第课基本不等式经典例题练习附答案
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式经典题目+答案
基本不等式经典习题1、已知x,y 为正数，则22x y xyx y的最大值为▲ 2．实数a 、b 、c 满足2225abc，则2687abbc c 的最大值为▲ ．3、已知正实数x ，y 满足24310xyxy，则xy 的取值范围为▲．【答案】[1，83]4、设x,y 是正实数，且x+y=1，则2221x yxy 的最小值为▲ 455.（浙江理16）设,x y 为实数，若2241,x yxy则2x y 的最大值是．21056、（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是D.112A.3B.4C.解析：考察均值不等式7（2010四川理数）（12）设0ab c，则221121025()aac c aba ab 的最小值是（A ）2（B ）4（C ）25（D ）58、设0a ＞b ＞，则211aaba a b的最小值是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49（2013考湖南卷（理））已知222,,,236,49a b c a b c abc 则的最小值为______.【答案】1210、[2014·辽宁卷] 对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．16．－211．设正实数,,x y z 满足22340xxy yz ，则当xy z取得最大值时，212xyz的最大值为（A ）0（B ）1（C ）94（D ）312、若实数,a b 满足12ab a b ，则ab 的最小值为13.设实数,x y 满足2214xy，则232x xy 的最小值是▲．92。
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
基本不等式练习题 含答案
试卷第1页，总1页基本不等式1、若，则的最大值为（ ）ABC ．2D 2、已知）A ．5B ．4 C ．8D ．6 3、设x>0 ） A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值5 D ．最小值4、已知 ()D.55、，则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数，且，则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足，则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。
怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。
023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页，总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析：根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析) (1)
基本不等式专题知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式 带答案
基本不等式1．若x ＞0，则x ＋4x的最小值为( )．A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析 ∵x ＞0，∴x ＋4x≥4.答案 D2．设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，则2a ＋3b的最小值为( )A.256 B.83C.113D ．4解析 由a >0，b >0,2a ＋3b ＝6得a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )(a 3＋b 2)＝23＋32＋b a ＋a b ≥136＋2 b a ·a b ＝136＋2＝256. 当且仅当b a ＝a b 且2a ＋3b ＝6，即a ＝b ＝65时等号成立．即2a ＋3b 的最小值为256. 答案 A3．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为⎝ ⎛⎭⎪⎫n 10＋4.9，n ∈N *元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天解析 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n 10＋4.9n2n＝32 000n ＋n20＋4.95， 当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去． 答案 B4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，所以ab ≤14，故B 错；1a＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤ a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．答案 C5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )．A.72B ．4C.92D ．5解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4ab a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案 C6．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd的最小值是( )． A ．0B ．1C ．2D ．4解析 由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则a ＋b2cd ＝x ＋y 2xy≥xy 2xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．答案 D7. 已知a b 、都是正实数， 函数2x y ae b =+的图象过（0,1）点，则11a b+的最小值是（ ）A．3+ B．3- C ．4D ．2答案 A8. 已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 解析 ∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝32，y ＝2.时xy 取得最大值3.答案 39．若a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab|a |＋2|b |的最大值为________．解析 a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则a 2＝1－4b 2⇒a 2＋4b 2＝1.∵a 2＋4b 2＝(|a |＋2|b |)2－4|ab |＝1.∴2ab |a |＋2|b |＝2ab1＋4|ab |，这个式子只有当ab >0时取得最大值，当ab >0时，∴2ab 1＋4|ab |＝2ab 1＋4ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab 2＋4ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋22－4，由于a 2＋4b 2＝1，故4ab ≤1，即1ab≥4，故当1ab＝4时，2ab |a |＋2|b |取最大值232＝24.答案2410．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1， 即xy ＝(x ＋y )2－1≤x ＋y 24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233. 答案23311． x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案 912．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍． 假设P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，2x 0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号． 答案 413．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解析 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0， (1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ， ∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2xy＋8yx≥10＋8＝18.故x ＋y 的最小值为18.14．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，abc都是正数． ∴bc a ＋cab≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立， ca b ＋abc≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2(bc a ＋ca b ＋abc)≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．。
基本不等式专题练习(含参考答案)
数学 基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。
基本不等式(解析版)
根据基本不等式，可知要使得 a 2 b 1 2 a 2 b 1 ，
试卷第 5页，总 7页
则满足
a b
20 1 0
，解得
a
2,
b
1
，
当且仅当 a 2 b 1 时，即 a b 1 时等号成立.
