3因式分解
三阶方程式分解因式
三阶方程式分解因式什么是三阶方程式？三阶方程式，也称为三次方程式，是指具有三个未知数的代数方程。
它的一般形式可以表示为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0其中，a、b、c和d是实数系数，并且a不等于零。
这个方程中的最高次项是x的立方项（x^3）。
分解因式的意义和目的分解因式是将一个多项式表达式拆分成更简单的乘积形式的过程。
对于三阶方程式，我们希望将其分解成一系列乘积项，以便更容易理解和求解。
通过分解因式，我们可以找到多项式表达式的根（也称为零点或解），这些根是使得多项式等于零的值。
这对于求解方程、图形绘制和其他数学应用非常有用。
如何分解三阶方程式？要分解一个三阶方程式，我们需要使用一些特定的方法和技巧。
以下是一些常用的方法：1.因子分解法：通过找到多项式中可约因子来进行因子分解。
对于一个三阶方程式来说，我们可以尝试找到一个线性因子（即一次项）和一个二次因子（即二次项）。
2.组合因子法：通过使用两个一次因子和一个二次因子的组合来进行分解。
这种方法常用于具有特定形式的三阶方程式。
3.公式法：对于特定类型的三阶方程式，我们可以使用一些公式来进行因式分解。
例如，卡尔达诺公式可以用来分解某些特殊形式的三阶方程式。
4.数字试除法：通过尝试不同的数值来进行试除，以找到多项式中可约因子。
这种方法适用于具有整数系数的方程。
例子让我们通过一个具体的例子来演示如何分解一个三阶方程式。
假设我们有以下三阶方程式：x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0步骤1: 检查是否存在有理根根据有理根定理，如果一个多项式有有理根，那么这个有理根必须是多项式常数项（d）的约数，并且它们之间没有其他共同约数。
在本例中，d = -6。
我们需要找到-6的所有约数：-6 = -1 * 6 -6 = -2 * 3所以可能的有理根为±1、±2、±3和±6。
步骤2: 试除法我们可以使用试除法来尝试这些有理根，并找到多项式中的可约因子。
三次式的因式分解方法
三次式的因式分解方法三次式的因式分解方法是指将一个三次多项式拆分为几个一次或二次的因式的乘积形式。
一般来说，三次式的因式分解可以通过以下几种方法来进行。
一、公因式提取法公因式提取法是指先提取出多项式中的一个公因式，然后对余下的部分进行因式分解。
具体步骤如下：1.观察多项式中是否存在公因式，如果存在，就提取出来。
例如，对于三次多项式6x^3+9x^2-12x，可以看出其中的公因式是3x，因此可以先将其提取出来。
2.将公因式提取出来后，剩下的部分是一个二次多项式。
对二次多项式进行因式分解。
例如，上述多项式中提取出公因式3x后，剩余部分是2x^2+3x-4。
3.对二次多项式继续进行因式分解。
可以使用因式分解公式x^2+px+q=(x-a)(x-b)来进行分解，其中a和b分别是二次多项式的两个因子。
二、配方法配方法也是一种常用的三次式的因式分解方法。
它适用于那些由两个二次多项式相乘形成的三次多项式。
具体步骤如下：1.观察三次多项式，确定是否可以找到两个二次多项式的乘积形式。
例如，对于三次多项式x^3-4x^2+x-4，可以看到它的前两项和后两项能够分别构成一个二次多项式。
2.将三次多项式写成两个二次多项式的乘积形式。
对于上述三次多项式，可以将其写成(x^2+x)(x^2-4)。
3.将每个二次多项式进一步因式分解。
对于上述两个二次多项式，可以使用公式x^2+px+q和x^2-p^2来进行因式分解。
三、根与系数间的关系对于三次多项式来说，根与系数之间存在一定的关系。
如果我们能够找到多项式的根，就能够进一步进行因式分解。
具体步骤如下：1.使用因式分解公式，求出多项式的根。
一般可以使用一些求根的方法，如二次方程的求根公式或者图像法。
2.将求得的根带入多项式中，得到一个一次式或二次式。
这个一次式或二次式就是多项式的一个因式。
3.对于剩余的部分，继续进行因式分解。
可以使用其他的因式分解方法，如公因式提取法或配方法。
第3课 因式分解
2x＋1＝(x＋1)2，故本项错误；③等式的右边不是乘积形
式，不是因式分解，故本项错误；④2x＋4＝2(x＋2)，故
本项正确．
【纠错】 ④ ★名师指津 因式分解是将一个多项式变形为几个因式
的乘积的形式．在变形的过程中，应注意避免将部 分多项式转化成几个因式乘积的形式，导致式子最 后的形式是和的形式，从而没有正确地进行因式分 解．
【答案】 D
【类题演练 1】 下列式子变形是因式分解的是 ( ) A．x2－2x－3＝x(x－2)－3 B．x2－2x－3＝(x－1)2－4 C．(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3 D．x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)
【解析】 A．没把一个多项式转化成几个整式积的形式， 故本选项错误． B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项 错误． C．是整式的乘法，故本选项错误． D．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项正 确．
2．用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特 征．
【典例 3】 (2018·贺 州 ) 下 列 各 式 分 解 因 式 正 确 的 是
() A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2 B．2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2 C．2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y) D．x(x－y)－y(y＋x)＝(x－y)(x＋y) 【解析】 A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2，故本选项正确． B．2x2－4xy＋9y2 无法分解因式，故本选项错误． C．2x2－8y2＝2(x＋2y)(x－2y)，故本选项错误． D．x(x－y)－y(y＋x)无法分解因式，故本选项错误．
2．提取公因式法常用的变形有 a－b＝－(b－a)，当 n 为 奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当 n 为偶数时，(a－b)n ＝(b－a)n．
三次方程的因式分解——解析与实例
三次方程的因式分解——解析与实例引言：三次方程作为高中数学中的重要内容之一，是我们进一步了解多项式函数的基础。
本文将详细介绍三次方程的因式分解方法，包括基本原理、步骤和实例分析，旨在帮助读者更好地理解并运用这一概念。
