解三角形的应用举例

解三角形的应用举例

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2．方位角

从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B 点的方位角为α)． 3．方向角

相对于某一正方向的角(如图③)．

(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°. (3)其他方向角类似．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦

⎤0，π

2.( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ) (4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π

2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√

在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角为70°，则∠BAC 等于( )

A ．10°

B ．50°

C ．120°

D ．130°

答案：D

若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B

的( )

A ．北偏东15°

B ．北偏西15°

C ．北偏东10°

D ．北偏西10°

解析：选B ．如图所示，∠ACB ＝90°，

又AC ＝BC ， 所以∠CBA ＝45°， 而β＝30°，

所以α＝90°－45°－30°＝15°. 所以点A 在点B 的北偏西15°.

如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1

000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )

A ．11.4 km

B ．6.6 km

C ．6.5 km

D ．5.6 km

解析：选B ．因为AB ＝1 000×160＝50

3(km)．

所以BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50

32(km)．

所以航线离山顶h ＝

5032×sin 75°＝50

32

×sin(45°＋30°)≈11.4(km)． 所以山高为18－11.4＝6.6(km)．

如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点间的距离为________．

解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2

2

1

2＝502(m)．

答案：

50 2 m

(教材习题改编)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8

2 n mile ，则此船的航速是_______________n mile/h.

解析：设航速为v n mile/h ，

在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82

sin 30°＝1

2v sin 45°，则

v

＝32.

答案：32

测量距离问题(高频考点)

研究测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．主要命题角度有：

(1)两点都不可到达； (2)两点不相通的距离；

(3)两点间可视但有一点不可到达．

[典例引领]

角度一 两点都不可到达

如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，

测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB ．

若测得CD ＝

3

2

km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ km.

【解析】 因为∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°， ∠ACD ＝60°，所以∠DAC ＝60°， 所以AC ＝DC ＝

3

2

(km)． 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，

由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝3

2sin 45°·sin 30°＝6

4.

在△ABC 中，由余弦定理，

得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝3

8.

所以AB ＝

6

4

(km)． 所以A ，B 两点间的距离为6

4

km. 【答案】

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角度二 两点不相通的距离

如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法为：先选定适当的位

置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离，即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，

B 两点的距离为________m.