版高考数学一轮复习算法复数推理与证明直接证明与间接证明讲义理

[考纲解读] １．掌握直接证明的两种基本方法：分析法与综合法．（重点）
２．能够用反证法证明问题，掌握反证法的步骤：１反设；２归谬；３结论．（难点）３．综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点，主要在知识交汇处命题，如数列、不等式等．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点. 预测将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法与反证法的灵活应用，题型为解答题中的一问，试题难度中等.
１．直接证明
续表
２．间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
（１）反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
（２）用反证法证明的一般步骤：１反设——假设命题的结论不成立；２归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；３结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
１．概念辨析
（１）综合法是直接证明，分析法是间接证明．（）
（２）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．（）
（３）反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．（）
（４）在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．（）答案（１）×（２）×（３）×（４）√
２．小题热身
（１）要证明错误!＋错误!<２错误!，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）
Ａ．综合法Ｂ．分析法
Ｃ．类比法Ｄ．反证法
答案B
解析用分析法证明如下：要证明错误!＋错误!<２错误!，需证（错误!＋错误!）２<（２错误!）２，即证１0＋２错误!<２0，即证错误!<５，即证２１<２５，显然成立，故原结论成立．
用综合法证明：因为（错误!＋错误!）２—（２错误!）２＝１0＋２错误!—２0＝２（错误!—５）<0，故错误!＋错误!<２错误!.
反证法证明：假设错误!＋错误!≥２错误!，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．
从以上证法中，可知最合理的是分析法．故选Ｂ．
（２）命题“对于任意角θ，cos４θ—sin４θ＝cos２θ”的证明：“cos４θ—sin４θ＝（cos２θ—sin ２θ）（cos２θ＋sin２θ）＝cos２θ—sin２θ＝cos２θ”过程应用了（）
Ａ．分析法
Ｂ．综合法
Ｃ．综合法、分析法综合使用
Ｄ．间接证明法
答案B
解析因为证明过程是“从左到右”，即由条件出发，经过推理得出结论，属于综合法．故选Ｂ．（３）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x３＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是（）
Ａ．方程x３＋ax＋b＝0没有实根
Ｂ．方程x３＋ax＋b＝0至多有一个实根
Ｃ．方程x３＋ax＋b＝0至多有两个实根
Ｄ．方程x３＋ax＋b＝0恰好有两个实根
答案A
解析因为“方程x３＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x３＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于１”，因此，要作的假设是方程x３＋ax＋b＝0没有实根．故选Ａ．
题型错误!分析法的应用
（２0１9·长沙模拟）已知函数f（x）＝tan x，x∈错误!，若x１，x２∈错误!，且x１≠x２，求证：错误!
[f（x１）＋f（x２）]>f错误!.
证明要证错误![f（x１）＋f（x２）]>f错误!，
即证明错误!（tan x１＋tan x２）>tan错误!，
只需证明
错误!错误!>tan错误!，
只需证明
错误!>错误!.由于x１，x２∈错误!，故x１＋x２∈（0，π）．所以cos x１cos x２>0，sin（x１＋x２）>0，１＋cos（x１＋x２）>0，
故只需证明
１＋cos（x１＋x２）>２cos x１cos x２，
即证１＋cos x１cos x２—sin x１sin x２>２cos x１cos x２，
即证cos（x１—x２）<１．
由x１，x２∈错误!，x１≠x２知上式显然成立，
因此错误![f（x１）＋f（x２）]>f错误!.
条件探究举例说明中“f（x）”变为“f（x）＝３x—２x”，试证：对于任意的x１，x２∈R，均有错误!≥f错误!.
１．分析法证明问题的策略
（１）逆向思考是用分析法证题的主要思想．
（２）证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
２．分析法的适用范围及证题关键
（１）适用范围
１已知条件与结论之间的联系不够明显、直接．
２证明过程中所需要用的知识不太明确、具体．
３含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导．
（２）证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的．
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：错误!＋错误!＝错误!.