一、三次方程与因式分解的关系（100字）三次方程是由三次多项式构成的方程，形如ax^3+bx^2+cx+d=0。
因式分解是将多项式拆分为两个或多个因式相乘的形式。
因式分解可以用于求解三次方程的解，同时也可用于研究多项式的最高次项和因式之间的关系。
二、三次方程的因式分解原理（200字）三次方程的因式分解基于因子定理和多项式乘法展开原理。
根据因子定理，如果一个多项式P(x)的值为0，那么x-a是P(x)的一个因子，其中a是其一个根。
因此，要分解一个三次方程，我们需要先找到其一个根，将其与因式x-a相乘，再进行多项式乘法展开，最终得到因式分解形式。
三、三次方程的因式分解步骤（300字）1. 寻找一个根：可以通过观察、代入法、综合余式定理等方法找到一个根。
2. 将根与因式相乘：将根x-a与三次方程相乘，即将三次方程中的每一项乘以x-a。
3. 展开多项式：将乘法展开后的多项式进行整理，得到一个新的多项式。
4. 重复上述步骤：重复进行步骤1-3，直到无法找到更多根为止。
5. 整理因式：将所有的因式相乘并整理，得到最终的因式分解的形式。
四、三次方程的因式分解实例分析（500字）我们通过一个具体的例子来进一步理解三次方程的因式分解。
例题：求解方程x^3-6x^2+11x-6=0步骤一：寻找一个根我们可以通过观察法发现，当x=1时，方程的值为0，即x=1是方程的一个根。
步骤二：将根与因式相乘将方程中的每一项乘以x-1，即得到：(x-1)(x^3-6x^2+11x-6)=0步骤三：展开多项式进行多项式乘法展开，得到：x^4-7x^3+12x^2-5x-6=0步骤四：重复上述步骤我们可以发现，x=1不再是新方程的根。
3因式分解---完全平方公式
师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。
2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。
二、重点难点完全平方公式的意义及运用。
1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。
知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。
注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。
．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。
分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。
解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。
【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。
分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。
一三分组分解因式
一三分组分解因式
（最新版）
目录
一、三分组分解因式的概念
二、三分组分解因式的方法
三、三分组分解因式的应用实例
正文
一、三分组分解因式的概念
三分组分解因式，是代数学中的一种因式分解方法，主要用于分解三项式。
这种方法主要是将一个三项式分成三部分，并通过因式分解将其化简。
三分组分解因式在解决一些复杂的代数问题时，能够起到简化式子的作用，使问题变得容易解决。
二、三分组分解因式的方法
三分组分解因式的具体步骤如下：
1.将三项式分成三部分，每部分包含一项。
2.对每个部分进行因式分解，得到三个因式。
3.将这三个因式重新组合，得到一个新的三项式。
这个新的三项式就是原三项式的因式分解式。
三、三分组分解因式的应用实例
假设我们要对以下三项式进行因式分解：
x^3 - 3x^2 - 9x + 6
我们可以按照以下步骤进行三分组分解因式：
1.将三项式分成三部分，每部分包含一项：
(x^3) - (3x^2 + 9x) + (6)
2.对每个部分进行因式分解：
x^2(x - 3) - 3(x^2 + 3x) + 2*3
= x^2(x - 3) - 3(x(x + 3)) + 2*3
= x^2(x - 3) - 3x(x + 3) + 6
3.将这三个因式重新组合，得到一个新的三项式：
(x - 3)(x^2 - 3x + 2)
因此，原三项式的因式分解式为：
(x - 3)(x^2 - 3x + 2)
通过三分组分解因式，我们成功地将一个复杂的三项式分解成了两个因式的乘积。
三阶方程式分解因式
三阶方程式分解因式在讨论三阶方程式分解因式之前，我们需要了解一些基本的代数知识。
三阶方程式是指一个具有三次项、二次项、一次项和常数项的代数方程。
一般形式为：ax³+bx²+cx+d=0，其中a、b、c和d是实数，并且a不等于零。
我们的目标是将三阶方程式分解因式，也就是将其表示为几个一次或二次项的乘积的形式。
在讨论具体的分解因式方法之前，让我们先来回顾一下一些常用的代数因式分解方法。
1.平方公式：a²+b²=(a+b)(a-b)。
这个公式可以用来分解二次项的和或差。
2.公因式提取法：将多项式的每个项中的公因式提取出来。
3.二次三项式公式：ax²+bx+c=(mx+n)(px+q)，其中m、n、p、q 是实数。
4.和差化积公式：a·b±c·d=(a±c)(b±d)。
这个公式可以将两个四项式的乘积表示为两个二项式的和或差。
接下来，我们将讨论一些用于分解三阶方程式因式的特定方法。
1.公因式提取法：如果三阶方程式中的每一项都有一个公共因子，那么我们可以将这个公共因子提取出来，并将三阶方程式表示为一个乘积形式。
例如：2x³+4x²+6x=2x(x²+2x+3)2.因式定理：如果一个多项式P(x)的一个因式是(x-a)，那么P(a)=0。
这个定理可以用来分解具有常数项的方程式。
例如：x³+2x²-3x-6=(x-2)(x²+4x+3)在这个例子中，我们将x-2作为因式，然后使用因式定理将其分解为(x-2)和(x²+4x+3)。
3.二次三项式公式：如果三阶方程式具有一个二次三项式因子，我们可以使用二次三项式公式来分解。
例如：x³+5x²+6x=x(x²+5x+6)=x(x+2)(x+3)在这个例子中，我们将x作为一个因式提取出来，并使用二次三项式公式将(x²+5x+6)分解为(x+2)(x+3)。
三次式因式分解
三次式因式分解
三次函数可以尝试用待定系数法进行因式分解，比如ax³+bx²+cx+d＝a(x+e)(x²+fx+g)，拆开计算出e，f，g的值，x²+fx+g能分解则继续分解，不能分解则因式分解完毕。
对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型。
令x=z-p/3z，代入并化简，得：z-p/27z+q=0，再令z=w，代入得：w+p/27w+q=0。
这实际上是关于w的二次方程，解出w，再顺次解出z，x。