故答案为：（1） a 2 且 b 1 （2） a b 1 .
15．若 loga (a 1) loga (2 a ) 0 ，则实数 a 的取值范围是__________．
D．ac2＜bc2
【详解】
取 a 1, b 1, c 0 代入验证可知，A、D 选项错误；取 a 1, b 2 代入验证可知，B 选项错误.对于 C
选项，由于 a ¹ b ，所以 a b2 0 ，即 a2 b2 2ab 0, a2 b2 2ab 成立.
故选：C
试卷第 3页，总 7页
D，因为
x
0,
2
，所以
sin
x
0,1
，所以
y
sin
x
1 sin
x
2
，当且仅当
sin
x
1 sin
x
，即
x
2
时，等号成立，而
x
0,
2
，所以不正确.
故选：C.
二、填空题 13．若不等式 a < x + 4对∀x ∈ (0, + ∞)恒成立，则实数 a 的取值范围是__________．
x
【答案】（ − ∞，4）
，
故 D 正确．
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12．在下列函数中，最小值为 2 的是（
A． y x 5 （ x R 且 x 0 ） 5x
）
基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)
基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题（含答案）基本不等式及其应用琴点梳理1.基本不等式a +b .若a>0,, b>0,则—2~ > ab,当且仅当________ 时取丄”.这一定理叙述为：两个正数的算术平均数__________ 它们的几何平均数. 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；(一正)(2)和或积为定值；(二定)(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值. (三相等) 2.常用不等式2 2(1)a + b N2ab(a, b€ R).(2)—b a,b 02注:不等式a2+ b2>2at和电亠> ab它们成立的条件不同，前者只要求2a + ba、b都是实数，而后者要求a、b都是正数■其等价变形：ab<(王」)222(3)ab<I (a，b€ R).< 2丿b a(4)a + 2a，b同号且不为0).嘗］2，a2^(a，b€ R).a,b 0 (6)1 1——a ba +b +c 3 —(8) 3 >, abc ； a,b,c 03 •利用基本不等式求最大、最小值问题（1） _________________________________________________________ 求最小值：a>0, b>0,当ab 为定值时，a + b, a 2 + b 2有 ________________________ ，即a2 2+ b 》 ________ , a + b 》 _________ .（2） ______________________________________________________________ 求最大值：a >0, b >0,当a + b 为定值时，ab 有最大值，即 _______________________ ; 或a 2+ b 2为定值时，ab 有最大值（a >0，b >0）,即 ___________ .慕础自測|47*牛刀小逍❶设a , b € R ,且a + b = 3,则2a + 2b的最小值是（ ）A.6B.4 2C.2 2D.2 6解：因为 2a >0, 2b >0,由基本不等式得 2a + 2b >2 2a • 2b = 2 2a +b = 4 2,3当且仅当a = b =扌时取等号，故选Bb >0,且a + 2b — 2= 0,贝U ab 的最大值为（ A.1B.1C.2D.4解：v a >0, b >0, a + 2b = 2,二 a + 2b = 2>2 2ab ,g 卩 ab <*.当且仅当 a 1=1, b = *时等号成立.故选A.&小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和b （a v b ）,其全程的平均时速为v ，则（）A.a v v v abB. v = . aba 3+b 3+c 3abc w 3------- ；a,b,c . 0若 a > 0,—a+ b C. ab v v v 2a+ b D.v = 2解：设甲、乙两地之间的距离为 s..2222ab ab — a a — a—a = > —a +b a + b a + b❹(2014 •上海)若实数x , y 满足xy = 1,则x 2+ 2y 2的最小值为 ___________ ,解：由xy = 1得x 2 + 2y 2 = x 2+刍》吋2,当且仅当x =±紡时等号成立.故 填2 2.O 点(m,n)在直线x +y = 1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m + log 2n 的最大值是 ____________ .解：由条件知，m > 0, n > 0, m + n = 1,所以mn < m + n 211当且仅当m = n =云时取等号,• Iog2m + log2n = log 2mn < Iog4= — 2, 故填—2.类型一利用基本不等式求最值(x + 5)( x + 2)x +1 (x >— 1)的值域.解：I x >— 1, • x + 1>0,令 m = x +1,则 m >0,且 y = m + 5= 9,当且仅当m = 2时取等号，故y min = 9. 又当m —+x 或m —0时，y —+x ，故原函数的值域是［9,+x ).• a v b ,「. v =2s2ab 2ab --- <v — a + b 2 ab=ab. 又 v — a =••• v > a.故选 A.