解三角形应用举例

解三角形应用举例

一、测量距离问题

例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，

D，若测得CD＝

3

2km，∠ADB＝∠CDB

＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.

答案

6 4

解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝

3

2km.

在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，

由正弦定理，得BC＝DC

sin∠DBC

·sin∠BDC

＝

3

2

sin 45°·sin 30°＝

6

4(km).

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2

＋BC2－2AC·BCcos 45°＝3

4＋3

8

－2×3

2

×

6

4×

2

2

＝3

8.

∴AB＝

6

4km.

∴A，B两点间的距离为

6

4km.

(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝

60°，则P，Q两点间的距离为m.

答案900

解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－

∠PAQ＝30°.

又∠PBA＝∠PBQ＝60°，

∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.

又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.

在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.

二、测量高度问题

例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为

m.

答案30＋30 3

解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，

sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－

cos 45°sin 30°＝

2

2×

3

2

－2

2×

1

2

＝

6－2 4

，

由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°

， 所以PB ＝12×606－2

4

＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋

2)×

22

＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题

例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？

⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.

由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－

2AB ·ACcos 120°，

所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.

又由正弦定理得

sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC

＝5×327＝5314

， 所以∠ABC ＝38°，

又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，

故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形

与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.