形态特点
1、三次函数y=f(x）在（-∞，+∞）上的极值点的个数。
2、三次函数y=f（x）的图像与x 轴交点个数。
3、单调性问题。
4、三次函数f（x）图像的切线条数。
5、融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围。
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
三次方因式分解万能公式
三次方因式分解万能公式
三次方因式分解万能公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)a³-b³
三次方因式分解法很简便，直接把三次方程降次，例如：解方程x3-x=0，对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：
x1=0,x2=1,x3=-1。
1三次方怎么因式分解
设方程为（x+a）*（x+b）*（x+c）=0
展开为X3+（a+b+c）X2+（ab+ac+bc）X+abc=0
和原方程系数比较X3 X2 X和常数项系数分别相等求出a b c即可
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；
这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
三次多项式的因式分解待定系数法
三次多项式的因式分解待定系数法【知识原创】三次多项式的因式分解待定系数法引言：多项式的因式分解是代数学中的重要概念之一，它可以将复杂的多项式拆解为简单的因子乘积，从而使我们更好地理解多项式的性质和特点。
本文将聚焦于三次多项式的因式分解，介绍一种常用的方法——因式分解待定系数法，通过该方法我们可以高效且准确地分解三次多项式。
一、因式分解待定系数法的原理三次多项式是指次数为3的多项式，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d我们的目标是将该三次多项式分解为一次因式和二次因式的乘积，即： f(x) = (px + q)(rx^2 + sx + t)其中，p、q、r、s、t都是待定系数。
利用因式分解待定系数法，我们通过拆解出待定系数，然后展开两边进行比较，从而得到关于待定系数的线性方程组，通过解线性方程组可以得到最终的因式分解结果。
二、因式分解待定系数法的步骤1.根据三次多项式的形式，假设待定系数p、q、r、s、t，并将拆分后的因式乘积展开：f(x) = px^3 + qx^2 + rx^3 + sx^2 + tx + pqrx^2 + pqsx + pqt2.将展开后的因式分解形式与三次多项式进行比较，整理得到关于待定系数的线性方程组：系数a的对应关系：p = a系数b的对应关系：q + r = b系数c的对应关系：s + pq + t = c系数d的对应关系：tq = d3.解线性方程组，求解出待定系数p、q、r、s、t。
4.代入求解得到的待定系数，得到最终的因式分解结果。
三、个人观点和理解因式分解待定系数法是一种常用且实用的方法，能够高效地分解三次多项式。
通过假设待定系数，我们将复杂的三次多项式转化为解线性方程组的问题，从而得到了简化计算的方式。
这种方法尤其适用于需要求解因式分解结果的情况，可以准确地得到所需的因式分解形式。
因式分解待定系数法也可以进一步拓展到高次多项式的因式分解问题中，只需根据多项式的次数确定待定系数的个数，并按照类似的步骤进行推导和计算，使得方法适用范围更广。
三次方怎么因式分解
三次方怎么因式分解1在代数学中，因式分解是一项重要的技能。
因式分解是将多项式分解为较小的多项式乘积的过程。
在这篇文章中，我们将探讨三次方程如何进行因式分解。
2步骤一：找到公因数3首先，我们需要找到多项式中的公因数。
例如，如果我们有一个多项式 3x^3 + 6x^2，我们可以将其重写为 3x^2(x + 2)。
在这个例子中，公因数是 3x^2。
4步骤二：使用因式分解公式5如果多项式没有公因数，我们可以使用因式分解公式。
对于三次方程，我们可以使用以下公式：6a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)7例如，如果我们有一个多项式 x^3 + 8，我们可以将其重写为 (x + 2)(x^2 - 2x + 4)。
8步骤三：使用长除法9如果我们无法找到公因数或使用因式分解公式，我们可以使用长除法。
长除法是将多项式除以一个因式的过程。
例如，如果我们有一个多项式 x^3 + 3x^2 - 4x - 12，并且我们想将其除以 x + 2，我们可以按照以下步骤进行：10将第一项除以 x，得到 x^2。
11将 x^2 乘以 x + 2，得到 x^3 + 2x^2。
12将第二项减去 x^3 + 2x^2，得到 x^2 - 4x。
13将 x^2 - 4x 除以 x + 2，得到 x - 2。
14将 x - 2 乘以 x + 2，得到 x^2 - 4。
15将最后一项减去 x^2 - 4，得到 0。
16因此，我们可以将多项式 x^3 + 3x^2 - 4x - 12 分解为(x + 2)(x^2 - 4x + 6)。
17在代数学中，因式分解是一项重要的技能。
对于三次方程，我们可以使用公因数、因式分解公式或长除法来进行因式分解。
通过掌握这些技能，我们可以更好地理解多项式，并在解决数学问题时更加自信。
end。
因式分解50题
因式分解50题一．解答题（共50小题）1．因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．2．分解分式：m2﹣3m．3．因式分解：2x2﹣4x．4．因式分解：（x﹣1）（x+4）+4．5．分解因式：（1）3m（b﹣c）﹣2n（c﹣b）（2）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．6．（1）计算：（﹣2x2y3）2•（x﹣1y）3（2）分解因式：（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）7．因式分解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）；（2）8x2﹣2（x﹣y）2．8．因式分解：（2a﹣b）（3a﹣2）+b（2﹣3a）9．因式分解：（a﹣3）2+（3﹣a）10．分解因式：（2m+3n）（2m﹣n）﹣n（2m﹣n）11．已知：x+y＝6，xy＝4，求下列各式的值（1）x2+y2；（2）（x﹣y）2；（3）x2y+xy2．12．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy13．分解因式：x2﹣9+3x（x﹣3）14．ax2+2a2x+a3．15．因式分解：9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）216．