第3讲_因式分解(竞赛班)答案[1]
(原创)2020年因式分解竞赛题含答案
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；
2020年因式分解竞赛题含答案
作者：夏威夷松鼠
二、知识点回顾：
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)2
=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
所以
说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．
因式分解—2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编(解析版)
因式分解学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)若x=1，则1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+⋅⋅⋅+x(1+x)2013+x(1+ x)2014=．【答案】22015【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式(x+1)，得到(1+x)2015，再将x=1代入即得答案．【详解】解：当x=1时，原式=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+⋅⋅⋅+x(1+x)2012+x(1+x)2013]=(1+x)2[1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+⋅⋅⋅+x(1+x)2011+x(1+x)2012]=⋯=1+x2015=22015．故答案为：22015．2(2024·全国·七年级竞赛)若a、b是正整数，且756a=b3，则a的最小值是．【答案】98【分析】本题主要考查了因式分解、有理数乘方等知识点，掌握因式分解的应用是解题的关键．先将756因式分解，然后表示出a的最小值即可解答．【详解】解：∵756=33×22×7，756a=b3，∴a=b3756=b333×22×7，∴a min=2×72=98．故答案为98．3(2024·全国·八年级竞赛)已知a、b为正整数，且满足ab+a+b=2011，则满足条件的有序实数对(a, b)的组数是．【答案】4【分析】本题主要考查因式分解的应用，将ab+a+b+1=2012变形为a+1b+1=22×503，根据a、b为正整数得a+1≥2，b+1≥2，再分类讨论即可求解【详解】解：∵ab+a+b+1=2012，∴a+1b+1=22×503，又a、b为正整数，∴a+1≥2，b+1≥2，∴a+1=2b+1=1006,a+1=4b+1=503,a+1=503b+1=4,a+1=1006b+1=2，共4组，即有序实数对(a,b)共有4组．4(2024·全国·八年级竞赛)设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则ab2+b2-3a+12a2015=．【答案】-1【分析】本题考查了分式的化简求值，将a 2+2a -1=0与b 4-2b 2-1=0的差进行因式分解，得到a +b 2 a -b 2+2 =0，推出a 与b 的关系，并判断其是否满足1-ab 2≠0，最后将其代入ab 2+b 2-3a +12a2015中化简求解，即可解题．【详解】解：a 2+2a -1 -b 4-2b 2-1 =0，a +b 2 a -b 2+2 =0，若a -b 2+2=0，则b 2=a +2，则1-ab 2=1-a a +2 =-a 2+2a -1 =0，矛盾．所以a +b 2=0，即b 2=-a ，所以ab 2+b 2-3a +12a 2015=-a 2-a -3a +12a 2015=-a 2+2a +2a -12a 2015=-2a 2a 2015=-1．故答案为：-1．5(2024·全国·八年级竞赛)若m 2=n +2015，n 2=m +2015m ≠n ，则m 3-2mn +n 3的值为．【答案】-2015【分析】本题考查整式的化简求值，利用m 2=n +2015与n 2=m +2015m ≠n 的差，结合平方差公式进行因式分解，得出m +n =-1，将m 3-2mn +n 3变形为含m +n 的式子，再将m +n =-1代入式子，即可解题．【详解】解：由题知，m 2-n 2=n -m ，则m +n =-1，又m 3-2mn +n 3=m m 2-n -n m -n 2 =2015m +n =-2015．故答案为：-2015．6(2024·全国·八年级竞赛)已知多项式a 2+7ab +kb 2-5a +43b -24分解因式后能够变成两个含有a 、b 的一次因式的乘积，则实数k 的值为．【答案】-18【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式，二元一次方程组的求解，根据因式分解结合多项式乘以多项式可得m +n =7①，mn =k ②，3n -8m =43③，利用加减消元法求解二元一次方程组得到m ，n 的值，即可求出最后结果．【详解】解：a 2+7ab +kb 2-5a +43b -24可分解为a +bm +3 a +nb -8 ，∴a +bm +3 a +nb -8=a 2+mab +3a +nab +mnb 2+3nb -8a -8mb -24=a 2+m +n ab +mnb 2-5a +3n -8m b -24，∵a 2+7ab +kb 2-5a +43b -24，∴m +n =7①，mn =k ②，3n -8m =43③，③-3×①得：-8m -3m =43-3×7，解得：m =-2，将m =-2代入①得：n =9，∴k =mn =-18，故答案为：-18．7(2024·全国·八年级竞赛)已知：x =2012t +801，y =2012t +803，z =2012t +805，则x 2+y 2+z 2-xy -yz -zx =．【答案】12【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出x -y =-2，y -z =-2，x -z =-4，再根据完全平方公式把原式因式分别为12x -y 2+y -z 2+z -x 2，据此代值计算即可．【详解】解：∵x =2012t +801，y =2012t +803，z =2012t +805，∴x -y =-2，y -z =-2，x -z =-4x 2+y 2+z 2-xy -yz -zx=12x 2-2xy +y 2 +12y 2-2yz +z 2 +12x 2-2xz +z 2 =12x -y 2+y -z 2+z -x 2=12-2 2+-2 2+-4 2=124+4+16 =12，故答案为：12．8(2024·全国·八年级竞赛)分解因式：1-m 2-n 2+2mn =．【答案】(1+m -n )(1-m +n )【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，利用添括号把1-m 2-n 2+2mn 后三项放一起，得到1-m 2-2mn +n 2，利用完全平方公式进行因式分解，得到1-m -n 2，再利用平方差公式因式分解即可求解，掌握分组分解法是解题的关键．【详解】解：原式=1-m -n 2，=1+m -n 1-m +n ，故答案为：1+m -n 1-m +n ．9(2024·全国·七年级竞赛)若2x -3 +y -2 2=0，则x 2-2xy +y 2=．【答案】14/0.25【分析】根据非负数的性质求出x =32,y =2．再把字母的值代入x 2-2xy +y 2=x -y 2进行求解即可，此题考查了求代数式的值、完全平方公式和非负数的性质，求出字母的值是解题的关键．【详解】解：∵2x -3 +y -2 2=0，2x -3 ≥0,y -2 2≥0，∴2x -3 =0,y -2 2=0，∴2x -3=0,y -2=0，∴x =32,y =2．∴x 2-2xy +y 2=x -y 2=32-2 2=14，故答案为：1410(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足1a -1b +1c =1a -b +c，则△ABC 的形状为．【答案】等腰三角形【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的判定，先将分式变形得出bc -ac +ab abc =1a -b +c，得出abc =a -b +c ab -c a -b ，再进行因式分解，进而得出a =b 或b =c ，即可得出答案．【详解】∵1a -1b +1c =1a -b +c，∴bc -ac +ab abc =1a -b +c，∴abc =a -b +c ab -c a -b=ab a -b -c a -b 2+abc -c 2a -b ，a -b ab -c a -b -c 2=0，a -b ab -ac +bc -c 2 =0，∴a -b b -c a +c =0，∴a =b 或b =c ．故答案为：等腰三角形．11(2024·全国·八年级竞赛)已知a 2+b 2=2,x 2+y 2=1003，则多项式(ax +by )2+(bx -ay )2的值为．【答案】2006【分析】本题考查了整体代入求多项式的值，整式的混合运算，分组法因式分解等知识．先将(ax +by )2+(bx -ay )2进行计算得到a 2x 2+b 2x 2+b 2y 2+a 2y 2，再利用分组因式分解得到a 2+b 2 x 2+y 2 ，整体代入即可求解．【详解】解：(ax +by )2+(bx -ay )2=a 2x 2+b 2y 2+2abxy +b 2x 2+a 2y 2-2abxy =a 2x 2+b 2x 2+b 2y 2+a 2y 2=x 2a 2+b 2 +y 2a 2+b 2 =a 2+b 2 x 2+y 2 =2×1003=2006．12(2015·全国·八年级竞赛)若n 为整数，且n 2+9n +30是自然数，则n =．【答案】-14或-7或-2或5【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，设n 2+9n +30=p (p 为非负整数)，则可推出2n +9 2+39=4p 2，进而得到2p +2n +9 2p -2n -9 =39，再由题意可得2p +2n +9和2p -2n -9都是整数，再由39=-1×-39 =1×39，由此得到2p +2n +9=12p -2n -9=39或2p +2n +9=392p -2n -9=1 或2p +2n +9=32p -2n -9=13 或2p +2n +9=132p -2n -9=3 ，解方程组即可得到答案．【详解】解：设n 2+9n +30=p (p 为非负整数)，∴n 2+9n +30=p 2，∴4n 2+36n +120=4p 2∴2n +9 2+39=4p 2，∴4p 2-2n +9 2=39，∴2p +2n +9 2p -2n -9 =39，∵n ，p 都为整数，∴2p +2n +9和2p -2n -9都是整数，∵39=1×39=3×13∴2p+2n+9=12p-2n-9=39或2p+2n+9=392p-2n-9=1或2p+2n+9=32p-2n-9=13或2p+2n+9=132p-2n-9=3，解得p=10n=-14或p=10n=5或p=4n=-7或p=4n=-2∴n=-14或-7或-2或5，故答案为：-14或-7或-2或5．13(2024·全国·九年级竞赛)分解因式：a2-b2-2a+1=．【答案】(a-1+b)(a-1-b)【分析】先分组，得到(a2-2a+1)-b2，运用完全平方公式变形得到(a-1)2-b2，再根据平方差公式分解因式.【详解】a2-b2-2a+1=(a2-2a+1)-b2=(a-1)2-b2=(a-1+b)(a-1-b)，故答案为：(a-1+b)(a-1-b).【点睛】此题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.14(2024·全国·八年级竞赛)正整数a、b满足ab+a+b=90，则ab=．【答案】72【分析】本题考查因式分解的应用，根据条件可得a+1b+1=91，然后由a、b为正整数，可得a+1>1且b+1>1，进而求出a，b的值，代入求值即可．【详解】解：∵ab+a+b=90，∴ab+a+b+1=91，即a+1b+1=91，又∵a、b为正整数，∴a+1>1且b+1>1∴a+1=7b+1=13，a+1=13b+1=7，解得：a=6 b=12或a=12b=6，∴ab=6×12=72，故答案为：72．15(2024·全国·八年级竞赛)分解因式：2x3-12x2y+18xy2=．【答案】2x x-3y2【分析】本题主要考查提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式2x，再运用完全平方公式进行分解因式即可求解，掌握分解因式的方法是解题的关键．【详解】解：2x3-12x2y+18xy2=2x(x2-6xy+9y2)=2x x-3y2，故答案为：2x x-3y2．二、单选题16(2024·全国·八年级竞赛)若a=20072+20072×20082+20082，则关于a的说法正确的是( )．A.是正整数，而且是偶数B.是正整数，而且是奇数C.不是正整数，而是无理数D.无法确定【答案】B【分析】设n=2007，将根号下的整式通过加添项凑成完全平方式，去掉根号，再根据整式的性质进行判断正负性和奇偶性，本题考查了运用完全平方公式分解因式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式，及加添项的分解因式技巧．【详解】设n=2007，a=n2+n2n+12+n+12=n2-2n n+1+n+12+2n n+1+n2n+12=n+1-n2+2n n+1+n n+12=1+2n n+1+n n+12=1+n n+12=1+n n+1∵n n+1是偶数，∴1+n n+1是奇数，选项B符合题意，故选：B．17(2024·全国·九年级竞赛)任意正整数n都能够分解成两个正整数的乘积，若相乘的这两个正整数之差的绝对值最小，则分别记为a、b a≤b，并规定f n=ab．例如：f6 =23,f7 =17,f12=34，现有下列说法：①f2 =12；②f24=38；③若n是一个完全平方数，则f n =1；④若n是一个完全立方数，即n=a3(a是正整数)，则f n=1a．其中正确的有( )．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】此题主要考查了完全平方数，分解因数，新定义的理解和应用，掌握分解因数的方法是解本题的关键．①将2分解因数，进而找出2的两个因数即可得出结论；②将24分解因数，进而找出24的两个因数即可得出结论；③根据题意找出n的符合题意的分解即可得出结论；；④利用“相乘的这两个正整数之差的绝对值最小”举出反例，进而确定此说法错误即可．