第1讲 圆的基本性质讲义

第1讲圆的基本性质
一、【教学目标】
1.理解圆、弦、弦心距、直径、弧、圆心角、圆周角等有关的概念．
2. 理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是旋转对称图形．
3. 掌握圆中“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”的性质，以及“弧、弦、弦心距、圆心角”四量之间的“等对等”关系，并能运用这些性质进行有关的计算与证明．
4. 理解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活运用于有关问题的解决．
二、【教学重难点】
1.教学重点：“垂径定理”、圆周角与圆心角的关系的灵活运用
2.教学难点：
三、【考点聚焦】
考点一.圆的基本元素
1．弦和直径：
连结圆上任意两点的线段叫弦，如图，线段AC、AB、BC都是⊙O的弦，其中AB是直径，直径是圆中最长的弦．圆心到弦的距离叫此弦的弦心距，如图中的线段OM的长，表示圆心到弦AC的弦心距．
注意：直径是过圆心的弦，凡直径都是弦，但弦不一定都是直径．
2．弧和半圆：
圆心任意两点间的部分叫做弧，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种．一条直径把圆分成了两个半圆，大于半圆的弧叫优弧，在表示时必须用三个大写字母表示，如图中的优弧
，小于半圆的弧叫劣弧，如图中的劣弧．
注意：
(1)半圆是一种特殊的弧；
(2)在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧成立的前提首先是存在于“同圆或等圆中”．
3．圆周角和圆心角．
顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫圆周角；顶点在圆心上的角叫圆心角；如图中的∠ABC是圆周角，∠AOD是圆心角．
注意：圆周角具备两大特征：
(1).顶点在圆周上，
(2).角的两边都与圆相交，二者缺一不可，如图中的∠ABE就不是圆周角．
考点二. 圆的基本性质
1．弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系：
圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，其旋转中心即为圆心．根据圆的这一特性，可以得出关于“弧、弦、弦心距与圆心角”之间的“等对等”关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
注意：
(1)运用本知识点时，应注意其成立的条件：“同圆或等圆中”．
(2)本知识是证明弦相等、弧相等的常用方法．
2．圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，利用“圆是轴对称图形”可以得到：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．”
注意：
(1)此性质必须具备两个条件：直径；此直径垂直于弦，两者缺一不可．
(2)常用此知识点进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解．
3．圆周角的性质：
(1)一条弧所对的圆周角等于该弦所对的圆心角的一半；
(2)同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等；
(3)半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
注意：
性质(1)的得出应分三种情况讨论：圆心在角的一边长；圆心在角的内部；圆心在角的外部，后两种情况可转化成第一种情况来说明．
性质(2)是证明圆周角相等或弧相等的常用方法：“由角找弧”“由弧找角”．
利用性质(3)可确定一个圆的圆心；已知直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中一种常见的辅助线．
四、【典例分析】
题型1基本概念和定理的考查
【示例一】⊙O半径为10，弦AB＝12，CD＝16，且AB∥CD．求AB与CD之间的距离．变式1 圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角度数是___________
变式2 如图，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE＝BD，则与是否相等？为什么？
变式3 如图，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC＝OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F．试说明．
变式4 如图23-1-12，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，且AB＝4，AC=2，点D为
上任意一个动点，求∠D的度数．
题型2 各知识综合考查
【示例二】在图23-1-13，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连结AC．试说明AF＝CF．
变式1 如图23-1-17所示，A、B、C、D是⊙O上四点，且D是的中点，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠OEC＝_________．
变式2如图23-1-19所示，AB是⊙O上的两点，且∠AOB＝70°，C是⊙O上不与AB重合的一点，则∠ACB的度数是___________．
变式3 已知⊙O中，，则AB与CD的关系是( )
A．AB＝2CD B．AB>2CD
C．AB<2CD D．无法确定
变式4 AB为⊙O的弦，自圆上一点C向AB作垂线CD，垂足为D，如图所示，则∠ACD 与∠BCO是否相等？为什么？
题型3 垂径定理、圆周角与圆心角的关系结合相似三角形
【示例三】如图所示，△ABC的三个顶点都在⊙O中，∠BAC的平分线与BC边和⊙O分别交于点D、E．
(1)试找出图中的相似三角形，并说明理由；
(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．
变式2 如图23-1-35所示，△ABC 三个顶点在圆上，AB ＝AC ，D 是BC 边上一点，E 是
直线AD 和圆的交点．
(1)试说明AE AD AB 2
⋅=；
(2)当D 为BC 延长线上一点时，第(1)题结论还成立吗？ 如果成立，请说明为什么；不成立，说出理由．
BD
OE
OE AC
五、【课后习题】
1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 交⊙O 于G ，OE ⊥CD 于E ，AC ⊥CD 于C ，BD ⊥CD 于D ，则下列结论错误的是( ) A ．CG ＝HD B ．CE ＝ED
C ．E 是GH 的中点
D ．
2．如图，∠E ＝40°，
，则∠ACD ＝(
)
A ．10°
B ．15°
C ．20°
D ．12.5°
3．如图，A 是半径为5的⊙O 内一点，且OA ＝3，过点A 且长小于8cm 的弦共有( )
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．4条
4．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝30°，∠ABD ＝(
)
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
6. 同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，试说明AC ＝BD ．。