把下列各式因式分解（1）a（x﹣y）+b（x﹣y）（2）（x+1）（x﹣1）﹣317．因式分解：（1）x2﹣10x（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay218．因式分解：4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）19．因式分解：2x3﹣24x2+54x．20．因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．21．将下列各式分解因式（1）x4+x3+x（2）x（x﹣y）+2y（y﹣x）22．分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）23．因式分解：6p（p+q）﹣4q（p+q）．24．因式分解（1）x2﹣9；（2）（x2+4）2﹣16x2．25．分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．26．分解因式：x4﹣（3x﹣2）2．27．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m．28．因式分解：2m（2m﹣3）+6m﹣1．29．因式分解：（1）16x2﹣9y2（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．30．（2x+5）2﹣（2x﹣5）2．31．分解因式：（Ⅰ）4a2﹣b2（Ⅱ）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 32．分解因式：（1）﹣x2﹣4y2+4xy（2）（x﹣1）2+2（x﹣5）33．分解因式：9（x+y）2﹣（x﹣y）2．34．因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9＝．35．因式分解（x2+4y2）2﹣16x2y236．分解因式：m2﹣（2m+3）2．37．因式分解：4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．38．分解因式：（x+2y）2﹣6x（x+2y）+9x2．39．分解因式：（x﹣1）2+2（x﹣5）．40．（1）2x2+2y2﹣6xy（2）x2﹣y241．把下列多项式因式分解：（1）x2﹣9；（2）4x2﹣3y（4x﹣3y）．42．分解因式：（1）16x2﹣8xy+y2；（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）．43．因式分解：25x2﹣9（x﹣2y）244．因式分解：a2+2a（a+1）+（a+1）245．分解因式：（x+2）（x﹣6）+16．46．因式分解：（1）x2﹣6x+9；（2）m2﹣n2+（m﹣n）．47．因式分解：（1）（x+3）2﹣16；（2）x4﹣18x2+81．48．因式分解：9x2﹣6x+1．49．因式分解：（x+y）2﹣4（x+y﹣1）50．因式分解：（2a+b）2﹣（a+2b）2因式分解二一．解答题（共50小题）1．分解因式：（1）2x2﹣8．（2）（y+1）（y+2）+．2．因式分解：（1）a3﹣2a2+a；（2）4a2（2x﹣y）+b2（y﹣2x）．3．因式分解：（1）ax2﹣4a；（2）x（x﹣6）+9．4．因式分解：（1）3a2﹣27；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．5．因式分解（1）x3﹣4x2+4x（2）a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）6．分解因式：（1）9x2﹣1．（2）4xy2﹣4x2y﹣y3．7．分解因式：（1）4x2﹣12x+9；（2）x2（3y﹣6）+x（6﹣3y）．8．分解因式：（1）3x2﹣27y2；（2）4x2y+y3﹣4xy2．9．把下列各式分解因式：（1）4x2y﹣4xy2+y3；（2）x4﹣1．（1）36﹣25x2；（2）x2y﹣4xy﹣5y．11．因式分解：（1）a2﹣ab；（2）2x2﹣2．12．因式分解：（1）2x2﹣4xy+2y2（2）（m﹣n）3+4（n﹣m）13．因式分解：（1）﹣2x2+4x﹣2；（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）．14．因式分解：（1）4a2﹣9；（2）2x2y﹣8xy+8y．15．因式分解：（1）x3﹣2x2y+xy2；（2）（x+2y）2﹣x2．16．分解因式：（1）4x2﹣36；（2）（x﹣2）2﹣2x+4．17．分解因式：（1）a3b﹣ab3；（2）3a2﹣12a+12．18．分解因式：（1）a2+2a；（2）x2﹣16．19．分解因式：（1）2x2﹣18；（2）a2﹣4ab+4b2﹣9．（1）xy﹣x+y﹣1；（2）a（a﹣2b）+（b﹣1）（b+1）．21．因式分解：x2﹣4xy+4y2﹣1 22．因式分解：2x2﹣4xy+3x﹣6y 23．因式分解：（1）1﹣x2+2xy﹣y2（2）25（x+y）2﹣36（x﹣y）2 24．3ax﹣18by+6bx﹣9ay25．分解因式：x3﹣2x2﹣3x26．因式分解：（1）x2﹣4x﹣12（2）a3﹣4a2+4a27．（1）因式分解：x3﹣4x；（2）x2﹣4x﹣1228．因式分解（1）x2﹣x﹣6；（2）ax2﹣2axy+ay229．分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．30．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）31．因式分解（1）2mx2﹣8my2（2）a2﹣6a﹣2732．因式分解：x2+x﹣233．分解因式：（1）2a2﹣8（2）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3 34．因式分解：3x2﹣12x+935．3x3﹣24x2+48x．36．（m2﹣2m）2﹣3（m2﹣2m）﹣4．37．因式分解：（1）a4﹣5a2﹣36；（2）x2﹣4x+4﹣4y2 38．因式分解（1）2x2﹣7x+3；（2）6x2﹣7x﹣5（3）5x2+6xy﹣8y239．分解因式：a3+7a2b﹣18ab2．40．分解因式：x+12﹣x2．41．因式分解：x4﹣3x2+1．42．因式分解：2a4﹣20a2+18．43．分解因式：（x+y）2﹣5（x+y）﹣644．因式分解（a）y2﹣3y﹣18（b）（x﹣1）2﹣3x﹣15．45．把下列各式因式分解：（1）x2+3x﹣130；（2）6y2+19y+15；（3）x2﹣9xy﹣36y2；（4）2a2x2﹣abxy﹣3b2y2；（5）10（x+2）2﹣29（x+2）+10；（6）（a2﹣a）2﹣14（a2﹣a）+24．46．