【详解】解：①∵2=1×2，∴f2 =12，此说法正确；②24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24-1>12-2>8-3>6-4，所以4×6是24的符合题意的分解，所以f24=23，故错误；③∵n是一个完全平方数，设n=x2x>0，∴x×x是n的符合题意的分解，则f n =1，此说法正确；④若n是一个完全立方数，即n=a3(a是正整数)，∵a是正整数，如64=43=8×8，f64=88≠18，则f n =1a不一定成立，此说法错误．综上所述，有两个正确，故答案为：B ．18(2024·全国·八年级竞赛)三位数abc 的平方的末三位数恰好是abc ，这样的三位数abc有()A.0个B.1个C.2个D.多于2个【答案】C【分析】本题考查分解因式的应用，掌握提取公因式分解是解题的关键．【详解】由题意知abc 2-abc =abc abc-1 是1000的倍数，∵1000=8×125，abc ,abc-1=1，∴(1)8整除abc 且125整除abc -1 ；(2)125整除abc 且8整除(abc-1)，由(1)得abc =376，由(2)得abc=625，∴共有两个，故选C ．19(2024·全国·八年级竞赛)已知实数m 、n 、p 满足m 2-2p =7，n 2-6m =-17，p 2+2n =-1，则m +n +p 的值等于( )．A.2 B.4 C.3 D.5【答案】C【分析】本题考查了因式分解的完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键，先将三式相加，并移项配方成三个完全平方式，即可得到答案．【详解】将m 2-2p =7，n 2-6m =-17，p 2+2n =-1三式相加，得m 2-2p +n 2-6m +p 2+2n =7-17-1整理得m 2-6m +9+n 2+2n +1+p 2-2p +1=0即(m -3)2+(n +1)2+(p -1)2=0∴m =3，n =-1，p =1，∴m +n +p =3．20(2024·全国·八年级竞赛)已知在△ABC 中，a 、b 、c 是三边的长，且a 2-12b 2-c 2+4ab +8bc =0，那么b a +c 的值是( )．A.14 B.12 C.34 D.1【答案】B【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式因式分解，根据完全平方公式变形得出a +2b 2-4b -c 2=0，得出a +2b +4b -c a +2b -4b +c =0，求出a -2b +c =0，再代入求值即可得出答案．【详解】解：∵a 2-12b 2-c 2+4ab +8bc =0，∴a 2+4ab +4b 2 -16b 2-8bc +c 2 =0，a +2b2-4b -c 2=0，a +2b +4b -c a +2b -4b +c =0，∵a +b -c >0，∴a +6b -c ≠0，∴a -2b +c =0，∴b a +c =12．故选：B ．21(2024·全国·八年级竞赛)已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，则a 2+b 2-c 2 2-4a 2b 2为()A.正数B.负数C.零D.无法确定【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解，三角形三边的关系，先利用平方差公式和完全平方公式把原式分解因式得到a +b +c a +b -c a -b +c a -b -c ，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边推出a 2+b 2-c 2 2-4a 2b 2<0即可得到答案．【详解】解：a 2+b 2-c 2 2-4a 2b2=a 2+b 2+2ab -c 2 a 2+b 2-2ab -c 2 =a +b 2-c 2 a -b 2-c 2=a +b +c a +b -c a -b +c a -b -c ，∵a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，∴a +b +c >0，a +b -c >0，a +c -b >0，a -b -c <0，∴a +b +c a +b -c a -b +c a -b -c <0，∴a 2+b 2-c 2 2-4a 2b 2<0故选：B ．22(2024·全国·八年级竞赛)若多项式x 2+mx +12因式分解得x +3 x +n ，则m +n =()A.8B.9C.10D.11【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m 和n 的值，再求解即可．【详解】解：由已知，x +3 x +n =x 2+3+n x +3n =x 2+mx +12故可得，3+n =m ,3n =12，∴n =4，m =3+n =7，∴m +n =4+7=11，故选：D三、解答题23(2024·全国·八年级竞赛)有n (n ≥2且为整数)支乒乓球队进行单循环赛，每支参赛队同其他各队都进行一场比赛．如果用a i 和b i 分别表示第i (i =1,2,3,⋯,n )支球队在整个赛程中胜与负的局数求证：a 21+a 22+⋯+a 2n =b 21+b 22+⋯+b 2n ．【答案】见解析【分析】本题考查了等式证明问题，利用平方差公式进行因式分解，作差比较是非常常用的方法．找出比赛规则下隐含的条件a i +b i =n -1，且a 1+a 2+⋯+a n =b 1+b 2+⋯+b n 是证题的关键．【详解】证明：∵比赛没有平局，且所有球队胜的总场数与负的总场数相等，∴a i +b i =n -1，且a 1+a 2+⋯+a n =b 1+b 2+⋯+b n ．∴a 2i -b 2i =a i +b i a i -b i =n -1 a i -b i ，∵a 21+a 22+⋯+a 2n -b 21+b 22+⋯+b 2n =a 21-b 21 +a 22-b 22 +⋯+a 2n -b 2n=a 1+b 1 a 1-b 1 +a 2+b 2 a 2-b 2 +⋯+a n +b n a n -b n=n -1 a 1-b 1 +n -1 a 2-b 2 +⋯+n -1 a n -b n =n -1 a 1-b 1+a 2-b 2+⋯+a n -b n =n -1 a 1+a 2+⋯+a n -b 1-b 2-⋯-b n =n -1 a 1+a 2+⋯+a n -b 1+b 2+⋯+b n =0；∴a 21+a 22+⋯+a 2n =b 21+b 22+⋯+b 2n ．24(2024·全国·九年级竞赛)中国古代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦分别提出了一般三角形面积的计算方法：①S =14a 2b 2-a 2+b 2-c 222；②S =p p -a p -b p -c ．(其中a 、b 、c 为三角形的三边长，p =a +b +c2,S 为面积)(1)请证明：14a 2b 2-a 2+b 2-c 222=p p -a p -b p -c ；(2)如图，线段MN =6，点B 在MN 上，且MB =4，点A 是线段MB 上一点，分别以A 、B 为圆心，AM 、BN 的长为半径画圆，⊙A 和⊙B 交于点P ，直接写出△PAB 的面积的最大值：．【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题考查了乘法公式的应用，二次函数的图象与性质．(1)对被开方数的字母因式利用乘法公式变形即可完成；(2)设AB =a ，则PA =4-a ，利用S =p p -a p -b p -c 表示出面积，再利用二次函数知识即可求解．【详解】(1)证明：∵14a 2b 2-a 2+b 2-c 222 =14ab +a 2+b 2-c 22 ab -a 2+b 2-c 22=14×(a +b )2-c 22×c 2-(a -b )22=14×(a +b +c )(a +b -c )2×(c +a -b )(c -a +b )2=a +b +c 2⋅a +b -c 2⋅c +a -b 2⋅c +b -a 2，∵p =a +b +c 2，∴a +b -c =2p -2c ，c +a -b =2p -2b ，c +b -a =2p -2a ，∴a +b +c 2⋅a +b -c 2⋅c +a -b 2⋅c +b -a 2=p (p -c )(p -b )(p -a )，∴14a 2b 2-a 2+b 2-c 22 2=p p -a p -b p -c ；(2)解：设AB=a，则PA=MB-AB=4-a，PB=BN=MN-MB=2，∴p=12MN=3，∴S=33-a3-23-4-a=3(-a2+4a-3)=-3(a-2)2+3，而对于-3(a-2)2+3，当a=2时，它有最大值3，∴S有最大值3；故答案为：3．25(2024·全国·八年级竞赛)在实数范围内因式分解：(1)-2x3+26x2y-3xy2；(2)a4+a2-6；(3)4(b+1)4-4b2-8b-3．【答案】(1)-x2x-3y2(2)a+2a-2a2+3(3)2b2+4b+12【分析】本题考查了实数范围内的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．(1)先提取公式因，再利用完全平方公式的方法进行因式分解即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式的方法进行因式分解即可；(3)利用完全平方公式的方法进行因式分解即可．【详解】(1)解：-2x3+26x2y-3xy2=-x2x2-26xy+3y2=-x2x2-26xy+3y2=-x2x-3y2；(2)a4+a2-6=a2-2a2+3=a+2a-2a2+3；(3)4(b+1)4-4b2-8b-3=4b+14-4b+12+1=2b+12-12=2b2+4b+12．26(2024·全国·八年级竞赛)已知a=xm2+1+2008,b=xm2+1+2009,c=xm2+1+2010，且abc=6，求abc+bca+cab-1a-1b-1c的值．【答案】1 2【分析】本题考查了分式化简求值，根据题意得出a-b=-1,b-c=-1,c-a=2是解题关键．【详解】解：依题意得：a-b=-1,b-c=-1,c-a=2，原式=a2+b2+c2-bc-ca-ababc=2a2+2b2+2c2-2bc-2ca-2ab2abc=a-b2+b-c2+c-a22abc=-12+-12+222×6=12．27(2024·全国·八年级竞赛)设a，b，c，d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=33，求d+b的值．【答案】5937或375【分析】本题主要考查了幂的乘方、因式分解的应用、解方程组等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．设a5=b4=m20,c3=d2=n6，则a=m4,b=m5,c=n2,d=n3，进而得到c-a=n2-m4=33；再根据题意因式分解可得n+m2n-m2=33×1=11×3，再分为n+m2=33n-m2=1或n+m2=11n-m2=3两种情况求得m、n，进而求得b、d，最后求和即可．【详解】解：设a5=b4=m20,c3=d2=n6，则a=m4,b=m5,c=n2,d=n3．∵c-a=n2-m4=33，∴n+m2n-m2=33×1=11×3．∵a，b，c，d均为正整数，∴m，n也为正整数，∴n+m2=33n-m2=1或n+m2=11n-m2=3，∴n=17m=4或n=7m=2，∴b=1024d=4913或b=32d=343，∴b+d=5937或375．故答案为：5937或375．28(2024·全国·八年级竞赛)已知a+b=3，x+y=5，ax+by=7．求a2+b2xy+ab x2+y2的值．【答案】56【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把所求式子因式分解成ay+bxax+by，再由一直条件式得到ax+ay+bx+by=15，进而求出ay+bx=8，据此可得答案．【详解】解：a2+b2xy+ab x2+y2=a2xy+b2xy+abx2+aby2=ax ay+bx+by bx+ay=ay+bxax+by，∵a+b=3，x+y=5∴a+bx+y=15，∴ax+ay+bx+by=15，∵ax+by=7，∴ay+bx=8，∴原式=8×7=56．29(2024·全国·八年级竞赛)已知：4a-b是11的倍数，其中a，b是整数，求证：40a2+2ab-3b2能被121整除．【答案】证明见解析【分析】本题考查了因式分解，整数的整除性，熟练掌握因式分解是解答本题的关键．设4a-b=11n，则b =4a-11n，先将代数式40a2+2ab-3b2因式分解，再将b的值代入并化简得121n2a-3n，即能证明结论．【详解】设4a-b=11n，则b=4a-11n，40a2+2ab-3b2=4a-b10a+3b=11n10a+34a-11n=121n2a-3n．故40a2+2ab-3b2能被121整除．30(2021·全国·九年级竞赛)因式分解x4+x2+2ax+1-a2【答案】x2+x+1-ax2-x+a+1【分析】利用“配方法”即先配方，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：x4+x2的特点，添上x2，-x2两项，原式=x4+2x2+1-x2+2ax-a2=x2+12-(x-a)2=x2+x+1-ax2-x+a+1【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式，平方差公式．。
八年级数学(竞赛)因式分解
第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。
2020年因式分解竞赛题含答案