=m +m +5>2叫(m + 4)( m + 1)m(1)求函数y =(2)下列不等式一定成立的是( C.x 2+ 1 > 2|x |(x € R) )1B.sirx + —>2(X M k n, k € Z)sinx 1D ・严 >1(x € R)21 12 1 解：A 中，x + 4>x(x >0),当 x =㊁时，x + 4= x.1 sinx + 臥三一2(sinx € [- 1, 0)).C 中，x 2-2|x|+ 1 = (|x|- 1)2>0(x € R).1D 中，x^€ (0, 1](x € R).故C 一定成立，故选C.点拨:ax + bx + c 这里(1)是形如f(x)= a----- 的最值问题，只要分母x + d >0,都可以将x + def(x)转化为f(x)= a(x + d) + x ++d + h(这里ae >0;若ae v 0,可以直接利用单调性 等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件 ---- 一正、二定、三相等，特别注意等号成立 条件要存在.当且仅当t = 1时，f(t)min =— 2,故填—2.A.lgx 2+1>lgx(x>0) B 中, sinx + 亠》2(sinx € (0,1])；(1)已知t >0,则函数f(t) = 2t 2— 4t + 1的最小值为解: ••• t > 0, f(t)= t 2— 4t +1tt +1 — 4>— 2,(2)已知 x >0, y >0,且 2x + 8y —xy = 0,求： (I )xy 的最小值； (II )x + y 的最小值.8 2解：(I )由 2x + 8y — xy = 0,得殳+y = 1,又 x >0, y >0, 则 1=x +=$y ,得彬 64, 当且仅当x = 4y ,即x = 16, y = 4时等号成立.8 2解法二：由2x + 8y -x尸0,得x +寸1,则 x +y = £+ 2)• (x +y)= 10 + 2^+ 8y >10 + 2寸牛•乎=18,当且仅当 y =6, x =12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围 若关于x 的不等式(1 + k 2)x < k 4+ 4的解集是M ，则对任意实常数k ,总有()A.2€ M , 0€ MB.2?M , 0?MC.2€ M , 0?MD.2?M , 0€ Mk 4+ 45解法一：求出不等式的解集：(1 + k 2)x < k 4+ 4? x w 门 =(k 2 + 1) + 2-—k +1 k + 1 2? x < [l (k 2+1)+ k +1 — 2爲门=2循一2(当且仅当k 2^/5— 1时取等号).(I )解法 2x + 8y —xy = 0,得 x = _8yy —2’x >0, ••• y > 2,贝U x + y = y + 皿y —2 = (y — 2)+ 16 y —2 + 10> 18, 当且仅当16y —2即 y = 6, x = 12时等号成立.解法二(代入法)：将X = 2, x = 0分别代入不等式中，判断关于 k 的不等式 解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题， 对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值 ■另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a >f(x)恒成立? a > f(x)max ； (2)a v f(x)恒成立? a v f(x)min ； (3)a > f(x)有解？ a > f(x)min ； (4)a v f(x)有解？ a v f(x)max .GZ0 已知函数f(x)二e x + e —x,其中e 是自然对数的底数■若关于x 的不等 式 mf(x)<e —x + m — 1在(0，+^ )上恒成立，求实数 m 的取值范围.解：由条件知m(e x + e —x —1)<e —x — 1在(0，+^)上恒成立.t — 1令 t = e x(x > 0)，则 t > 1，且 m < —12 —1+ i = 成立.「tT + t ZL l+ 1>2(t —广 1二 3,1 1t —1+匚1+1当且仅当t = 2,即x = ln2时等号成立. 故实数m 的取值范围是i — x ,— 3 .类型三 利用基本不等式解决实际问题亘®'围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙 （利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度 为1 1对任意t > 1t— 1+1—1 +12 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180 元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）.⑴将y表示为x的函数；（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则y= 45x+ 180（x—2）+ 180 2a= 225x+ 360a —360.由已知心360,得* 3x0,3602所以y= 225x+ ---- —360(x> 2).(2)v x> 0，A 225x+360> 2 225X 3602= 10800，••• y= 225x+逝-360》10440,x2当且仅当225x= 警，即x= 24时等号成立.答：当x= 24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.匡3 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am, 高度为b m,已知排出的水中该杂质的质量分数与a, b的乘积ab成反比■现有制箱材料60 m2，问a, b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小（A, B孔面积忽略不计）.