上海大学2011级概率论与数理统计第2章

F ( x) f ( x)
像离散型随机变量的统计规律可用分布律来描述一样， 连续型随机变量可用概率密度来描述其统计规律性。 因此概率密度与分布律具有类似的作用,也有类似的性质。 由性质3可知：对于连续型随机变量，可以用积分来计算 概率。概率的大小就是概率密度曲线下的面积。
注: 1)离散型随机变量的分布函数是右连续的,而连续 型随机变量的分布函数是连续的. 2)离散型随机变量取某一值的概率可能为0,也可能 不为0. 对于连续型随机变量 X 来说，它取任一实数 a 值的概率均为0，即 P{X a} 0 这也就说明概率为零的事件不一定是不可能事件。 因此，对连续型随机变量X,有
求其分布律。
§4 连续型随机变量及其概率密度
一 连续型随机变量的定义 定义： 如果对于随机变量 X 的分布函数 F (x) ， 存在非负函数 f (x)，使对于任意实数 x 有 x

F ( x)

f (t )dt
则称 X 为连续型随机变量，称函数 f (x) 为 X 的概率密度函数(简称概 率密度)。
求
A, B 和概率密度 f (x) 。
例2：教材57页15题。 例3：教材58页21、24、25、26题。
§5 随机变量函数的分布
将伯努利试验独立地重复(即每次试验发生的 概率都是 p 即P( Ai ) p , 且各次试验的结果互不 影响)进行n次，称为n重伯努利试验。
三、重要的离散型随机变量及其分布律 1、(0 - 1) 分布 如果 X 只能取0,1两个值,且设 P{X 1} p 称 X 服从参 数为 p 的(0-1)分布，又称二点分布，它的分布律为
二 几种常见的连续型随机变量的分布 1、均匀分布 定义2：若连续型随机变量 X 的概率密度为
1 a xb f ( x) b a 0 其它
则称 X 在区间 (a, b) 上服从均匀分布，
0 xa x a 均匀分布的分布函数为 F ( x) a xb b a xb 1
u x 0
知道了随机变量的分布函数，就可以求出随机事件的概率。
二、 离散型随机变量的分布函数
若离散型随机变量 X 的分布律为
则它的分布函数为 F ( x)
xk x
p
k
。
因此,已知分布律可以求出分布函数,反之,已知分布 函数,也可以求分布律.
三、 举例 例1 设随机变量 X 的分布律为
特别 0, 1 时，称 X 服从标准正态分布，它的 概率密度和分布函数分别用 ( x), ( x) 表示，即
( x)
1 2
e
x 2 /2
( x)
1 2
x t 2 / 2 dt e
性质1 若 X ~ N ( , ) ，则 Z
2
X
第二章 随机变量及其分布
§1 随机变量
一、随机变量的定义 定义1：设随机试验E的样本空间为S，在S上 e 定义的单值实函数 X X (e) ， S ， X X (e) 称为随机变量(r.v.)。
随机变量作为一个定义在样本空间S上的函数,具有 如下特征： （1）任何一个随机事件A都可以用随机变量来表示。 如：{X=c}就是一个随机事件. （2）由于随机事件 的发生是不确定的，所以随机变量 的取值也是不确定的，它以某一概率取某一值。 如：P{X=c}=p. 或 P{a< X< b}= p 引入了随机变量后，我们就能用随机变量来描述 各种随机现象和随机事件，这样就能用微积分的方法来 研究随机现象的统计规律。 随机变量可分为离散型的(其取值范围是一个数列) 和连续型的(其取值范围是一个或几个区间).
概率密度函数 的性质
（1）
f ( x) 0 ；

（2） f ( x)dx 1 ；
（3）对于任意实数 x1 , x2 ( x1 x2 ) ，有
P{x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) f ( x )dx
x1 x2
（4）在 f (x) 的连续点处，则有
§2
离散型随机变量及其概率分布
一 离散型随机变量的分布律
定义1 若随机变量 X 的所有可能的取值为有限或 无穷数列，则称 X 为离散型随机变量。
对于离散型随机变量来说，如果知道它的所有可能 的取值及其每一个可能取值的概率，即知道
P { X x k} p k
k 1, 2,
就可以知道它的统计规律性，所以我们可以用上式 描述离散型随机变量的统计规律，通常我们称该式为 离散型随机变量的分布律(或概率分布)
因此对于非标准正态分布的随机变量，我们都是先将其 化为标准正态分布,然后由标准正态分布的分布函数 (x) 来求，而 (x) 的值可以通过查表得到（见课本附录）。
四、举例 例1： 设连续型随机变量 X 的分布函数为
A Be x F ( x) 0
2
/2
x0 x0

