《圆的基本性质》各节知识点及典型例题

圆的基本性质第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积六大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。

小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外 ； 点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 内 。

6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。

过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。

8、过 的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。

三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。

其中正确的有（ ） A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 例2、下列说法中，错误的是（ ）A.直径是弦B.半圆是弧C.圆内最长的弦是直径D.弧小于半圆 例3、下列命题中，正确的是（ ）A ．三角形的三个顶点在同一个圆上B ．过圆心的线段叫做圆的直径C ．大于劣弧的弧叫优弧D ．圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径 7、圆周角定理8、圆周角定理的推论 9、圆锥的侧面积与全面积例4、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的内部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。

其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.3个 D.2个【题型三】点和圆的位置关系的判断例1、⊙O 的半径为5，圆心O 在坐标原点上，点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外例2、已知矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm ，若以A 点为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用 如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：方法就是找垂直平分线的交点 例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为【题型五】圆中角的求解如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知AB=2DE ，∠E=18°，求∠AOC 的度数温馨提醒：（1）在同圆或等圆中，直径为半径的2倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。

巩 固 练 习1、如图，一根5m 长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。

2、如果⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为3、如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC ，DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH=c ，则a ，b ，c 的大小关系是4、已知⊙O 的半径为1，点P 与圆心O 的距离为d ，且方程x 2-2x+d=0有实数根，则点P 在⊙O 的5、如图，MN 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心 3m第3题 第5题6、若线段AB=6，则经过A 、B 两点的圆的半径r 的取值范围是7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a 、b 是方程x 2-7x+12=0的两根，则△ABC 的外接圆面积为 8、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中B 点坐标为（4，4），那么该圆弧所在圆的圆心坐标为9、已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有 条【课本相关知识点】1、轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。

2、圆是轴对称图形， 都是它的对称轴3、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分4、分一条弧成 的点，叫做这条弧的中点。

5、 的距离叫做弦心距。

6、垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 【典型例题】【题型一】应用垂径定理计算与证明例1、如图所示，直径CE 垂直于弦AB ，CD=1，且AB+CD=CE ，求圆的半径。

例2、如图所示，已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，OA 、OB 分别交⊙O 于E 、F 两点，且OA=OB ，求证：AC=BD温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。

【题型二】垂径定理的实际应用例1、某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问：修理人员应准备内径多大的管道？60cm 10cm温馨提醒：要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。

例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB 是【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用例1、如图，已知M 是⌒A B 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，。

（1）求圆心O 到弦MN 的距离（2）求∠ACM 的度数【题型四】应用垂径定理把弧2等份，4等份等巩 固 练 习1、下列说法正确的是（ ）A.每一条直径都是圆的对称轴B.圆的对称轴是唯一的C.圆的对称轴一定经过圆心D.圆的对称轴与对称中心重合2、下列命题：① 垂直于弦的直径平分这条弦；② 平分弦的直径垂直于弦；③垂直且平分弦的直线必定经过圆心。

其中正确的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3、如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 是弦AB 上一点，若OP 的长是整数，则满足条件的点P 有（ ）个A.2B.3C.4D.54、半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为6cm 和8cm ，则这两弦之间的距离为 cm5、圆的半径等于，圆内一条弦长cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于6、如图，矩形ABCD 与⊙O 相交于M 、N 、F 、E ，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN 的长为7、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦。

若AB=10cm ，CD=6cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为 8、如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4）、N （0，-10），函数y=kx（x<0）的图象过点P ，则k= 9、如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 10、如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，则MN= 11、已知圆内接△ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为7cm ，求腰AB 的长 第7题 第6题 第8题 第9题12、如图，已知⊙O 的半径为10cm ，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，AE=4cm ，BE=8cm ，求弦CD 的长13、如图，某菜农在生态园基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度（弦AB 大棚顶点C 离地面的高度为2.3米. ⑴求该圆弧形所在圆的半径；⑵若该菜农身高1.7014、⊙O 的半径为2，弦A 为⌒B D 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。

求四边形ABCD 的面积。

【课本相关知识点】1、中心对称图形：把一个图形绕着某一点 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的2、过中心对称图形的 的任意一条直线可以平分其面积。

3、圆的旋转不变性：将圆周绕圆心O 旋转 ，都能与自身重合，这个性质叫做圆的旋转不变性。

4、圆心角： 叫做圆心角。

5、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 （这就是圆心角定理）6、n °的圆心角所对的弧就是 ，圆心角和 的度数相等。

注意：在题目中，若让你求⌒AB ，那么所求的是弧长 7、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。

（姑且称之为圆心角定理的逆定理）注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。

【典型例题】【题型一】与圆心角定理的逆定理的相关说法的正确与否例1、下列说法：① 等弦所对的弧相等；② 等弧所对的弦相等；③ 圆心角相等，所对的弦相等；④ 弦相等，所对的圆心角相等；⑤ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。

正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等 例1、如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PO 平分∠APD 。

求证：AB=CD例2、如图⊙A 与⊙B 是两个等圆,直线CF ∥AB,分别交⊙A 于点C 、D ，交⊙B 于点E 、F 。

求证：∠CAD=∠EBF例3、如图所示，AB 、CD 是⊙O 的直径，CE ∥AB 交⊙O 于点E ，那么⌒AD 与⌒AE 相等吗？说明理由。

【题型三】计算弧的度数例1、如图所示，C 是⊙O 的直径AB 上一点，过点C 作弦DE ，使CD=CO ，若⌒A D 的度数为40°，求⌒B E 的度数【题型四】运用用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题例1、已知张庄、李庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M 、N 的位置，现在要在河边（直径所在的位置）修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最小需要多少米的水管？（提示：将半圆补全，将军饮马问题）巩 固 练 习1、如果两个圆心角相等，那么（ ）A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对 2、下列命题中，正确的是（ ）A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等B.相等的圆心角所对的弦相等C.同圆或等圆中，两弦相等，所对的弧相等D.同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等 3、在半径为1的弦所对的圆心角的度数是（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°4、在⊙O 中，AD 是直径，AB 、AC 是它的两条弦，且AD 平分∠BAC ，那么：① AB=AC ；②⌒A B =⌒A C ；③ ⌒B D =⌒C D ； ④ AD ⊥BC 。