2020年因式分解竞赛题含答案作者：夏威夷松鼠二、知识点回顾：1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b) (a~b)；(2)a2±2ab+b2= (a + b)2；(3)a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b) (a2+ab+b2)・下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca= (a+b+c)"；(6)a J+b3+c3-3abc= (a+b+c) (a2+b2+c2-ab~bc-ca)；(7)a n-b n= (a~b) (a n_l+a n_2b+a n'3b24-• •+ab n_2+b n_1)其中n 为正整数;(8)a n~b n= (a+b) (a n l-a" 2b+a n 3b2-<**+ab n_2-b n *),其中n 为偶数;(9)a n+b n=(a+b) (a n *-a n 2b+a n 3b2-**—ab" 2+b"'),其中n 为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.三、专题讲解例1分解因式:(l)-2x5n-l y n+4x3n_,y n+2-2x n_,y nM；(2)x3-8y3-z3~6xyz；解⑴原式二-2x” 1y n(x1n-2x2ny2+y1)=-2x nl y n[ (x2n) 2-2x2ny2+ (y2)2]=-2x n x y n (x2n-y2)2=-2x" !y n (x n-y)2 (x n+y)2.(2)原式二x'+ (-2y)3+ (-z) 3-3x (-2y) (-Z)= (x-2y-z) (x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)・例2分解因式：a；!+b3+c3-3abc・本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)・分析我们已经知道公式(a+b) 3=a3+3a~b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3= (a+b) 3-3ab (a+b)・这个®式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解原式=(a+b)'-3ab (a+b) +c3-3abc=[(a+b)3+c‘] -3ab(a+b+c)=(a+b+c) [ (a+b) 2-c (a+b) +c2]-3ab (a+b+c)=(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)・说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b '+c-3abcI=2[(a-b) 2+ (b-c) 2 十(c.a)勺(a十匕+c)=—Ca +b + c) (2a2+2b J +2c^-2ab-2bc-2ca)显然，当a+b+c二0 时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c>0 时，则a'{+b3+c -3abc 20,即『+b'+d3abc,而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.如果令x二$20, y二b、20, z二c'20,则有等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.※※变式练习1 分解因式：x l5+x14+x13+—+x2+x+l・分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项芒开始，X的次数顺次递减至0,由此想到应用公式来分解.解因为x l6-l=(x~l) (x"+x"+x"+・・・x2+x+l),所以(^-lXx^+K14+£口4-•七]+H +1) x -1十1)0?十1)広2 十1)(% 十% T=(%8 +1)0?吓1)(龙1 十1)(交牛1)说明在本题的分解过程中，用到先乘以(X-1),再除以(X-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.2.拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相及的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.例3分解因式：x -9x+8.分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法1将常数项8拆成-1+9・原式二x‘- 9xT+9= (x-l)-9x+9= (x~l) (x2+x+l)-9(x~l)= (x-l) (X2+X-8).解法2将一次项-9x拆成-x-8x・原式=x!-x-8x+8= (x-x) + (-8x+8)=x(x+1) (xT)-8(xT)= (x-l) (X2+X-8).解法3将三次项x‘拆成9x-8x3.原式二9x ~8x-9x+8=(9x'-9x) + (-8X3+8)=9x(x+1) (x-l)-8(xT) (x'+x+l)= (x-l) (X2+X-8).解法4添加两项-x2+x2・原式=X3-9X+8=X3-X2+X2-9X+8=x2 (x-l) + (x~8) (x-1)= (x-l) (X2+X-8).说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.※※变式练习1分解因式：(1)X9+X6+X3-3 ；(2)(m -1) (n2-l)+4mn；(3)(x+l)4+(x2-l)2+(x-l)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+l ・解(1)将一3拆成一ITT・原式=X94-X6+X3-1-1-1二(x"-1) + (x6-l) + (x3-1)= (x3-l) (x6+x3+l) + (x3-l) (x3+l) + (x3-l)= (x-l) (x6+2x3+3)= (x-l) (x2+x+l) (X6+2X3+3)・(2)将4mn 拆成2mn+2mn.原式=(m2-l) (n2-l)+2mn+2mn=m"n2-m J-n2+1 +2mn+2m n=(m J n"+2mn+l)- (m~-2mn+n") = (mn+l)2- (m-n)2= (mn+m-n+l)(mn-m+n+1)・(3)将(x2-l)2拆成2(X2-1)2-(X2-1)2.原式二(x+1) “+2 (x2-l)2-(x2-l)2+ (x-1)4=[(x+1) '+2 (x+1)2 (x-1)2+ (x-1)4]- (x2-l)2=[(x+l)2+(x-l)2]2-(x2-l)2=(2X2+2)2-(X-1)2=(3X2+1)(X2+3).(4)添加两项+ab-ab・原式二a3b-ab3+a2+b2+1 +ab-ab=(a3b~ab5) + (a2-ab) + (ab+b2+l)=ab (a+b) (a~b) +a(a~b) + (ab+b2+l)=a(a~b) [b(a+b)+l] + (ab+b2+1)= [a(a~b)+l] (ab+b2+l)= (a2-ab+l) (b~+ab+l)・说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验.3.换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.例 4 分解因式：(x2+x+1) (X2+X+2)-12.分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难.我们不妨将孑+x 看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.解设x2+x=y,则原式二(y+1) (y+2)-12=y2+3y-10= (y-2) (y+5) = (x2+x-2) (x2+x+5)= (x-l) (x+2) (X2+X+5).说明本题也可将x2+x+l看作一个整体，比如今疋+x+l二U, —样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试.例5分解因式：(X2+3X+2)(4X2+8X+3)-90.分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合.解原式=(x+l) (x+2) (2x+l) (2x+3)-90二[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+l)]-90=(2X2+5X+3)(2X2+5X+2)-90.令y二2x'+5x+2,则原式二y (y+1) -90=y2+y-90二(y+10)(y-9)=(2X2+5X+12)(2X2+5X-7)=(2X2+5X+12)(2X+7) (x-1).说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.※※变式练习1.分解因式：(X2+4X+8)2+3X (X2+4X+8)+2X2・解设x2+4x+8=y,则原式=y2+3xy+2x2= (y+2x) (y+x)=(X2+6X+8)(X2+5X+8)= (x+2) (x+4) (X2+5X+8)・说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换, 根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式.1.双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2X2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幕排列,并把y当作常数，于是上式可变形为2x - (5+7y) x-(22y=35y+3),可以看作是关于x的二次三项式.对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3) (-lly+1).再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式二[x+(2y-3)] [2x+(-lly+1)]二(x+2y-3) (2xTly+l)・上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表不的是下面三个关系式：(x+2y) (2x~lly) =2x2-7xy-22y2；(x-3) (2X+1)=2X2-5X-3；(2y-3) (-lly+1) =-22y2+35y-3.这就是所谓的双十字相乘法.用双十字相乘法对多项式ax'+bxy+cy'+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx・例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2 ；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y'+x_y_2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2・解(1)原式=(x-5y+2) (x+2y-l).原式二(x+y+1) (x-y+4).(3)原式中缺F项，可把这一项的系数看成0来分解.原式=(y+l) (x+y-2)・(4)原式=(2x~3y+z) (3x+y-2z).说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似.2.求根法我们把形如a…x n+a n jx"1+•••+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x), g(x),…等记号表示，如f (x) =X2-3X+2,g (x) =X5+X2+6,…，当X二8时，多项式f(X)的值用f(0)表示.如对上面的多项式f(X)f(l)=l-3X 1+2=0；f (-2)二(-2)2-3 X (-2) +2=12.若f (a) =0,则称0为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f (a) =0成立，则多项式f (x)有一个因式x-a.根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根.若既约分数2是整系数多顶式P定理2 fW - ax n十幻汁1十科"2十…十％区十a ao的根，则必有P是皈的约数，q是為的约数.特别地，当a°二1时，整系数多项式f(x)的整数根均为弘的约数.我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解.例2分解因式：x-4x2+6x-4.分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1, ±2, ±4,只有f(2)=23-4X22+6X2-4=0,即x二2是原式的一个根，所以根据定理1,原式必有因式x-2・解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2).原式二(x'-2x2) - (2X2-4X) + (2x~4)=X2(X-2)-2X(X-2) +2 (x-2)= (x-2) (x-2x+2).解法2用多项式除法，将原式除以(x-2),x2一2x 2x- 2/ x3-4x2+ 6x-4(I/-2x?+ 6x-2x?+ 4x2x- 42x・4~0所以原式二(x~2) (X2-2X+2)・说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根.因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.※※变式练习1.分解因式：9x l-3x3+7x2-3x-2・分析因为9的约数有±1, ±3, ±9； -2的约数有±1, ±2.所以源式的有理根只可能是±1・±2. 士》土卜±春・经栓验.只有£和彳是原式的根.所以原式有因式北+；和_|.又因为:仪+ £)山 ~|)= + l)(3x - 2)=1(9X2-3K-2),所以，原式有因式9X2-3X~2・解9X -3X3+7X2-3X-2=9x'-3x-2x~+9x"-3x-2=x2 (9X3-3X~2)+9X2-3X-2=(9X2-3X~2)(X2+1)= (3x+l) (3x-2) (x2+l)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式1 _2 2 _ 1 _ 2(x+-)(x--)=x -尹§可以化为9X2-3X-2,这样可以简化分解过程.总之，对一元高次多项式f(X),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x) 就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f (x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了.3.待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用.在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.例 3 分解因式：x"+3xy+2y2+4x+5y+3・分析由于(x2+3xy+2y2) = (x+2y) (x+y),若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x + y + n的形式，应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+ (m+n) x+ (m+2n) y+mn,比较两边对应项的系数，则有m + n = 4,|m + 2a = 5,ran = 3 ・解之得m二3, n=l.