例：连续型随机变量 X 的概率密度为
cx 1 x 2 f ( x) 其它 0
求：常数c 和 X 的分布函数。
kx 0 x 3 x 3 x 4 例：X 的概率密度为 f ( x) 2 2 其他 0 7 求:分布函数 F x ；P 1 X 2
x0 其它
3、 正态分布 定义： 若连续型随机变量 X 的概率密度为
( x )2 2 2
f ( x)
1 2
e
x
其中 , ( 0) 为常数，则称 X 服从参数为 ,
X
的正态分布（或高斯分布）记为 X ~ N ( , 2 )。
知道了离散型随机变量的分布律,就可以求出随机事件 的概率 例3 设随机变量 X 的分布律为
求:
P{X 2}, P{0 X 5 / 2}, P{1 X 3}
P{X 2}
二、伯努利(bernoulli)试验
如果随机试验 E 只有两种可能结果：A和A 这种试验称为伯努利试验。 P 设： ( A) p, 则有P( A) 1 p
记为 X ~ U (a, b) 。
2、 指数分布 若连续型随机变量 X 的概率密度为
则称 X 服从指数分布,记为 X ~ e 。
1 x 1 e f ( x ) 0
x0 其它
0
指数分布的分布函数为
1 e x F ( x) 0
分布律也可以用表格的形式来表示
由概率的定义可知分布律满足如下性质： （1） 0 pk 1, k 1, 2, ; （2）
p
k 1

k
1 。
分布律还可以用图形来表示。
例1：一袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个, X表示取出的3个球中的最大号码,求X的分布律. 又以Y表示3个球中的最小号码,求Y的分布律. 例2: 已知10只同种元件中有2只废品，装配仪器时， 需要从中取出2只正品，今从这些元件中任取 一只，若为正品，则留下备用，若为废品则 扔掉，在余下的元件中再取一只，如此直到 取出2只正品为止，设 X 表示所取次数，求 X 的分布律。
P{ X k} p k (1 p)1k
k 0,1
显然伯努利试验对应的就是(0 – 1)分布
2、二项分布 在 n重伯努利试验中，事件 A 发生的概率为 p ， 以 X 表示n 重伯努利试验中 A 发生的次数，则 称 X 服从参数为n ， p 的二项分布。其分布律为
P{ X k} C nk p k (1 p) nk

~ N (0,1) 。
性质2 对称性: f (x) 的图象关于 x 对称 。
即: P{ h X } P X h 因此: P{ X } P X 0.5 特别: x 1 ( x) 性质3 陡坦性:当 增大时图象变得平坦.反之变陡. 性质4 平移性: 当 变化时,图形不变,图象平移. 性质5 3 准则: P{ 3 X 3 } 0.9974
若 X ~ N ( , 2 ) ， 则它的分布函数可用标准正态 分布的分布函数来表示
X x x F ( x) P{ X x} P
b a P{a X b}
3、泊松（Poisson）分布
P{ X k}
k e
k!
( 0)
k 0,1,2,
记作 X ~ ( ) 或 X ~ P( ) Poisson分布 也是一种常见的分布，很多“排队”问题
如某段时间内的电话用户呼叫数、车站的候车人数、 某种事故的发生数 等都可以近似地看作服从泊松分布 例：某书籍中每页的印刷错误个数X服从泊松分布, 且发现有一个错误与有二个错误的概率相同,现任意 检验4页,求:每页中都没有错误的概率; 求:4页中至少有一页发现错误的概率. 二项分布中当n很大时近似参数为np的Poisson分布, 这给计算带来方便.
P{a X b} P{a X b} P{a X b} f ( x)dx
a b
P{X b} P{ X b} F (b)
b

f ( x)dx
b
P{X b} 1 P{X b} 1 P{X b} 1 f ( x)dx
分布函数的性质
1、F (x) 是一个递增函数，对于任意实数
F ( x2 ) F ( x1 ) P{x1 X x2 } 0
x x
x1 , x2 ( x1 x2 )，
2、0 F ( x) 1 ，且 lim F ( x) 0, lim F ( x) 1 3、F (x) 是右连续的， 即 lim F (u ) F ( x) 。