解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数， k根据题意可知：y = ab ，其中k 是比例系数且k > 0. 依题意要使y 最小，只需ab 最大.由题设得：4b + 2ab + 2a < 60(a > 0, b > 0), 即 a + 2b < 30- ab(a > 0, b >0). I a + 2b >2 2ab,••• 2 2 •, ab + ab <30,得 0v , ab <3 2.当且仅当a = 2b 时取“二”号，ab 最大值为18,此时得a = 6, b = 3. 故当a = 6 m , b = 3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少. 解法二：同解法一得b < 30+才，代入y =Ob 求解.课时作业|店屆*卜北UAJt 仲解：v a > 1，二 a +丄;=a — 1 + 丄.+ 1> 2(a — 1) - \ +1 = 2+ 1a — 1 a — 1 y a — 1=3,当a = 2时等号成立.故选C.2.设a , b € R , a ^ b,且a + b = 2,则下列各式正确的是()2 2 2 2 2 2 2 2a +b a + b a + b a + bA.ab v 1 v —2 —B.ab v 1 < —2 —C.1 v ab v —2 —D. ab < —2 —三1于a ^ b ,所以不能取等号)得，ab v 1v,故选A.A.2B.aC.3D. 2 *aa —1 解：运用不等式ab <号2?ab < 1 以及(a + b)2< 2(a 2+ b 2)? 2< a 2 + b 2(由A.0B.1C.2D.321 +( 4— 4x + x ) 1解：当 X V 2 时，2 — x >0,因此 f(x) = = + (2—2 — x2 — xx)> 2寸2—x ( 2 — x )= 2,当且仅当2——^ 2— x 时上式取等号■而此方程有解 x = 1€ (— s, 2),因此f(x)在(— s, 2)上的最小值为2,故选C.4.(2014 -福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知 该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的 最低总造价是()A.80 元B.120 元C.160 元D.240 元4解：假设底面的长、宽分别为x m , 4m ,由条件知该容器的最低总造价为80y = 80 + 20x + — > 160,当且仅当底面边长 x = 2时，总造价最低，且为 160元. 故选C.5■下列不等式中正确的是( )A. 若 a , b € R ，则b+2: b = 2B. 若 x , y 都是正数，则 lgx + lgy > 2 Igx - IgyD.若 x <0,贝U 2x + 2—x >2 2x - 2—x= 2解：对于A , a 与b 可能异号，A 错；对于B , lgx 与lgy 可能是负数，B 错; 对于 C ,应是 x + x =— |[(— x )+—4x <— 2寸(—x ) —x = — 4, C 错；对于 D ,若 x < 0,贝U 2x + 2—x >2 2x - 2—x = 2 成立(x = 0 时取等号).故选 D.3■函数 f(x)= 25 — 4x + x在(—s, 2)上的最小值是(C.若 x<0, 则 x + 4>— 2x ・4=-4 x6.(2014 •重庆)若log4(3a + 4b) = log2 Ob,则a+ b 的最小值是( )解：因为 logi(3a +4b) = Iog 2 ab,所以 log 4(3a + 4b) = Iog 4(ab),即卩 3a + 4b3a + 4b > 0,4 3=ab,且，即 a >0, b >0,所以a + 二=1(a >0, b >0), a + b =(a +,ab > 0,a b4 3 4b 3a4b 3a4b 3a n ,b) a +b = 7+^ + ~b > 7+ 2 a -b = 7+ 4 3, 当且仅当—=石时取等号•故选 D.X7•若对任意ix x> 0, x ^+x+l 三a 恒成立，则a的取值范围是.1解：因为x >0,所以x + 2(当且仅当x = 1时取等号),X 1 11所以有 ---- = ---------- < ----- =- 所以有 x 2+ 3x + 1 1“ 2+ 3 5’x1 故填a >匚.58. (2014四川)设m € R ，过定点A 的动直线x + my = 0和过定点B 的动直线 mx — y -m + 3= 0 交于点 P(x , y),则 |PA| - |PB|的最大值是 ________ .解：易知定点A(0, 0), B(1, 3). 且无论m 取何值，两直线垂直. 所以无论P 与A , B 重合与否，均有|PA|2 + |PB|2= |AB|2= 10(P 在以 AB 为直径的圆上). 所以 |PA| |PB|< 1(|PA|2+ |PB|2) = 5.当且仅当|PA|= |PB|= ,5时，等号成立■故填5.~2~x + 3x +1A.6 + 2 3 C.6 + 4 3B.7+ 2 3 D.7 + 4 315的最大值为49.(1)已知0V X V亍，求x(4 —3x)的最大值；(2)点(x, y)在直线x+ 2y= 3上移动，求2x+ 4y的最小值.4解：(1)已知0v x v3，二0v3x v4.1 1 | 3x + 4 —3x2 4•-x(4 - 3x)二3(3X)(4 - 3x)< 3 2 二3，2当且仅当3x= 4—3x,即x= §时“=”成立.2 4• ••当x= §时,x(4 —3x)取最大值为3・(2)已知点(x，y)在直线x+ 2y= 3上移动，所以x+ 2y= 3.• 2x+ 4y>2 2x• 4y= 2 2x+2y= 2 23= 4 2.