（a）因式分解x2+8x+15（b）由此因式分解（a﹣100）2+8（a﹣100）+15．47．因式分解（1）6x2﹣7x+2；（2）x4﹣13x2+36；（3）（x2+7x+6）（x2+5x+6）+x2．48．分解因式：（1）x2+3x+2；（2）x2﹣x﹣20；（3）2x2﹣5x+2；（4）6x2﹣5x+1．49．分解因式：（1）x2+6x+8；（2）8a3﹣b3；（3）x2﹣2x﹣1；（4）4（x﹣y+1）+y（y﹣2x）50．分解因式：（1）x2y2+5xy﹣6；（2）x4+11x2y2﹣12y4；（3）x2+4xy+x+2y+4y2﹣6；（4）（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2；（5）（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12；（6）（2x2﹣3x+1）2﹣22x2+33x﹣1；（7）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）﹣8；（8）（a2﹣2a）2﹣7（a2﹣2a）﹣8．。
第3课因式分解(含求根公式分解法)
第3课 因式分解（含求根公式分解法）[考点透视]多项式的因式分解的意义与其因式分解的步骤；提公因法.公式法.分组法和十字相乘法是因式分解的四种基本方法；针对已知多项式的结构特点灵活运用四种基本方法进行因式分解；已知二次三项，利用一元二次方程的求根公式在实数范围内因式分解. [课前回顾]1.因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式.2.确定多项式的公因的方法：（1）对数字系数取各项系数的最大公约数；（2）各项都含有的字母取最低次数幂的积.3.针对平方差公式:))((22b a b a b a -+=-完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±的形式与特点，仔细观察题目的结构特征并与公式相对照，符合公式方可利用公式因式分解.4.分组分解时要有预见性即分组后有公因式或运用进行因式分解.5.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的一种方法.6.利用求根公式在实数范围内将二次三项式因式分解.[课堂选例]例1 因式分解：234xy x -分析 先提公因式x ，得)4(22y x x -，再利用平方差公式分解)4(22y x -即可. 解：)2)(2()4(42223y x y x x y x x xy x -+=-=- 例2 因式分解：y x y xy x ----222 分析 前三项分为一组，后两项分为一组，前一组可用十字相乘法分解因式后，两组里有公因式)(y x +可提. 解：y x y xy x ----222=)()2(22y x y xy x +--- =)()2)((y x y x y x +--+ =)12)((--+y x y x例 3 在实数范围内把4692-+x x 分解因式分析 对二次三项式4692-+x x 不能利用十字相乘法进行因式分解时，可利用一元二次方程的求根公式因式分解.特别注意二次项系数9不能遗漏. 解：由04692=-+x x ，得351±-=x 351,35121--=+-=∴x x )351)(351(94692---+--=-+∴x x x x)513)(513(++-+=x x例4 因式分解ab b a 4)1)(1(22--- 分析 先把前两个因式展开后，将得到的多项式进行分组，需要把ab 4-拆成两项，恰好配成两个完全平方公式的形式，再利用平方差因式分解. 解：ab b a 4)1)(1(22--- ab b a b a 412222-+--= )2()12(2222b ab a ab b a ++-+-=22)()1(b a ab +--=)1)(1(----++=b a ab b a ab 例5 若c b a ,,是三角形三边的长，则代数式ab c b a 2222--+的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．大于或等于零D ．小于或等于零 分析 因为c b a ,,为三角三边长，所以c b a ,,均为正值，且应满足三角形“任意两边和大于等三边”的关系，将代数式因式分解，再确定每个因式的符号即可. 解：ab c b a 2222--+222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a --+-=又c b a ,, 是三角形三边的长 c b a b c a +<>+∴, 即0,0<-->+-c b a c b a0))((<--+-∴c b a c b a即02222<--+ab c b a故选B.例6 如果b ax x x ++-2328能被142-x整除，求b a ,的值，并把多项式因式分解.解：由题意，可设bax x x ++-2328)2)(14(2c x x +-=c x cx x --+=24823比较等式两边对应项系数，可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=c b a c 224 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=21212c b a∴)212)(14(21228223--=+--x x x x x )212)(12)(12(-+-=x x x[课堂小结]1.因式分解是代数运算中一种重要的恒等变形，与代数中许多内容有密切关系，它的四种基本方法是进行因式分解的关键.2.在实数范围内分解因式一般用到配方法或求根公式.3.例5将一个难以确定的问题利用因式分解方法使问题易解.4.例6由条件设出分解式，再利用待定系数法构造方程，从而求出b a ,[课后测评] 一．选择题1．下列多项式中，能在实数范围内分解因式的是( )A ．42+xB ．22+xC ．12--x xD ．12++x x2.下列因式分解正确的是( ) A ．22)2331(4991x x x -=+-B ．2224)12(21-=-+m m mC ．)4)(4(16224-+=+m m mD ．)19)(19(192-+=-m m m3．一元二次方程02=++q px x 的两根为3，4，那么二次三项q px x ++2可分解为( )A ．)4)(3(-+x xB ．)4)(3(+-x xC ．)4)(3(--x xD ．)4)(3(++x x二．填空题4．分解因式：4524+-x x =5．分解因式：m ma ma 442+-=三.解答题6．运用两种方法把3223n n m mn m -+-分解因式.7．已知142++mx x 是关于x 的完全平方式，求352+-m m 的值.8.求证：四个连续整数的积与1的和是某个整式的平方.9.分解因式：2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++10．c b a ,,为∆ABC 的三边长，且06363223=--+abc c a b a a 判断∆ABC 的形状，并说明理由.。