证明要证错误!＋错误!＝错误!，
即证错误!＋错误!＝３，也就是错误!＋错误!＝１，
只需证c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），
需证c２＋a２＝ac＋b２，
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得
b２＝c２＋a２—２ac cos60°，
即b２＝c２＋a２—ac，故c２＋a２＝ac＋b２成立．
于是原等式成立．
题型错误!综合法的应用
（２0１8·黄冈模拟）设数列{a n}的前n项和为S n，且（３—m）S n＋２ma n＝m＋３（n∈N）．其中m为常数，且m≠—３．
（１）求证：{a n}是等比数列；
（２）若数列{a n}的公比q＝f（m），数列{b n}满足b１＝a１，b n＝错误!f（b n—１）（n∈N，n≥２），求证：错误!为等差数列．
证明（１）由（３—m）S n＋２ma n＝m＋３，得
（３—m）S n＋１＋２ma n＋１＝m＋３．
两式相减，得（３＋m）a n＋１＝２ma n，m≠—３，
∴错误!＝错误!，∴{a n}是等比数列．
（２）∵（３—m）S n＋２ma n＝m＋３，
∴（３—m）a１＋２ma１＝m＋３，∴a１＝１．
b１＝a１＝１，q＝f（m）＝错误!，∴当n∈N且n≥２时，
b n＝错误!f（b n—１）＝错误!·错误!⇒b n b n—１＋３b n＝３b n—１
⇒错误!—错误!＝错误!.
∴错误!是首项为１，公差为错误!的等差数列．
１．利用综合法证题的策略
用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：（１）定义明确的问题；（２）已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．
２．综合法证明问题的常见类型及方法
（１）与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的
应用，尤其注意导数思想的应用．
（２）与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明．见举例说明.
设a，b，c都是正数，求证：错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c.
证明因为a，b，c都是正数，
所以错误!，错误!，错误!都是正数．
所以错误!＋错误!≥２c，当且仅当a＝b时等号成立，
错误!＋错误!≥２a，当且仅当b＝c时等号成立，
错误!＋错误!≥２b，当且仅当a＝c时等号成立．
三式相加，得２错误!≥２（a＋b＋c），
即错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
题型错误!反证法的应用
角度１证明否定性命题
１．（２0１8·株州月考）设{a n}是公比为q的等比数列．
（１）推导{a n}的前n项和公式；
（２）设q≠１，证明：数列{a n＋１}不是等比数列．
解（１）略
（２）证明：假设{a n＋１}是等比数列，则对任意的k∈N*，
（a k＋１＋１）２＝（a k＋１）（a k＋２＋１），
a错误!＋２a k＋１＋１＝a k a k＋２＋a k＋a k＋２＋１，
a错误!q２k＋２a１q k＝a１q k—１·a１q k＋１＋a１q k—１＋a１q k＋１，
∵a１≠0，∴２q k＝q k—１＋q k＋１.
∵q≠0，∴q２—２q＋１＝0，
∴q＝１，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{a n＋１}不是等比数列．
角度２证明“至多”“至少”“唯一”命题
２．已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f（x）∈M，
（ⅰ）方程f（x）—x＝0有实数根；
（ⅱ）函数f（x）的导数f′（x）满足0<f′（x）<１．
（１）判断函数f（x）＝错误!＋错误!是不是集合M中的元素，并说明理由；
（２）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈（m，n），使得等式f（n）—f（m）＝（n—m）f′（x0）成立．试用这一性质证明：方程f （x）—x＝0有且只有一个实数根．
解（１）１当x＝0时，f（0）＝0，所以方程f（x）—x＝0有实数根为0；
２因为f′（x）＝错误!＋错误!cos x，所以f′（x）∈错误!，
满足条件0<f′（x）<１．
由１２可得，函数f（x）＝错误!＋错误!是集合M中的元素．
（２）证明：假设方程f（x）—x＝0存在两个实数根α，β（α≠β），则f（α）—α＝0，f（β）—β＝0．
不妨设α<β，根据题意存在c∈（α，β）．
满足f（β）—f（α）＝（β—α）f′（c）．
因为f（α）＝α，f（β）＝β，且α≠β，所以f′（c）＝１．
与已知0<f′（x）<１矛盾．
又f（x）—x＝0有实数根，所以方程f（x）—x＝0有且只有一个实数根．
１．反证法证明问题的三步骤
２．反证法的适用范围
（１）否定性命题；
（２）命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；
（３）当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；
（４）要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.
１．已知x∈R，a＝x２＋错误!，b＝２—x，c＝x２—x＋１，试证明a，b，c至少有一个不小于１．证明假设a，b，c均小于１，
即a<１，b<１，c<１，则有a＋b＋c<３，
而a＋b＋c＝２x２—２x＋错误!＋３
＝２错误!２＋３≥３，
两者矛盾，所以假设不成立，
故a，b，c至少有一个不小于１．
２．已知四棱锥S—ABCD中，底面是边长为１的正方形，又SB＝SD＝错误!，SA＝１．
（１）求证：SA⊥平面ABCD；
（２）在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．
解（１）证明：由已知得SA２＋AD２＝SD２，
所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，
所以SA⊥平面ABCD.
（２）假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.
因为BC∥AD，BC⊄平面SAD.
所以BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，
所以平面FBC∥平面SAD.
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，所以假设不成立．
所以不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.。