•••当x= 3，y= 3时,2x+ 4y取最小值为4 2.10.已知a> 0, b> 0,且2a + b= 1,求S= 2 ab—4a2—b2的最大值.解：v a>0, b>0, 2a + b= 1 ,• 4a2+ b2= (2a + b)2—4ab= 1—4ab且 1 = 2a + b>2 2ab,即.ab w], ab< 8,A S= 2 ab—4a2—b2= 2 . ab—(1 —4ab) = 2 ab+ 4ab—1< 1.当且仅当a = 丁，b= 2时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：⑴设每间虎笼长为xm,宽为y m,则由条件，知4x+ 6y= 36,即2x + 3y = 18.当且仅当2= 4y，lx+ 2y= 3,3 3即x= 2, y=3时“=”成立.设每间虎笼的面积为S ,则S = xy. 解法一：由于 2x + 3y >2 2x X 3y = 2 6xy , __ 27 27 :.2 6xy W 18,得 xy <云，即 S < p 当且仅当2x = 3y 时等号成立.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大 3解法二：由 2x + 3y = 18,得 x = 9 — ^y. ■/x >0,二 0v y v 6. S = xy = 9-务 y =舟(6-y)y. ••• 0v y v 6,A 6 — y >S <f （6-；）+ y 2二鲁当且仅当6— y = y ,即y = 3时，等号成立，此时x =4.5. 故每间虎笼长4.5 m ,宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S = xy = 24.设钢筋网总长为I ，则1= 4x + 6y.解法一：T 2x + 3y > 2 2x • 3y = 2 6xy = 24, •••I = 4x + 6y = 2(2x + 3y)>48,当且仅当 2x = 3y 时，等号成立. /2x = 3y ,xy = 24, 故每间虎笼长6 m ,宽4 m时，可使钢筋网总长度最小24解法二：由xy= 24,得由’ 2x = 3y ,2x + 3y = 18,解得Ix =4.54.96 (1616.・.I = 4x+ 6y = ~y + 6y = 6 y + y》6X 2 , y x y = 48, 当且仅当許y,即y=4时，等号成立，此时x= 6.故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋网总长度最小11•若0> 1则0+肓的最小值是()。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
基本不等式(含答案)
3.4 基本不等式一、选择题（共10小题；共50分）1. 设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=( )A. 3B. 32C. 23D. 132. 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )A. v1+v2+v33B.1v1+1v2+1v33C. √v1v2v33 D. 31v1+1v2+1v33. 若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是( )A. 18B. 6C. 2√3D. 2√344. 若a,b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值是( )A. 18B. 6C. 2√3D. 2√345. 设0<a<b，a+b=1，则12，b，2ab，a2+b2中最大的是( )A. 12B. bC. 2abD. a2+b26. 已知正实数a，b满足1a +2b=√ab，则ab的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 47. 制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是( )A. 5.2mB. 5mC. 4.8mD. 4.6m8. 设正实数a，b，c满足a2−3ab+4b2−c=0，则当abc 取得最大值时，2a+1b−2c最大值为( )A. 0B. 1C. 94D. 39. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A. 60件B. 80件C. 100件D. 120件10. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A. y=x+1x B. y=cosx+1cosx(0<x<π2)C. y=2√x2+2D. y=e x+4e x−2二、填空题（共5小题；共25分）11. 设a,b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为．12. 将一根长10米的铁丝围成一个矩形，当矩形的宽为米时，所围成矩形的面积最大．13. 给出下列不等式的证明过程：①若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba⋅ab=2；②若x>0，则cosx+1cosx ≥2√cosx⋅1cosx=2；③若x<0，则x+4x ≤2√x⋅4x=4；④若a,b∈R，且ab<0，则ba +ab=−[(−ba)+(−ab)]≤−2√(−ba)⋅(−ab)=−2．其中证明过程错误的是（填序号）．14. 已知x>0，y>−1，且x+y=1，则x2+3x +y2y+1最小值为．15. 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(V20)2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要小时（不计货车的车身长）．