三次函数因式分解
三次函数因式分解有以下情况：1、当三次函数的解析式的常数项为0时，如y=x^3-2x^2-3x,提出一个x，括号里面是二次函数，可以配方、分解因式。
另外，由多项式方程的根是常数项的因数这一定理，如果当常数项的因数是三次方程的根时，那么相应三次函数解析式可以分解因式。
例如，y=x^3-2x^2-x+2,常数项因数±1，±2,其中x=±1，x=2是三次方程的根，所以y=(x-1)(x+1)(x-2)。
三次函数可以尝试用待定系数法进行因式分解，比如ax³+bx²+cx+d＝a(x+e)(x²+fx+g)，拆开计算出e，f，g的值，x²+fx+g能分解则继续分解，不能分解则因式分解完毕。
对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型。
令x=z-p/3z，代入并化简，得：z-p/27z+q=0，再令z=w，代入得：w+p/27w+q=0。
这实际上是关于w的二次方程，解出w，再顺次解出z，x。
B.3因式分解
数学学科教案设计（首页）班级: 课时：2 授课时间:课题：§B.3 因式分解目的要求：巩固复习因式分解的有关概念与基本方法，进一步掌握因式分解的方法与技巧.重点难点：教学重点是巩固理解因式分解的概念与基本方法，进一步掌握因式分解的方法与技巧.教学难点是能恰当地选择因式分解的基本方法对整式进行因式分解.教学方法及教具：采用复习法、练习法与讨论法相结合完成教学，多媒体设备辅助教学.教学反思:作业或思考题:⑴读书部分：复习教材中§B.3;（2）书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第206-210页中强化练习1—7.数学学科教案设计（副页）*知识回顾理论升华因式分解的概念教学过程教师活动质疑把一个多项式化成几个最简整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.例如：x2—x=x(x—1 ), 2a°+6a2 =2a2(a2+3).说明：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的两个恒等变形的过程.整式乘法m(a +b + c ma + mb + mc因式分解因式分解的基本方法（一）提取公因式法1.提取公因式的概念多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式•2 •提取公因式的方法ma +mb +mc =m(a +b +c )，其中m是ma、mb、引导总结质疑引导mc的公因式.例如：3a2b -6ab3 =3ab（a-b2）•（二）十字相乘法1 •十字相乘法的概念对某些二次三项式ax2+bx+c,若有 2ax =aixUa2X ,C =C i U Q，且a i C2 +a2G =b，则2ax +bx+c=（a1x+G J a^^ +c2）.这个方法可按如下排列：按线交叉相乘的积是恥2 +a2C i ,正好等于 b ,把这种总结因式分解的方法叫做十字相乘法•学生活动回忆回答记忆回忆回答记忆设计意图通过对于因式分解知识的复习，帮助学生巩固理解因式分解的概念，有助于知识的巩固与运用.通过对于因式分解知识的复习，帮助学生巩固理解提取公因式法、十字相乘法、公式法的原理，有助于知识的巩固与运用.教学时间20—分钟例如：①数学学科教案设计(副页)教学过程-2x-3=(x-3Ix +1 ).x1 1x(-3)+1x 1 =-22x ②2x 2+ x-3 =(x -1 J 2x +3 ).1x3+2x(—1 )=12.十字相乘法的类型 (1)二次项系数为1的二次三项式的因式分解 适应于形如 X 2+(a +b )x +ab 型的二次三项式的因 式分解，关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分 解成两个数的积且这两个数的和等于一次项的系数, 上例①. (2) 二次项系数不为1的二次三项式的分解因式 适应于形如ax 2+bx +c 型的二次三项式的因式分 解，难度较大，需尝试确定适合条件的两个数，即把二 项系数与常数项分解成两个数的积且这两个数对应积 的和等于一次项的系数，如上例②. (三)运用公式法 常用于分解因式的公式:-b 2=(a +b [a —b )；2 2+2ab +b =(a +b )；2 2-2ab +b =(a —b ).例如：X 2-4 =(x-2 j(x +2 ),m 2+4m + 4 =(m +2 ).教师 活动 质疑引导总结学生 活动回忆回答记忆设计 意图通过对 于因式 分解知识的复 习，帮 助学生 巩固理 解提取 公因式 法、十 字相乘 法、公 式法的 原理， 有助于 知识的 巩固与 运用.教学 时间数学学科教案设计（副页）教学过程*巩固知识精选例题例题7用提取公因式法分解下列各式:/AX "^2. 3 小2. 2 ,c3. 2(1)12a b —6a b -18a b ；2 3(2)6x(x -y ) +3(y —X ).解：(1) 12a2b3 -6a2b2 -18a3b2 =6a2b2(2b -3a -1 )；2 3(2) 6x(x -y ) +3(y -X )=[3(x — y )平2x —^(x —y )2=3(x-y 2(x+y ).评注：找公因式的技巧是找相同的字母或公约数, 找类似的因式.例题8用十字相乘法分解下列各式:(1) 2(a +b 2 -4(a+b )+3 ；5x2 +6xy -8y2；(3) _爲2+a +6 .3解：(1) (a + b 2-4(a +b )+3 a +b 违a+b H]R a+b)-3] a +b —3 K J -1=(a+b —1 2+b —3 )；2 2(2) 5x +6xy-8y5x=(5x -4y j( X+2y )；_4y2y教师活动质疑分析讲解质疑分析讲解学生活动思考回答掌握思考回答掌握设计意图通过综合习题题型的讲解，进一步掌握运用提取公因式法因式分解的常规方法与技巧.通过综合习题题型的讲解，进一步掌握用十字相乘法因式分解的常规方法与技巧.教学时间30—分钟1 2(3) — -a +a +631 2 = --(a -3a-18)31一3@-62+3 )•5xa-4yX；数学学科教案设计（副页）例题 (1)解: 教学过程9用公式法分解下列各式:c 2,29x -4y ;2 2(a +2b 2 -(a -b ).(1) 9x 2 -4y 22 2(2) _x -4y +4xy ;=(3x +2y j(3x —2y )；2 2(2) -x -4y +4xy2 2= -(x -4xy +4y )2= —(x —2y 2;2 2 (3) (a +2b ) -(a -b ) =[a +2b + (a -b )][a +2b -(a -b )] =3b(2a +b ). 