所以原式=(x+2y+3) (x+y+1).说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.※※变式练习1.分解因式：x"-2x‘一27x'-44x+7・分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1, ±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以, 在有理数集内，原式没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b) (x'+cx+d)的形式.解设原式=(x2+ax+b) (x'+cx+d)二x'+ (a+c) x3+ (b+d+ac) x~+ (ad+bc) x+bd,所以有a + c =b + d + ac = -27,■ad + be = ~ 44,bd = 7 ・由bd=7,先考虑b二1, d二7有a + c = -2,4 ac = -35,7a + c = -44,fa = -7解之得{c = 5.所以原式=(X2-7X+1)(X2+5X+7)・说明由于因式分解的唯一性，所以对b二-1, d二-7等可以不加以考虑.本题如果b二1, d二7代入方程组后，无法确定a, c的值，就必须将bd二7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止.本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法，使我们找到了二次因式.由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.四、巩固练习：1.分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变, 这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u二x+y, v=xy,用换元法分解因式.解原式=[(x+y) 2-xy] -4xy [ (x+y) -2xy].令x+y二u, xy=v,则原式二(u2-v) 2-4V (U2-2V)=U4-6U2V+9V2=(U2-3V)2=(x2+2xy+y2-3xy)2二(xJy+y 于・。
人教版数学八年级竞赛教程之因式分解小结附答案
因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。
【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321=-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()()()()()()()解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-=-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244222211111121111()()()()()()[()]()()()2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x x 3234+- 解一：将32x 拆成222x x +，则有原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 322222242222212()()()()()()()()解二：将常数-4拆成--13，则有原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 322221331113314412()()()()()()()()()3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
(完整版)因式分解(竞赛题)含答案
因式分解1、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。
甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。
”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。
二、知识点回顾：1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a 3+b 3+c 3-3abc ． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的正确性，现将此公式变形为a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b)． 这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c 3-3abc =［(a+b)3+c 3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)． 说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+b 3+c 3-3abc 显然，当a+b+c=0时，则a 3+b 3+c 3=3abc ；当a+b+c ＞0时，则a 3+b 3+c 3-3abc≥0，即a 3+b 3+c 3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立． 如果令x=a 3≥0，y=b 3≥0，z=c 3≥0，则有 等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．※※变式练习 1分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x+1． 分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n -b n 来分解． 解 因为 x 16-1=(x -1)(x 15+x 14+x 13+…x 2+x+1)， 所以 说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1)，再除以(x -1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例3 分解因式：x3-9x+8． 分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法4 添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习 1分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2 =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2． 原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4 =［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2 =［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)． (4)添加两项+ab-ab． 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1)． 说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰． 例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12． 分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 解设x2+x=y，则 原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5)． 说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试． 例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90． 分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合． 解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90． 令y=2x2+5x+2，则 原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)． 说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习 1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2． 解设x2+4x+8=y，则 原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8)． 说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式． 1．双十字相乘法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式． 例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 可以看作是关于x的二次三项式．的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 对于常数项而言，它是关于y 即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．的二次三项式分解 再利用十字相乘法对关于x 所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)． 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法． 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 例1 分解因式： (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2． 解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2) 原式=(x+y+1)(x-y+4)．来分解． (3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0 原式=(y+1)(x+y-2)． (4) 原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)． 说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法 我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…， 当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12． 若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根． 定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a． 根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根． 定理2 的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数． 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解． 例2 分解因式：x3-4x2+6x-4． 分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2． 解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 原式=(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4) =x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2)． 解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)， 所以原式=(x-2)(x 2-2x+2)． 说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习 1. 分解因式：9x 4-3x 3+7x 2-3x-2． 分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为： 所以，原式有因式9x 2-3x-2． 解 9x 4-3x 3+7x 2-3x-2 =9x 4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2 =x 2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2 =(9x 2-3x-2)(x 2+1) =(3x+1)(3x-2)(x 2+1) 说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程． 总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了． 3．待定系数法 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习 1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有有 由bd=7，先考虑b=1，d=7 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)． 说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止． 本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)． 分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式． 解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则 原式=(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2 =(u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．五、反思总结。