三、解答题（共3小题；共39分）16. 已知0<x<13，求函数y=x(1−3x)的最大值．17. 回答下列问题：（1）已知x<3，求4x−3+x的最大值；（2）已知x，y是正实数，且x+y=4，求1x +3y的最小值．18. 某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）答案第一部分 1. D【解析】由题意得 ab =1λ×a ×(λb )≤1λ×(a+λb 2)2=1λ，当且仅当 a =λb =1 时，等号成立，所以 1λ=3，即 λ=13． 2. D【解析】设三个连续时间段的时长分别为 t 1，t 2，t 3，依题意有 v 1t 1=v 2t 2=v 3t 3=l ，总的增长量为 3l ，则 t 1+t 2+t 3=l (1v 1+1v 2+1v 3)．故该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为3l t 1+t 2+t 3=31v 1+1v 2+1v 3．3. B 【解析】3a +3b ≥2√3a ⋅3b =2√3a+b =6，当且仅当 3a =3b ，即 a =b =1 时，3a +3b 取得最小值 6．4. B5. B【解析】取 a =14，b =34，得 b >a 2+b 2>12>2ab ．6. C7. B8. B9. B 【解析】设平均每件产品的生产准备费用和仓储费用之和为 y ，则 y =800x+x 8≥2√800x⋅x 8=20，当且仅当 800x=x8，即 x =80 时取得最小值．10. D【解析】对于选项A ：当 x <0 时，A 显然不满足条件； 选项B ：y =cosx +1cosx≥2，当 cosx =1 时取等号，当 0<x <π2 时，cosx ≠1，B 显然不满足条件； 对于C ：不能保证 √x 2+2=√x 2+2，故错；对于D ：因为 e x >0，所以 e x +4e x −2≥2√e x ⋅4e x −2=2， 故只有D 满足条件． 第二部分 11. 3√2【解析】(√a +1+√b +3)2=a +b +4+2√a +1⋅√b +3≤9+2×(√a+1)2+(√b+3)22=9+a +b +4=18,所以 √a +1+√b +3≤3√2，当且仅当 a +1=b +3 且 a +b =5，即 a =72，b =32 时等号成立． 12. 5213. ①②③14. 2+√315. 8【解析】提示：物资全部运到B市需要的时间为：400V +16×(V20)2V=400V+V25≥2√400V⋅V25=8，当且仅当400V =V25，即V=100时，等号成立．第三部分16. 因为0<x<13，所以1−3x>0．y=x(1−3x)=13[3x⋅(1−3x)]≤13[3x+(1−3x)2]2=112．当且仅当3x=1−3x，即x=16时，取等号．所以当x=16时，函数取得最大值112．17. （1）因为x<3，所以x−3<0，所以4 x−3+x=4x−3+(x−3)+3=−[43−x+(3+x)]+3≤−2√43−x(3−x)+3 =−1.当且仅当43−x=3−x，即x=1时，等号成立，所以43−x+x的最大值为−1．（2）因为x，y是正实数，x+y=4，所以1 x +3y=(1x+3y)x+y4=14(4+yx+3xy)≥1+2√34=1+√32,当且仅当yx =3xy，即x=2(√3−1)，y=2(3−√3)时等号成立．故1x +3y的最小值为1+√32．18. 由于＂年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元＂，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年总维修费用为0.2+0.2x2⋅x万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y =10+0.9x +0.2+0.2x2⋅x x=1+10x +x 10≥1+2√10x ⋅x10=3当10x=x10，即 x =10（负值直接舍去）时取到等号，即当汽车使用 10 年报废，年平均费用 y 最小．答：这种汽车使用 10 年报废最合算．。
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy ＞0，则对x y ＋y x 说法正确的是()A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定2．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是()A ．400B ．100C ．40D ．203．已知x ≥2，则当x ＝____时，x ＋4x 有最小值____．4．已知f (x )＝12x ＋4x .(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值；(2)当x ＜0时，求f (x )的最大值．一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A ．x ＋12x B ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－xD ．x (1－x )2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是()A ．32－3B ．－3C ．62D ．62－33．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是()A ．200B ．100C ．50D ．204．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2?－x y ??－y x?＝－2.其中正确的推导过程为()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是()A ．