版高考数学一轮复习算法复数推理与证明直接证明与间接证明讲义理

[考纲解读] １．掌握直接证明的两种基本方法：分析法与综合法．（重点）

２．能够用反证法证明问题，掌握反证法的步骤：１反设；２归谬；３结论．（难点）３．综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点，主要在知识交汇处命题，如数列、不等式等．

[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点. 预测将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法与反证法的灵活应用，题型为解答题中的一问，试题难度中等.

１．直接证明

续表

２．间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．

（１）反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．

（２）用反证法证明的一般步骤：１反设——假设命题的结论不成立；２归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；３结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．

１．概念辨析

（１）综合法是直接证明，分析法是间接证明．（）

（２）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．（）

（３）反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．（）

（４）在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．（）答案（１）×（２）×（３）×（４）√

２．小题热身

（１）要证明错误!＋错误!<２错误!，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）

Ａ．综合法Ｂ．分析法

Ｃ．类比法Ｄ．反证法

答案B

解析用分析法证明如下：要证明错误!＋错误!<２错误!，需证（错误!＋错误!）２<（２错误!）２，即证１0＋２错误!<２0，即证错误!<５，即证２１<２５，显然成立，故原结论成立．

用综合法证明：因为（错误!＋错误!）２—（２错误!）２＝１0＋２错误!—２0＝２（错误!—５）<0，故错误!＋错误!<２错误!.

反证法证明：假设错误!＋错误!≥２错误!，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．

从以上证法中，可知最合理的是分析法．故选Ｂ．

（２）命题“对于任意角θ，cos４θ—sin４θ＝cos２θ”的证明：“cos４θ—sin４θ＝（cos２θ—sin ２θ）（cos２θ＋sin２θ）＝cos２θ—sin２θ＝cos２θ”过程应用了（）

Ａ．分析法

Ｂ．综合法

Ｃ．综合法、分析法综合使用

Ｄ．间接证明法

答案B

解析因为证明过程是“从左到右”，即由条件出发，经过推理得出结论，属于综合法．故选Ｂ．（３）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x３＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是（）

Ａ．方程x３＋ax＋b＝0没有实根

Ｂ．方程x３＋ax＋b＝0至多有一个实根

Ｃ．方程x３＋ax＋b＝0至多有两个实根

Ｄ．方程x３＋ax＋b＝0恰好有两个实根

答案A

解析因为“方程x３＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x３＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于１”，因此，要作的假设是方程x３＋ax＋b＝0没有实根．故选Ａ．

题型错误!分析法的应用

（２0１9·长沙模拟）已知函数f（x）＝tan x，x∈错误!，若x１，x２∈错误!，且x１≠x２，求证：错误!

[f（x１）＋f（x２）]>f错误!.

证明要证错误![f（x１）＋f（x２）]>f错误!，

即证明错误!（tan x１＋tan x２）>tan错误!，

只需证明

错误!错误!>tan错误!，

只需证明

错误!>错误!.由于x１，x２∈错误!，故x１＋x２∈（0，π）．所以cos x１cos x２>0，sin（x１＋x２）>0，１＋cos（x１＋x２）>0，

故只需证明

１＋cos（x１＋x２）>２cos x１cos x２，

即证１＋cos x１cos x２—sin x１sin x２>２cos x１cos x２，

即证cos（x１—x２）<１．

由x１，x２∈错误!，x１≠x２知上式显然成立，

因此错误![f（x１）＋f（x２）]>f错误!.

条件探究举例说明中“f（x）”变为“f（x）＝３x—２x”，试证：对于任意的x１，x２∈R，均有错误!≥f错误!.

１．分析法证明问题的策略

（１）逆向思考是用分析法证题的主要思想．

（２）证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．

２．分析法的适用范围及证题关键

（１）适用范围

１已知条件与结论之间的联系不够明显、直接．

２证明过程中所需要用的知识不太明确、具体．

３含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导．

（２）证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的．

已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：错误!＋错误!＝错误!.

证明要证错误!＋错误!＝错误!，

即证错误!＋错误!＝３，也就是错误!＋错误!＝１，

只需证c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），

需证c２＋a２＝ac＋b２，

又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，

由余弦定理，得

b２＝c２＋a２—２ac cos60°，

即b２＝c２＋a２—ac，故c２＋a２＝ac＋b２成立．