八年级数学竞赛讲座因式分解的应用附答案
第三讲 因式分解的应用 在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．例题求解【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．代数式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值．【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(大原市竞赛题)思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．【例3】计算下列各题：（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）20012000200019982000220002323-+-⨯-思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．( “希望杯’邀请赛试题)思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口． 链接解题思路的获得，一般要经历三个步骤：(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．不定方程(组)的基本解法有：(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．学力训练1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ．2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ．4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ．(四川省竞赛题)5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，476，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则xy y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 7．a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )A ．一2B ．一1C ．0D ． 2(江苏省竞赛题)8．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )A ．1999B ．2001C ．2003D ．2005（武汉市选拔赛试题）9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：)419)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++ 10．若a 是自然数，则a 4－3a+9是质数还是合数?给出你的证明．(“五城市”联赛题)11．已知a 、b 、c 满足a+b ＝5，c 2＝ab+b －9，则c ＝ ． (江苏省竞赛题)12．已知正数a 、b 、c 满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c ，则(a+1)(b+1)(c+1)= ．(北京市竞赛题)13．整数a 、b 满足6ab ＝9a —l0b+303，则a+b= ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)14．已知01445=--+--b a a b a a ，且132=-b a ，则33b a +的值等于 ．( “希望杯”邀请赛试题)15．设a<b<c<d ，如果x=(a ＋b)(c ＋d)，y=(a+c)(b+d)，z ＝(a+d)(b+c)，那么x 、y 、z 的大小关系为( )A ．x<y<zB ． y<z<xC ．z <x<yD ．不能确定16．若x+y=－1，则43222234585y xy xy y x y x y x x ++++++的值等于( )A ．0B ．－1C ．1D ． 3( “希望杯”邀请赛试题)17．已知两个不同的质数p 、q 满足下列关系 ：020012=+-m p p ，020012=+-m q q ，m 是适当的整数，那么22q p +的数值是( )A ．4004006B ．3996005C ．3996003D ．400400418．设n 为某一自然数，代入代数式n 3－n 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )A ．5814B ．5841C ．8415D ．845l (陕西省竞赛题)19．求证：存在无穷多个自然数k ，使得n 4+k 不是质数．20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数． (全国初中教学联赛题)21．已知b、c是整数，二次三项式x2+bx＋c既是x4+6x2+25的一个因式，也是x3+4x2+28x+5的一个因式，求x＝1时，x2+bx＋c的值．(美国中学生数学竞赛题)22．按下面规则扩充新数：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由． (重庆市竞赛题)。
因式分解(竞赛题)含答案
因式分解一、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。
甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。
”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。
二、知识点回顾：1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习1分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x 的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习1. 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．五、反思总结。
因式分解(竞赛题)含答案
因式分解运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习1分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解(1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习1. 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．五、真题精解：1）已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时的余数是1，除以x-2时的余数是3，那么，它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么？（第12届“希望杯”试题）解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)，当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3，即2m+n=3，解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-12）k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）解：原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为?(x+1)(x+2)，故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by]，将其展开得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-33）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值。
(完整版)因式分解(奥赛)
因式分解【奥赛花絮】最早的数学竞赛匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家,自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。
仅仅由于两次世界大战和1956年的匈牙利时件间断过7年。
2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。
【奥赛赛点】将一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。
因式分解是一种重要的恒等变形,在数学中有广泛的应用.因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法，配方法，待定系数法等。
【解题思路与技巧】1．换元法。
在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来代替,从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法.在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换（如例1，例2），对称代换（如例3)，倒数代换(如例4),平均代换(如例5)等。
2．主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素,将其他字母看作常数,然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫做主元法。
用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。
3．配方法通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例7,例8。
4．待定系数法在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值,从而解决问题的方法,如例9，例10。
【典型示例】例1 （1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题）在有理数范围内分解因式：(1)16（6x-1)(2x—1)（3x+1）(x-1）+25= 。
（2）(6x—1）(2x—1)（3x-1)（x-1)+x2= 。
(3）（6x—1)(4x-1)(3x-1)(x-1）+9x4= .[解] （1）原式=(6x—1)（4x—2）（6x+2)(4x+4)+25=（24x2-16x+2) （24x2-16x—8）+25设 24x2-16x+2=t，原式=t(t-10)+25=（t—5)2=(24x2—16x—3）2（2）原式=(6x-1）（x—1) (2x-1)(3x—1） +x2=（6x2-7x+1）（6x2-5x+1) +x2设6x2-7x+1=t, 原式=t（t-2x) +x2=（t—x)2=(6x2-6x+1)2（3)原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1） +9x4=(6x2-7x+1） (12x2-7x+1）+ 9x4设6x2-7x+1=t, 原式=t(6x2+t）+ 9x4=（t+3x2）2=（9x2-7x+1)2例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式：(2x–3y)3 + （3x–2y)3 –125（x–y）3= 。
完整word版本因式分解竞赛题包括答案.doc
因式分解一、入：有两个人相到山上去找精美的石，甲背了的一筐，乙的筐里只有一个他是最精美的石。
甲就笑乙：“你什么只挑一个啊 ?”乙：“漂亮的石然多，但我只一个最精美的就了。
”甲笑而不，下山的路上，甲感到担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石中挑一个最差的扔下，到下山的候他的筐里果只剩下一个石!启示：人生中会有多的西，得留恋，有的候你学会去放弃。
