《圆的基本性质》各节知识点及典型例题

圆的基本性质

第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积

六大知识点：

1、圆的概念及点与圆的位置关系

2、三角形的外接圆

3、垂径定理

4、垂径定理的逆定理及其应用

5、圆心角的概念及其性质

6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

【课本相关知识点】

1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆

5、点与圆的三种位置关系：

若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外 ； 点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 内 。

6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上

7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。

8、过 的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】

【题型一】证明多点共圆

例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上

【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ） A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 例2、下列说法中，错误的是（ ）

A.直径是弦

B.半圆是弧

C.圆内最长的弦是直径

D.弧小于半圆 例3、下列命题中，正确的是（ ）

A ．三角形的三个顶点在同一个圆上

B ．过圆心的线段叫做圆的直径

C ．大于劣弧的弧叫优弧

D ．圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径 7、圆周角定理

8、圆周角定理的推论 9、圆锥的侧面积与全面积

例4、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的内部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.3个 D.2个

【题型三】点和圆的位置关系的判断

例1、⊙O 的半径为5，圆心O 在坐标原点上，点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外

例2、已知矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm ，若以A 点为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是

【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用 如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：方法就是找垂直平分线的交点 例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为

【题型五】圆中角的求解

如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知AB=2DE ，∠E=18°，求∠AOC 的度数

温馨提醒：（1）在同圆或等圆中，直径为半径的2倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。

巩 固 练 习

1、如图，一根5m 长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。

2、如果⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为

3、如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC ，DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH=c ，则a ，b ，c 的大小关系是

4、已知⊙O 的半径为1，点P 与圆心O 的距离为d ，且方程x 2-2x+d=0有实数根，则点P 在⊙O 的

5、如图，MN 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心 3m

第3题 第5题

6、若线段AB=6，则经过A 、B 两点的圆的半径r 的取值范围是

7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a 、b 是方程x 2-7x+12=0的两根，则△ABC 的外接圆面积为 8、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中B 点坐标为（4，4），那么该圆弧所在圆的圆心坐标为

9、已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有 条

【课本相关知识点】

1、轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。

2、圆是轴对称图形， 都是它的对称轴

3、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分

4、分一条弧成 的点，叫做这条弧的中点。

5、 的距离叫做弦心距。

6、垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 【典型例题】

【题型一】应用垂径定理计算与证明

例1、如图所示，直径CE 垂直于弦AB ，CD=1，且AB+CD=CE ，求圆的半径。

例2、如图所示，已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，OA 、OB 分别交⊙O 于E 、F 两点，且OA=OB ，求证：

AC=BD

温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。 【题型二】垂径定理的实际应用

例1、某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问：修理人员应准备内径多大的管道？

60cm 10cm