∴４＝错误!·q３，∴q＝２，∴x２＝１，x３＝２，

由根与系数的关系可得，m＝x１＋x４＝错误!，n＝x２＋x３＝３，∴|m—n|＝错误!.

（３）１a２＋b２＋３＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥２错误!＋２错误!＋２错误!＝ab＋错误!（a＋b）（当且仅当a２＝b２＝３时，等号成立）．

２a（１—a）＝—a２＋a＝—错误!错误!＋错误!≤错误!.

３当a与b异号时，不成立．

４∵a２d２＋b２c２≥２abcd，∴（ac＋bd）２＝a２c２＋b２d２＋２abcd≤a２c２＋a２d２＋b２c２＋b２d ２＝（a２＋b２）（c２＋d２），故不等式恒成立，所以１２４恒成立．

[答案] （１）钝角三角形（２）错误!（３）１２４

１．综合法处理问题的三个步骤

２．用综合法证明不等式时常用的结论

（１）ab≤错误!错误!≤错误!（a，b∈R）；

（２）a＋b≥２错误!（a≥0，b≥0）．

１．综合法是（）

Ａ．执果索因的逆推证法

Ｂ．由因导果的顺推证法

Ｃ．因果分别互推的两头凑法

Ｄ．原命题的证明方法

[答案] B

分析法的应用

[思路探究] 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键．

[解] 当a＋b≤0时，∵错误!≥0，

∴错误!≥错误!（a＋b）成立．

当a＋b>0时，用分析法证明如下：

要证错误!≥错误!（a＋b），

只需证（错误!）２≥错误!错误!，

即证a２＋b２≥错误!（a２＋b２＋２ab），

即证a２＋b２≥２ab.

∵a２＋b２≥２ab对一切实数恒成立，

∴错误!≥错误!（a＋b）成立．

综上所述，不等式成立．

１．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．

２．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．

２．已知a>0，错误!—错误!>１，求证：错误!>错误!.

[证明] 由已知错误!—错误!>１及a>0可知0错误!，

只需证错误!·错误!>１，

只需证１＋a—b—ab>１，

只需证a—b—ab>0，即错误!>１，

即错误!—错误!>１，这是已知条件，所以原不等式得证．

综合法与分析法的综合应用

１．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．

２．综合法与分析法有什么区别？

提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．

【例３】已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：（a＋b）—１＋（b＋c）—１＝３（a＋b＋c）—１．

[思路探究] 先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决．

[解] 法一：（分析法）

要证（a＋b）—１＋（b＋c）—１＝３（a＋b＋c）—１，

即证错误!＋错误!＝错误!，

只需证错误!＋错误!＝３，

化简，得错误!＋错误!＝１，

即c（b＋c）＋（a＋b）a＝（a＋b）（b＋c），

所以只需证c２＋a２＝b２＋ac.

因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，

所以B＝60°，

所以cos B＝错误!＝错误!，

即a２＋c２—b２＝ac成立．

∴（a＋b）—１＋（b＋c）—１＝３（a＋b＋c）—１成立．

法二：（综合法）

因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，

所以B＝60°.

由余弦定理，

有b２＝c２＋a２—２ac cos 60°.

所以c２＋a２＝ac＋b２，

两边加ab＋bc，得

c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），

两边同时除以（a＋b）（b＋c），得

错误!＋错误!＝１，

所以错误!＋错误!＝３，

即错误!＋错误!＝错误!，

所以（a＋b）—１＋（b＋c）—１＝３（a＋b＋c）—１．

综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.

３．设x≥１，y≥１，证明：x＋y＋错误!≤错误!＋错误!＋xy.

[证明] 因为x≥１，y≥１，所以要证明x＋y＋错误!≤错误!＋错误!＋xy，

只需证明xy（x＋y）＋１≤y＋x＋（xy）２.

将上式中的右式减左式，得

[y＋x＋（xy）２]—[xy（x＋y）＋１]

＝[（xy）２—１]—[xy（x＋y）—（x＋y）]

＝（xy＋１）（xy—１）—（x＋y）（xy—１）

＝（xy—１）（xy—x—y＋１）

＝（xy—１）（x—１）（y—１）．

因为x≥１，y≥１，

所以（xy—１）（x—１）（y—１）≥0，

从而可得不等式x＋y＋错误!≤错误!＋错误!＋xy成立.

１．下面叙述正确的是（）

Ａ．综合法、分析法是直接证明的方法

Ｂ．综合法是直接证法，分析法是间接证法

Ｃ．综合法、分析法所用语气都是肯定的

Ｄ．综合法、分析法所用语气都是假定的

[解析] 直接证明包括综合法和分析法．

[答案] A

２．欲证不等式错误!—错误!＜错误!—错误!成立，只需证（）

Ａ．（错误!—错误!）２＜（错误!—错误!）２

Ｂ．（错误!—错误!）２＜（错误!—错误!）２

Ｃ．（错误!＋错误!）２＜（错误!＋错误!）２

Ｄ．（错误!—错误!—错误!）２＜（—错误!）２

[解析] 要证错误!—错误!＜错误!—错误!成立，只需证错误!＋错误!＜错误!＋错误!成立，只需证（错误!＋错误!）２＜（错误!＋错误!）２成立．

[答案] C

３．将下面用分析法证明错误!≥ab的步骤补充完整：要证错误!≥ab，只需证a２＋b２≥２ab，也就是证__________________，

即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立．

[解析] 用分析法证明错误!≥ab的步骤为：要证错误!≥ab成立，只需证a２＋b２≥２ab，也就是证a２＋b２—２ab≥0，即证（a—b）２≥0．由于（a—b）２≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案] a２＋b２—２ab≥0（a—b）２≥0（a—b）２≥0

４．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝１，则错误!＋错误!＋错误!的最小值为________．

[解析] 因为a＋b＋c＝１，且a＞0，b＞0，c＞0，

所以错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝３＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥３＋２错误!＋２错误!＋２错误!＝３＋6＝9．

当且仅当a＝b＝c时等号成立．

[答案] 9

５．已知a＞0，b＞0，求证：错误!＋错误!≥错误!＋错误!.（要求用两种方法证明）

[证明] 法一：（综合法）

因为a＞0，b＞0，所以错误!＋错误!—错误!—错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝（a—b）错误!＝错误!≥0，所以错误!＋错误!≥错误!＋错误!.

法二：（分析法）

要证错误!＋错误!≥错误!＋错误!，只需证a错误!＋b错误!≥a错误!＋b错误!，即证（a—b）（错误!—错误!）≥0，因为a＞0，b＞0，所以a—b与错误!—错误!符号相同，不等式（a—b）（错误!—错误!）≥0成立，所以原不等式成立．