二、知点回：1．运用公式法在整式的乘、除中，我学若干个乘法公式，将其反向使用，即因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2 2-b) ；-b =(a+b)(a(2)a 2 ±2ab+b2=(a ±b) 2；(3)a 3 3 2 2) ；+b =(a+b)(a -ab+b(4)a 3 -b 3=(a -b)(a 2 +ab+b2) ．下面再充几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3 3 3 2 2 2+b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) ；(7)a n -b n=(a -b)(a n-1 +a n-2 b+a n-3 b2+⋯ +ab n-2 +b n-1 ) 其中 n 正整数；(8)a n n n-1 n-2b+an-3 2 n-2n-1) ，其中 n 偶数；-b =(a+b)(a -a b -⋯ +ab -b(9)a n n n-1 n-2 n-3 2 n-2 n-1+b =(a+b)(a -a b+a b - ⋯-ab +b ) ，其中 n 奇数．运用公式法分解因式，要根据多式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地公式．三、解例 1 分解因式：(1)-2x 5n-1y n+4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x 3-8y 3-z3 -6xyz ；解(1) 原式 =-2x n-1 y n(x 4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1 y n[(x 2n) 2-2x2ny2+(y 2) 2]=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2=-2x n-1 y n(x n-y) 2(x n+y) 2．(2) 原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( -Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) ．例2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．分析我已知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性，将此公式形3 3 3．a +b =(a+b) -3ab(a+b) 个式也是一个常用的公式，本就借助于它来推．解原式 =(a+b) 3 3-3ab(a+b)+c -3abc= ［ (a+b)3+c 3］ -3ab(a+b+c)=(a+b+c) ［ (a+b) 2 -c(a+b)+c 2] -3ab(a+b+c)2 2 2=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) ．明公式 (6) 是一个用极广的公式，用它可以推出很多有用的，例如：我将公式(6) 形a3+b3+c3 -3abc然，当3 3 3 3 3 3 3 3 3，a+b+c=0 ， a +b +c =3abc ；当 a+b+c＞ 0 ， a +b +c -3abc ≥ 0，即 a +b +c ≥3abc而且，当且当a=b=c ，等号成立．如果令 x=a3≥ 0， y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，有等号成立的充要条件是 x=y=z ．也是一个常用的．※※ 式1 分解因式： x15+x14+x13+⋯ +x2+x+1．分析个多式的特点是：有16 ，从最高次x15开始， x 的次数次减至0，由此想到用公n n来分解．式 a -b解因x 16 15+x14+x13 2，-1=(x -1)(x +⋯ x +x+1)所以明在本的分解程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，一技巧在等式形中很常用．2．拆、添法因式分解是多式乘法的逆运算．在多式乘法运算，整理、化常将几个同合并一，或将两个符号相反的同相互抵消零．在某些多式分解因式，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式： x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法 1 将常数项8 拆成 -1+9．原式 =x3-9x-1+93=(x - 1) -9x+92=(x -1)(x +x+1) -9(x -1)2解法 2 将一次项 -9x 拆成 -x-8x．原式 =x3-x-8x+83=(x - x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2解法 3 将三次项x3拆成 9x3-8x3．3 3原式 =9x - 8x -9x+8=(9x 3 3-9x)+( -8x +8)=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x 2+x+1)=(x -1)(x 2+x-8) ．解法 4 添加两项 -x2+x2．原式 =x3 -9x+83 2 2=x -x +x -9x+8=x2 (x -1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x 2+x-8) ．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习1分解因式：9 6 3(1)x +x +x -3；(2)(m 2 2-1)(n -1)+4mn；(3)(x+1) 4 2 2+(x -1)4 +(x -1) ；(4)a 3b-ab3+a2+b2+1．解 (1) 将 -3 拆成 -1-1-1．原式 =x9+x6+x3-1-1-1=(x 9 6 3- 1)+(x -1)+(x -1)=(x 3 6 3+1)+(x3 3 3 - 1)(x +x -1)(x +1)+(x -1)3=(x - 1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3) ．(2) 将 4mn拆成 2mn+2mn．原式 =(m2- 1)(n 2-1)+2mn+2mn2 2 2 2=mn -m-n +1+2mn+2mn2 2 2 2=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n )=(mn+1) 2 -(m-n) 2=(mn+m-n+1)(mn - m+n+1)．(3) 将 (x 2- 1) 2拆成 2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2．4 2 2 2 2 4原式 =(x+1) +2(x -1) -(x -1) +(x -1)=［ (x+1) 4+2(x+1) 2(x -1) 2+(x -1) 4] -(x 2-1) 2=［ (x+1) 2 2]2 2 2 +(x -1) -(x -1)=(2x 2 2 2 2 2 2．+2) -(x -1) =(3x +1)(x +3)(4) 添加两项 +ab-ab．3 3 2 2原式 =a b- ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)=a(a -b) ［ b(a+b)+1]+(ab+b 2+1)=[a(a -b)+1](ab+b 2+1)2 2=(a - ab+1)(b +ab+1) ．说明(4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．分析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母 y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设 x2+x=y，则2原式 =(y+1)(y+2) -12=y +3y-10=(y -2)(y+5)=(x 2+x -2)(x 2+x+5)=(x -1)(x+2)(x 2 +x+5) ．说明本题也可将 x2+x+1 看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例 5 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90．令 y=2x 2+5x+2，则原式 =y(y+1) -90=y2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x- 1) ．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．※※变式练习1. 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．解设 x2+4x+8=y ，则2 2原式 =y +3xy+2x =(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax 2 2+bxy+cy +dx+ey+f) ，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式 2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 ．我们将上式按 x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2 22x -(5+7y)x-(22y -35y+3) ，可以看作是关于 x 的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即： -22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解所以，原式 =［ x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3 ；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy 2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy 2，得到一个十字相乘图 ( 有两列 ) ；(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ；(2)x 2-y 2+5x+3y+4 ；(3)xy+y 2+x-y-2 ；(4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z2．解(1)原式 =(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式 =(x+y+1)(x-y+4)．(3) 原式中缺x2，可把一的系数看成0 来分解．原式 =(y+1)(x+y-2)．(4)原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z)．明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的似．2．求根法我把形如a n x n+a n-1 x n-1 +⋯ +a1x+a0(n 非整数 ) 的代数式称关于x 的一元多式，并用f(x)，g(x) ，⋯等号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，⋯，当 x=a ，多式f(x)的用f(a)表示．如上面的多式f(x)f(1)=1 2-3 × 1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若 f(a)=0，称a多式f(x)的一个根．定理 1( 因式定理 )若a是一元多式f(x) 的根，即f(a)=0成立，多式f(x) 有一个因式x-a ．根据因式定理，找出一元多式f(x)的一次因式的关是求多式f(x) 的根．于任意多式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多式f(x)的系数都是整数，即整系数多式，常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理 2的根，必有 p 是 a0的数， q 是 a n的数．特地，当 a0=1 ，整系数多式 f(x) 的整数根均 a n的数．我根据上述定理，用求多式的根来确定多式的一次因式，从而多式行因式分解．例2 分解因式： x3-4x 2+6x-4 ．分析是一个整系数一元多式，原式若有整数根，必是-4的数，逐个-4的数：±1，± 2，± 4，只有f(2)=2 3-4 × 22+6× 2-4=0 ，即 x=2 是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2 ．解法 1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2) ．32 2=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法 2 用多项式除法，将原式除以(x-2) ，所以原式 =(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4 的约数，反之不成立，即-4 的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4 的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习1.分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有± 1，± 3，± 9；-2的约数有± 1，±为：所以，原式有因式9x 2-3x-2 ．解9x 4-3x 3+7x2-3x-2432 2=9x -3x -2x +9x -3x-223 2=x (9x -3x-2)+9x-3x-22 2=(9x -3x-2)(x+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2 ，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x) ，如果能找到一个一次因式(x-a) ，那么 f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而 g(x) 是比 f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x) 进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程 ( 或方程组 ) ，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例 3 分解因式： x2+3xy+2y 2+4x+5y+3 ．分析由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和 x＋y＋ n 的形式，应用待定系数法即可求出 m和 n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y 2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ，比较两边对应项的系数，则有解之得 m=3， n=1．所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习1. 分解因式： x4-2x 3-27x 2-44x+7 ．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是± 1，± 7(7 的约数 ) ，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，2 2只能分解为 (x +ax+b)(x +cx+d) 的形式．解设原式 =(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)=x4+(a+c)x 3+(b+d+ac)x 2+(ad+bc)x+bd ，所以有由bd=7，先考虑 b=1， d=7 有所以原式 =(x 2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1 ， d=-7 等可以不加以考虑．本题如果b=1， d=7 代入方程组后，无法确定a，c 的值，就必须将bd=7 的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1.分解因式：(x2+xy+y2) -4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．解原式2 2 2=[(x+y) -xy] -4xy[(x+y) -2xy] ．令 x+y=u， xy=v ，则原式 =(u 2- v) 2-4v(u 2-2v) =u4-6u2v+9v2=(u 2 2 - 3v)=(x 2 2 2 +2xy+y -3xy)=(x 2-xy+y 2)2．五、反思总结。