首项是负， 例题评注：每个因式应分解到不能再分解为止, 应将负号提出，括号里各项应变号. 10用恰当的方法分解下列各式： 因式的(1) x 2y 2-5x 2y —6x 2； 3 3 1 x y —-xy .4 解：（1）2 2 2 2x y -5x y -6x 2/2=x (y=x 2(y -6j(y +1)；(2) x 3y^-xy4教师 活动 质疑分析 讲解质疑 分析 讲解学生 活动思考回答掌握思考回答掌握设计 意图通过综 合习题 题型的 讲解， 进一步 掌握运 用公式 法因式 分解的 常规方 法与技 巧.通过综 合习题 题型的 讲解， 进一步 掌握运 用适当 方法分 解因式 的常规 方法与 技巧.教学 时间数学学科教案设计（副页）教学过程教师 活动 学生活动设计 意图教学 时间I 2 2 =—xy (4x y -1 )= -xy （2xy -1 j （2xy +1 ）. 4评注：分解因式的一般步骤 ① 如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式; ② 如果各项没有公因式，那么尝试运用公式来分 解; ③ 如果上述方法不能分解，那么可以尝试用十字 相乘法分解; ④ 分解因式，必须进行到每一个多项因式都不能 再分解为止. 例题11 已知 a-b=11, ab = —7，求 a 3b-2a 2b 2质疑 思考+ab 3的值. 解：已知 a —b =11, ab =-7，所以3. c 2・ 2 ab —2a b 3 2 2+ab =ab (a —b ) =—7X 11 =£47 .分析讲解 回答掌握通过综 合习题 题型的 讲解， 进一步 掌握运 用因式 分解求 代数式 的值的 常规方 法与技 巧.*运用知识强化练习 跟踪练习7用提取公因式法分解下列各式: 2 (1) -8m n -2mn ; (2) 6p(p — q )—4q(q — p ). 跟踪练习8用十字相乘法分解下列各式: (1) 2 23a -17ab 十10b ;(2a -b 2 -5(2a -b ) +6 ；-討n 2+3mn号数学学科教案设计(副页)教学过程教师活动学生活动设计意图跟踪练习9用公式法分解下列各式:(1) 1 -2a2+a4;(2)25a2—9b2;2(3) (a +b ) -2(a +b)+1.跟踪练习10用恰当的方法分解下列各式:(1)x -15x -16x ;(2)1-26a2+25a4;2 2 2(3)(X +2x ) -7(x +2x)—8 .跟踪练习11已知a+ b=13, ab =40，求2 2a b +ab的值.*归纳小结强化新知本单元学了哪些内容？重点和难点各是什么？(1)本单元课学了哪些内容？(2)通过本单元的学习，你会解决哪些新问题了?(3)在学习方法上有哪些体会？质疑巡视指导引导提问总结思考求解交流回忆反思归纳了解学生对整式的因式分解及运用因式分解求代数式的值的常规方法的掌握情况，并及时查漏补缺.培养学生总结学习过程的能力.教学时间35—分钟05分钟。
三阶多项式因式分解
三阶多项式因式分解三阶多项式指的是次数为三的多项式，通常可以表示为：$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。
其中 $a, b, c, d$ 为常数且 $a \neq 0$。
对于三阶多项式的因式分解，我们可以利用如下方法：1.因式定理。
如果我们发现$f(x)$中存在形如$(x-r)$的因子，那么我们可以利用因式定理将其分解出来，即：$f(x)=(x-r)g(x)$。
其中$g(x)$为$f(x)$去掉$(x-r)$因子后的另一个多项式。
2.二次因式分解。
如果我们无法找到$(x-r)$形式的因子，那么我们可以尝试使用二次因式分解，将三次项和常数项分解为两个二次式的乘积，如下所示：$a x^3 + b x^2 + c x + d = a(x - r)(x^2 + px + q)$。
其中 $p$ 和 $q$ 是常数，通过展开 $(x^2 + px + q)^2$ 可以得到以下方程组：$p + 2rq = \frac{c}{a}$。
$q + rp + r^2 = \frac{b}{a}$。
解出$p$和$q$后，就可以得到$f(x)$的因式分解形式。
举个例子，如果我们有$f(x)=2x^3-7x^2-15x+9$，那么我们可以尝试使用因式定理和二次因式分解进行因式分解：1.因式定理。
我们发现$f(3)=0$，因此$(x-3)$是$f(x)$的因子，于是：$f(x)=(x-3)(2x^2-x-3)$。
2.二次因式分解。
我们可以将 $f(x)$ 写为 $f(x) = 2(x - 3)(x^2 + px + q)$ 的形式，然后利用方程组：$p + 2rq = -\frac{15}{2}$。
$q + rp + r^2 = -\frac{7}{2}$。
解出 $p = -\frac{1}{2}$，$q = -3$，因此：$f(x) = 2(x - 3)(x^2 - \frac{1}{2}x - 3)$。
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a3b+2a2b2+ab3的值.
【解析】a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2, 将a+b=3,ab=2代入得,ab(a+b)2=2×32=18.
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18.
4+12(x-y)+9(x-y)2=________.
【思路点拨】把(x-y)看作一个整体,套用完全平方公 式.
【自主解答】4+12(x-y)+9(x-y)2
=22+12(x-y)+ [3(x－y)]2
=[2+3(x－y)]2 =(2+3x－3y)2.
答案:(2+3x－3y)2
【母题变式】(改变问法)因式分解:4-9(x-y)2=_____.
【题组过关】 1.(2016·宜昌中考)小强是一位密码编译爱好者,在他 的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2y2,a2-b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、
美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码
信息可能是 A.我爱美 ( ) C.爱我宜昌 D.美我宜昌
【自主解答】(1)am-3a=a(m-3). 答案:a(m-3)
(2)原式=(b+c)(2a-3).
答案:(b+c)(2a-3)
【名师点津】确定公因式的方法
(1)若各项系数都是整数时,取各项系数的最大公因数
作为公因式的系数. (2)取各项相同的字母(或多项式因式)作为公因式的字
母(或多项式),相同字母(或多项式)取最低次幂.
【备选例题】(1)(2015·济宁中考)因式分解:
12x2-3y2=________.