2B ．22C ．4D ．56．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有()A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164二、填空题7．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________．8．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最________值，其值为________．9．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．三、解答题10．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8.12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．答案：1.答案：B2.答案：A3.答案：244.解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝83.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x ·?－4x ?＝83，当且仅当12－x＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.一、选择题1.答案：C2.解析：选D.y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3.解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立．4.解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的；④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5.解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6.解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.二、填空题7.答案：18.解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.答案：大1169.解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4时取等号．答案：3三、解答题10.解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2?x ＋1?·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴x ＝1时，函数的最小值是9.(2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立，∴y 有最小值8.11.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c，以上三个不等式两边分别相乘得(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．12.解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x ＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
基本不等式练习题(带答案)
,基本不等式1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )*A. 10B. 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥C 2D ．11xy≥|8. a ,b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 （ ）Ａ．22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+~11. 函数y =的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.、16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥）17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.(（18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y恒成立试证明你的结论.？《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.1214.对三、解答题1516. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式-简单题-含答案
1 4x - 5
的最小值为
____
D. 13 D. 10
(
)
(
)
１
参考答案
1. B
因为
x,y
∈
(0,
+
∞)，且
1 x
+
4 y
=
1，
所以 x + y =
1 x
+
4 y
x + y
=
1
+
4
+
y x
+
4x y
≥
5
+
2
当且仅当
y x
=
4x y
，即
xy
= =
3 6
时，等号成立，
y x
⋅
4x y
=
9，
2. A
=
0
得
x
=
1
或
x
=
3 2
，
当
5 4
<
x
<
3 2
时
y'
<
0
函数单调递减，
当
x
>
3 2
时
y'
>
0
函数单调递增．
所以当
x
=
3 2
时函数取得最大值为：4
×
3 2
+
1
4
×
3 2
-
5
=
7.