七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)
初中数学竞赛辅导资料因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。
下面再介紹两种方法1．添项拆项。
是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
因式分解(竞赛题)含答案48919
因式分解一、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。
甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。
”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。
二、知识点回顾：1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习1分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习1. 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．五、反思总结。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第三讲 因式分解的应用(含答案)
第三讲 因式分解的应用趣题引路】考考你：333311111222231*********++等于多少？ 想一想立方和公式，设a ＝22223，b ＝11112，a －b ＝11111，故原式＝3333)(b a a b a -++＝))(2())((2222b ab a b a b ab a b a +--+-+＝b a b a -+2＝11112444461111222223-+＝3333433335．这是因式分解的魔力！想知道因式分解在哪些方面有用吗？怎样用好这个工具？本讲将告诉你答案．知识拓展】因式分解是代数变形的重要工具．它在数值计算、代数式的化简、恒等式的证明、不定方程、几何证明等方面都有广泛应用．下面举例说明． 一、利用因式分解化简求值例1 若a 是方程x 2－3x ＋1＝0的一个根，试求2a 5－5a 4＋2a 3－8a 2＋3a 的值．解析 依题意有a 2－3a ＋1＝0，设法弄清所求代数式与a 2－3a ＋1的联系，通过分解可使原式变成包含a 2－3a ＋1的代数式．解：∵a 是x ²－3x ＋1＝0的根， ∴a 2－3a ＋1＝0．原式＝2a 3(a 2－3a ＋1)＋a 4－8a 2＋3a＝2a 3(a 2－3a ＋1)＋a 2(a 2－3a ＋1)＋3a (a 2－3a ＋1) ＝0．点评：本题也可将a ²－3a ＝－1反复代入原式化简求之．例2 化简： 200019981998200022-+·420011998199719972-⨯-．解析 式子中出现1997，1998，2000，2001，如设其中一个为x ，则其余三个均用含x 的式子表示，从而将问题转化为含x 的代数式化简问题． 解：设1998＝x ，则原式＝)43)(2()23)(45(2222-+--+-++x x x x x x x x ＝)4)(1)(2)(1()2)(1)(4)(1(+--+--++x x x x x x x x ＝1．点评：这是一种换元的思想．换元时通常取几个数(或式)的算术平均数较为简单．二、利用因式分解证明等式(不等式)例3 设a ，b ，c ，d 满足a ≤b ，c ≤d ，a ＋b ＝c ＋d ≠0，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证；a ＝c ，b ＝d ． 解析 由a 3＋b 3＝c 3＋d 3使人想起立方和公式，展开后两边约去a ＋b 和c ＋d ，问题简化． 证明：由a 3＋b 3＝c 3＋d 3得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(c ＋d )(c 2－cd ＋d 2)． 由于a ＋b ＝c ＋d ≠0， 故a 2－ab ＋b 2＝c 2－cd ＋d 2． 配方(a ＋b )2－3ab ＝(c ＋d )2－3cd ． 从而ab ＝cd ．于是(a 2－ab ＋b 2)－ab ＝(c 2－cd ＋d 2)－cd ． 即(a －b )2＝(c －d )2． 而a ≤b ，c ≤d ，故b －a ＝d －c ，与已知式a ＋b ＝c ＋d 比较得b ＝d ，a ＝c ．例4 设a 、b 、c 是三角形三条边，求证：a 2－b 2－c 2－2bc ＜0．解析 利用因式分解将所证不等式左边进行变形从而得到三边的易判断的关系． 证明：∵a 2－b 2－c 2－2bc ＝a 2－(b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )(a －b －c )． ∴需证(a ＋b ＋c )(a －b －c )＜0． 又∵a ，b ，c 是三角形三条边，∴a ＋b ＋c ＞0，a ＜b ＋c ．∴(a ＋b ＋c )(a －b －c )＜0，原式得证．三、利用因式分解解方程(组)例5 (2001年北京初二竞赛试题)已知实数x ，y 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++623222y x y xy x ，则：|x ＋y ＋1|＝ ．解析 方程中出现x ＋y ，xy ，x 2＋y 2，使人想到完全平方公式，将x ＋y 看作整体处理，消去xy ，分解因式得x ＋y ．通常：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0．解：由x 2＋y 2＝6得(x ＋y )2＝6＋2xy ． ① 由x ＋xy ＋y ＝2＋32得xy ＝2＋32－(x ＋y )． ② 将②代人①得(x ＋y )2＋2(x ＋y )－(10＋62)＝0． 即(x ＋y )2＋2(x ＋y )－(4＋2)(2＋2)＝0． 故(x ＋y ＋4＋2)(x ＋y －2－2)＝0． ∴x ＋y ＝－4－2或x ＋y ＝2＋2∴|x ＋y ＋1|＝3＋2．点评：10＋62＝8＋62＋2＝(4＋2)(2＋2)很关键．例6 (上海竞赛题)求方程6xy ＋4x －9y －7＝0的整数解．解析 利用整数性质，将方程左边化成两个因式的乘积再分情况讨论． 解：方程可化为 2x (3y ＋2)－3(3y ＋2)－1＝0， (2x －3)(3y ＋2)＝1．∴⎩⎨⎧=+=-123132y x 或⎩⎨⎧-=+-=-123132y x ．解得x ＝1，y ＝－1．四、利用因式分解研究整除问题例7 (1999年全国联赛试题)某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是(mn ＋9m ＋11n ＋145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.解析 涉及整数问题常常要对已知式进行因式分解. 解 依题意mn ＋9m ＋11n ＋145＝(m ＋11)(n ＋9)＋46 可知：(m ＋11)整除(mn ＋9m ＋11n ＋145)， (n ＋9)整除(mn ＋9m ＋11n ＋145)且m ＋11＝n ＋9， 故 m ＋11和n ＋9均整除46， 而46＝46×1＝23×2.所以，m ＋11＝n ＋9＝46或m ＋11＝n ＋9＝23 由此可得每人捐款数为47元或25元. 好题妙解】佳题新题品味例1 (江苏第17届初二竞赛试题)已知a ，b ，c 是正整数，a >b ，且a 2－ab －ac ＋bc ＝7，则a －c 等于( )A.－1B.－1或－7C.1D.1或7解析 将已知等式分解为(a －b )(a －c )＝7，因a >b ，故a －b 和a －c 均为正整数，因而a －c 等于1或7，选D.例2 (2003年太原市竞赛试题)已知m 2＋2mn ＝384，3mn ＋2n 2＝560.则2m 2＋13mn ＋6n 2－444的值是( )A.2001B.2002C.2003D.2004解析 采用局部分解：2m 2＋13mn ＋6n 2－444＝2(m 2＋2mn )＋3(3mn ＋2n 2)－444＝2×384＋3×560－444＝2004，选D.例3 计算20052－20042＋20032－20022＋…＋32－22＝ .解析 反复运用平方差公式展开得(2005＋2004)×1＋(2003＋2002)×1＋…＋(3＋2)×1＝(20052)20042011014.2+⨯=例4 (2002年黄冈题)观察：1×2×3×4＋1＝52 2×3×4×5＋1＝112 3×4×5×6＋1＝192 …(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003＋1的结果(用一个最简式子表示).解析 注意到给定式子均为四个连续整数之积，右边为完全平方数，且5＝1×4＋1，11＝2×5＋1，19＝3×6＋1…恰好是第一和第四个整数之积加1，第n 个式子应为n (n ＋3)＋1.解 (1)对于自然数n ，有n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＋1＝(n 2＋3n )(n 2＋3n ＋2)＋1＝(n 2＋3n )2＋2(n 2＋3n )＋1＝(n 2＋3n ＋1)2.(2)由(1)得2000×2001×2002×2003＋1＝(20002＋3×2000＋1)2＝40060012中考真题欣赏例1 (北京)观察下列顺序排列的等式： 9×0＋1＝1 9×1＋2＝11 9×2＋3＝21 9×3＋4＝31 9×4＋5＝41 …猜想第n 个等式(n 为正整数)应为 .解析 注意第n 个式子与式子中数字间的关联.9不变，第二个数比n 小1，第三个数等于n ，第四个数为10(n －1)＋1，故第n 个式子为：9(n －1)＋n ＝10n －9.例2 (2003年北京崇文区)观察下列每组算式，并根据你发现的规律填空：4520,3618,⨯=⎧⎨⨯=⎩ 5630,4728,⨯=⎧⎨⨯=⎩6742,5840.⨯=⎧⎨⨯=⎩已知122×123＝15006，则121×124＝ .解析 15004，注意到121×124与122×123仅有末位数字不同，因而结果仅末位不同竞赛样题展示例1 (奥林匹克训练题)适合(y －2)x 2＋yx ＋2＝0的非负整数对(x 、y )的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析 由题设得y (x 2＋x )－2(x ²－1)＝0，即(x ＋1)[yx －2(x －1)]＝0 因为x ≥0，故有yx ＝2(x －1)，显然x ≠0，所以x >0，2(1)22x y x x-==-，于是x ＝1或2，即只有两组解，选B.例2 (2003年全国初中联赛试题)满足等式2003的正整数对(x ，y )的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 由-2003＝0可得0=.00.故xy ＝2003.又因为2003为质数，因此必有12003x y =⎧⎨=⎩ 20031x y =⎧⎨=⎩或 故选B.例3 (希望杯竞赛题)已知n 是正整数，且n 4－16n 2＋100是质数，求n 的值. 解析 利用质数的因数只有1和本身，将已知式分解因式讨论求解.解 n 4－16n 2＋100＝n 4＋20n 2＋100－36n 2＝(n 2＋10)2－36n 2＝(n 2＋6n ＋10)(n 2－6n ＋10). 因n 2＋6n ＋10≠1，而n 4－16n 2＋100为质数且n 为正整数. 故n 2－6n ＋10＝1，即(n －3)2＝0，得n ＝3.例4 按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c ＝ab ＋a ＋b 扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； (2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.解析 (1)第一次只能得到1×4＋4＋1＝9，因为要求最大新数，所以，第二次取4和9，得到4×9＋4＋9＝49，同理，第三次取9和49，就得到扩充三次的最大数为499.(2) 因c ＝ab ＋a ＋b ＝(a ＋1)(b ＋1)－1，故c ＋1＝(a ＋1)(b ＋1)，取数a 、c ，可得新数d ＝(a ＋1)(c ＋1)－1＝(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)－1＝(a ＋1)2(b ＋1)－1，即d ＋1＝(a ＋1)2(b ＋1)；取数b 、c 同理可得e ＝(b ＋1)(c ＋1)－1＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)－1，e ＋1＝(b ＋1)2(a ＋1).设扩充后的新数为x ，则总可以表示为x ＋1＝(a ＋1)m ·(b ＋1)n ，又因1999＋1＝2000＝24×53，故1999可以通过上述规则扩充得到.过关检测】A 级1.已知724－1可被40至45之间的两个整数整除，这两个整数是( ) A.41，48 B.45，47 C.43，48 D.41，472.已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac ＋bd ＋ad ＋bc ＝1997，则a ＋b ＋c ＋d ＝ .3.已知两个不同的质数p 、q 满足下列关系：p 2－2001p ＋m ＝0，q 2－2001q ＋m ＝0，m 是适当的整数，那么p 2＋q 2的数值是( )A.4004006B.3996005C.3996003D.40040044.计算3322782278782222+=-⋅+ . 5.求证：对于任何自然数n ，323122n n n ++都是3的倍数.6.已知：x ²－x －1＝0，则－x 3＋2x 2＋2002的值为 .7.设方程x 2－y 2＝1993的整数解为,αβ，则αβ＝ .8.整数a 、b 满足6ab ＝9a －10b ＋303，则a ＋b ＝ .B 级1.设a <b <c <d ，如果x ＝(a ＋b )(c ＋d )，y ＝(a ＋c )(b ＋d )，z ＝(a ＋d )(b ＋c )，那么x 、y 、x 的大小关系为( )A.x <y <zB.y <z<xC.z<x <yD.不能确定2.在方程组33336x y z x y z ++=⎧⎨++=-⎩中x 、y 、z 是互不相等的整数，那么此方程组的解的个数为( ) A.6 B.3 C.多于6 D.少于33.设y ＝x 4－4x 3＋8x 2－8x ＋5，其中x 为任意数，则y 的取值范围是( ) A.一切数 B.一切正数C.一切大于或等于5的数D.一切大于或等于2的数4.一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数.5.设a 、b 、c 、d 是4个整数，且使得m ＝(ab ＋cd )2－14(a 2＋b 2－c 2－d 2)2是个非零整数，求证：m 一定是个合数.6.求证：存在无穷多个自然数k ，使得n 4＋k 不是质数.7.解方程组：33323,2().x y z xyz x y z ⎧--=⎪⎨=+⎪⎩()。