【解析】12x2-3y2=3(4x2-y2)=3(2x+y)(2x-y). 答案:3(2x+y)(2x-y)
(2)(2015·黔西南州中考)因式分解:4x2+8x+4
=________.
【解析】4x2+8x+4=4(x2+2x+1)=4(x+1)2. 答案:4(x+1)2
-(x-1)(x+2),正确.
2.(2016·达州中考)分解因式:a3-4a=________.
【解析】a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).
答案:a(a+2)(a-2)
【变式训练】(2015·孝感中考)因式分解:
(a-b)2-4b2=________.
【解析】(a-b)2-4b2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b). 答案:(a+b)(a-3b)
=3(a+b)(a-b). 答案:3(a+b)(a-b)
考点三
因式分解的应用
【典例4】(1)(2015·枣庄中考)如图,边长为a,b的矩
形的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为A.140 C.35 B.70 NhomakorabeaD.24
(
)
(2)(2015·黔西南州中考)已知x= 5 1 ,则x2+x+1
=1×(102-2×1)
=98. 答案:98
3.(2015·甘南州中考)已知a2-a-1=0,则a3-a2-a+2015
=________.
【解析】∵a2-a-1=0,∴a2-a=1, ∴a3-a2-a+2015=a(a2-a)-a+2015=a-a+2015=2015.
答案:2015
4.(2016·大庆中考)已知a+b=3,ab=2,求代数式
第三讲
因式分解
乘积 m(a+b+c) (a+b)(a-b)
(a±b)2 提取公因式
公式法
考点一
提公因式法因式分解
【典例1】(1)(2016·丽水中考)分解因式:am-3a=
________. (2)(2016·南京中考)分解因式2a(b+c)-3(b+c)的结果
是________.
【思路点拨】直接提取公因式即可.
B.宜昌游
【解析】选C.(x2-y2)a2-(x2-y2)b2
=(x2-y2)(a2-b2)
=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b).
2.(2016·福州中考)若x+y=10,xy=1,则x3y+xy3的值是
________.
【解析】x3y+xy3
=xy(x2+y2) =xy[(x+y)2-2xy]
提示:把9(x-y)2看成[3(x－y)]2使用平方差公式分解 为(2+3x-3y)(2-3x+3y).
答案:(2+3x-3y)(2-3x+3y)
命题角度2:提公因式后应用公式
【典例3】(1)(2016·聊城中考)把8a3-8a2+2a进行因
式分解,结果正确的是 A.2a(4a2-4a+1) ( )
【方法技巧】
1.公式中的a,b既可以是单独的一个字母,也可以是单
项式或多项式. 2.只有多项式符合完全平方公式或平方差公式的特点
时,才能用相应的公式因式分解.
3.(2016·毕节中考)分解因式3m4-48=________.
【解析】3m4-48=3(m4-42)=3(m2+4)(m2-4)=
3(m2+4)(m+2)(m-2). 答案:3(m2+4)(m+2)(m-2)
2 2
答案:2
【名师点津】因式分解在求代数式值中的应用
(1)因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将多
项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具体做 法是:根据题目的特点,先通过因式分解将式子变形,然
后再进行整体代入.
(2)用因式分解的方法将式子变形时,根据已知条件,变
形的可以是整个代数式,也可以是其中的一部分.
B.8a2(a-1)
C.2a(2a-1)2
D.2a(2a+1)2
(2)(2016·巴中中考)把多项式16m3-mn2分解因式的结
果是________.
【思路点拨】确定公因式,提取后再根据项数确定所使 用的公式继续因式分解.
【自主解答】(1)选C.8a3-8a2+2a=2a(4a2-4a+1)=
2a(2a-1)2. (2)多项式16m3-mn2=m(16m2-n2)=m(4m+n)(4m-n).
答案:m(4m+n)(4m-n)
【名师点津】因式分解的三步骤
(1)先看各项有无公因式,有公因式的先提取公因式.
(2)提公因式后看多项式的项数. ①若多项式为两项,则考虑用平方差公式因式分解.
②若多项式为三项,则考虑用完全平方公式因式分解.
③若多项式有四项或四项以上,就考虑综合运用上面的
方法.
(3)若上述方法都不能分解,则考虑把多项式重新整理、 变形,再按上面步骤进行.
【解析】ab-a2=a(b-a).
答案:a(b-a)
考点二
运用公式法因式分解
【考情分析】
运用公式法因式分解的层级为应用,在各地中考试
题中均有体现,是因式分解的一个重要考向,一般与提 公因式法结合在一起考查,以选择题或填空题的形式呈
现.
命题角度1:直接考查公式 【典例2】(2015·东营中考)因式分解:
4.(2016·东营中考)分解因式:a3-16a=________.
【解析】a3-16a=a(a2-42)=a(a+4)(a-4).
答案:a(a+4)(a-4)
5.(2016·威海中考)分解因式:(2a+b)2-(a+2b)2= ________.
【解析】原式=(2a+b+a+2b)(2a+b-a-2b)
2
=________.
【思路点拨】(1)提公因式后整体代入求值.
(2)计算出x+1后,局部提公因式,应用公式计算.
【自主解答】(1)选B.根据题意,得a+b=7,ab=10. a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70. (2)x2+x+1=x(x+1)+1= 5 1 5 1 1 =1+1=2.
【题组过关】 1.(2015·临沂中考)多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公 因式是 A.x-1 ( ) B.x+1 C.x2-1 D.(x-1)2
【解析】选A.因为mx2-m=m(x2-1)=m(x-1)(x+1),x22x+1=(x-1)2,所以公因式为x-1.
2.分解因式:ab-a2=________.
【题组过关】 1.(2015·贵港中考)下列因式分解错误的是( A.2a-2b=2(a-b) B.x2-9=(x+3)(x-3) C.a2+4a-4=(a+2)2 D.-x2-x+2=-(x-1)(x+2) )
【解析】选C.A.2a-2b=2(a-b),正确;B.x2-9=(x+3)(x3),正确;C.a2+4a-4不能因式分解,错误;D.-x2-x+2=