３
A. 3 5
B. 3 10
C. 4 5
(
)
D. 2 10
10. 若 a、b 都是正数，则
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
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第9课基本不等式 ◇考纲解读
①了解基本不等式的证明过程．
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．
◇知识梳理
1．常用的基本不等式和重要的不等式
①0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当，②22,______,2a b a b ab ∈+≥则
③,_____a b ∈，则ab b a 2≥+，④222)2
(2b a b a +≤+
2．最值定理:设,0,x y x y >+≥由
①如积(xy P x y =+定值），则积有______②如积2(2S
x y S x y += 定值），则积有______（）
运用最值定理求最值的三要素：
________________________________________________
◇基础训练
1．若1a b +=，恒有
（） A ．41
≤ab B ．41≥ab C ．1622≤b a D ．以上均不正确
2．当1
2x >时，821
y x x =+-的最小值为. 3．已知01x <<，则(12)y x x =-的最大值为.
4．实数,a b 满足22a b +=，则39a b +的最小值为.
◇典型例题
例1．求函数(5)(2)(1)1x x y x x ++=
>-+的最小值. 例2．已知+∈R b a ,，且191,a b
+=求a b +最小值. ◇能力提升
1．若+∈R b a ,，1)(=+-b a ab ，则b a +的最小值是（）
A ．222+ B.25+ C.222- D.22
2.下列命题中正确的是()
A .x x y 1+=的最小值是2
B .2
322++=x x y 的最小值是2 C .45
22++=x x y 的最小值是25D .x
x y 432--=的最大值是342- 3.若+∈R b a ,满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是________________.
4.若1x >时，不等式11x a x +
≥-恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 5.若(4,1)x ∈-,求2221
x x x -+-的最大值.
6.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台（x 是正整数）,且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用()x f ；
（2）能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用写出你的结论,并说明理由.
第9课基本不等式
◇知识梳理
1.①当且仅当0a =取等号,②R ,③R +.
2.①最小值,②最大值.一正，二定，三相等
◇基础训练 1.A2.
923.184.6 ◇典型例题
例1.解：∵1x >-，∴10x +>，
∴2(5)(2)(1)(1)441(1)111
x x x x y x x x x ++++++===++++++13≥+
例2.解：∵191,a b
+=∴199()()10()1016b a a b a b a b a b +=++=++≥+=g ，
∴a b +最小值为16.
◇能力提升
1.A
2.C,,
3.[)9,+∞,
4.(],3-∞
5.解：∵(4,1)x ∈-，∴10x -<， 当且仅当111x x -=
-，即0x =时取等号. ∴2221
x x x -+-的最大值为2-. 6.解：（1）设题中比例系数为k ,若每批购入x 台,则共需分x 36批,每批价值为20x 元. 由题意()x k x
x f 20436⋅+⋅= 由x =4时,y =52得5
18016==k （2）由（1）知()()
*,3604144N x x x x x f ∈≤<+= ()4841442=⨯≥∴x x
x f （元） 当且仅当x x
4144=,即6=x 时,上式等号成立. 故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.。