初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1之欧阳法创编
初中数学因式分解(一)因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用．1．运用公式法整式乘法公式，反向使用，即为因式分解(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n 为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n 为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n 为奇数．分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．初中数学因式分解(一)答案多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n 为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n 为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．时间：2021.03.09 创作：欧阳法。
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第三讲因式分解因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．【例1】将x4+8分解因式正确的是（）A、（x4﹣16）B、（x2+4）（x2﹣4）C、（x2+4）（x+2）（x﹣2）D、（x2+2）（x2﹣2）2考点：因式分解-运用公式法。
分析：先提取公因式，然后套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式．解答：解：x4+8，=（x4﹣16），=（x2﹣4）（x2+4），=（x﹣2）（x+2）（x2+4）．故选C．点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因式分解时，若一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再套用公式进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【例2】20、分解因式：（x﹣3）（x﹣1）+1．考点：因式分解-运用公式法。
专题：常规题型。
分析：先根据多项式的乘法整理成多项式的一般形式，然后再利用完全平方公式进行因式分解．解答：解：（x﹣3）（x﹣1）+1=x2﹣4x+3+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．点评：本题考查了利用完全平方公式分解因式，先利用多项式的乘法整理成多项式的一般形式是解题的关键．【例3】分解因式x4﹣2x2+1.解：x4﹣2x2+1=（x2﹣1）2=[（x﹣1）（x+1）]2=（x﹣1）2（x+1）2.【例4】多项式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的结果是（）A、（y﹣z）（x+y）（x﹣z）B、（y﹣z）（x﹣y）（x+z）C、（y+z）（x一y）（x+z）D、（y十z）（x+y）（x一z）考点：因式分解-分组分解法。
分析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z，再运用提取公因式法和十字相乘法分解因式．解答：解：x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz=（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z=（y﹣z）x2+（y﹣z）2x﹣yz（y﹣z）=（y﹣z）[x2+（y﹣z）x﹣yz]=（y﹣z）（x+y）（x﹣z）．故选A．点评：本题考查了用分组分解法进行因式分解，难点是将原式重新整理成关于x的二次三项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例5】分解因式：（x2+3x）2﹣2（x2+3x）﹣8=（x+1）（x+2）（x﹣1）（x+4）．考点：因式分解-十字相乘法等。
分析：将（x2+3x）看做一个整体，用十字相乘法来分解，对分解后的两个多项式再运用十字相乘法进一步分解．解答：解：（x2+3x）2﹣2（x2+3x）﹣8=[（x2+3x）﹣4][（x2+3x）+2]=（x2+3x﹣4）（x2+3x+2]=（x+1）（x+2）（x ﹣1）（x+4）点评：同学们要明白对于十字相乘法中x、a、b对于代数式，仍然成立．考点：因式分解-十字相乘法等。
专题：因式分解。
分析：分别把（x﹣2）和（x+3）、x和（x+1）相乘，然后变为（x2+x﹣6）（x2+x），接着把x2+x作为一个整体因式分解，然后即可求解．解答：解：x（x﹣2）（x+3）（x+1）+8=（x﹣2）（x+3）x（x+1）+8=（x2+x﹣6）（x2+x）+8=（x2+x）2﹣6（x2+x）+8=（x2+x﹣2）（x2+x﹣4）=（x+2）（x﹣1）（x2+x﹣4）．故答案为：（x+2）（x﹣1）（x2+x﹣4）．点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题的时候重新分组做乘法，同时也注意利用整体思想解决问题．【例7】分解因式：（x4+x2﹣4）（x4+x2+3）+10=（x4+x2+1）（x2+2）（x+1）（x﹣1）．考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法。
专题：换元法。
分析：首先利用换元，令x4+x2=y，然后根据十字相乘法进行因式分解，最后再将x4+x2=y，代入进行还原，得出结果．解答：解：令x4+x2=y，∴原式=（y﹣4）（y+3）+10=y2﹣y﹣2=（y+1）（y﹣2）将x4+x2=y代入，所以原式=（x4+x2+1）（x4+x2﹣2）=（x4+x2+1）（x2+2）（x2﹣1）=（x4+x2+1）（x2+2）（x+1）（x﹣1）．故答案为为（x4+x2+1）（x2+2）（x+1）（x﹣1）．点评：本题综合考查了十字相乘法和换元法，做这类题必须要记得还原回去，不能得出的结果为（y+1）（y ﹣2）．【例8】（1）完成下列配方问题：x2+2px+1=[x2+2px+（p2）]+（1﹣p2）=（x+p）2+（1﹣p2）（2）分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3的结果是（a+b+1）（a﹣b+3）．考点：配方法的应用。
专题：配方法。
分析：（1）由于二次项系数为1，那么组成完全平方式的第三项应是第二项系数的一半，最后的结果应和原来的代数式相等；（2）题中有4a，2b，应为完全平方式的第二项，整理为两个完全平方式的差的形式，进而用平方差公式展开即可．解答：解：（1）x2+2px+1=[x2+2px+（p2）]+（1﹣p2）=（x+p）2+（1﹣p2）；故答案为p2；1﹣p2；p；1﹣p2；（2）a2﹣b2+4a+2b+3，=（a2+4a+4）﹣（b2﹣2b+1），=（a+2）2﹣（b﹣1）2，=（a+2+b﹣1）（a+2﹣b+1），=（a+b+1）（a﹣b+3）．故答案为：（a+b+1）（a﹣b+3）．点评：本题考查了配方法的应用，把所给代数式整理为有完全平方式子的形式是解决问题的突破点；用到的知识点为a2±2ab+b2=（a±b）2．A、（a2+2a﹣2）（a2﹣2a+2）B、（a2+2a﹣2）（a2﹣2a﹣2）C、（a2+2a+2）（a2﹣2a﹣2）D、（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）考点：因式分解-十字相乘法等。
分析：先将a4+4变为a4+4+4a2﹣4a2，再将a4+4+4a2看为一个整体，用完全平方公式分解，原式=（a2+2）2﹣4a2，再利用平方差公式分解．解答：解：a4+4=a4+4+4a2﹣4a2=（a2+2）2﹣4a2=（a2﹣2a+2）（a2+2a+2）故选D点评：在因式分解中，为能够运用平方差公式、完全平方公式，因而可以通过减去一项或再加上相同的项来解决．【例10】如果x2﹣x﹣1是x3+bx2+1的一个因式，则b的值为（）A、﹣2B、﹣1C、0D、2考点：因式分解的意义。
专题：因式分解。
分析：由题意x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式，可得x3+bx2+1=（x2﹣x﹣1）（x+c）将右边展开，然后根据系数相等，求出b值．解答：解：∵x2﹣x﹣1是x3+bx2+1的一个因式，∴x3+bx2+1=（x2﹣x﹣1）（x+c）=x3+（c﹣1）x2﹣（c+1）x﹣c∴c﹣1=b，c+1=0，﹣c=1，∴b=﹣2，故选A．点评：此题主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤：：①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法；如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法；③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．训练题1.将多项式x4﹣2x2﹣3分解因式，结果正确的是（）A、（x2+3）（x2﹣1）B、（x2+1）（x2﹣3）C、（x2+3）（x﹣1）（x+1）D、（x2+1）（x﹣3）（x+3）考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法。
专题：常规题型。
分析：因为﹣3×1=﹣3，﹣3+1=﹣2，所以利用十字相乘法分解因式即可，但一定要分解到不能分解为止．解答：解：x4﹣2x2﹣3=（x2+3）（x2﹣1）=（x2+3）（x﹣1）（x+1）．故选C．点评：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行两次因式分解，分解因式一定要彻底．2.分解因式xy2﹣2xy+2y﹣4=（y﹣2）（xy+2）．考点：因式分解-分组分解法。
分析：此题需要两两分组，即一二项一组，三四项一组，分别提公因式，即可得到公因式（y﹣2），则问题得解．解答：解：xy2﹣2xy+2y﹣4，=（xy2﹣2xy）+（2y﹣4），=xy（y﹣2）+2（y﹣2），故答案为：（y﹣2）（xy+2）．点评：本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．注意将此题一二项一组，三四项一组分为两组，再提公因式分解即可．3.分解因式：﹣4（a﹣b）2+16（a+b）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提公因式﹣4，再对余下的多项式利用平方差公式分解，将a﹣b和a+b看作一个整体．解答：解：﹣4（a﹣b）2+16（a+b）2，=﹣4[（a﹣b）2﹣4（a+b）2]，=﹣4[（a﹣b）﹣2（a+b）][（a﹣b）+2（a+b）]，=﹣4（a﹣b﹣2a﹣2b）（a﹣b+2a+2b），=4（a+3b）（3a+b）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，计算时要注意整体思想的利用和运算符号的处理．4.4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3=（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）．考点：因式分解-分组分解法。
专题：计算题。
分析：首先把﹣3变为1﹣4，多项式变为（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4），然后利用公式法分解因式，接着利用提取公因式法分解因式即可求解．解答：解：原式=（4x2﹣4x+1）+（y2﹣4y+4）=（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2=（2x﹣1+y﹣2）（2x﹣1﹣y+2）=（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）．故答案为：（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）．点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，其中直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．5.分解因式：4x2﹣9y2+12y﹣4=（2x﹣3y+2）（2x+3y﹣2）．考点：因式分解-分组分解法。
分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有y的二次项，y的一次项，有常数项．所以要考虑﹣9y2+12y﹣4为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第一项利用平方差公式继续分解因式．解答：解：4x2﹣9y2+12y﹣4，=4x2﹣（9y2﹣12y+4），=（2x）2﹣（3y﹣2）2，=（2x﹣3y+2）（2x+3y﹣2）．点评：本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有y的二次项，y 的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．6.分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12=（x2+x+5）（x2+x﹣2）．考点：因式分解-十字相乘法等。